数学物理方法留数定理实积分

2i
2 iz
d = dz ,
iz
cos=1(ei+ei)= z 2 + 1 ,
2
2z
当 历经变程 [0,2π]时,
z 沿单位圆周 z = 1的正方向绕行一周.
所 R f 以 ( z e )0 ] , = s c 1 [ = 41!
=
1. 24
21
例4
计算积分
C
z(
ez z
1)2dz,
C为正向圆周:
z = 2.
解 z=0为一级极点, z=1为二级极点,
R[ef(sz)0,]=lz i0m zz(ze z1)2dz
ez
=
lim
z0
(z
1)2
= 1,
Rfe (z)1 s ],= [ (2 1 1 )lz !1 id d m z (z 1 )2z (z e z1 )2
记作
Ref(sz)[ ,]=21 iC f(z)dz=21i
C
f
(z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[f (z),]= a1
= a1
13
2.定理二 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
孤立奇点, 那么 f (z) 在所有的奇点 (包括点)
的留数的总和必等于零.
证 .
.z1 .z 2
Rfe (z)sz,0] [= z l iz0(m z z0)f(z).
8
•规则2 如果 z 0 为 f (z)的 m级极点, 那么 Rfe (z)s z0 ,]= [(m 1 1 )lz !z i0d d m z m m 1 1 [z( z0 )m f(z)]. 证 f (z) = am (z z0 )m + L + a2(z z0 )2 +
点的一条正向简单闭曲线, 那么
n
f(z)dz=2i Ref(sz)[z,k].
C
k=1
说明: 1. f (z)在C上及 C内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
6
证 如图
f (z)dz =f(z)d z+f(z)d z+ L +f(z)d z
C
可见, 利用无穷远点的留数更简单.
例6 计算积分 C (z+i)10(zd z1)(z3),
C为正向圆周 : z = 2. 解 被积函数 f(z)=(z+i)1(0z11)z(3)除
点外, 其他奇点为 i,1,3.
26
则 Re f(zs) [,i]+Rfe(zs )1 ,[] +Rfe(zs )3 ,][+Re f(zs ) ,[]= 0 .
C
C
C
0 (基本柯西定理)
= 2ia1 罗朗级数中负幂项 a1(z z0 )1的系数
4
即
a1
=
1 2i
C
f
( z )dz
=Rfe(z)sz,0 [] f(z)在z0的留数
定义 如果 z0为函f数 (z)的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去 0心 zz0 邻 R域 内包含 z 0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
20
例3
求
f
(z)
=
ez z5
1
在
z=0的留数.
解 z=0是 f (z)的四级极点.
在 0z+内将 f (z) 展成罗朗级数:
e z z 51 = z 1 5 1 + z+ z 2 2 !+ z 3 3 !+ z 4 4 !+ z 5 5 !+ z 6 6 !+ L 1
=z 1 4+2 !1 z3+3 !1 z2+4 1 !z+5 1 !+6 z!+ L ,
+ a1(z z0 ) + L + ak (z z0 )k + L
3
积分 f(z)dz
C
= L + ak (z z0 )k dz + L + a1 (z z0 )1dz + L
C
C
(重要结论)
2i
0
+ a0dz + a1(z z0 )dz + L + ak (z z0 )k dz + L
z
C
z
4
1
dz
= 2 i R f ( z ) 1 e ] + , R sf ( z [ ) e 1 ] ,s[
+ R f ( z ) e i ] + ,R sf [ ( z ) e i ] , s[
由规则3
P(z) z 1 Q(z)=4z3 =4z2 ,
25
C
z z4 1dz
=2i 1 4+1 41 41 4 =0.
由于 i 与 1在C的内部,
所以
dz
C (z+i)10(z1)(z3)
= 2 i { R f ( z ) e i ] ,+ s R [ f ( z ) e 1 ] ,s }[
= 2 i { R f ( z ) e 3 ] + ,R sf [ ( z ) e ] ,s }[
=2i2(3+1i)10+0=
在 1
z = 2 的外部, 除
点外没有
其他奇点.
C
z
4
z
1
dz
= 2 iR f( z e ) ,s
z =z3 1 =z3(1)k (2z )
z41
1z14
k=0 z4
z
C
z4
1
dz
=0.
24
与以下解法作比较 : 被积函数 z 有四个一级极点 1,i都 z4 1
在圆周 z = 2 的内部 , 所以
(3
i + i)10
.
27
4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定 积分
原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积 分联系起来。
留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定 积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就 要利用解析延拓的概念。
28
b
如图，对于实积分 f ( x ) d x，变量 x 定义在闭区间 a
C
以 2i 后所得的数称为 f(z)在z0的留. 数
记作 Ref(sz)[z,0].(即f(z)在z0为中心的圆环
域内的罗朗级数中负 幂项a1(z z0 )1的系数 .)
5
二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1,z2,L ,zn外处处解析, C 是 D内包围诸奇
.z k .
. C (绕原点的并将 z k包含在 . 内部的正向简单闭曲线)
由留数定义有:
n
Re f(zs) [,]+ Re f(zs)z[,k]
k=1
=21 iC 1f(z)dz+21 iC f(z)dz=0.
[证毕]
14
说明: 由定理得
n
Re f(zs)z [,k]= Re f(zs) [,],
k= 1
n
f(z)dz=2i Re f(zs)z[,k] (留数定理)
C
k=1
= 2 iRfe (z ) s ,][.
计算积分 f (z)dz
计算无穷远点的留数.
C
优点: 使计算积分进一步得到简化.
(避免了计算诸有限点处的留数)
15
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
Refs([z),]=Resf1z,0 说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线
积分的又一种方法:
Cf(z)dz=2iResf1z,0
在很多情况下此法更为简单.
16
四、典型例题
例1
求
f
(z)
=
ez zn
在
z=0的留数.
解 因z为 =0是f(z)的 n阶极点，
所以Reseznz
,0
=(n 11)l!z i0m d dznn 11znezn z
=1. (n 1)!
17
例2 求 f(z)=Q P((zz))=zzs6inz在 z=0的留数.
= (m 1)!a1 +(含有 z z0正幂的项)
dm1
lim
z z0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)] =
(m
1)!a1,
所以 Res[ f (z), z0 ] = a1 =(m 1 1)lz! iz0m d d zm m 11[z(z0)mf(z)]. [证毕]
10
•规则3
设
f
(z)
C 1
C 2
C n
C
.z n
两边同时除以 2i且
z1 . .z 2
L
D
2 1 iC 1f(z) d z+ 2 1 iC 2f(z)d z+ L + 2 1 iC nf(z) d z
= R f ( z ) z 1 ] + R e ,f ( z ) z s 2 ] + L e , + [ R f s ( z ) z n ] [ e , s
n
=Refs([z),zk] 即可. 得
k=1
[证毕]
7
2.留数的计算方法
(1) 如果 z 0 为 f (z) 的可去奇点, 则 Rfe (z)s z 0 ,]= [0 . (2) 如果 z 0 为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成罗朗级数求 a1
(3) 如果 z 0 为 f (z)的极点, 则有如下计算规则 •规则1 如果 z 为0 f (的z)一级极点, 那么
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z 0 为 Q ( z ) 的一级极点.
11
因此 1 = 1 (z),
Q(z) zz0
其中(z)在 z 0 解析且(z0)0,
f(z)= 1 P(z)(z).
zz0 在 z 0 解析且 P (z0)(z0)0.
所以z0 为 f (z) 的一级极点, R [f(z e )z 0 ,s ]= l z z 0 i(z m z 0 )f(z )=zl imz0(zz0)QP((zz))
+ a1(z z0 )1 + a0 + a1(z z0 ) + L
(z z0)m f (z) = am + am+1(z z0) +L+ a1(z z0)m1
+ a0(z z0 )m + a1(z z0 )m+1 + L
9
两边求 m1阶导数,
得 ddzmm11[(zz0)mf(z)]
=
P(z), Q(z)
P(z) 及
Q(z)
在
z
0
都解析，
如果 P ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) = 0 , Q ( z 0 ) 0 ,那么 z 0 为
f (z) 的一级极点, 且有 Refs(z[),z0]=Q P((zz00)). 证 因 Q ( z 0 ) = 为 0 ,Q ( z 0 ) 0
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。 重点： 留数的计算与留数定理 难点： 留数的计算与留数定理
2
4.1 留数定理
一、留数引入
设 z 0 为 f (z)的一个孤立奇点;
.z 0
l l0
z 0 的某去心邻域 0zz0R 邻域内包含 z 0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0zz0R内的罗朗级数: f (z) = L + ak (z z0 )k + L + a1(z z0 )1 + L + a0
允许的情况下，可以自由选择，通常选择l2 使积分最
易完成。
29
一、形如 02πR(co,ssin)d的积分
思想方法 : 把定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
30
形如 02πR(co,ssin)d
令z=ei dz=ieid
sin=1(eiei)= z 2 1 ,
22
=
d lim z1 dz
ez z
=
lzim1 ez(zz21)
=
0,
所以Cz(zez1)2dz
= 2 i R f ( z ) e 0 ] + ,R sf ( [ z ) e 1 ] ,s[
=2i(1+0) =2i.
23
例5
计算积分
C
z
4
z
1
dz
,
C为正向圆周:
z = 2.
解
函数
z z4
18
解 如果利用罗朗展开式求c 1 较方便:
zzs6izn =z16zzz33 !+z55 !L = 1 [z3 z5 +L], z6 3! 5!
R z e zs s6iz,n 0 =c 1=5 1 !.
19
说明:在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z 0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开罗朗级数求 c 1 来计算留数 .
= lim[(zz0)P(z)]'= P(z0) .
zz0 Q(z)'
Q(z0)
12
三、在无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 Rz+ 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
那 末 积 分 21 iC 1f(z)dz的 值 与 C 无 关 ， 则称此定值
为f(z)在点的留数，
分析 P ( 0 ) = P ( 0 ) = P ( 0 ) = 0 , P(0)0. z=0是 zsizn的三级零点
所以 z=0是f(z)的三级极 由规点则， 2得 Rfe (z)s 0 ] ,= [(3 1 1 )lz !i0d d m z 2 2 z3z z s 6iz n . 计算较麻烦.
[a,b] (线段l1 )，此区间应是回路l=l1+l2的一部分Fra Baidu bibliotek实 积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复
平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路
积分的一部分：
l2
a
0 l1 b
b
f(z)dz= f(x)dx+ f(z)dz
l a
l2
左边可以利用留数定理，右边对l2 的积分在解析延拓