数学利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

趣题引入

已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明：2ln )()2

(

2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明：1ln )(+='x x g ，设)2

(2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2

ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=⨯+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，

即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数

∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ， 即0)2

(

2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2

(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)('

因为0)(=a G ，又a b > ∴0)()(=

即 02ln )()2

(

2)()(<--+-+a x x a g x g a g 故2ln )()2(2)()(a x x a g x g a g -<+-+ 综上可知，当 b a <<0时，2ln )()2

(

2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。 技巧精髓

一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导

函数是用导数证明不等式的关键。

1、利用题目所给函数证明

【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时， 恒有x x x ≤+≤+-

)1ln(1

11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

11

1)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【绿色通道】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数

当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数

故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），现证左面，令11

1)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，

即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，

故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，

∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011

1)1ln(≥-++

+x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11

1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或

()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

2、直接作差构造函数证明

【例2】已知函数.ln 2

1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，

设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到06

1)1(>=

F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

【绿色通道】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则x x x x F 12)(2--='=x x x x )

12)(1(2++-当1>x 时，

)(x F '=x x x x )12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴06

1)1()(>=>F x F ∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，故在区间),1(∞+上，函数)

(x f 的图象在函数33

2)(x x g =

的图象的下方。 【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移

项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元后作差构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(n

n n ->+ 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

【绿色通道】令)1ln()(23++-=x x x x h ，则1)1(31123)(2

32

+-+=++-='x x x x x x x h 在),0(+∞∈x 上恒正，所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h 即0)1ln(23>++-x x x ，∴32)1ln(x x x ->+ 对任意正整数n ，取3211)11ln(),0(1n

n n n x ->++∞∈=，则有 【警示启迪】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()

F x