现代控制理论极小值原理
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t及最优状态轨线 x* t 必须满足以下条件：
⑴ 正则方程
x&* t H
a
(8-4)
&* t H
a
(8-5)
这里，H 为哈密尔顿函数， 为协态变量，其定义与在变分法中 相同。
⑵ 哈密尔顿函数对应最优控制时为极小值，即：
min
uU
H
x&*
t
，u
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
T
x&
λ
dt
(8-17)
根据泛函存在极值的必要条件的结论可知，当 u t 不受限制时，
应满足
Ja 0
(8-18)
由于各个变量的变分是独立的，因此，必须同时满足
H x*，u*，λ*，t λ&* 0 x
(8-19)
H x*，u*，λ*，t x&* 0 λ
H x*，u*，λ*，t 0 u
均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
Ja
ห้องสมุดไป่ตู้
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
完全相同。
当ut 受边界限制时，泛函极小的必要条件是：
Ja 0
(8-24)
为了寻找 u 与 Ja 的关系，在式(8-16)中可令除含有 u 项以 外的各项均为零，则泛函极小必要条件式(8-23)变成
Ja u*， u
tf
Ja x t f
，t f
tf t0
F x，u，t T f x，u，t x&
dt
(8-14)
定义哈密尔顿函数
H x，u，，t F x，u，t T f x，u，t (8-15)
则得
Ja x
tf
，t f
tf t0
H
x，u，，t
x&
dt
(8-16)
下面求泛函 J a 的变分。这里，假设终端时刻 t f 及终端状态 xt f
极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的 阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-7)
边界条件为：xt0 x0，为简单起见，假设终端时刻 t f 及终端
状态 xt f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集约束，即
utU
(8-8)
求最优控制 u* t使性能指标
⑵ 在 t1，t2区间内，u* t 处在容许集的边界上，u不能任取，它 只能取负值，这时泛函为极小值的必要条件应为：
J u*，u 0
(8-13)
这说明对 u* t 的任何容许偏离都会引起泛函 J u* 比其足够小
的邻区内的值J u*，u 要小，故有可能为极小。
下面，根据以上结论来求泛函极小的具体条件。首先，用拉格 朗日乘子法建立增广泛函
x* t f ，t f * x t f
tf
0
(8-20) (8-21) (8-22)
H x*
tf
，u*
tf
，λ*
tf
，t
f
x*
tf t f
，t f 0
(8-23)
这里，式(8-19)、式(8-20)为正则方程，式(8-21)为控制方程，
式(8-22)，式(8-23)为横截条件，这与第六章变分法中所得结论
本章介绍的极小值原理是控制变量 ut 受限制的情况下求解最 优控制问题的有力工具。它是由苏联学者庞特里亚金于1956 年提出的。极小值原理从变分法引伸而来，它的结论与古典变 分法的结论极为相似，但由于它能应用于控制变量 ut 受边界 限制的情况，并不要求哈密尔顿函数H对u连续可微，因此其 适用范围扩大了。
第八章 极小值原理
在用古典变分法求解最优控制问题时，假定控制变量ut不受任 何限制，即容许控制集合可以看成整个m维控制空间开集，这 时控制变分 δu可以任取。同时还严格要求哈密尔顿函数H对u连 续可微。在这种情况下，应用变分法求解最优控制问题是行之 有效的。
但是，实际工程问题中，控制变量往往是受到一定限制， 容许控制集合是一个m维有界闭集，这时，控制变分 δu 在容许集合边界上就不能任意选取，最段控制的必要条件 变不存在了。若最优控制解（如时间最小问题）落在控制 集的边界上，一般便不满足 H / u 0 ，就不能再用古典 变分法来求解最优控制问题了。
t
，
*
t
，t
H x&*t，ut，* t，t
(8-5)
或
H
x&*
t
，u
t
，
*
t
，t
H
uU
x&*
t
，u
t
，*
t
，t
(8-6)
当不受边界限制时，则上式与等效。
⑶ 根据不同的边界情况，x* t及* t 满足相应的边界条件及
横截条件，它们与变分法中所应满足的边界条件及横截条 件完全相同。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差 别仅在⑵。
如图8-1所示。设对应取极小时之最优控制为 （u见* t图 8-1），
它由三个区间组成：
⑴ 在 t0，t1及 t0，t f 区间内，u* t处在容许集内，由于u可以任
取，ut u* t u 均处在容许集内，这种情况下，泛函达极小值 的必要条件为：
J u*，u 0
(8-12)
图8-1 ut 的容许域
则由此引起的的增量可以由下式表示
J u*，u J u*，u u*，u
(8-11)
这里，u*，u 表示二阶及二阶以上的高阶项， J u*，u 是 J 的
线性主部，它与 u成线性关系。当 u 0 时 u*，u 0这时
可以由泛函变分 J u*，u来近似代替泛函的实际增量 J u*，u
设有控制变量 ut，在时间区间 t0，t f 内只能在容许范围内变化，
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
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极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
控制工程技术基础 第7章现代控制理论简介
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7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。
7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。
现代控制理论极小值原理
x*
0
x0，*
N
x* N ，N x N
同理，对不同的边界情况，只需选取相应的边界条件及横截条件，条件1、2不变。 当控制变量不受限制时，则条件2与控制方程
等效。
H
x* k ，u* k ，** k uk
1，k
0
第24页/共62页
第三节 极小值原理解最短时间控制问题
一般情况下，非线性受控系统的最短时间控制问题的解析解是很困难的，本节 只讨论线性定常受控系统的最短时间控制问题导弹舵面的打开时间。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的阐述，尽量避免烦琐 的数学推导。 设系统动态方程为：
xt f xt，ut，t
(8-7)
边控界制条变x件量为t f ：受有x界t闭0，集为约简x束0单，起即见，假设u终t端时刻 及终端状态 utU
t0
我们应用极小值原理来求解。这时哈密尔顿函数为
H x，u，t 1 T tAxt T tBut
故得正则方程为
x* t Ax* t Bu* t * t AT* t
第27页/共62页
根据极小值原理可得
1 *T t Ax* t *T tBu* t 1 *T t Ax* t *T tBut
即
本章介绍的极小值原理是控制变量 受限制的u情t况下求解最优控制问题的有力工
具。它是由苏联学者庞特里亚金于1956年提出的。极小值原理从变分法引伸而来， 它的结论与古典变分法的结论极为相似，但由于它能应用于控制变量 受边界限 制的情况，并不要求哈密尔顿函数H对u连续可微，因此其适用范围扩大了。
ut
L.S.Pontryagin
5 最优控制-极小值原理
* j
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
极小值原理最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
极小值原理
2021年4月30日
第7章第1页
例 7.3.1 给定 1 阶系统
x x u ， x(0) 1
求 u ，要求 u 1，并使
1
J 0 x(t)dt
取最小值。 解 使用变分法求解，取哈密顿函数
H x (x u)
则有
H x 1， (1) 0
2021年4月30日
第7章第2页
u(t)
1, 0,
t 0,1
t 1
2021年4月30日
第7章第18页
7.3.2 离散系统的极小值原理
1 离散欧拉方程与离散极小值原理的证明
当控制序列不受约束时，可以采用离散变分法求解离散系统的最优控制问题，得到离 散极值的必要条件，即离散欧拉方程。
设描述离散系统的状态差分方程为
x(k 1) f [x(k), u(k), k], k 0,1, , N 1
第7章第7页
故有
J (u) J (u)
t1[H ( x, u, )
t0
H(x, u, )]dt
T
(x
x)
t1 t0
1
这里 1 (t1 t0 ) 。
已知 t0
与
x(t0 ) 是固定的，即 ( x
x) t t0
0 ；如果 t1 与 x(t1) 也是不变的，则
(x
x) t t1
0 ；若
根据则方程 因而
式中 c1 和 c2 为待定常数。
1
H x1
1
2
2
H x2
0
1(t) c1et c2 2 (t) c2
2021年4月30日
第7章第17页
根据横截条件，得
1(1)
x1(1)
2021年4月30日
第7章第1页
例 7.3.1 给定 1 阶系统
x x u ， x(0) 1
求 u ，要求 u 1，并使
1
J 0 x(t)dt
取最小值。 解 使用变分法求解，取哈密顿函数
H x (x u)
则有
H x 1， (1) 0
2021年4月30日
第7章第2页
u(t)
1, 0,
t 0,1
t 1
2021年4月30日
第7章第18页
7.3.2 离散系统的极小值原理
1 离散欧拉方程与离散极小值原理的证明
当控制序列不受约束时，可以采用离散变分法求解离散系统的最优控制问题，得到离 散极值的必要条件，即离散欧拉方程。
设描述离散系统的状态差分方程为
x(k 1) f [x(k), u(k), k], k 0,1, , N 1
第7章第7页
故有
J (u) J (u)
t1[H ( x, u, )
t0
H(x, u, )]dt
T
(x
x)
t1 t0
1
这里 1 (t1 t0 ) 。
已知 t0
与
x(t0 ) 是固定的，即 ( x
x) t t0
0 ；如果 t1 与 x(t1) 也是不变的，则
(x
x) t t1
0 ；若
根据则方程 因而
式中 c1 和 c2 为待定常数。
1
H x1
1
2
2
H x2
0
1(t) c1et c2 2 (t) c2
2021年4月30日
第7章第17页
根据横截条件，得
1(1)
x1(1)
教材第3章极小值原理
（3—13） （3—14）
∫ δ J t f
=∂ ∂tf
⎢⎣⎡Φ + μ T N +
tf tf
+δ
tf
Ψdt
⎤ ⎥⎦
t=t f
δ
tf
=
⎡ ⎢ ⎢⎣
∂Φ ∂t f
+ ∂N T ∂t f
⎤ μ + Ψ⎥ δ t f
⎥⎦ t =t f
（3—15）
[ ] ∫ δ
Jx
=d
xT (t f
)∂ ∂x
Φ + μT N
dt
∫ δ
Jw
=
δ
wT
(t
f
)
∂Ψ ∂ w
t=t f
−
tf t0
δ
wT
d dt
∂Ψ ∂ w
dt
∫ δ
Jz
=δ
zT
(t f
)
∂Ψ ∂ z
t=t f
−
tf t0
δ
zT
d dt
∂Ψ ∂ z
dt
把式（3—15）～式（3—19）代入式（3—11）整理可得
（3—17） （3—18） （3—19）
δ J '=δ Jt f +δ Jx +δ Jw +δ Jz
x = f [x(t) , u(t) , t]
x(t) ∈ Rn
（3—44）
始端条件为
x(t0 ) = x0
终端约束为
（3—45）
N [x(t f ) , t f ] = 0 N ∈ Rm m ≤ n
控制约束为
，t f 待定
（3—46）
g[x(t) , u(t) , t] ≥ 0 u(t) ∈ Rr g ∈ Rl l ≤ r ≤ n
2014《现代控制理论》学习指导书及部分题目答案
现代控制理论学习指导书第一部分重点要点线性系统理论线性系统数学模型稳定性、可控性和可观测性单变量极点配置的条件和方法。
最优控制理论变分法极小值原理最优性原理动态规划最优估计理论参数估计方法掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法状态估计方法预测法，滤波系统辨识理论经典辨识方法最小二乘辨识方法系统模型确定方法自适应控制理论用脉冲响应求传递函数的原理和方法。
两种设计方法智能控制理论掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。
了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念第二部分练习题填空题1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。
2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。
3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。
5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。
6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。
7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。
8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。
9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。
10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。
12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。
ppt第四章极小值原理及其应用
1 (t) c1
（4-30）
2 (t) c2 c1t
其中，c1 、c2 是积分常数。
（4-31）
由的表达式（4-27）可见，若要选择 u(t) 使 H 取极小，只要使 2(t)u(t) 越负越好，而 u(t) 1 ， 故当 u(t) 1 ，且 u(t) 与 2(t) 反号时， H 取极小， 即最优控制为
取极小的最优控制。
（4-24） （4-25） （4-26）
解 ； 因为控制作用有限制（属于有界闭集），故要用
极小值原理求解。取哈密顿函数
H F T f 1 1(t)x2 (t) 2 (t)u(t) 协态方程为
（4-27）
1
H
x1
0
2
H x2
1
（4-28） （4-29）
积分上面两个方程可得
H
H
H
u*
u u* u0
u u*
u
(a)
(b)
(c)
图4-1有界闭集内函数的几种形状
对于图4-1（a） H / u 0 仍对应最优解 u 。对于
图4-1(b) H / u 0 所对应的解 u0不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图4-1（c）H / U 常数，由这个
方程解不出最优控制 u 来（这种情况称为奇异情
G X (t f ),t f 0 （4-18）
3 横截条件
(t
f
)
X (t
f
)
G T X (t f
)
（4-19）
4 最优终端时刻条件
H
(t
f
)
t f
G T
t f
（4-20）
5 在最优轨线 X * (t) 和最优控制 U * (t) 上哈密 6 顿函数取极小值
第八章 极小值原理
均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
*T tbiu*i t *T tbiui t
由此可得最优控制规律为
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
H x* t，u* t ，λ* t ，t c
t t0，t f
(8-31)
如果终端时刻 t f 自由，则
H x* t，u* t ，λ* t ，t 0
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
*T tbiu*i t *T tbiui t
由此可得最优控制规律为
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
H x* t，u* t ，λ* t ，t c
t t0，t f
(8-31)
如果终端时刻 t f 自由，则
H x* t，u* t ，λ* t ，t 0