电磁场与电磁波公式总结

电磁场与电磁波复习

第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析

1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系

微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →

→

→

→

++= 面积元：⎪⎩⎪⎨⎧===dxdy dS dxdz dS dydz

dS z

y

x

，体积元：dxdydz d =τ

（2）柱坐标系

长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===dz dl rd dl dr

dl z r ϕϕ，面积元⎪⎩⎪

⎨⎧======rdrdz

dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z

z r z r ϕϕϕϕ，体积元：dz rdrd d ϕτ=

（3）球坐标系

长度元：⎪⎩⎪

⎨⎧===ϕθθϕ

θd r dl rd dl dr

dl r sin ，面积元：

⎪⎩

⎪

⎨⎧======θ

ϕθϕ

θθθϕϕθθϕrdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：ϕθθτd drd r d sin 2=

2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧

==+=⎪⎩⎪⎨⎧===z z x y y

x r z z r y r x arctan

,sin cos 22ϕϕϕ （2）直角坐标系与球坐标系的关系

⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧===z y

z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222

2

22ϕθθϕθϕθ （3）柱坐标系与球坐标系的关系

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθθϕϕθ2

2'2

2''arccos ,cos sin z r z z

r r r z r r 3、梯度

（1）直角坐标系中：

z

a y a x a grad z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→

μ

μμμμ

（2）柱坐标系中：

z

a r a r a grad z r ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→

μ

ϕμμμμϕ1

（3）球坐标系中：

ϕ

μ

θθμμμμϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→

sin 11r a r a r a grad r

4.散度

（1）直角坐标系中：

z

A y A x A A div z

y X ∂∂+∂∂+∂∂=→

（2）柱坐标系中：

z

A A r rA r r A div z

r ∂∂+∂∂+∂∂=

→

ϕϕ1)(1 （3）球坐标系中：

ϕθθθθϕ

θ

∂∂+∂∂+∂∂=

→

A r A r A r r

r A div r sin 1)(sin sin 1)(122 5、高斯散度定理：⎰⎰⎰

→→

→

→=⋅∇=⋅τ

τ

ττd A div d A S d A S

，意义为：任意矢量场→

A 的散度在场中任

意体积内的体积分等于矢量场

→

A 在限定该体积的闭合面上的通量。

6，旋度

（1） 直角坐标系中：

z

y

x

z y x

A A A z y x a a a A ∂∂∂∂∂∂=

⨯∇→

→

→

→ （2） 柱坐标系中：

z

r z r

A rA A z r a ra a r A ϕ

ϕϕ∂∂∂∂∂∂=

⨯∇→

→

→

→1 （3） 球坐标系中：

ϕ

θϕ

θθϕθθθA r rA A r

a r a r a r A r r

sin sin sin 12

∂∂

∂∂∂∂=⨯∇→

→

→

→

两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零，0=⨯∇⋅∇→

A ②标量场梯度的旋度恒为零，0=∇⨯∇μ

7、斯托克斯公式：

⎰⎰→

→→→⋅⨯∇=⋅S

C

S d A l d A

第二章 静电场和恒定电场

1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度→

E 、电

位移矢量→

D 和电位ϕ。电场强度与电位的关系为：ϕ-∇=→

E

。m F /10854.8120-⨯≈ε

2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的计算公式如下： （1）点电荷分布

C R q R q R R q E N

k k

k

N

k k k

N

k k k k +=∇-==∑∑∑===→

→

101

13041

,)1(41

41

πεϕπεπε （2）体电荷分布

C r

r dv r r

r dv r r r E v

v

+-=

--=

⎰

⎰

→→

→→

→

→

→

'

'

'0

3'

'

'

'

)(41,))((41ρπεϕρπε

（3）面电荷分布 C r

r dS r r

r dS r r r E S

S S

S +-=

--=

⎰

⎰

→→

→→

→→

→

'

'

'0

3'

'

'

'

)(41,))((41ρπεϕρπε

（4） 线电荷分布

C r

r dl r r

r dl r r r E l

l l

l +-=

--=

⎰

⎰

→→

→→

→→

→

'

'

'0

3'

'

'

'

)(41,))((41ρπεϕρπε

3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−=⋅∇=⋅→

→

→⎰）面内的总极化电荷之和面内的总源电荷和为介质中的高斯定理（（微分形式）

积分形式表示意义

S S q r D q S d D S )()(,ρ场，也是保守场。说明静电场是一种发散安培环路定理（微分形式）

积分形式表示意义

,0)(,0⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−=⨯∇=⋅→

→

→⎰E l d E C

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

−−−→−=⋅∇=⋅→=→→∑⎰真空中的高斯定理为体电荷密度）（微分形式，积分形式表示意义ρερ

ε01

0).(1E q S d E n i i S 在线性、各向同性介质中，本构方程为：→

→→→→==+=E E P E D r εεεε00 4、电介质的极化

（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：)(极化强度矢量→

→⋅-∇=P P p ρ。 （2）介质表面的极化面电荷密度为：)(p 量为表面的单位法向量矢→

→→⋅=n n P S ρ 5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即