现代控制理论极小值原理

本章介绍的极小值原理是控制变量 ut 受限制的情况下求解最 优控制问题的有力工具。它是由苏联学者庞特里亚金于1956 年提出的。极小值原理从变分法引伸而来，它的结论与古典变 分法的结论极为相似，但由于它能应用于控制变量 ut 受边界 限制的情况，并不要求哈密尔顿函数H对u连续可微，因此其 适用范围扩大了。
均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
Ja x t f
，t f
tf t0
F x，u，t T f x，u，t x&
dt
(8-14)
定义哈密尔顿函数
H x，u，，t F x，u，t T f x，u，t (8-15)
则得
Ja x
tf
，t f
tf t0
H
x，u，，t
x&
dt
(8-16)
下面求泛函 J a 的变分。这里，假设终端时刻 t f 及终端状态 xt f
如图8-1所示。设对应取极小时之最优控制为 （u见* t图 8-1），
它由三个区间组成：
⑴ 在 t0，t1及 t0，t f 区间内，u* t处在容许集内，由于u可以任
取，ut u* t u 均处在容许集内，这种情况下，泛函达极小值 的必要条件为：
J u*，u 0
(8-12)
图8-1 ut 的容许域
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t及最优状态轨线 x* t 必须满足以下条件：
⑴ 正则方程
x&* t H
a
(8-4)
&* t H
a
(8-5)
这里，H 为哈密尔顿函数， 为协态变量，其定义与在变分法中 相同。
⑵ 哈密尔顿函数对应最优控制时为极小值，即：
min
uU
H
x&*
t
，u
则由此引起的的增量可以由下式表示
J u*，u J u*，u u*，u
(8-11)
这里，u*，u 表示二阶及二阶以上的高阶项， J u*，u 是 J 的
线性主部，它与 u成线性关系。当 u 0 时 u*，u 0这时
可以由泛函变分 J u*，u来近似代替泛函的实际增量 J u*，u
设有控制变量 ut，在时间区间 t0，t f 内只能在容许范围内变化，
⑵ 在 t1，t2区间内，u* t 处在容许集的边界上，u不能任取，它 只能取负值，这时泛函为极小值的必要条件应为：
J u*，u 0
(8-13)
这说明对 u* t 的任何容许偏离都会引起泛函 J u* 比其足够小
的邻区内的值J u*，u 要小，故有可能为极小。
下面，根据以上结论来求泛函极小的具体条件。首先，用拉格 朗日乘子法建立增广泛函
t
，
*
t
，t
H x&*t，ut，* t，t
(8-5)
或
H
x&*
t
，u
t
，
*
t
，t
H
uU
x&*
t
，u
t
，*
t
，t
(8-6)
当不受边界限制时，则上式与等效。
⑶ 根据不同的边界情况，x* t及* t 满足相应的边界条件及
横截条件，它们与变分法中所应满足的边界条件及横截条 件完全相同。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差 别仅在⑵。
Hale Waihona Puke Baidu
T
x&
λ
dt
(8-17)
根据泛函存在极值的必要条件的结论可知，当 u t 不受限制时，
应满足
Ja 0
(8-18)
由于各个变量的变分是独立的，因此，必须同时满足
H x*，u*，λ*，t λ&* 0 x
(8-19)
H x*，u*，λ*，t x&* 0 λ
H x*，u*，λ*，t 0 u
x* t f ，t f * x t f
tf
0
(8-20) (8-21) (8-22)
H x*
tf
，u*
tf
，λ*
tf
，t
f
x*
tf t f
，t f 0
(8-23)
这里，式(8-19)、式(8-20)为正则方程，式(8-21)为控制方程，
式(8-22)，式(8-23)为横截条件，这与第六章变分法中所得结论
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
第八章 极小值原理
在用古典变分法求解最优控制问题时，假定控制变量ut不受任 何限制，即容许控制集合可以看成整个m维控制空间开集，这 时控制变分 δu可以任取。同时还严格要求哈密尔顿函数H对u连 续可微。在这种情况下，应用变分法求解最优控制问题是行之 有效的。
但是，实际工程问题中，控制变量往往是受到一定限制， 容许控制集合是一个m维有界闭集，这时，控制变分 δu 在容许集合边界上就不能任意选取，最段控制的必要条件 变不存在了。若最优控制解（如时间最小问题）落在控制 集的边界上，一般便不满足 H / u 0 ，就不能再用古典 变分法来求解最优控制问题了。
极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的 阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-7)
边界条件为：xt0 x0，为简单起见，假设终端时刻 t f 及终端
状态 xt f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集约束，即
utU
(8-8)
求最优控制 u* t使性能指标
完全相同。
当ut 受边界限制时，泛函极小的必要条件是：
Ja 0
(8-24)
为了寻找 u 与 Ja 的关系，在式(8-16)中可令除含有 u 项以 外的各项均为零，则泛函极小必要条件式(8-23)变成
Ja u*， u
tf