空间向量的直角坐标运算

空间向量的直角坐标运算

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●

掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。 ●

能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。 ● 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求平面的法向量。

重点难点：

●

重点：掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。 ● 难点：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。

学习策略：

● 空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐

标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

● 对于垂直问题，一般是利用0a b a b ⊥⇔=进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行

证明。

二、学习与应用

空间向量的基本定理

（一）共线向量定理：

空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a //b 的充要条件是

（二）共面向量定理（平面向量的基本定理）：

两个向量a 、b 不共线，向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是 *推论：P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件：对空间任意一点O ，有OP =

（三）空间向量基本定理：

如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在 的有序实数组{,,}x y z ，使p = 。

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

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若三个向量a 、b 、c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个 ，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 。

知识点一：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示

（一）单位正交基底

若空间的一个基底的三个基向量 ，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，常

用{,,}i j k 表示。

（二）空间直角坐标系

在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的

方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一

个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

（三）空间直角坐标系中的坐标

在空间直角坐标系O xyz -中，以{,,}i j k 为单位正交基底，对空间任一点A ，

对应向量OA ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，则在空间直角

坐标系O xyz -中，点A 的坐标为 ，记作 ，其中x 叫点A 的 坐标，

y 叫点A 的 坐标，z 叫点A 的 坐标．向量OA = 。

零向量记作0=

注意：空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O 和一个

单位正交基底{}i j k ，， (i j k ，，)按右手系排列)建立的坐标系，做题选择坐标系时，

应注意点O 的任意性，原点O 的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽

可能使各点的坐标为正。

x y

z

O k

j

i 知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真

听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID: #tbjx6#281331

知识点二：空间向量的直角坐标运算

（一）空间两点的距离公式

若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

（1）AB =

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于 。

（2）||AB = ，

或,A B d = 。

注意：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB 的坐标表示，然后再用模长公式推出。

（二）向量加减法、数乘的坐标运算

若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

（1）a b += ；

（2）a b -= ；

（3）a λ= ；

（三）向量数量积的坐标运算

若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

a b ⋅= ；

即：空间两个向量的数量积等于 。

（四）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则

（1）||a = ；||b = ．

（2）cos a b <⋅>= ．

注意：

（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

a b a b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|

⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=

⋅，其中θ的范围是 （2）...............

,,AC BD AC DB θ<>=⇒<>=

..............................,,CA BD CA DB ⇒<>=⇒<>=

（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

（五）空间向量平行和垂直的条件

若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

（1）//a b a b λ⇔=⇔

（2）0a b a b ⊥⇔⋅=⇔

规定： 与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直。

知识点三：空间向量的简单应用

（一）直线的方向向量与直线的向量方程

（1）直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个 ；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的 。

☆（2）直线的向量方程：A 、B 在直线l 上，P 为直线l 上任意点，则 ；

（二）平面的法向量：

如果直线l 垂直于平面α,那么直线l 的方向向量就叫做平面α的 。 设平面α的法向量为n ，A 、P 为平面α内任意两点，则n AP ⋅= ；

类型一：空间向量的直角坐标运算

1．已知a =(2,―1,―2)，b =(0,―1,4)，求a +b ，a ―b ，3a +2b ，a ·b 。 解：

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反

三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#281331