第二章 杆件的内力·截面法

3
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C M4
q(x) — 分布力
L
M — 集中力偶
L
F — 集中力
3、外伸梁：overhanging beam q — 均布力
L （L称为梁的跨长）
L
弯曲内力的确定（截面法）
a A l F F B [例]已知：如图，F，a，l。
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
FAX A FAY
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, FAY Fs 0.
m x
Fs
M
Fs FAY
C
(F ) 0, M FAY x 0.
M FAY x F (l a) x l
F (l a ) l
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
F
x
0
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
F
FN （－）FN
F
轴力图：
轴力沿轴线变化的图形
F FN F
轴力图的意义
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
+
x
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8
F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37 6.37kN m
4.78 9.56
T 图(kN· m)
Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
例2
试分析图示轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
1、求约束反力
M A ml
2、截面法求扭矩
T M A mx
解： 一、计算作用在各轮上的外力偶矩 M1 M3 M2 B C A D 500 3 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300
3
M4
150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100
200 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
⊿A面积上的内力合力 DF
DF
ΔA
Δ FN
DF DFN DFT DFN⊥截面 DFT∥截面
F2 全应力
p lim
DA 0
ΔFTz
DF DA
正应力—垂直于截面的应力分量
全应力及应力分量
DFN dFN lim DA 0 D A dA
剪应力—切于截面的应力分量
q
M
RA
NB
平面弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
四、静定梁的分类：
1、悬臂梁： cantilevered beam 2、简支梁： simply supported beam
外力偶矩计算
右图
设：轴的转速 n 转／分 (r／min) ，其中某一轮传输的功率为： P 千瓦( KW ）
实际作用于该轮的外力偶矩 Me ，则
dW d ( Me ) d n P Me Me Me dt dt dt 30
30 P 103 P Me 9549 (N m) n n
1 M ( x ) qx 2 , (0 x l ) 2
应 力
FN
m m m m
FN
(a)
(b )
比较a、b图杆两杆 两杆的材料、长度均相同 所受的内力相同，为 FN
显然粗杆更为安全。
F
F
F
F
构杆的强度与内力在截面上的分 布和在某点处的聚集程度有关
应力的概念:
① 应力定义： 截面上内力系在某一点处的聚集程度
是反映一点处内力的强弱程度的基本量
F1
ΔFTy
M 2 RB 1.5 1.2 1.5 0.75
M2
Fs 2
2.9 1.5 1.2 1.5 0.75
3.0(kN m)
3
剪力方程与弯矩方程-剪力图与弯矩图
剪力方程、弯矩方程：
M M ( x)
q
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式
Fs ( x) qx, (0 x l )
内力和截面法
1 、内力的定义：在外力作用下，构件内部各部分之间因相对位置的
改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。
2 、内力的特点：
①连续分布于截面上各处 ②随外力的变化而变化
3 、截面法：用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开： 在待求内力的截面处假想地将构件截为两部分， 取其中一部分为研究对象—脱离体 ②代替：用内力代替弃去部分对脱离体的作用—通常为 分布内力系 ③平衡： 对脱离体列出平衡方程
(2) 1-1截面左段右侧截面：
RA
Fs1 RA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
M1 RA 2 0.8 0.5 1.5 2 0.8 0.5 2.6 (kN m) 2--2截面右段左侧截面： RB q
Fs1
Fs 2 1.2 1.5 2.9 1.1(kN )
宝剑锋从磨砺出
梅花香自苦寒来
第二章 杆件的内力· 截面法
主要内容
1
基本概念-内力、截面法、应力、位移、变形与应变
2
3 4 5 6
轴向拉伸、压缩、扭转与弯曲的概念
剪力方程与弯矩方程-剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力与弯矩之间的关系 平面刚架与平面曲杆的弯曲内力
杆件内力的普遍情况
1
基本概念-内力、截面法、应力、位移、变形与应变
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
弯曲
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁 三、平面弯曲的概念：
DFT dFT lim DA 0 D A dA
应力的三要素: 截面、点、方向
受力物体内各截面上每点的应力，一般是不相同的，它随
着截面和截面上每点的位置而改变。
因此，在说明应力性质和数值时必须要说明它所在的位置。
应力的单位：
应力是一向量，其量纲是[力]/[长度]² 。
应力的国际单位为牛顿/米² ，称为帕斯卡，简称帕(Pa).
1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
变形和位移
图1.3 变形—构件受外力面发生的位置改变 变形和位移的关系—产生位移的原因是构件的变形, 构件变形 的结果引起构件上点、线、面的位移
应变
一、正应变（线应变）定义
Me
1
Me
Me
A
1 1
B
T
x
A
T
1 1
1
T Me
Me B
扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
1、扭转杆件的内力（截面法）
取左段为研究对象：
M
M
M
x
0, T M 0
M T
T M
取右段为研究对象：
x
M
M
x
0, M T 0
T
x
T M
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
M C
FBY
F M
y C
0,
Fs F FBY 0.
(F ) 0,
FBY (l x) F (a x) M 0.
F (l a ) , l F (l a) x l
Fs
M
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上 存在垂直于截面的分布力系 的内力偶矩（弯矩）。 2. 剪力： Fs 构件受弯时，横截面上存在
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
+
T
-
3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
扭矩图作法：同轴力图： 例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
F 0 , F 0 M (F ) 0 , F l Fa 0 F 0 , F F F 0
x AX
A BY y AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa F (l a) , FAY l l
②求内力 FAX A FAY A FAY
m
F
B FBY
FAX A FAY
m
F
B FBY
m x
A
FAY M
Fs C Fs C FBY M F
平行于截面的内力（剪力）。
弯曲内力的正负号规定:
① 剪力Fs : Fs(+) Fs(+) ② 弯矩M： M(+) M(+) M(–) M(–) Fs(–) Fs(–)
0.8kN
A RA
2
1
1.5m 1.5m 3m
1.2kN/m [例]：梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Y 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
M RB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
2 1.5m
RA 1.5 (kN ), RB 2.9 (kN )
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
求AB 段内力：
Fx 0
FN2
FN 2 FB FC FD 0
FN2= –3F，
求BC段内力：
F
F
x
0
FN 3 FC FD 0
FN3= 5F，
求CD段内力：
x
0
FN 4 FD 0
FN4= F
机器中的传动轴工作时受扭
二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
mA
阻抗力偶
Me
主动力偶
me
主要发生扭转变形的杆——轴
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 解： （截面法确定） 1—1 F ①截开。
②代替，FN 代替。 ③平衡， ∑FX=0, FN - F = 0,
F
F
FN
FN = F
以1－1截面的右段为研究对象： FN
F
内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。
轴力的符号规定：
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。 F FN （＋）FN F
Du av Ds
Du lim Ds 0 Ds
棱边 ka 的平均正应变
k点沿棱边 ka 方向的正应变
正应变特点 1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的 改变量 g ，称为切应变 切应变量纲与单位 切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
FN1 2F ,
FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
轴力图如下图示
O
A
FA
B
FB 5F 3F
C
FC F
D FD
FN
2F
x
扭转
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
汽车方向盘的转动轴工作时受扭
2
轴向拉伸、压缩、扭转与弯曲的概念
轴向拉伸、压缩
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
活塞杆
厂房的立柱 F
F
二、轴向拉压的概念：
外力合力作用线与杆轴线重合 （1）受力特点：
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短 FN1
B
A C
F FN2 FN1 FN2
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。