向量部分知识点总结

第五章向量部分

1.平面向量知识结构表

2.向量的概念

<1）向量的基本概念

①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。

②特定大小或特定关系的向量

零向量，单位向量，共线向量<平行向量），相等向量，相反向量。

③表示法：几何法：画有向线段表示，记为或α。

④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标>来表示取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，记作：=(x, y> 称作向量的坐标.b5E2RGbCAP

=(x2-x1,y2-y1>，其中A(x1,y1>,B(x2,y2>

<2）向量的运算

①向量的加法与减法：定义与法则<如图5-1）：

a+b=(x1+x2,y1+y2>,a-b=(x1-x2,y1-y2>。其中a=(x1，y1>,b=(x2,y2>。p1EanqFDPw 运算律：a+b=b+a,(a+b>+c=a+(b+c>,a+0=0+a=a。

②向量的数乘<实数与向量的积）定义与法

则<如图5-2）：

λa=λ(x,y>=(λx, λy>

(1>︱︱=︱︱·︱︱。

(2> 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；

当=0时，=0．

(3>若=<），则·=<）．

运算律

λ<μa）=(λμ>a,( λ+μ>a=λa+μa, λ(a+b>=

λa+λb。

3.平面向量的数量积定义与法则<如图5-3）：

<1）．向量的夹角：已知两个非零向量与b，作

=, =,则∠AOB=<）叫做向量与的夹角。

<2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则

·=︱︱·︱︱cos．

其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．

<3）．向量的数量积的性质：·=·,(λ>·=·(λ>=λ<·），<+）·=·+·。若=<）,=<）则·=DXDiTa9E3d

<ⅰ）⊥·=0<，为非零向量）。

<ⅱ）向量与夹角为锐角

<ⅲ）向量与夹角为钝角

4.定理与公式

①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使

得b=λ a

结论：∥ (≠的充要条件是x1y2-x2y1=0

注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0

2︒充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0

3︒向量共线的充要条件有两种形式：∥ (≠>

②平面向量基本定量：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2RTCrpUDGiT

③两向量垂直的充要条件

(i>⊥·=0 (ii>⊥x1·x2+y1·y2=0<=(x1,y1>,=(x2,y2>）

④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使

=α+β，其中α+β=1，O为平面内的任一点。5PCzVD7HxA

⑤数值计算公式

两点间的距离公式：||=，其中[P1(x1,y1>,P2(x2,y2>] P分有向线段所成的比：

设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个

实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。jLBHrnAILg

当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；

分点坐标公式：若=；的坐标分别为

<）,<）,<）；则：中点坐标公式：

两向量的夹角公式：cosθ==

0≤θ≤180°,a=(x1,y1>,b=(x2,y2>

⑥图形变换公式：平移公式：若点P0(x,y>按向量a=(h,k>平移至P(x′,y′>，

则

⑦有关结论

(i>平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则

(+>。

一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点<即=λ，λ≠-1）则

=+，此即线段定比分点的向量式

(ii>有限个向量，a1,a2,…,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1,

=a2,…, =an,则向量即这些向量的和，即xHAQX74J0X

a1+a2+…+an=++…+=<向量加法的多边形法则）。

当An和O重合时<即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。

注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。

5.向量的应用

<1）向量在几何中的应用<2）向量在物理中的应用

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。LDAYtRyKfE

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