【解析】【2014潍坊市一模】山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试 数学(理)试题

山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1．若复数2满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) (A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l)
2．设全集U=R ，集合A={|21x
x >}，B={||2|3x x -≤}，则U ()A B ð等于( ) (A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]
3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4．若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )
(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22
(2)(3x y -+=
(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22
(2)(4x y -+= 【答案】D 【解析】
试题分析：因为圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线2x =，又圆与y 轴相切，所以半径2r =，
设圆心坐标为()2,b ，则()2
2
213b -+=，2
3,3b b ==±，所以答案应选D.
考点：圆的标准方程.
5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014
【答案】A
6．函数||
x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是( )
7．三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB= BC=1，则球O的表面积为( )
(B) 3
2
π (C) 3π (D) 12π
【答案】C 【解析】
试题分析：因为AB BC ⊥，所以AC 是ABC ∆所在截面圆的直径， 又因为SA ⊥平面ABC ，所以SAC ∆所在的截面圆是球的大圆 所以SC 是球的一条直径
由题设1SA AB BC ===，由勾股定理可求得：AC SC =
=
所以球的半径R =
所以球的表面积为2
432ππ⎛⨯= ⎝⎭
所以应选C.
考点：1、圆内接几何体的特征；2、球的表面积公式. 8．设0
(sin cos )k x x dx π
=
-⎰
，若8280128(1)...kx a a x a x a x -=++++，
则1238...a a a a ++++=( )
(A) -1 (B) 0 (C) l (D) 256 【答案】B 【解析】 试题分析：()00
(sin cos )cos sin |k x x dx x x π
π=
-=--⎰
=cos sin cos0sin02ππ--++=
9．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨
-<⎩
设2
()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k
=+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )
(A)(-2，1) (B)[0，1] (C)[-2，0) (D)[-2，1)
考点：1、新定义；2、分段函数；3、数形结合的思想.
10．如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2
=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )
(A)
1
3
(B) 3
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
12．若x、y满足条件
y2||1
1
x
y x
≥-
⎧
⎨
≤+
⎩
，则z=x+3y的最大值为
【答案】11
【解析】
试题分析：不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：
13．若(0,)2
π
α∈，则
22sin 2sin 4cos α
αα
+的最大值为 ．
【答案】
12
【解析】
试题分析：()0,
,tan 0,2παα⎛⎫
∈∴∈+∞ ⎪⎝
⎭
22222sin 22sin cos 2tan sin 4cos sin 4cos tan 4
αααα
ααααα⋅∴
==
+++
=
2142
tan tan αα
≤
=+
当且仅当4
tan tan αα=
，即tan 2α=时，等号成立 所以，答案应填1
2
考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式；3、基本不等式.
14．如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 ．
15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，
2()log (1)f x x =-
给出以下4个结论：
①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为 【答案】①②③ 【解析】
试题分析：由题设()y f x =为奇函数，其图象关于原点中心对称，
又对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--，所以其图象还关于点()1,0，据此可判断函数()f x 为周期函数，最小正周期2T =，又当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-，因此可画出函数()f x 的图象大致如下图一所示，函数|()|y f x =的图象如下图二所示，函数(||)y f x =的图象如下图三所示，
由图象可知①②正确，④不正确；
另外，当()1,0x ∈-时，()22,3x -∈
所以，()()()222log 21log 1f x x x -=--=- 又因为()f x 是以2这周期的奇函数 所以，()()()2f x f x f x -=-=- 所以，()()2log 1f x x -=-
所以，()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-，所以③也正确 故答案应填：①②③
考点： 函数的图象与性质的综合应用
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．(本小题满分l2分) 已知函数()sin cos f x x x =+．
(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；
(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m =(a ，b)，n =(f (C),1)且m //n ，求B ． 【答案】(I)0,
4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,24ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；(Ⅱ) 4B π=
又[]0,2,x π∈
()f x ∴在[]0,2π上的单调递增区间为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,24ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，………………………………6分
17．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥E-ABCD 中， EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AD=BC=12AB ，∠ABC=3
π． (I)求证：∆BCE 为直角三角形；
(II)若AE=AB ，求CE 与平面ADE 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程详见解析【解析】
试题分析：(I)由于EA ⊥平面ABCD ,可证EA BC ⊥,欲证BCE ∆为直角三角形,只需证AC BC ⊥;在
ABC ∆,根据现有条件,利用余弦定理不难证明.
(II)由(I)知：,AC BC AE ⊥⊥平面ABCD ，
以点C 为坐标原点，,,CA CB AE
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系C xyz -……………………………………………………5分
设BC a =，则2,AE AB a AC ===
如图2，在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG AB ⊥于G ，则1
,22
GB a CD AB GB a =∴=== 过点D 作DH BC ⊥于H ，由(I)知，60DCH ∠=
,,022a
a DH CH D ⎫∴=
=∴-⎪⎪⎝⎭………………………………………………7分
18．（本小题满分12分）
某次数学测验共有l0道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对l道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．
(I)求该考生本次测验选择题得50分的概率；
(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．
(Ⅱ)该考生所得分数30,35,40,45,50X =…………………………………………………………5分
()2
2
111301239P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
……………………………………………………………………6分
()2
22
112
212112135232333P X C C ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
………………………………………………7分
()2
2
2
2
2
1122121121113
40232332336P X C C ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
…………………………8分 ()2
2
2
112
211112145232336P X C C ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…………………………………………9分
()2
2
111502336
P X ⎛⎫
⎛⎫
==⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ 所以，该考生所得分数X 的分布列为
…………………………………………………………………………………………………………10分
111311115
303540455093366363
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
……………………………………12分 考点：1、独立重复试验；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.
19．(本小题满分12分)
已知数列{n a }的前n 项和2
1n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n
n n n b n a na ++⋅=+-，且13b =． (I)求n a ，n b ；
(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ，并求满足n T <7时n 的最大值．
()()()1143
31232143,3
n n n n
n b n n n n n b +++∴⋅=++-+=+∴=
当2n ≥时，1413n n n b --=，又13b =适合上式，141
3n n n b --∴=……………………6分
(Ⅱ)由(I)知141
3
n n n b --=，
22137114541
13333n n n n n T ----∴=+++++ …………①………………………………7分
231137114541
333333
n n n n n T ---=+++++ …………②………………………………8分
20．(本小题满分l3分)
已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为θ，且tan θ=．以
双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ． ( I )求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为1
4
-，问直线PQ 是否恒过定点?若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．
【答案】( I ) 22
143
x y += ； (Ⅱ) 直线PQ 恒过定点()1,0. 【解析】
试题分析：( I ) 由双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为c =，
由tan θ=
可得：b a =222
a b c +=易求224,3a b ==，从而由题意可得椭圆E 的标准方程.
(Ⅱ) 在( I )的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+ 由22
143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得()2223484120,k x kmx m +++-=： 设()()1122,,,P x y Q x y 则2121222
8412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++…………………………6分 又()2,0A -,由题意知12121224
AP AQ y y k k x x ⋅=⋅=-++ 则()()12122240,x x y y +++=且122x x ≠-…………………………………………7分
21．(本小题满分14分)
已知函数3
()f x x x =-
(I)求函数()y f x =的零点的个数； (Ⅱ)令2()ln
g x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意(1,),(0,1)t s ∈+∞∈，求证：1()()2.g t g s e e ->+-
【答案】(I) 2 (Ⅱ) 12a e e >+
- 【解析】
试题分析：(I)首先确定函数的定义域,并利用导数研究函数3()f x x x =-,结合函数的特殊值,由函数零点存在性定理可判定零点的个数.
(Ⅱ) 首先确定函数()y g x =的定义域,化简其解析表达式，并求其导数，根据可导函数极值存在的条件将问题转化为()y g x = 的导函数在区间10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内有零点，可利用一元二次方程的根的分布理论去解决.
(Ⅲ)要证对任意(1,),(0,1)t s ∈+∞∈1
()()2.g t g s e e
->+-即证()y g x =在(1,)+∞上的最小值m 与()y g x =在(0,1)上的最小值M 之间满足关系12.m M e e
->+-对此只要利用导数分别研究函数上述两个区间上的最值即可.
试题解析：(I) ()00f = ，0x ∴=为()y f x =的一个零点…………………………………1分 当0x >时，()21,f x x x
⎛
=- ⎝设()21x x ϕ=- ()()
20,x x x ϕϕ'=>∴在()0,+∞单调递增.……………………………………………………2分
又()()110,230
ϕϕ=-<=>故()x ϕ在()1,2内有唯一零点. 因此()y f x =在[)0.+∞有且仅有2个零点.………………………………………………………………4分
(Ⅲ)由 (Ⅱ)可知,当()21,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减,
()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增,
故()y g x =在()1,+∞内的最小值为()2g x 即当()1,t ∈+∞时,()()2g t g x ≥………………………………………………………………10分 又当()10,x x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,()1,1x x ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减, 故函数()y g x =在()0,1内的最大值为()1g x 即对任意()0,1s ∈，()()1g s g x ≤………………………………………………………………11分。