数字图像处理中 小波变换和图像压缩
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小波变换与图像压缩
目录
信号编码 离散小波变换系数的计算 基于小波变换的压缩编码 二维小波变换 基本的阈值编码方法 EZW编码 SPIHT编码
§8.6 信号编码
用小波信号编码，就是将信号分解到伸缩和移位的函数上。尺度函数是 父小波的伸缩和移位形式；小波函数是母小波的伸缩和移位形式。下面 将说明用尺度函数和小波函数一起对信号进行编码，效率最高。 用尺度函数对信号进行编码要满足： 选择小波基的特性适合于待编码的信号； 最小尺度能够反映出信号的最小细节。
(c)
该等式将精细尺度m+1上的小波变换系数与相邻粗尺度m上的小波系数联系起来。 合成方程在这个意义上实现了反离散小波变换（IDWT）。
图形显示了与Daubechies-4小波基对应的滤波器的脉冲响应傅里叶变换幅 度谱。这两个滤波器对称互补，曲线交点正好是滤波器的3dB带宽点，即 当信号通过时，这两个正好将整个信号带宽平分为二。
3 3 3 2 3 2 3 2 -M 2
来代替小波系数cM [n]作为DWT分析的输入。这种简化的根据是
足够小的时侯，尺度函数和小波函数变得近似于冲击函数。如图P205图8.29
任一数信号可以表示为冲击函数的加权和 x(n)=⋯ +c3[0]δ [n] + c3 [1]δ [n − 1] + c3[2]δ [n − 2] +⋯ 比较以上两式可以得到一般结论为： cM [n]=2 x[n]
例题8-7 请详见课本
P211
§8.8基于小波变换的压缩编码 基于小波变换的压缩编码
ⅰ
二维小波变换
压缩编码
ⅱ
基本的阈值编码方法
ⅲ
EZW&SPIHT编码 编码
二维小波变换
※ 详见课本P213~ 214
(a)分析滤波器族
(b)合成滤波器组
基本的阈值编码方法
※ 详见课本P215~ 217
※ 详见课本P217~ 223
n=−∞
∑c
∞
M
[n]ϕM ,n (t ) =
n=−∞
∑c
∞
M
[n]2M /2ϕ (2M使得尺度2-M 足够小，能够捕捉到信号中的重要细节。
例题8-4 例题8-5 请详见课本 P197~201
§8.7离散小波变换系数的计算 离散小波变换系数的计算
φ(t)= ∑ 2h0[n]φ(2t-n)
EZW编码
位平面内各子带的传送次序
SPIHT编码
IR
SR
IV
STW的状态转移图
SV
※ 详见课本P225~ 228
LOGO
DWT的分析如课本P204图8.28(a）给出了某相尺度上的系数预期相邻精 细尺度上的系数之间的关系。 x(t)=x M(t)= ∑ cM [n]φM ,n (t ) =
n =−∞ ∞ n =−∞
∑
∞
cM [n]2
M
2
φ (2 M t − n)
cM [n]是信号 x(t)与满足要求精度的子空间VM 中的尺度函数的相关系数， 然后以cM [n]作为DWT分析的起点。在实际的应用中，用信号的抽样值乘 以因子2 所示。 尺度函数子空间S3中的信号可以表示为： x(t)=⋯ +c3[0]2 φ (2 t ) + c3 [1]2 φ (2 t − 1) + c3[2]2 φ (23 t − 2) + ⋯
cm[n]= 2 ∑ cm +1[ k ]h 0[k-2n]
k =−∞ ∞ ∞
(a) (b)
d m[n]= 2 ∑ cm +1[k ]h1[k-2n]
k =−∞
这两个方程表达了相邻两个尺度上的DWT系数之间的关系。 这两个公式类似于普同卷积 x[n] *h[n]= ∑ x[ k ]h[n − k ]
-M 2
例题8-6 请详见课本
DWT合成 合成
P205~209
HP = h1[n] LP = ho [n]
三阶DWT合成树
在合成第一阶段，相邻精细尺度上的系数由和合成，根据方程（c）有 c1[n] =
k =−∞
∑ c [k ]h [n − 2k ] + ∑ d [k ]h [n − 2k ]
0 0 k =−∞ 0 1
10
5
| H（Ω） | 0
H(Ώ) )dB
| H1 Ω） （ |
0
-5
-10
-15
-20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ώ
Daubechies-4小波基的低通和高通滤波器
小波分析依赖于一个基本思想：识别信号中不同尺度上的细节。在小波分析的第一步， 待分析的信号通过滤波器h[n]被分成两部分，信号中的一些细节被高通滤波器h0[n]捕获， 1 其他的由低通滤波器捕获。如课本P203页所示图8.25。 DWT的频域分析，得到一种实用的DWT分析与合成技术。小波分析方程（a）和(b)完成滤 波和下采样操作。在等式(a)中，系数cm+1[n]与反转的低通滤波器h0[-n]做卷积实现滤波操 作，然后对卷积结果下采样得到cm[n]。在等式(b)中，系数cm+1与反转的高通滤波器h[-n] 1 做卷积实现滤波操作，然后对卷积结果下采样得到dm[n]。在两个等式中，下采样操作仅保 留隔点的采样点，使得抽样频率减半，如课本P203页图8.26所示。 合成方程由上采样、随后的滤波和最后的高、低频成分的加法运算来实现。在小波合成 方程(c)中，冲击响应h0[n]和h[n]分别与系数cm[n]和dm[n]卷积实现滤波操作。等式中的K 1 加倍，即进行上采样操作，在cm[n]和dm[n]的样点间插零，如课本P204图 所示。图8.28(b) 8.27 简洁的显示了DWT合成方程的运算框图。
ψ(t)= ∑ 2h1[n]φ(2t-n)
n=−∞
∞
式 ， 1[n]称 小 函 系 。 中 h 为 波 数 数
从这两个多分辨率的方程中可以看出母小波函数（基本小波函数）和父 小波函数（基本尺度函数）有诸多相似的原因：小波函数可以由尺度函数 表示，而尺度函数是由父小波函数生成的。
由MRA方程和小波分解方程不难推出实现DWT变换的分析方程：
n=−∞ ∞
式 ， 0[n]称 尺 函 系 ， 子 2保 各 度 的 度 数 量 等 该 程 称 中 h 为 度 数 数 因 证 尺 上 尺 函 能 相 。 方 亦 为 多 辨 分 （ 分 率 析 MRA） 程 小 函 ψ(t)也 由 相 的 精 尺 函 的 权 表 ， 方 。 波 数 可 它 邻 更 细 度 数 加 和 示 这 另 个 分 率 程 是 一 多 辨 方
根据MRA理论，对于m取有限值的空间Vm中的信号xm(t)，有 ｘ (t ) = ｍ
n=−∞
∑ c [n]φ
m
∞
m, n
(t )
对L2空间中的信号x(t )用尺度函数ϕm,n (t )进行编码，则必须存在某尺度S=2- M 及 该尺度上的某些系数集合cM [n], 使得 x(t ) = xM (t ) =
∞
∞
因为c0[n]和d0[n]都只包含有一个DWT系数，所以c1[n]包含两个系数。对于Haar小波 基，冲击响应h0[n-2k]和h1[n-2k]只在n-2k=0或n-2k=1的时候有非零值。课本P210页表 8-4中给出了所有k和n的取值情况下，k-2n的值。只有那些生成0或1的k和n的组合才会 影响合成。例如，n=0和n=1时，系数c1[n]为: 1 1 1 1 c1[n]=c0[n]h0[0]+d0[0]h1[0]= + − 2 =0 2 2 2 1 1 1 1 1 c1[1]=c0[n]h0[1]+d0[0]h1[1]= + − 2 − = 2 2 2 2
k =−∞ ∞
和普通卷积有两点不同：一是：脉冲相应样值反转，即h[k-n]而不是 h[n-k]；二是标号的n加倍，这意味着隔点保留得到的卷积样值。 DWT的合成方程为： c m +1[n]= 2{ ∑ cm [k ]h 0[n-2k]+ ∑ cm [k ]h1[n-2k]}
k =−∞ k =−∞ ∞ ∞
小波变换与图像压缩
目录
信号编码 离散小波变换系数的计算 基于小波变换的压缩编码 二维小波变换 基本的阈值编码方法 EZW编码 SPIHT编码
§8.6 信号编码
用小波信号编码，就是将信号分解到伸缩和移位的函数上。尺度函数是 父小波的伸缩和移位形式；小波函数是母小波的伸缩和移位形式。下面 将说明用尺度函数和小波函数一起对信号进行编码，效率最高。 用尺度函数对信号进行编码要满足： 选择小波基的特性适合于待编码的信号； 最小尺度能够反映出信号的最小细节。
(c)
该等式将精细尺度m+1上的小波变换系数与相邻粗尺度m上的小波系数联系起来。 合成方程在这个意义上实现了反离散小波变换（IDWT）。
图形显示了与Daubechies-4小波基对应的滤波器的脉冲响应傅里叶变换幅 度谱。这两个滤波器对称互补，曲线交点正好是滤波器的3dB带宽点，即 当信号通过时，这两个正好将整个信号带宽平分为二。
3 3 3 2 3 2 3 2 -M 2
来代替小波系数cM [n]作为DWT分析的输入。这种简化的根据是
足够小的时侯，尺度函数和小波函数变得近似于冲击函数。如图P205图8.29
任一数信号可以表示为冲击函数的加权和 x(n)=⋯ +c3[0]δ [n] + c3 [1]δ [n − 1] + c3[2]δ [n − 2] +⋯ 比较以上两式可以得到一般结论为： cM [n]=2 x[n]
例题8-7 请详见课本
P211
§8.8基于小波变换的压缩编码 基于小波变换的压缩编码
ⅰ
二维小波变换
压缩编码
ⅱ
基本的阈值编码方法
ⅲ
EZW&SPIHT编码 编码
二维小波变换
※ 详见课本P213~ 214
(a)分析滤波器族
(b)合成滤波器组
基本的阈值编码方法
※ 详见课本P215~ 217
※ 详见课本P217~ 223
n=−∞
∑c
∞
M
[n]ϕM ,n (t ) =
n=−∞
∑c
∞
M
[n]2M /2ϕ (2M使得尺度2-M 足够小，能够捕捉到信号中的重要细节。
例题8-4 例题8-5 请详见课本 P197~201
§8.7离散小波变换系数的计算 离散小波变换系数的计算
φ(t)= ∑ 2h0[n]φ(2t-n)
EZW编码
位平面内各子带的传送次序
SPIHT编码
IR
SR
IV
STW的状态转移图
SV
※ 详见课本P225~ 228
LOGO
DWT的分析如课本P204图8.28(a）给出了某相尺度上的系数预期相邻精 细尺度上的系数之间的关系。 x(t)=x M(t)= ∑ cM [n]φM ,n (t ) =
n =−∞ ∞ n =−∞
∑
∞
cM [n]2
M
2
φ (2 M t − n)
cM [n]是信号 x(t)与满足要求精度的子空间VM 中的尺度函数的相关系数， 然后以cM [n]作为DWT分析的起点。在实际的应用中，用信号的抽样值乘 以因子2 所示。 尺度函数子空间S3中的信号可以表示为： x(t)=⋯ +c3[0]2 φ (2 t ) + c3 [1]2 φ (2 t − 1) + c3[2]2 φ (23 t − 2) + ⋯
cm[n]= 2 ∑ cm +1[ k ]h 0[k-2n]
k =−∞ ∞ ∞
(a) (b)
d m[n]= 2 ∑ cm +1[k ]h1[k-2n]
k =−∞
这两个方程表达了相邻两个尺度上的DWT系数之间的关系。 这两个公式类似于普同卷积 x[n] *h[n]= ∑ x[ k ]h[n − k ]
-M 2
例题8-6 请详见课本
DWT合成 合成
P205~209
HP = h1[n] LP = ho [n]
三阶DWT合成树
在合成第一阶段，相邻精细尺度上的系数由和合成，根据方程（c）有 c1[n] =
k =−∞
∑ c [k ]h [n − 2k ] + ∑ d [k ]h [n − 2k ]
0 0 k =−∞ 0 1
10
5
| H（Ω） | 0
H(Ώ) )dB
| H1 Ω） （ |
0
-5
-10
-15
-20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Ώ
Daubechies-4小波基的低通和高通滤波器
小波分析依赖于一个基本思想：识别信号中不同尺度上的细节。在小波分析的第一步， 待分析的信号通过滤波器h[n]被分成两部分，信号中的一些细节被高通滤波器h0[n]捕获， 1 其他的由低通滤波器捕获。如课本P203页所示图8.25。 DWT的频域分析，得到一种实用的DWT分析与合成技术。小波分析方程（a）和(b)完成滤 波和下采样操作。在等式(a)中，系数cm+1[n]与反转的低通滤波器h0[-n]做卷积实现滤波操 作，然后对卷积结果下采样得到cm[n]。在等式(b)中，系数cm+1与反转的高通滤波器h[-n] 1 做卷积实现滤波操作，然后对卷积结果下采样得到dm[n]。在两个等式中，下采样操作仅保 留隔点的采样点，使得抽样频率减半，如课本P203页图8.26所示。 合成方程由上采样、随后的滤波和最后的高、低频成分的加法运算来实现。在小波合成 方程(c)中，冲击响应h0[n]和h[n]分别与系数cm[n]和dm[n]卷积实现滤波操作。等式中的K 1 加倍，即进行上采样操作，在cm[n]和dm[n]的样点间插零，如课本P204图 所示。图8.28(b) 8.27 简洁的显示了DWT合成方程的运算框图。
ψ(t)= ∑ 2h1[n]φ(2t-n)
n=−∞
∞
式 ， 1[n]称 小 函 系 。 中 h 为 波 数 数
从这两个多分辨率的方程中可以看出母小波函数（基本小波函数）和父 小波函数（基本尺度函数）有诸多相似的原因：小波函数可以由尺度函数 表示，而尺度函数是由父小波函数生成的。
由MRA方程和小波分解方程不难推出实现DWT变换的分析方程：
n=−∞ ∞
式 ， 0[n]称 尺 函 系 ， 子 2保 各 度 的 度 数 量 等 该 程 称 中 h 为 度 数 数 因 证 尺 上 尺 函 能 相 。 方 亦 为 多 辨 分 （ 分 率 析 MRA） 程 小 函 ψ(t)也 由 相 的 精 尺 函 的 权 表 ， 方 。 波 数 可 它 邻 更 细 度 数 加 和 示 这 另 个 分 率 程 是 一 多 辨 方
根据MRA理论，对于m取有限值的空间Vm中的信号xm(t)，有 ｘ (t ) = ｍ
n=−∞
∑ c [n]φ
m
∞
m, n
(t )
对L2空间中的信号x(t )用尺度函数ϕm,n (t )进行编码，则必须存在某尺度S=2- M 及 该尺度上的某些系数集合cM [n], 使得 x(t ) = xM (t ) =
∞
∞
因为c0[n]和d0[n]都只包含有一个DWT系数，所以c1[n]包含两个系数。对于Haar小波 基，冲击响应h0[n-2k]和h1[n-2k]只在n-2k=0或n-2k=1的时候有非零值。课本P210页表 8-4中给出了所有k和n的取值情况下，k-2n的值。只有那些生成0或1的k和n的组合才会 影响合成。例如，n=0和n=1时，系数c1[n]为: 1 1 1 1 c1[n]=c0[n]h0[0]+d0[0]h1[0]= + − 2 =0 2 2 2 1 1 1 1 1 c1[1]=c0[n]h0[1]+d0[0]h1[1]= + − 2 − = 2 2 2 2
k =−∞ ∞
和普通卷积有两点不同：一是：脉冲相应样值反转，即h[k-n]而不是 h[n-k]；二是标号的n加倍，这意味着隔点保留得到的卷积样值。 DWT的合成方程为： c m +1[n]= 2{ ∑ cm [k ]h 0[n-2k]+ ∑ cm [k ]h1[n-2k]}
k =−∞ k =−∞ ∞ ∞