2014年全国中考数学试题分类汇编38 规律探索(含解析)
2014年中考数学试题分类 猜想、规律与探索
猜想、规律与探索一 、选择题1. （浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A .28B .56C .60D . 1243. （广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．4. （内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）5. （湖南益阳，16，8分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22= 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1④……（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．6．（广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有个数；（3）求第n 行各数之和．二、填空题1. （四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
2. （广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△1D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n F n 的面积为.第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形第 18题3. （湖南常德，8，3分）先找规律，再填数： 1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012+-=+-=+-=+-=-=⨯则 4. （广东湛江20,4分）已知：23233556326,54360,5432120,6543360A A A A =⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=,,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A = （直接写出计算结果），并比较59A 310A （填“>”或“<”或“=”）三 解答题1. （山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ .2. （湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图（十）所示，在正三角形ABC 中，M 是BC 边（不含端点B ，C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠ACP 的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN 。
2014中考数学 第四部分 专题二 规律探究题
题的关键．
是85.
另解，供参考．观察对角线上数字的规律，1,5,13,25，…， 后一项比前一项依次多 4,8,12，…， ∴x＝25＋16＋20＋24＝85，即 x＝85. 答案：85 名师点评：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题目， 要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现
的规律解决问题．解决本题的关键是得到每一行中前一列与后
∵2013÷3＝671，∴△2013 的直角顶点是第671个循环组的 最后一个三角形的直角顶点．
∵671×12＝8052， ∴△2013 的直角顶点的坐标为(8052,0)．
答案：(8052,0)
名师点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，难度不大， 仔细观察图形，得到每 3 个三角形为一个循环组依次循环是解
一列的关系.
几何图形中的猜想 例2：(2013 年甘肃兰州)如图 Z2-2，在下面直角坐标系中， 已知点 A(－3,0)，B(0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到
△1，△2，△3，△4，…，则△2013的直角顶点的坐标为_______．
图 Z2-2
解析：∵点 A(－3,0)，B(0,4)，∴AB＝ 32 42 ＝5. 由图可知，每3 个三角形为 1 个循环组依次循环，每个循 环组前进的长度为探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图
形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，
得出结论，进而加以验证的数学探索题． 其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综 合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生 思维的深刻性和创造性．
数字或代数式的猜想 例 1：(2013 年浙江湖州)如图Z2-1将连续正整数按以下规 律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是__________．
中考数学真题分类解析汇编 38规律探索
规律探索一、选择题1.（5分）（2019•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）二.填空题1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16 ，第672 行最后一个数是2014．2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是165 ．个1，y个﹣1，z个0，得到方程组，解方程组即可确定正确的答案．解答：解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014 =a12+a22+…+a20142+2×69+2014=a12+a22+…+a20142+2152，设有x个1，y个﹣1，z个0∴，化简得x﹣y=69，x+y=1849解得x=959，y=890，z=165∴有959个1，890个﹣1，165个0，故答案为：165．二.填空题1. （2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为8 ．解答：解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是（，）．考点：规律型：点的坐标；等边三角形的性质．分析：根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，P6的纵坐标为，故答案为：（，）．点评：本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）考点：规律型：数字的变化类．分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．解答：解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=••••••…=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41．解：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；…∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．①当3n﹣2≥41时，解得：n≥∵n是正整数，∴n最小值为15，此时移动了29次．②当3n﹣1≥41时，解得：n≥14．∵n是正整数，∴n最小值为14，此时移动了28次．纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．故答案为：28．5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（63，32）．6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014．先计算得到=10=101，=100=102，=1000=103，=1000=104，计算的结果都是10的整数次幂，且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，所以=102014．解：∵=10=101，=100=102，=1000=103，=1000=104，∴=102014．故答案为102014．7．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027 ，4027 ）．解答：解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），所以M2014，2014×2﹣1=4027（4027，4027），故答案为：（4027，4027）8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．故答案为：．9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．分析：首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．三.解答题1. （2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4× 4 2= 17 ；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式．分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．。
2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编(三)18份(共310页)Word版及答案
目录2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：32 点直线与圆的位置关系.doc 2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：33 圆与圆的位置关系.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：34 正多边形与圆.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：35 弧长与扇形面积.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：36 投影与视图.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：37 尺规作图.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：38 规律探索.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：39 操作探究.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：40 方案设计.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：41 开放性问题.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：42 动态问题.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：43 阅读理解.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：44 综合性问题.doc2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：45 跨学科结合与高中衔接问题2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：46 与函数有关的选择题压轴题2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：47 与特殊四边形有关的填空压轴题2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：48 与圆有关的压轴题2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：49 运动变化类的压轴题.doc点直线与圆的位置关系一、选择题1．(2014年天津市，第7题3分)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°考点：切线的性质．分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．2.（2014•邵阳，第8题3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．40°考点：切线的性质专题：计算题．分析：根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．解答：解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选A．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．3. （2014•益阳，第8题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）（第1题图）A．1 B．1或5 C．3 D． 5考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．4．（2014年山东泰安，第18题3分）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O 相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接P D．已知PC=PD=B C．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故此选项正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A．点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．二.填空题1. （2014•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E=．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MF，∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE=CF，∴ME=MF，而ME=EF，∴ME=EF=MF，∴△MEF为等边三角形，∴∠E=60°，∴cos∠E=cos60°=．故答案为．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．2．（2014•温州，第16题5分）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=A B．⊙O 经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是．考点：切线的性质；矩形的性质．分析：过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=：1，依据勾股定理即可求得AB的长度．解答：解：如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，又∵EG：EF=：2，∴EG：EN=：1，又∵GN=AD=8，∴设EN=x，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE=，设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8﹣r）2，∴r=5．∴OK=NB=5，∴EB=9，又AE=AB，∴AB=12．故答案为12．点评：本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．3．（2014•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为3cm．考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．解答：解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．4．（2014•浙江湖州，第9题3分）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O 是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN分析：（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN．（3）作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D 成立．解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•ADS△MNO=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，∴不一定有S1＞S2+S3，（2）∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，在△AMO 和△DMN 中，，∴△AMO ∽△DMN ．故B 成立，（3）如图，作BP ⊥MN 于点P ，∵MN ，BC 是⊙O 的切线，∴∠PMB =∠MOB ，∠CBM =∠MOB ， ∵AD ∥BC ，∴∠CBM =∠AMB ，∴∠AMB =∠PMB ， 在Rt △MAB 和Rt △MPB 中，∴Rt △MAB ≌Rt △MPB （AAS ）∴AM =MP ，∠ABM =∠MBP ，BP =AB =BC ， 在Rt △BPN 和Rt △BCN 中，∴Rt △BPN ≌Rt △BCN （HL ）∴PN =CN ，∠PBN =∠CBN ，∴∠MBN =∠MBP +∠PBN ，MN =MN +PN =AM +CN ．故C ，D 成立，综上所述，A 不一定成立，故选：A ．点评：本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．5．（2014·浙江金华，第16题4分）如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA ，OB ，OC 抽象为线段，有OA =OB =OC ，且∠AOB =120°，折线NG —GH —HE —EF 表示楼梯，CH ，EF 是水平线，NG ，HE 是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A ，⊙B 与楼梯两边相切，且AO ∥GH . （1）如图2①，若点H 在线段OB 上，则BHOH的值是 ▲ ． （2）如果一级楼梯的高度()HE 832cm =+，点H 到线段OB 的距离d 满足条件d 3cm ≤，那么小轮子半径r 的取值范围是 ▲ ．【答案】（1）3；（2）1133r 8-≤≤. 【解析】∴23r d d 2323MI3IJ d MI r d,HM 3r 2d cos 33t 3030an 33=︒-==⇒=-==-︒.考点：1. 直角三角形的构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 矩形的判定和性质；5.切线的性质；6.二次根式化简.6. （2014•湘潭，第14题，3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A切⊙O于A点，则P A=4．（第1题图）考点：切线的性质；勾股定理．分析：先根据切线的性质得到OA⊥P A，然后利用勾股定理计算P A的长．解答：解：∵P A切⊙O于A点，∴OA⊥P A，在Rt△OP A中，OP=5，OA=3，∴P A==4．故答案为4．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．三.解答题1. （2014•广东，第24题9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．考点：切线的判定；弧长的计算．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OP A，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OP A=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OP A，∵∠OP A+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．2. （2014•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算；平移的性质专题：计算题．分析：（1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=，所以BE=OE﹣OB=；（2）求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影部分的面积．解答：解：（1）连结OG，如图，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，∵EF与半圆O相切于点G，∴OG⊥EF，∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，∴OB=OG=2，∵∠GEO=∠DEF，∴Rt△EOG∽Rt△EFD，∴=，即=，解得OE=，∴BE=OE﹣OB=﹣2=；（2）BD=DE﹣BE=4﹣=．∵DF∥AC，∴，即，解得：DH=2．∴S阴影=S△BDH=BD•DH=××2=，即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．3. （2014•广西贺州，第25题10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥C D．BO=6cm，CO=8cm．（1）求证：BO⊥CO；（2）求BE和CG的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分∠EBF 和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；（2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据RT△BOF∽RT△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长．解答：（1）证明：∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，∴∠OBC=，∠OCB=，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°，∴∠BOC=90°，∴BO⊥CO．（2）解：连接OF，则OF⊥BC，∴RT△BOF∽RT△BCO，∴=，∵在RT△BOF中，BO=6cm，CO=8cm，∴BC==10cm，∴=，∴BF=3.6cm，∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．∴CG=CF=6.4cm．点评：本题主要考查了直角梯形的性质和切线长定理的综合运用．属于基础题．4. （2014•广西玉林市、防城港市，第23题9分）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连结OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE 中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+t2=（t+1）2，解得t=4，则DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG．解答：（1）证明：连结OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．5．(2014年四川资阳，第21题9分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接A D．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质得AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．6．（2014•新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠F AC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠F AC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠F AC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠F AC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径为4．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．7.（2014•毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O 交AB于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．考点：切线的判定分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．8．（2014·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A =2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D .（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A =60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）考点： 切线的判定；阴影部分面积.分析： （1）连接OD ，求出∠A =∠DOC ，推出∠ODC =90°，根据切线的判定推出即可；（2）先求出ODC Rt ∆的面积，再求出扇形ODC 的面积，即可求出阴影部分面积． 解答： （1）证明：如图，连接OD∵OD OB =，∴21∠=∠，∴∠12∠=DOC ，∵12∠=∠A ，∴DOC A ∠=∠，∠ABC =90°， 90=∠+∠∴C A∴90=∠+∠C ODC ， 90=∠∴ODC∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解： 60=∠=∠DOC A ，2=OD∴在ODC Rt ∆中，OD DC =60tan 323260tan =⨯== OD DC∴323222121=⨯⨯=⋅=∆DC OD S ODC Rt 第22题图E O C B A 1Dπππ3236026036022=⨯⨯==r n S ODE 扇形 π3232-=-=∴∆ODE ODC Rt S S S 扇形阴影 点评： 本题考查了等量代换、切线的判定、三角形面积、扇形面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力.．9. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ =QB =1，动点A 在圆O 的上半圆运动（含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形AB C ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（图1）；（2）设∠AOB =α，当线段AB 、与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长度（图3）．（第1题图）考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．分析： （1）连接OA ，如下图1，根据条件可求出AB ，然后AC 的高BH ，求出BH 就可以求出△ABC 的面积．（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A 与点Q 重合时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM 的值．解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥A B．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB•sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC的面积为．（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=A B．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥A B．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM的长度为．点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强．10. （2014•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b 为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第2题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆的综合题分析：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，解答：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．点评：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．11 （2014•扬州，第25题，10分）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．（第3题图）考点：切线的性质；弧长的计算．分析：（1）要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧DE的长度为4π，可以求得∠DOE 的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论．（2）根据90°的圆周角对的弦是直径，可以求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF 的长度，即可得到答案．解答：解：（1）证明：连接OD、OE，∵OD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，又∵弧DE的长度为4π，∴，∴n=60，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥B C．（2）连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=90°，∴FD是⊙0的直径，由（1）得：∠EFD=30°，FD=24，∴EF=，又因为∠EDA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20，又∵，∴BC=60．点评：本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于900的圆周角对的弦是直径这一性质的灵活运用．12.（2014•滨州，第21题8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接O C．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．解答：（1）证明：连接O C．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为．点评：此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．13．（2014•德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．考点：切线的判定；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）①连接BD，先求出AC，在RT△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以RT△ABD是直角等腰三角形，求出AD，②连接OC，（2）由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．解答：解：（1）①如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC===8，②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=AB=×10=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由：连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．点评：本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．14.（2014•菏泽，第18题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若=，求cos∠ABC的值．考点：切线的判定；勾股定理．分析：（1）如图，连接O C．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；（2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tanE==．所以在Rt△OCE中，tanE==．在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．解答：（1）证明：如图，连接O C．∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵OC=OB，∴∠2=∠4．∴∠1=∠3．在△COD和△AOD中，，∴△COD≌△AOD（SAS）∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，∴AD=DC=k．∴在Rt△DAE中，AE==2k．∴tanE==．∵在Rt△OCE中，tanE==．∴=，∴OC=OA=．∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．点评：本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．圆与圆的位置关系一、选择题1. （2014•扬州，第5题，3分）如图，圆与圆的位置关系没有（）（第1题图）A．相交B．相切C．内含D．外离考点：圆与圆的位置关系分析：由其中两圆有的位置关系是：内切，外切，内含、外离．即可求得答案．解答：解：∵如图，其中两圆有的位置关系是：内切，外切，内含、外离．∴其中两圆没有的位置关系是：相交．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握数形结合思想的应用．2.（2014•济宁，第10题3分）如图，两个直径分别为36cm和16cm的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是（）A．10cm．B．24cm C．26cm D．52cm考点：简单组合体的三视图；勾股定理；圆与圆的位置关系．分析：根据两球相切，可得球心距，根据两圆相切，可得圆心距是半径的和，根据根据勾股定理，可得答案．解答：解：球心距是（36+16）÷2=26，两球半径之差是（36﹣16）÷2=10，俯视图的圆心距是=24cm，故选：B．点评：本题考查了简单组合体的三视图，利用勾股定理是解题关键．二.填空题1．(2014年四川资阳，第14题3分)已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．考点：圆与圆的位置关系；根与系数的关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣5x+5=0的两实根，根据根与系数的关系即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的和，又由⊙O1与⊙O2的圆心距d=6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，∴两半径之和为5，解得：x=4或x=2，∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6，∴6＞5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．故答案为：相离．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的根与系数的关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．三.解答题1. （2014年江苏南京，第26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．（第1题图）考点：圆的性质、两圆的位置关系、解直角三角形分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．解答：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，。
2014年中考数学第二轮复习--规律探索型问题-1.doc
2014年中考数学第二轮复习--规律探索型问题规律探索型问题在中考中的背景：这类问题主要是考察学生观察、分析、归纳问题的能力，常常是通过观察、分析、归纳构建数学模型来最终解决问题。
因此这类问题常常出现在中考试题中。
1.求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52013的值为（ ） A ．52013﹣1 B ．52013﹣1 C ． D ．2.观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.3.在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…和1B ，2B ，3B ，…分别在直线y kx=和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），] A 2（23,27），那么点n A 的纵坐标是_ _____．4.已知整数a 1,，a 2，a 3，a 4，…满足下列条件：a 1=0，a 2=-11a +,a 3=-22a +,a 4=-33a +,…依次类推，则a 2013的值为( )A ．-1005B ．-1006C ．-1007D ． -20135.如图，直角三角形纸片AB C 中，A B=3，A C=4D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n -1D n -2的中点为D n -1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n -1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为（ ）A. 125235⨯B. 95253⨯C. 146235⨯D. 117253⨯6.如图，在一单位为1的方格纸上，△123A A A ，△345A A A ，△567A A A ，……，都是斜边 在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△123A A A 的顶点坐标分别为1A (2，0)，2A (1，-1)，3A (0，0)，则依图中所示规律，2012A 的坐标为7.设a i ≠0（i ＝1，2，……2013），且满足11a a ＋22a a ＋…＋20122012a a ＝1968，则直线y ＝a i x ＋i（i ＝1，2，…2013）的图象经过第一、二、四象限的概率为8.如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n-1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象于点B 1，B 2，B 3，…B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2……，记△B 1P 1B 2 的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2……，△B n P n B n+1的面积为S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝9.如图，在标有刻度的直线L 上，从点A 开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n 个半圆的面积为 。
2014年全国各地中考数学试卷解析版分类汇编 ：阅读理解、图表信息专题
阅读理解、图表信息一、选择题1. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )A ．(—2012,2)B ．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD ，点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．∴M 的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）故答案为A ．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.（2014山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列1S ：（2，2，1，2，2）．若0S 可以为任意序列，则下面的序列可以作为1S 的是A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）【解析】由于序列0S 含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A ，B 中所给序列不能作为1S ； 又如果1S 中有3，则1S 中应有3个3，所以C 中所给序列也不能作为1S ，故选D ．二、填空题1．（2014•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．考点：锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．专题：新定义．分析：根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．解答：解：①cos（﹣60°）=cos60°=，命题错误；②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=×+×=+=，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx═2sinx•cosx，故命题正确；④sin（x﹣y）=sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．故答案是：②③④．点评：本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．三、解答题1. （2014•四川巴中，第22题5分）定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．考点：新定义．分析：首先根据运算的定义化简3△x，则可以得到关于x的不等式组，即可求解．解答：3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根据题意得：，解得：＜x＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．2.（2014•湖南张家界，第23题，8分）阅读材料：解分式不等式＜0解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1请仿照上述方法解下列分式不等式：（1）≤0（2）＞0．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．解答：解：（1）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解①得：无解，解②得：﹣2.5＜x≤4所以原不等式的解集是：﹣2.5＜x≤4；（2）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解①得：x＞3，解②得：x＜﹣2．所以原不等式的解集是：x＞3或x＜﹣2．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用．本题通过材料分析，先求出不等式组中每个不等式的解集，再求其公共部分即可．3.（2014•江西抚州，第24题，10分）【试题背景】已知：∥m∥n∥，平行线与m、m与n、n与之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、m、n、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.【探究1】 ⑴ 如图1，正方形ABCD 为“格线四边形”，BE l ⊥于点E ,BE 的反向延长线交直线于点F . 求正方形ABCD 的边长.【探究2】 ⑵ 矩形ABCD 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形ABCD 的宽为--------------------37132或. (直接写出结果即可)【探究3】 ⑶ 如图2，菱形ABCD 为“格线四边形”且∠ADC =60°，△AEF 是等边三角形，AE ⊥k 于点E ， ∠AFD =90°，直线DF 分别交直线、于点G 、M . 求证：EC DF =.【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形ABC 的顶点A 、B 分别落在直线、上，AB ⊥k于点B ，且AB =4 ，∠ACD =90°，直线CD 分别交直线、于点G 、M ，点D 、E 分别是线段GM 、BM 上的动点，且始终保持AD =AE ，DH l ⊥于点H .猜想：DH 在什么范围内，BC ∥DE ？并说明此时BC ∥DE 的理由.解析：(1) 如图1，∵BE ⊥l , l ∥k ,∴∠AEB=∠BFC=90°,又四边形ABCD 是正方形，∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,∴⊿ABE ≌⊿BCF(AAS),∴AE=BF=1 , ∵BE=d 1+d 2=3 , ∴+=223110,10 .(2)如图2,3，⊿ABE ∽⊿BCF,∴BF BC AE AB ==21 或 BF BCAE AB ==12∵BF=d 3=1 ,∴AE=12 或AE =2∴AB=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22137322 或AB=+=223213∴矩形ABCD 的宽为372或13.(注意：要分2种情况讨论）(3)如图4，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=DC,又∠ADC=60°,∴⊿ADC 是等边三角形，∴AD=AC ，∵AE ⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，∵⊿AEF 是等边三角形， ∴ AF=AE,∴⊿AFD ≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.(4)如图5，当2＜DH ＜4时， BC ∥DE .理由如下：连接AM,∵AB ⊥k , ∠ACD=90°,∴∠ABE=∠ACD=90°,∵⊿ABC 是等边三角形，∴AB=AC ,已知AE=AD, ∴⊿ABE ≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD ；在Rt ⊿ABM 和Rt ⊿ACM 中，AB ACAM AM =⎧⎨=⎩，∴Rt ⊿ABM ≌Rt ⊿ACM(HL), ∴ BM=CM ；∴ME=MD,∴ME MD MB MC= , ∴ED ∥BC. 4. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x 的函数y=2kx 2﹣（4kx+1）x ﹣k+1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．考点：二次函数综合题分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．解答：解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最==﹣，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．点评：本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．5. ( ( 2014年河南)21.10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。
2014年中考数学解析版试卷分类汇编专题36：规律探索
32
63 32 确得到点的坐标
题 要考查了一次函数 象 点的坐标性质和坐标的变 规律 的规律是解题的 键
6.
2014•滨
第 18 题 4 分
计算 列各式的值
察所得结果 总结 在的规律
用得到的规律 得
= 102014
考点 题 分析
算术 方根 完全 方 式 规律型 先计算得到 =10=101 =1000=103 是 10 的整数次幂 这个指 =100=102 =1000=104 计算的结果都
二.填空题 1. 2014•珠海 第 10 题 4 分 如 直角边作等腰 Rt△OA1A2 OA2 在等腰 Rt△OAA1 中 ∠OAA1=90° OA=1 直角边作等腰 Rt△OA2A3 …则 OA4 的长度 OA1 8
考点 等腰直角 角形 题 规律型 分析 利用等腰直角 角形的性质 解答 解 △OAA1 及勾股定理分 求出各边长 进而得出答案
2
+ a2+1
2
得到 a12+a22+…+a20142+2152 然后设
有 x 个 1 y 个﹣1
z 个 0 得到方程
解方程
即 解答 解
确定 确的答案 a1+1
2
+ a2+1
2
+…+ a2014+1
2
=a12+a22+…+a20142+2 a1+a2+…+a2014 +2014
﹣1
A3 的横坐标是 1+2=3=22﹣1 A4 的横坐标是 1+2+4=7=23﹣1
即点 A4 的坐标 据
全国各地中考数学解析版试卷分类汇编总汇开放性问题规律探索
2014年各地中考数学试卷解析版分类汇编开放性问题、规律探索1. (2014泗川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E, F，连结BE, CF .(1) __________________________________________________________________ 请你添加一个条件，使得△ BEH ◎△ CFH，你添加的条件是_________________________________________________ ，并证明.(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.考点：矩形的判定.分析：(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH , BE // CF，/ EBH = Z FCH时，都可以证明厶BEHCFH ,(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH = EH时，四边形BFCE是矩形.解答：(1)答：添加：EH=FH，证明：•••点H是BC的中点，••• BH=CH ,f BH=CH在厶厶BEH 和厶CFH 中，• ZE 皿二ZCHF ,•△ BEH ◎△ CFH (SAS);EH=FHk(2)解：T BH = CH, EH = FH ,•四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形) ，•••当BH = EH 时，贝U BC=EF ,•平行四边形BFCE为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大.2. (2014汕东威海)猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上,连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论.拓展与延伸：(1)若将”猜想与证明中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE .(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF ,使点F在边CD上，点M仍为AF的中点, 试证明(1)中的结论仍然成立.•••四边形ABCD 和CEFG 是矩形，••• AD // EF ,•••/ EFM = / HAM ,又•••/ FME = / AMH , FM=AM ,在厶FME 和厶AMH 中，r ZEFNl=HAM;F 肛 AM•••△ FME ◎△ AMH (ASA )• HM=EM ,在 RTA HDE 中, HM=EM ,• DM=HM=ME ,• DM=ME .(1)如图1,延长EM 交AD 于点H ,•••四边形ABCD 和CEFG 是矩形， 考点：分析:解答:四边形综合题 猜想：延长 EM 交AD 于点H ，利用△ FME ◎△ AMH ，得出HM=EM ，再利用 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明. (1) 延长EM 交AD 于点H ，利用△ FME AMH ，得出HM = EM ，再利用 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明， (2) 连接AE , AE 和EC 在同一条直线上，再利用直角三角形中， 斜边的中线 等于斜边的一半证明， 猜想：DM=ME•AD // EF ,•••/ EFM = / HAM ,又•••/ FME = / AMH , FM=AM ,在厶FME和厶AMH中，『ZEF1 二HO:FM=AM [ZFNE=ZMH•••△FME ◎△ AMH (ASA)••• HM=EM ,在RT A HDE 中，HM=EM ,•DM=HM=ME,•DM=ME ,故答案为：DM=ME.(2)如图2,连接AE ,•••四边形ABCD和ECGF是正方形，•••/ FCE=45°, / FCA=45°,•AE和EC在同一条直线上，在RT A ADF 中，AM=MF,•DM =AM = MF,在RT A AEF 中，AM = MF,•AM = MF=ME,•DM=ME .点评：本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段.3. (2014?山东枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,已知0是AC的中点，AE=CF ,DF // BE.(1) 求证：△ BOE ◎△ DOF ;(2) 若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定计算题.(1)由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由0为AC的中点，得至U OA=OC，又AE=CF，得至U OE=OF，禾U用AAS即可得证；(2)若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC ,即OD=OA=OC=OB ，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得 证.(1)证明：T DF // BE ,•••/ FDO= / EBO ，/ DFO= / BEO , •/ O 为 AC 的中点，即 OA=OC , AE=CF , • OA - AE=OC - CF ，即 OE=OF , 在厶BOE 和厶DOF 中，(Z FDO =Z BBO£ ZDF0=ZBE0 ,QE 二 OF•••△ BOE 也厶 DOF (AAS );(2)若OD=AC ，则四边形 ABCD 是矩形，理由为: 证明：•••△ BOE ◎△ DOF ,••• OB=OD ,••• OA=OB=OC=OD ，即 BD=AC ,•四边形ABCD 为矩形.此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的 性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.4. (2014?山东烟台)在正方形 ABCD 中，动点E , F 分别从D , C 两点同时出发，以相同的速度在 直线DC , CB 上移动.(1) 如图①，当点 E 自D 向C ,点F 自C 向B 移动时，连接 AE 和DF 交于点P ,请你写出AE 与DF 的位置关系，并说明理由；(2) 如图②，当E , F 分别移动到边 DC , CB 的延长线上时，连接 AE 和DF , (1)中的结论还成立吗？(请你直接回答 是”或(3) 如图③，当E , F 分别在边成立吗？请说明理由；(4)如图④，当E , F 分别在边 考点：分析：/ CDF ，再由等角的余角相等可得 AE丄DF ; (2 )是.四边形ABCD 是正方形，所以 AD = DC ,Z ADE = Z DCF =90° DE=CF ，所以△ ADE 也△ DCF ，于是 AE=DF ，/ DAE = / CDF ，因为/ CDF+ / ADF =90° / DAE +解答: 点评: DC , 否” CD ， 不需证明) BC 的延长线上移动时，连接 AE ，DF ，( 1)中的结论还 CB 上移动时，连接 AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的 P 运动路径的草图.若 AD=2，试求出线段 CP 的最小 移动，使得点P 也随之运动，请你画出点 值.图④ C F B圉①E 全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想(1) AE=DF , AE 丄DF .先证得△ ADE ◎△ DCF .由全等三角形的性质得 AE=DF , / DAE = C/ ADF =90°,所以AE 丄DF ;（3）成立.由（1）同理可证AE=DF，/ DAE = / CDF，延长FD交AE于点G,再由等角的余角相等可得AE 丄DF ;（4）由于点P在运动中保持/ APD=90°所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为0,连接0C交弧于点P,此时CP的长度最小，再由勾股定理可得0C的长，再求CP即可.解答：（1）AE=DF , AE丄DF .理由：：•四边形ABCD是正方形，••• AD = DC ,Z ADC = Z C=90°. •/ DE=CF，丄 ADE◎△ DCF .••• AE=DF，/ DAE= / CDF，由于/ CDF + / ADF =90°, DAE +ADF =90 ° • AE 丄DF ;（2）是；（3）成立.理由：由（1）同理可证AE=DF，/ DAE=Z CDF延长FD交AE于点G,则/ CDF+Z ADG=90°,•••/ ADG+Z DAE=90°.• AE丄DF;（4）如图：由于点P在运动中保持Z APD=90°•••点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小，在Rt A0DC中, OC= 〕，||| . ' 一■:.一• CP=OC - OP= 一点评：本题主要考查了四边形的综合知识•综合性较强，特别是第（4）题要认真分析.25. （2014?浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx - （4kx+1 ）x - k+1 （k是实数）. 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论•教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1, 0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x> 1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数.教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由•最后简单写出解决问题时所用的数学方法.考点：二次函数综合题分析：①将（1, 0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k和时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.运用方程思想；② 假，反例：k=0时，只有两个交点•运用举反例的方法；③ 假，如k=1,-卫=，当x > 1时，先减后增；运用举反例的方法；「 2a④ 真，当k=0时，函数无最大、最小值；，"时 “4 乂 - 24k 2+lk^0 时,y 最— -------------- =_ --------------- ,- I.•••当k > 0时，有最小值，最小值为负；当k v 0时，有最大值，最大值为正•运用分类讨论思想.点评：本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般.规律探索、选择题1. （2014?山东威海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，Rt ^ OA 1C 1，Rt A OA 2C 2，Rt A OA 3C 3，Rt A OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上， / A 1OC 1 = Z A 2OC 2=Z A 3OC 3=Z A 4OC 4=- =30 °若点A 1的坐标为（3,0），OA 1=OC 2，OA 2=OC 3，OA 3=OC 4…，则依此规律，点A 2014的纵坐标为（） 、 9 A • 0B . -3X （麵）2013 2C . （2“3） 2014D . 3X （竽）2013 规律型：点的坐标 规律型.考点：专题:分析:根据含30度的直角二角形二边的关系得OA2= - OC2=3OA3= - OC3=3X（）2；OA4= - OC4=3X（）3，于是可）2013，由于而2014=4X503+2，则可判断得至U OA2014=3X点A 2014在y 轴的正半轴上，所以点A 2014的纵坐标为3X ')2013解：A 2OC 2=30 ° OA 1=OC 2=3,• OA 2=^OC 2=3V3 3• OA 2=OC 3=3 色^5,•5=06=3 X — 2,A . (— 2012,2)B . (一 2012，一 2) C. (— 2013—2) D. (— 2013,2)考点：坐标与图形变化 一对称；坐标与图形变化 一平移. 专题：规律型.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是( 2, 2),然后根据题意求得第 1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律.解答：••正方形 ABCD ，点 A(1 , 3)、B(1,1)、C(3,1). • M 的坐标变为(2,2) •••根据题意得：第1次变换后的点 M 的对应点的坐标为(2 — 1 , -2),即(1 , — 2), 第2次变换后的点 M 的对应点的坐标为：(2— 2 , 2),即(0 , 2),第3次变换后的点 M 的对应点的坐标为(2 — 3, — 2),即(一1, — 2), 第2014次变换后的点 M 的对应点的为坐标为(2 — 2014 , 2),即(一2012 , 2)解答:2；点评:9…OA 4= OC 4=3 X而 2014=4X 503+2,•••点 •••点故选A 2014在y 轴的正半轴上， A 2014的纵坐标为3X ( -：) 20133本题考查了规律型：点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现 不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况•也考查了含30度的直角三角形三边的关系.2. ( 2014?山东潍坊)如图，已知正方形 ABCD ,顶点A(1 , 3)、B(1,1)、C(3,1).规定 把正方形 ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为()••• OA 2014=3 X (2013故答案为A.点评：此题考查了对称与平移的性质•此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2-n, —2）,当n为偶数时为（2 —n, 2）是解此题的关键.3. （2014?山东烟台）将一组数二，二，3, 2二，r,…，3 —i，按下面的方式进行排列：\ [3, 2「，「； _3 匚，&」，2「，3 二，不；若2二的位置记为（1 , 4） , 2 7的位置记为（2, 3）,则这组数中最大的有理数的位置记为（）A •（5, 2）B •（5, 3）C •（6, 2）D •（6, 5）考点：规律探索.分析：根据观察，可得帀，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案.解答：3不二」汀| 茁，3 ―|得被开方数是二得被开方数的30倍，3伍在第六行的第五个，即（6, 5）,故选：D •点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键.4. （2014?十堰）根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）考点：规律型：数字的变化类2013除以4,根据商和余数的情况解答分析：观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用即可.解答：解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2013 *503 …1 ,••• 2013是第504个循环组的第2个数，•••从2013到2014再到2015，箭头的方向是*4个数为一个循环组依次循环是解题点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每的关键.5. （2014?四川宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1, A2,…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A . n B. n - 1C.()n-1D.n考点：正方形的性质；全等二角形的判定与性质专题：规律型.分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n- 1）个阴影部分的和.解答：解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是“-1 ,5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1总，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为： 1 x （n - 1）=n —1.故选：B.点评：此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积.6. （2014?四川内江）如图，已知A i、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA仁A 1A2=A 2A3=-=A n A n+仁1，分别过点A i、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1, 连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点卩1、P2、P3、…、P n. △ A1B1P1、△ A2B2P2、△ A n B n P n 的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n,则S n 为（）A - 「订'^+1考点：一次函数图象上点的坐标特征.专题：规律型.分析：根据图象上点的坐标性质得出点B l、B2、B3、…、B n、B n+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S i、S2、S3、…、S n,进而得出答案.解答：解：T A i、A2、A3、…、A n、A n+1 是x 轴上的点，且OA i=A i A2=A2A3=・・=A n A n+1=1，分别过点A i> A2、A3、…、A n、A n+i作x轴的垂线交直线y=2x于点B i、B2、B3、…、B n、B n+1,••• B i的横坐标为：1，纵坐标为：2,则B i (1, 2),同理可得：B2的横坐标为：2,纵坐标为：4,则B2 (2, 4),B3 (2, 6)…T A i B i // A2B2 ,A iB i P i A2B2P i ,• \ '=A2B2,A iB iC i与厶A2B2C2对应高的比为：i : 2 ,•A i B i边上的高为：，•円C/X2==,同理可得出：乜八疔,u =,点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化故选；D.规律，得出图形面积变化规律是解题关键.二、填空题1. （2014?上海）一组数：2, 1 , 3, x , 7, y , 23 ,…，满足 从第三个数起，前两个数依次为 a 、b , 紧随其后的数就是 2a -b ”，例如这组数中的第三个数 “3是由“2X^1”得到的，那么这组数中y 表示 的数为 -9 . 考点：规律型：数字的变化类分析：； 根据 从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是 2a - b ,首先建立方程2X 3 -x=7 ,求得x ，进一步利用此规定求得 y 即可.解答：〕 1 解：T 从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是 2a - b••• 2X 3 - x=7/• x= — 1则7X2 — y=23 解得y= — 9.故答案为：-9.点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题.2. （2014?四川巴中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（ a+b ） n （n 为非负整数）的展开式中 a 按次数从大到小排列的 项的系数•例如，（a+b ） 2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如, （a+b ） 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字•请认真观察此 图，写出（a+b ） 4的展开式，（a+b ） 4= ______ .1 2 1133 1得（a+b ） 4的各项系数依次为1、4、6、4、1.解答： 4432 234 4 3 2 2 3 4(a+b ) =a +4a b+6a b +4ab +b .故答案为：a +4a b+6a b +4ab +b •点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子 寻找规律，是快速解题的关键.3. （2014?遵义）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90°算一次，则滚动第 2014次后，骰子朝下一面的点数是3 .分析： 由(a+b ) =a+b , (a+b ) 2=a 2+2ab+b 2, ( a+b ) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 可得(a+b ) n 的各项展考点：规律探索.开式的系数除首尾两项都是1夕卜，其余各项系数都等于（ a+b ） n -1的相邻两个系数的和，由此可考点：规律型：图形的变化类.分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的 变化规律，利用发现的规律求解即可.解答：解：观察发现：第一个图形有3疋-3+1=4个三角形； 第二个图形有3X 3 - 3+1=7个三角形； 第一个图形有 3X 4- 3+1=10个三角形；第n 个图形有3 （n+1）- 3+1=3n+1个三角形； 故答案为：3n+1 .点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现•对 于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.-5. （2014年湖北咸宁）观察分析下列数据：0,- 「；， '■,- 3, 2 「；，-••□, 3 '：,…，根据数据 排列的规律得到第16个数据应是 -3匚 （结果需化简）.考点： 算术平方根. 专题： 规律型.分析：通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（-1） 1+1 X 0, （- 1）2+1亦,（-1） S+WX2…（-严術X ㈡1）），可以得到第16个的答案.解答： 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：-(- 1) 2+1 —_, •(一严［n-i ：)，考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类.分析： 观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案. 解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， •/ 2014韶=503--2,•••滚动第2014次后与第二次相同， •••朝下的点数为3, 故答案为：3.点评： 本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律.4. （2014?娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成,…，则第n （n 为正整数）个图案由第一次 第二次第三次3n+1个▲组成.耳 ■::; I- ■■:第三个團案 第四个團案A A A AAAA•••第16个答案为：「心1 •-.故答案为：:点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律.6. (2014 ?江苏盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8, 4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n,则S n的值为2处5.(用含n的代数式表示，n为正整数)正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征.规律型.根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可.解答：解：•••函数y=x与x轴的夹角为45°•直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形, A ( 8, 4),•••第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为 1 ,,第n个正方形的边长为2n 1,由图可知，S1= X1 x|+ x (1+2) >2 - X (1+2) >2=,S2=“X4+X (2+4) X4- X (2+4) >4=8,,S n为第2n与第2n- 1个正方形中的阴影部分，本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方 形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影S n 所在的正方第五列17***•••数5与（1, 3）对应，数14与（3, 4）对应,考点： 规律型：数字的变化类.分析：根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第 一行的偶数列的数的规律，从而得出 2014所在的位置.解答：解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；•/ 45 >45=2025 , 2014在第45行，向右依次减小，••• 2014所在的位置是第 45行，第12列，其坐标为（45, 12）.故答案为：（45, 12）.点评：此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数 的规律是解决问题的关键.&（ 2014?四川遂宁）已知：如图，在△ ABC 中，点A 1, B 1, G 分别是BC 、AC 、AB 的中点，A ?, B 2, C 2分别是B 1C 1, A 1C 1, A 1B 1的中点，依此类推 ….若厶ABC 的周长为1,则厶A n B n C n 的周长为考点：- 三角形中位线定理. 专题：: 观律型.第2n 个正万形的边长为 2n-2 2n -2 4n -5 S n =?2 ?2 =2 故答案为：24n -5. 第2n - 1个正方形的边长为第一列 第二列 第三列 第四列 X™■帘一仃1 45 16 昴一仃 2 3 615 — X —■弟二仃 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13第五行•••表中数 2在第二行第 列，与有序数对（ 2, 1）对应,1_-.n —7. （2014?年山东东营）将自然数按以下规律排列: 根据这一规律，数 2014对应的有序数对为 （45,分析：由于A1、B1、C1分别是△ ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△ 人伯10“厶ABC，且相似比为，△ A2B2C2s' ABC的相似比为，依此类推△ A n B n C n S^ ABC的相似比为丄，解答：解：••• A l、B i、C i分别是△ ABC的边BC、CA、AB的中点，A iB i、A1C1、B iC i 是厶ABC 的中位线，•••△A i B i C i s' ABC，且相似比为，A?、B2、C2 分别是△ A i B i C i 的边B i C i、C i A i、A i B i 的中点，•△ A2B2C2S^ A i B i C i 且相似比为，A2B2C2s^ ABC的相似比为依此类推厶A n B n C n SA ABC的相似比为-L,2n•/△ ABC的周长为i ,••△ A n B n C n的周长为.2n故答案为_L.I 2n ___________________________________________________________________ 点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：9. （20i4?四川内江）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第20i4 个图形是口 .考点：规律型：图形的变化类.分析：去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，依次不断循环出现，由此用（20i4 - 2）七算出余数，余数是几，就与循环的第几个图形相同，由此解决问题.解答：解:由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，（20i4 - 2）书_335・・2所以第20i4个图形是与循环的第二个图形相同是正方形.故答案为：点评：此题考查图形的变化规律，找出图形的循环规律，利用规律解决问题.iO.（20i4?四川南充）一列数a i,a2,a3,…a.,其中a i=—i ,a2_〔 _ , a3= [ _ ，…，a n= - _1 31 1 巴2 L 巴n — i 贝V a i+a2+a3+…+a2oi4_ ___ .分析：分别求得a i、a?、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题.解: a i = - 1, a 2= ------------ =, a 3=----- '—=2, a 4= -------- '—= - 1, …，]_电1 1 _ a 2 1 _由此可以看出三个数字一循环， 2004+3=668,则 a i +a 2+a 3+・Ta 20i4=668 x( - 1++2) =1002 .故答案为：1002.点评：此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键.11. (2014?甘肃白银)观察下列各式：3 21 =1 21 +2 =3 21 +2 +3 =6 21 +2 +3 +4 =10 猜想 13+23+33+…+103= ______ 考点：规律型：数字的变化类.专题：压轴题；规律型.分析：13=12*3^3一小、2小21 +2 = (1+2) =3 1 +2 +3 = ( 1+2+3) =61 +2 +3 +4 = (1+2+3+4)=10 333 “3 , 、 2 21 +2 +3 + …+10 = ( 1+2+3 …+10) =55 .解答：解：根据数据可分析出规律为从 1开始，连续n 个数的立方和 所以 13+23+33+…+103= (1+2+3 …+10) 2=552. 12 . (2014?甘肃兰州)为了求 1+2+22+23+-+2100 的值，可令 S=1+2+22+23+ ••+21°°,则2 3 4 101 cc C c101 彳 片匚M C c101 彳 血彳 c c2 3 100 101 .牛2S=2+2 +2 +2 +-+2 ，因此 2S - S=2 - 1，所以 S=2 - 1,即卩 1+2+2 +2 + --+2 =2 - 1,仿 照以上推理计算1+3+32+33+・・+32014的值是 ____________________________________________ .(1+2+…+ n )点评：本题的规律为：从1开始，连续n 个数的立方和(1+2+…+ n )①式两边都乘以3,得2 3 2015 母3M=3+3 +3 +・・+3 ②.②-①得2015 ’2M=3 - 1 ,两边都除以2,得32015- 1-2015 _ 1故答案为：------------ .2点评：本题考查了有理数的乘方，等式的性质是解题关键.13. （2014?广东梅州）如图，弹性小球从点P （0, 3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…，第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是 ____________________________ ;点P2014的坐标是__________ .考点：规律型：点的坐标.分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.解答：解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0, 3）, 当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8, 3）;•/ 2014-6=335…4,•••当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹,点P的坐标为（5, 0）.故答案为：（8, 3）,（点评:此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键.。
2014年全国中考数学真题解析--38.规律探索(54页)
故选： C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出 ∠ DA2A 1，∠ EA 3A2 及∠ FA4A3 的度数，找出规律是解答此题的关键．
2．（ 2014?重庆 A , 第 11 题 4 分）如图，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组 成，其中，第（ 1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第（ 2）个图形中面积为 1 的正方形 有 5 个，第（ 3）个图形中面积为 1 的正方形有 9 个， …，按此规律．则第（ 6）个图形中面
交直线 y=2x 于点 B1、B 2、B3、…、Bn、Bn+1，连接 A 1B2、B 1A 2、B 2A 3、…、A nBn+1、BnA n+1，
依次相交于点 P1、P2、 P3、 …、 Pn．△ A 1B1P1、△ A 2B2P2、△ A nB nPn 的面积依次记为 S1、
S2、 S3、 …、Sn，则 Sn 为（
点 A2014 在 y 轴的正半轴上， 所以点 A2014 的纵坐标为 3×（ ）
2013． 解答： 解：∵∠ A2OC2=30°，OA1=OC2=3，
∴ OA2= OC2=3× ；
∵ OA2=OC3=3× ， ∴ OA3= OC3=3×（ ） 2； ∵ OA3=OC4=3×（ ）2， ∴ OA4= OC4=3×（ ） 3，
2. （ 2014?山东潍坊， 第 12 题 3 分）如图，已知正方形 ABCD ，顶点 A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规 定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折， 再向左平移 1 个单位 ”为一次变换． 如此这样， 连续经过
2014 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为 ( )
2013 ÷4=503…1， ∴ 2013 是第 504 个循环组的第 2 个数，
2014中考数学规律探索型问题
的末尾
二、填空题(每小题 5 分，共 25 分 ) 9．(2013· 江西)观察下列图形中点的个数，若按其 规律再画下去， 可以得到第 n 个图形中所有点的个数为 (n＋ 1)
2
(用含 n 的代数式表示)．
10． (15 分 )观察下列等式： 1 1 1 第 1 个等式：a1 ＝ ＝ ×(1－ )； 1× 3 2 3 1 1 1 1 第 2 个等式：a2 ＝ ＝ ×( － )； 3× 5 2 3 5 1 1 1 1 第 3 个等式：a3 ＝ ＝ ×( － )； 5× 7 2 5 7 1 1 1 1 第 4 个等式：a4 ＝ ＝ ×( － )； 7× 9 2 7 9 „„
2 2 3 3 4 4 5 5 22 ， 3 32 , 4 4 2 ， 5 52 ， 3 3 8 8 15 15 24 24 b b 2 109 若10 10 , 符合前面式子的规律， 则a b __________ 。 a a 4、已知： 2
11．(2013· 衡阳)观察下列按顺序排列的等式：a1＝ 1 1 1 1 1 1 1 1－ ，a2＝ － ，a3＝ － ，a4＝ － ，„，试猜想第 3 2 4 3 5 4 6 1 1 n 个等式(n 为正整数)an＝ － n n＋2 .
解析：观察可得，等式右边分数的分子都是 1，被 减数的分母比减数的分母小 2，且被减数的分母与左边 1 1 a 的序号相同，所以第 n 个等式 an＝ － . n n＋2
1 1 1 1 1 1 例3. 1 2 , 2 3 , 3 4 ,.... 3 3 4 4 5 5
请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等 1 1 式表示出来 n ． (n 1)
n2 n2
2014年全国中考数学试卷解析分类汇编(第四期)专题38 规律探索
规律探索一选择题二填空题1．（2014•浙江台州，第16题5分）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果y n=（用含字母x和n的代数式表示）．考点：分式的混合运算．专题：图表型；规律型．分析：将y1代入y2计算表示出y2，将y2代入y3计算表示出y3，归纳总结得到一般性规律即可得到结果．解答：解：将y1=代入得：y2==；将y2=代入得：y3==，依此类推，第n次运算的结果y n=．故答案为：点评：此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键．2. （2014•湖北潜江仙桃，第15题3分）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为5035．考点：规律型：图形的变化类．分析：根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．解答：解：由图形可得出：摆放一个矩形实线长为3，摆放2个矩形实线长为5，摆放3个矩形实线长为8，摆放4个矩形实线长为10，摆放5个矩形实线长为13，即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2，第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3，∵摆放2014个时，相等于在第1个的基础上加1006个2，1007个3，∴摆放2014个时，实线部分长为：3+1006×2+1007×3=5035．故答案为：5035．点评：此题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键．3. （2014•江苏淮安，第18题3分）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为．，则周长是原来的，则周长是原来的；面积的一半，即，则周长是原来的，则周长是原来的，周长是原来的，的周长为，故答案为：．4. （2014•常德，第16题3分）已知：=；=；计算：=；猜想：=．；+…+11+7+3=．6. （2014•铜仁，第18题4分）一列数：0，﹣1，3，﹣6，10，﹣15，21，…，按此规律第n的数为（﹣1）n﹣1．，由此得出答案即可．1．17. （2014•内蒙古赤峰，第16题，3分）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是800个．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入n=20即可求得答案．解答：解：第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；…第n个图形有2n2个小菱形；第20个图形有2×202=800个小菱形；故答案为：800．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．8．（2014•广东深圳，第16题3分）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有．考点：规律型：图形的变化类．分析：由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．解答：解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2=485．故答案为：485．点评：此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题．9.（2014•福建漳州，第16题4分）已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是．（用含n的代数式表示）考点：规律型：数字的变化类．分析：根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得答案．解答：解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是3n﹣1，故答案为：3n﹣1．点评：本题考查了数字的变化类，规律是第几个数就是3的几次方减1．10.（2014•北京，第12题4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P （﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为，点A2014的坐标为；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为．，，11.（2014•甘肃天水，第18题4分）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（）．12．（2014•齐齐哈尔，20题3分）如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为（﹣22014，0）．考点：规律型：点的坐标．分析：根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点A2014的坐标位置，进而得出答案．解答：解：∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，∴每4次循环一周，A1（0，﹣2），A2（﹣4，0），A3（0，8），A4（16，0），∵2014÷4=503…2，∴点A2014的坐标与A2所在同一象限，∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，∴点A2014（﹣22014，0）．故答案为：（﹣22014，0）．点评：此题主要考查了点的坐标变化规律，得出A点坐标变化规律是解题关键．13．（2014•莆田，第16题4分）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．x的横坐标为：的横坐标为：=×，，2，，20142014三解答题。
2014年数学中考二轮专题复习课件：规律探索型问题
跟踪练习： (2013·日照)如图，下列各图形中的三个 数之间均具有相同的规律． 根据此规律， 图形中 M 与 m，
n 的关系是 (
D
)
A． M＝ mn C． M＝ mn＋1
B．M＝n(m＋ 1) D． M＝ m(n＋1)
解法一：验证法：A 中等式不满足第一个图形，故 排除 A；B 中等式不满足第一个图形，故排除 B；C 中等 式不满足第二个图形，故排除 C；故选 D. 解法二：观察每个图形中三个数字之间的关系，可 知 1×(2＋ 1)＝ 3,3× (4＋ 1)＝15,5×(6＋ 1)＝ 35， 故M 与 m， n 的关系是 M＝ m(n＋ 1)．故选 D.
题型分类 深度剖析
考点一、数字类规律探索问题
例 1 (2013 年浙江湖州)如图将续正整数按以下规
85 律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是__________ ．
解：第一行的第一列与第二列差2，第二列与第三列差3， 第三列与第四列差4，…，第六列与第七列差7； 第二行的第一列与第二列差 3，第二列与第三列差 4，第三 列与第四列差5，…，第五列与第六列差7； 第三行的第一列与第二列差 4，第二列与第三列差 5，第三
解：连接 AC，BD，根据菱形和矩形及三角形的中位线定理可得， 矩形 A1B1C1D1 的周长为 2(5＋5 3)，菱形 A2B2C2D2 的周长为 20， 矩形 A3B3C3D3 的周长为 5＋5 3，菱形 A4B4C4D4 的周长为 10，矩形 5＋ 5 3 A5B5C5D5 的周长为 ，菱形 A4B4C4D4 的周长为 5，……所以四 2 边形 A2 2
答案：(8052,0)
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
安徽省2014年中考数学专题复习课件 专题4 规律性探索题
专题四┃ 规律性探索题
专题四┃ 规律性探索题
二、 数式与图形的结合
例 2 [2013· 安徽] 我们把正六边形的顶点及其对称中 心称作如图 X4－1(1)所示基本图的特征点，显然这样的基 本图共有 7 个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得 相邻两个基本图的一边重合，这样得到图(2)、图(3)…….
一、 数字变化型
例 1 [2012· 汕头] 观察下列等式： 1 1 1 第 1 个等式：a1＝ ＝ ×1－ ； 1×3 2 3 1 1 1 1 第 2 个等式：a2＝ ＝ × － ； 3×5 2 3 5 1 1 1 1 第 3 个等式：a3＝ ＝ × － ； 5×7 2 5 7 1 1 1 1 第 4 个等式：a4＝ ＝ × － ； 7×9 2 7 9 …
1 奇数的乘积；也可以写成两个分数的乘积，其中一个因数是 ，另一个因数是 2 两个分数的差，且分母与前面的分母对应一致． 1 1 1 1 (2)根据前面 4 个等式的排列规律，第 5 个等式为 a5＝ ＝ ×9－11. 9×11 2 1 (3)采用由特殊到一般的思想，可得 an＝ ＝ （2n－1）×（2n＋1） 1 1 1 － (n 为正整数)． 22n－1 2n＋1 1 (4)把 a1，a2，a3，…，an 写成分数的差的形式，提取 后，采用互为相反 2 数相加的方法求解． (5)从特殊到一般、逆用乘法分配律．
专题四┃ 规律性探索题
请回答下列问题： (1) 按 以 上 规 律 列 出 第 5 个 等 式 ： a5 ＝ ________ ＝ ________； (2)用含 n 的代数式表示第 n 个等式：an＝________＝ ________(n 为正整数)； (3)求 a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100 的值．
2014年全国中考数学真题分类解析汇编(整式与因式分解)
2014年全国中考数学真题分类解析汇编（整式与因式分解）
一、选择题1. （ 2014 安徽省,第2题4分）x2ox3=（）A． x5 B． x6 C． x8 D． x9考点同底数幂的乘法．分析根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即amoan=am+n计算即可．解答解x2ox3=x2+3=x5．故选A．点评主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2. （ 2014 安徽省,第4题4分）下列四个多项式中，能因式分解的是（）A． a2+1 B． a2﹣6a+9 C． x2+5y D． x2﹣5y考点因式分解的意义分析根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．解答解A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；。
2014年数学中考二轮专题复习讲义：规律探索型问题
2014年数学中考二轮专题复习讲义：规律探索型问题【考纲要求】规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
【命题趋势】规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答。
题型分类、深度剖析：考点一、数字类规律探索问题例 1 (2013 年浙江湖州)如图将续正整数按以下规律排列，则位于第 7 行第 7 列的数x 是__________．解：第一行的第一列与第二列差2，第二列与第三列差3，第三列与第四列差4，…，第六列与第七列差7；第二行的第一列与第二列差 3，第二列与第三列差 4，第三列与第四列差5，…，第五列与第六列差7；第三行的第一列与第二列差 4，第二列与第三列差 5，第三列与第四列差 6，第四列与第五列差7；…第七行的第一列与第二列差8，是30，第二列与第三列差9，是39，第三列与第四列差10，是49，第四列与第五列差11，是60；第五列与第六列差12，是72，第六列与第七列差13，是85.另解，供参考．观察对角线上数字的规律，1,5,13,25，…，后一项比前一项依次多 4,8,12，…，∴x ＝25＋16＋20＋24＝85，即 x ＝85.答案：85归纳：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是得到每一行中前一列与后一列的关系.考点二、图形类规律探索问题例2 (2013·衢州)如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°.顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是_______；四边形A 2 013B 2 013C 2 013D 2 013的周长是_______．解：连接AC ，BD ，根据菱形和矩形及三角形的中位线定理可得，矩形A 1B 1C 1D 1的周长为2(5＋53)，菱形A 2B 2C 2D 2的周长为20，矩形A 3B 3C 3D 3的周长为5＋53，菱形A 4B 4C 4D 4的周长为10，矩形A 5B 5C 5D 5的周长为5＋532，菱形A 4B 4C 4D 4的周长为5，……所以四边形A 2 013B 2 013C 2 013D 2 013的周长即为第1 007个矩形的周长为25＋5321 006.故填20，5＋532. 归纳：图形中既有矩形又有菱形，序号为奇数的是矩形，序号为偶数的是菱形；后面每一个小矩形的面积都是前一个矩形面积的一半，后面每一个小菱形的面积都是前一个菱形面积的一半；由四边形的序号先确定是矩形还是菱形，再根据图形面积与序号之间的关系求出相应的面积.跟踪练习：1、(2013·日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是( )A ．M ＝mnB ．M ＝n (m ＋1)C ．M ＝mn ＋1D ．M ＝m (n ＋1)2、(2013 ·兰州)如下图 ，在下面直角坐标系中，已知点 A (－3,0)，B (0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2013的直角顶点的坐标为_______．3、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n （n 是正整数）个图案中由 3n+1 个基础图形组成．4、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）A ．第502个正方形的左下角B ．第502个正方形的右下角C ．第503个正方形的左上角D ．第503个正方形的右下角5、 如图，已知△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（ ）A ．91B ．101C ．9)21(D ．10)21( 6、探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）A ．B ．C ．D ．。
2014年全国中考数学试卷分类汇编：阅读理解、图表信息【含解析】
阅读理解、图表信息一、选择题1. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )A ．(—2012,2)B ．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD ，点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．∴M 的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）故答案为A ．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.（2014山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列1S ：（2，2，1，2，2）．若0S 可以为任意序列，则下面的序列可以作为1S 的是A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）【解析】由于序列0S 含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A ，B 中所给序列不能作为1S ； 又如果1S 中有3，则1S 中应有3个3，所以C 中所给序列也不能作为1S ，故选D ．二、填空题1．（2014•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．=××+=三、解答题1. （2014•四川巴中，第22题5分）定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．考点：新定义．分析：首先根据运算的定义化简3△x，则可以得到关于x的不等式组，即可求解．解答：3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根据题意得：，解得：＜x＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．2.（2014•湖南张家界，第23题，8分）阅读材料：解分式不等式＜0解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1请仿照上述方法解下列分式不等式：（1）≤0（2）＞0．或②或②3.（2014•江西抚州，第24题，10分）【试题背景】已知：∥m∥n∥，平行线与m、m与n、n与之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、m、n、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.【探究1】 ⑴ 如图1，正方形ABCD 为“格线四边形”，BE l ⊥于点E ,BE 的反向延长线交直线于点F . 求正方形ABCD 的边长.【探究2】 ⑵ 矩形ABCD 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形ABCD 的宽为--------------------2. (直接写出结果即可)【探究3】 ⑶ 如图2，菱形ABCD 为“格线四边形”且∠ADC =60°，△AEF 是等边三角形，AE ⊥k 于点E ， ∠AFD =90°，直线DF 分别交直线、于点G 、M . 求证：EC DF =.【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形ABC 的顶点A 、B 分别落在直线、上，AB ⊥k于点B ，且AB =4 ，∠A C D =90°，直线CD 分别交直线、于点G 、M ，点D 、E 分别是线段GM 、BM 上的动点，且始终保持AD =AE ，DH l ⊥于点H .猜想：DH 在什么范围内，BC ∥DE ？并说明此时BC ∥DE 的理由.解析：(1) 如图1，∵BE ⊥l , l ∥k ,∴∠AEB=∠BFC=90°,又四边形ABCD 是正方形，∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,∴⊿ABE ≌⊿BCF(AAS),∴AE=BF=1 , ∵BE=d 1+d 2=3 , ∴=,.(2)如图2,3，⊿ABE ∽⊿BCF,∴BF BCAE AB ==21 或BF BC AE AB ==12∵BF=d 3=1 ,∴AE=12 或AE =2∴AB==2 或AB==∴矩形ABCD 的宽为2(注意：要分2种情况讨论）(3)如图4，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=DC,又∠ADC=60°,∴⊿ADC 是等边三角形，∴AD=AC ，∵AE ⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，∵⊿AEF 是等边三角形， ∴ AF=AE,∴⊿AFD ≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.(4)如图5，当2＜DH ＜4时， BC ∥DE .理由如下：连接AM,∵AB ⊥k , ∠ACD=90°,∴∠ABE=∠ACD=90°,∵⊿ABC 是等边三角形，∴AB=AC ,已知AE=AD, ∴⊿ABE ≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD ；在Rt ⊿ABM 和Rt ⊿ACM 中，AB ACAM AM=⎧⎨=⎩ ，∴Rt ⊿ABM ≌Rt ⊿ACM(HL), ∴ BM=CM ；∴ME=MD,∴ME MD MB MC= , ∴ED ∥BC. 4. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x 的函数y=2kx 2﹣（4kx+1）x ﹣k+1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．=﹣销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。
2014年中考试题分类汇编(规律探索问题)
2014年中考试题汇编（规律探索问题）一、选择题 1、（2014山东济宁）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）。
B2、（2014江苏泰州）按右边33⨯方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（ ）A3、（2014湖南湘潭）为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A A ．26n + B ．86n + C ．44n + D ．8n4、（2014湖南株州）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）CA. 31B. 33C. 35D. 37二、填空题 1、（2014辽宁沈阳）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．501、（2014山东日照）把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，… … … …按此规律，可知第n 行有 个正整数．2n-12、（2014重庆）将正整数按如图所示的规律排列下去。
若用有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 。
233、（2014福建晋江）试观察下列各式的规律，然后填空：(第01题图) A B C D112351)1)(1(2-=+-x x x 1)1)(1(32-=++-x x x x1)1)(1(423-=+++-x x x x x ……则=++++-)1)(1(910x x x x _______________。
111-x 。
4、（2014内蒙古赤峰）观察下列各式：22151(11)1005225=⨯+⨯+= 22252(21)1005625=⨯+⨯+= 22353(31)10051225=⨯+⨯+=……依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为 ．22(105)(1)1005n n n +=+⨯+ 5、（2014浙江温州）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。
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规律探索
一、选择题
1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定
规律排列的，那么这一组数的第n个数是．
个数是．
故答案为：
个图中共
二.填空题
1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．
=OA=；=，=OA
OA；
，OA
2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是（，）．
考点：规律型：点的坐标；等边三角形的性质．菁优网
分析：根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和
P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．
解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是
，
故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，
P6的纵坐标为，
故答案为：（，）．
点评：本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．
3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空
（1﹣）=•=；
（1﹣）（1﹣）=•••==
（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；
…
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果． 解答： 解：（1﹣）（1﹣）（1﹣
）（1﹣
） (1)
）
=••••••…
=
．
故答案为：
．1次C 点向右这样至少移动 28
≥
；．
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 10
先计算得到=10=10，=100=10
=1000=10，=1000=10
=1000=104，（
（
（
根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是（用含n的代数式
个数是．
故答案为：
AB1C1
A1B1C2（，
解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，
∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．
点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．
1. （2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4×42=17；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式．菁优网
分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42=17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，
左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，
右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．
左边=右边
∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．
点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．。