北师大版必修5高中数学第二章解三角形的实际应用举例word教案2

§3 解三角形的实际应用举例

教学目标

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点

1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

=== 2、余弦定理：,cos 22

2

2

A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 2

22-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=，⇔ab

c b a C 2cos 2

22-+=

二、例题讲解

引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为/

3018,经过960s （秒）后又看到山顶的俯角为0

81, 求山顶的海拔高度（精确到1m ）. 例1 曲柄连杆机构

当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复直线运动。当曲柄在0CB 时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A

在0A 处。设连杆AB 长为lmm ，曲柄CB 长为rmm ，r l >

（1）当曲柄自0CB 按顺时针方向旋转θ度时，其中0

3600<≤θ，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A A 0）。

（2）当mm l 340=，mm r 85=，0

80=θ时，求A A 0的长（结果精确到mm 1） 分析：不难得到，活塞移动的距离为

易知r l BC AB C A +=+=0 所以，只要求出AC 的长即可，在

ABC ∆中，已知两边和其中一边的对角，可

以通过正弦定理或余弦定理求出AC 的长

解：（1）设x AC =，若00=θ，则00=A A ，若0

180=θ，则rmm A A 20=

若0

01800<<θ，在ABC ∆中，由余弦定理得： 即：0)()cos (22

2

2

=---r l x r x θ

解得：mm r l r r l r r x )sin cos ()cos (cos 2222221θθθθ-+=-++=

0)cos (cos 2222<-+-=r l r r x θθ（不合题意，舍去）

若0

360180<<θ则根据对称性，将上式中的θ改为θ-0

360即可 有：)(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=

总之，当0

3600<≤θ时，)(sin cos (2

220mm r l r r l A A θθ---+=

（2）当mm l 340=，mm r 85=，0

80=θ时，利用计算器得：

答：此时活塞移动的距离约为mm 81

例2：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点C B ,分别在A 的正东方km 20和km 54处，某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，s 8后监测点A ，s 20后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是s km /5.1

（1）设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示C B ,到P 的距离，并求x 的值

（2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到km 01.0） 分析：（1）PC PB PA ,,长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来

（2）作a PD ⊥，垂足为D ，要求PD 的长，只需要求出PA 的长和APD ∠cos ，即

PAB ∠cos 的值，由题意，PB PC PB PA --,都是定值，因此，只需要分别在PAB ∆和

800

B 0

A 0C

B A

PAC ∆中，求出PAB ∠cos ，APC ∠cos 的表达式，建立方程即可

解：（1）依题意，km PB PA 1285.1=⨯=-，km PB PC 30205.1=⨯=-

因此：km x PB )12(-=，km x PC )18(+=，在PAB ∆中，km AB 20=

同理：x

x

PAC 372cos -=

∠ 由于：PAC PAB ∠=∠cos cos 即：

x x

x x 3725323-=

+ 解得：km x 7

132

=

（2）作a PD ⊥，垂足为D ，在PDA Rt ∆中， 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为km 71.17

练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。

已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。 解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。

在DEF ∆中，由余弦定理，

.

6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=.

2、甲船以每小时230海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西0

105方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西0

120方向的2B 处，此时两船相距

210海里．问乙船每小时航行多少海里？

解：如图，连结21B A ，由已知22B A 210=，21060

20

23021=⨯=A A ， ∴21A A 22B A =，又∠0

22160120180=-=B A A ， ∴221B A A ∆是等边三角形，

∴==2121A A B A 210．由已知，2011=B A ，

∠0021160105-=B A B =0

45在121B B A ∆中，

北

20

102

12001050

B 2

B 1

A 2

1

乙

甲