高等数学-复件 第五节 函数的微分
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区间内可微分.记作: dyf(x)x
dy f(x)dy xdx
x
dx
求函数的微分: dyf(x)dx
dy f (x) dx
所以导数又称微商
x 很小的时候 y dy
函数的微分可用于简化计算
◆基本微分公式——与基本导数公式一一对应
d (c) 0
d (tan x) sec2 xdx
d ( x ) x 1d x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) ex 1x
(4) taxnx
(5)ln 1 (x)x
微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
Aa 称为a 的绝对误差
四、 微分在近似计算中的应用
y f( x 0 ) x o ( x )
当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 ) f(x0)x
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
令 xx0x
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
e 1 3 x3 co sx sinxd x
例 yln(1ex2), 求dy
解
1 dy1ex2
d(1ex2)12 xeexx22
dx
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d(5x )5dx
(2) d( l n x )1dx
x
(3) d(arctanx ) 1 dx
1x2 (4 ) d (12 sin 2 x )co 2 xsdx
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为f (x)在
点 x0 的微分, 记作d y 或d f , 即dyAx
什么样的函数可微分
定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可导 且 A ， f(x0)
函数f ( x ) 在区间每一点有微分,则称函数在该
Aa a
称为a 的相对误差
若 AaA
A 称为测量 A 的绝对误差限
A a
称为测量 A 的相对误差限
内容小结
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则（和导数运算法则一致）
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
cos(2x1） 2dx
2cos(2x1)dx
例 ye13xcosx, 求 dy
解
d(uv)vduudv
dyd(e13xcosx)
c o sx d (e 1 3 x) e 1 3 xd (c o sx ) ( c o s x ) e 1 3 x d ( 1 3 x ) e 1 3 x ( s in x d x )
dyf(u)du
所 以 ， 无 论 u 是 自 变 量 还 是 中 间 变 量 ， 微 分 公 式 d y f(u )d u 都 成 立 ,这 一 性 质 称 为 微 分 形 式 不 变 性 .
例 ysin(2x1),求 dy 解 u2x1
dyf(u)du cosudu c o s(2 x 1 ） d (2 x 1 ）
d (arcsin x ) 1 d x 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(a rc ta n
x)
1
1 x2
dx
d(cosx) sinxdx d ( a r c c o t x ) 1 d x
1 x2
◆微分的四则运算法则
导数运算
(u v ) ' u ' v '
微分运算
d (u v) du dv
(cu) ' cu '
(uv) ' u 'v uv '
(u )' v
u
'
v v2
u
v
'
(v
0)
d (cu) cdu
d (uv) vdu udv
d (u v
)
vdu udv v2
(v
0)
证明 d ( u v ) ( u v )'d x ( u 'v u v ') d x (u'vuv')dx
u'vdxuv'dx
vduudv
u'dxdu vdxdv
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
◆复合函数的微分法则和微分形式不变性
设 y f(u )及 u g (x )都 可 导 ,则 复 合 函 数 y f[g (x )]的 微 分 为 d y y x d x f(u )g (x )d x
因 为 g (x )d x d u ， 所 以
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 2) x与x0靠近 .
例：si求 n30030的近似值
解：角度化为弧度
30030
6 360
f(x)sixn其x0中 6,x360
由近似公式
sin()sincos
6 360 6 6360
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
高等数学-复件 第五节 函数 的微分
1
2.5 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则
四、微分在近似计算中的应用
一定义:若函数 yf(x) 在点 x 0 的增量与自变
量增量 x 有如下关系
y f( x 0 x ) f( x 0 ) A xo ( x)
d (cot x) csc2 xdx
d (a x ) a x ln a d x
d (sec x) sec x tan xdx
d (ex) exdx
d (log a
x)
1 x ln a
dx
d (ln x) 1 dx x
d(sinx) cosxdx
d (csc x) csc x cot xdx
dy f(x)dy xdx
x
dx
求函数的微分: dyf(x)dx
dy f (x) dx
所以导数又称微商
x 很小的时候 y dy
函数的微分可用于简化计算
◆基本微分公式——与基本导数公式一一对应
d (c) 0
d (tan x) sec2 xdx
d ( x ) x 1d x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) ex 1x
(4) taxnx
(5)ln 1 (x)x
微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
Aa 称为a 的绝对误差
四、 微分在近似计算中的应用
y f( x 0 ) x o ( x )
当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 ) f(x0)x
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
令 xx0x
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
e 1 3 x3 co sx sinxd x
例 yln(1ex2), 求dy
解
1 dy1ex2
d(1ex2)12 xeexx22
dx
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d(5x )5dx
(2) d( l n x )1dx
x
(3) d(arctanx ) 1 dx
1x2 (4 ) d (12 sin 2 x )co 2 xsdx
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为f (x)在
点 x0 的微分, 记作d y 或d f , 即dyAx
什么样的函数可微分
定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可导 且 A ， f(x0)
函数f ( x ) 在区间每一点有微分,则称函数在该
Aa a
称为a 的相对误差
若 AaA
A 称为测量 A 的绝对误差限
A a
称为测量 A 的相对误差限
内容小结
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则（和导数运算法则一致）
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
cos(2x1） 2dx
2cos(2x1)dx
例 ye13xcosx, 求 dy
解
d(uv)vduudv
dyd(e13xcosx)
c o sx d (e 1 3 x) e 1 3 xd (c o sx ) ( c o s x ) e 1 3 x d ( 1 3 x ) e 1 3 x ( s in x d x )
dyf(u)du
所 以 ， 无 论 u 是 自 变 量 还 是 中 间 变 量 ， 微 分 公 式 d y f(u )d u 都 成 立 ,这 一 性 质 称 为 微 分 形 式 不 变 性 .
例 ysin(2x1),求 dy 解 u2x1
dyf(u)du cosudu c o s(2 x 1 ） d (2 x 1 ）
d (arcsin x ) 1 d x 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(a rc ta n
x)
1
1 x2
dx
d(cosx) sinxdx d ( a r c c o t x ) 1 d x
1 x2
◆微分的四则运算法则
导数运算
(u v ) ' u ' v '
微分运算
d (u v) du dv
(cu) ' cu '
(uv) ' u 'v uv '
(u )' v
u
'
v v2
u
v
'
(v
0)
d (cu) cdu
d (uv) vdu udv
d (u v
)
vdu udv v2
(v
0)
证明 d ( u v ) ( u v )'d x ( u 'v u v ') d x (u'vuv')dx
u'vdxuv'dx
vduudv
u'dxdu vdxdv
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
◆复合函数的微分法则和微分形式不变性
设 y f(u )及 u g (x )都 可 导 ,则 复 合 函 数 y f[g (x )]的 微 分 为 d y y x d x f(u )g (x )d x
因 为 g (x )d x d u ， 所 以
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 2) x与x0靠近 .
例：si求 n30030的近似值
解：角度化为弧度
30030
6 360
f(x)sixn其x0中 6,x360
由近似公式
sin()sincos
6 360 6 6360
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
高等数学-复件 第五节 函数 的微分
1
2.5 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则
四、微分在近似计算中的应用
一定义:若函数 yf(x) 在点 x 0 的增量与自变
量增量 x 有如下关系
y f( x 0 x ) f( x 0 ) A xo ( x)
d (cot x) csc2 xdx
d (a x ) a x ln a d x
d (sec x) sec x tan xdx
d (ex) exdx
d (log a
x)
1 x ln a
dx
d (ln x) 1 dx x
d(sinx) cosxdx
d (csc x) csc x cot xdx