数列求和及其综合应用(基础)知识梳理

数列求和与综合应用

【考纲要求】

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式

3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；

4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】

【考点梳理】

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.

有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.

有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.

数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】

类型一：数列与函数的综合应用

例1.(2015 菏泽一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()(

)*

1n S n n n N

=+∈.

综合应用

与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等

数列前n 项和

公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消

分组求和

(1)求数列{}n a 的通项公式. (2)若数列{}n b 满足：3122331313131

n n n b b b b

a =+++⋅⋅⋅+++++，求数列{}n

b 的通项公式; (3)令()*4

n n

n a b c n N =

∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】(1)当1n =时，112a S ==

当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--= 知12a =满足该式

∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =

(2)

3122331313131

n n n b b b b

a =

+++⋅⋅⋅+++++① 311212313131313131

n n

n n n b b b b b

a +++∴=+++⋅⋅⋅+++++++② ②-①得111

231

n n n n b a a +++-==+即()1

1231n n b ++=⋅+ ()()*231n n b n N ∴=⋅+∈

(3)

()3134

n n n n

n a b c n n n =

=+=⋅+ ()23123132333312n n n T c c c c n n ∴=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+

令231323333n

n H n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯① 则234+1

31323333n n H n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②

①-②得：()231

1313233333

313

n n n n n H n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=

-⨯-

()121334

n n

n H +-⨯+∴=

∴数列{}n c 的前n 项和为()()()1*

213314

2

n n

n n n T n N +-⨯++=+

∈

举一反三：

【高清课堂：函数的极值和最值388566 典型例题三】

【变式1】已知数列{}n a 和{}n b 满足：1

a λ=，1243

n n a a n +=+-，()

(1)321n n n b a n =--+

其中λ为实数，n 为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；

解析：（Ⅰ）假设存在实数λ，使得数列{}n a 是等比数列，则1a ，2a ，3a 必然满足2

213a a a =⋅

12324

,3,439

a a a λλλ==-=-

由2

213a a a =⋅得90=，显然矛盾，

即不存在实数λ使得数列{}n a 是等比数列。 （Ⅱ）根据等比数列的定义：

()()()()()111(1)[3(1)21]

(1)3212

[43(1)21]3

3212

[214]3

3213212233213

n n n n n n n n n n n n b a n b a n a n n a n a n a n a n a n +++--++=--+-+--++=-+--+=-+-+=-⋅=--+

即1

23

n n b b +=- 又()1

1321(18)b a λ=--+=-+

所以当18λ

=-时，数列{}n b 不是等比数列；当18λ≠-时，数列{}n b 是等比数列.

【变式2】(2015 遵义校级模拟)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，2

3210a a =-

(1)求{}n a 的通项公式.

(2)设{}n b 是以函数2

4sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n

项和n S .

【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d 则：