数列求和的八种重要方法与例题精品PPT课件

数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
a1
1,故b1
1 1 1
2;
2
a2
7 8
,
故b2
7
1
1
8 3
82
a3
3 4
,
故b3
3
1
1
4; a4
1
记 bn a2n1 4 ，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 lnim(b1 b2 b3 bn ) ．
lnim(b1 b2
bn )
lim
n
b1 (1
1 2n
1 1
)
b1 1 1
2(a
1) 4
2
2
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
= 2n(n + 1) S = n(n + 1)
2.错位相减
当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 数列{anbn}的前n项和适用错位相减
典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
错位相减法： 如果一个数列的各项是由一
个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
设 记数bn列{aan2}n的1 首 14项a1=，a≠n＝14l，，2且，3a，n1…·．a2n
an 1
4
n为偶数
,
n为奇数
（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列， 并证明你的结论；
（III）求 lnim(b1 b2 b3 ． bn )
（I）a2＝a1+
1 4
=
a+ 1
4
4 3
1 3
2n ,即bn
1 2n 3
4 3
(n
1).
1 (1 2n ) 3
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数项之和，这 一求和方法称为分裂通项法. （见到分式型的要往这种方法联想）
拆项分组求和: 典例5：
数列{an}的通项an=2n+2n-1， 求该数列的前n项和.
bn1bn bn1
3 bn
百度文库
1 bn
1 2
,
代入递推关系8an1an
16an 1
2an
5
1
0,即bn1
2bn
4 3
,
anbn 2 bn 1
1 Sn 2 (b1 b2
0,
bn
)
n
4
4
42
bn 1
3
2(bn
), 3
b1 3 3 0,
{bn
4}是首项为 3
2 3
,公比q
2的等比数列
bn
1 1 11
1
因为bn+1＝a2n+1－
1
4
=
2 a2n－ 4 = 2
(a2n－1－4
)
= 2 bn, (n∈N*)
1
1
所以{bn}是首项为a－ 4 , 公比为 2 的等比数列
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
1 2 an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
数列求和
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法.
2.错位相减法.
3 . 法： . 4.裂项相消法：
倒序相加法:
如果一个数列{an}，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值），可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法.
既{anbn}型
等差
等比
典例4： 4、裂项相消
1+ 1 + 1 + … + 1 = ?
1×2 2×3
n(n + 1)
变式1：通项改为 1 = 1( 1 - 1 ) n(n + 2)
2 n n+2
变式2：通项改为 2n2 4n2 - 1
= 1 + 1（ 1 - 1 ) 2 4 2n -1 2n +1
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
同类性质的数列归于一组，目的 是为便于运用常见数列的求和公式.
分组求和法：
把数列的每一项分成两项，或把数
列的项“集”在一块重新组合，或把整
个数列分成两部分，使其转化为等差或
等比数列，这一求和方法称为分组求和
法.
{an+bn+cn} 错位相减
等差
等比 或裂项相消
并项求和
典型6：
1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
13 20
,
故b4
20 . 3
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热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
bn
1 an
1 2
得an
46
局部重组转化为常见数列
交错数列，并项求和 既{（-1）n bn}型
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
，a3=
1 2
a2=
1a+
2
1 8
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
1 2 an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
记 bn
a2n1
1 4
，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （III）求 lnim(b1 b2 b3 bn ) ．
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
5.拆项分组求和法 6.并项求和法
深化数列中的数学思想方法：
热点题型1：递归数列与极限. 1