第8讲 有理真分式的递推公式
高数有理分式积分法分解
2
4q p2
4q p2
6
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求四种类型的不定积分：
(4)
(x2
Ax B px
q)k
dx
A 2
d(x2 p (x2 p x
x q) q)k
(B Ap )dx 2
[(x p )2 (q p2 )]k
2 t x 4p
2
A (x2 p x q)k1(B Ap )
A (x a)k
dx
A (x a)k1 C k 1
(k 2,3, 4,)
(3)
Ax B x2 p x q
dx
A 2
d
(x2 p x q) x2 p x q
(B Ap )dx 2
(x p)2 (q p2 )
2
4
A ln(x2 p x q) 2B AP arctan 2x p C
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
1 (x 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
9
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
x 2
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
26
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2. 简单无理函数的积分
有理真分式分解为部分分式导数法
户 当 走< n
( 时 Q ,
(n 一 走) x
) 〔( x
一a
〕 ( ) Q ( k ) =
( ” 一 无) x 。
由引理 1 知
时 ( ) [ ( ) 〕 x = a
Q ,
(” 一 走) x
.
x 一 。 ` (k ) = 0
因此 走<
n
时 , 〔Q ( x ) ( x
一 a 户〕( ” ) 有 因 式 ( x
”
(k ) =
A, Q (” ) ( x ) + A 。 一 1 Q ( x ) ( x
a ) 〕( n )
+ … + A l〔43;
(尺 (x ) Q ( x ) (x
) 〕 一 a
” (” )
(关 )
习 艺 中 而
晓 〔 ( ) ( ) 〕 尸( ” 一 k ) x
嵘 Q (x ) n !
考虑 到
Q (a
)=
,
o 因此
x
=
a
是 〔Q (x ) (x
〕 ) 一 a ” ( ” ) 的 实 根 。
因此 x = a 是 〔尺 ( x ) Q ( x ) ( x 一 a ) n 〕( ” ) 的 实根 。
定理
若x
=
a
是有 理式 Q ( x
)的
n
,
重 实根 则 在部 分 分式
)有 因式 ( x
一a
,
)故
Q ( k ) (a
)=
0 , 无=
i 2 … ,
,
,n
一l。
引理 2
若x
=
a
是 Q (x )的 n
【优质文档】11.分式递推
2 (3 2 2)bn ( 4 3 2) 3 2 2 bn
2 (3 2 2)bn ( 4 3 2) 3 2 2 bn
2 =( 2 -1) 4 bn 2 ,
2
bn 2
所以 , 数列 { bn
bn
2 } 是以为 ( 2 -1) 2 首项 , 公比为 ( 2 -1) 4 的等比数列
2
bn
2 =( 2 -1) 4n-2
an 4
1
a n 2 =-2( ) 1 n-1
5
2
an 4
5(
1 )
n
an=
2 2( 1 ) n
1
1 2 =5 14
2n 1 2n
2
bn= 1
=
2
(2
n-1
+2)
1 an 2
3
b1=2,b 2= 8 ,b 3=4,b 4= 20 ;
3
3
( Ⅱ) 由 bn= 1
1 an
2
bn(a n- 1 )=1
2
a bn n = 1 bn+1= 1 ×2n-1 + 5
5
2an 1
( Ⅰ) 求 {a n} 的通项公式 ;
( Ⅱ) 证明 : 对任意的 x>0,a n≥ 1
1 ( 2 x) ,n=1,2, … ;
(
1 x (1 x)2 3n
Ⅲ ) 证明 :a 1 +a2+… +an > n2 .
n1
解析 : ( Ⅰ ) 由 a = n+1 3an
2 an 1
1 11 2 an 1 3 an 3
1+ 1 > 2n 1 2n 1 2n 1
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
分式递推数列 一般式 推导
分式递推数列一般式推导
分式递推数列一般式推导是指通过对分式递推序列进行递归求解，得到其通项公式的过程。
其推导基于以下两个假设：
1.分式递推数列具有递推性质，即每一项都可以通过前面的若干
项和固定的常数项组合而成。
2.分式递推数列满足某种特定的数学规律，可通过这种规律来推
导其通项公式。
具体的推导步骤如下：
1.确定初始项和递推公式
对于一个分式递推数列来说，我们需要先确定它的初始项，即第
一项的值，和递推公式，即每一项与前面一定项的关系式。
2.写出前几项的数值
利用递推公式，我们可以递归地计算出前几项的数值，用于验证
后续的通项公式。
3.推导通项公式
通过数学归纳法证明分式递推序列的通项公式，推导出其通项公式。
4.验证通项公式的正确性
利用通项公式，我们可以验证分式递推数列中任意一项的值是否符合计算公式。
在推导分式递推数列一般式时，我们需要充分利用数学知识，运用常用的数学方法和技巧，以求得正确的结果。
递推公式和通项公式
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
8有理函数
2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
有理函数和可化为有理函数的 不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = m m −1 Q( x ) b0 x + b1 x + L + bm −1 x + bm
有理式的不定积分与有理化方法二
补例 求 dx . x3 1
解
1 1 1 x2 3 ( 2 ). x 1 3 x 1 x x 1
x2 1 2x 4 1 2x 1 3 dx x 2 x 1 2 x 2 x 1dx 2 x 2 x 1dx
1 (2 x 1)dx 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1
化简并约去两端的公因子 x后为 2 x 2 3x 1 A12 ( x 1) 2 A22 ( x 1),
即 2 x 1 A12 x A12 A22 ,
A12 2, A22 1.
得
例2 求
解
1 A Bx C , 2 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x
两端去分母,得 或
1 A(1 x 2 ) ( Bx C)(1 2x),
1 ( A 2B) x 2 ( B 2C) x C A.
比较两端的各同次幂的系数及常数项，有
A 2 B 0, 4 2 1 A , B ,C . 解之得 B 2 C 0 , 5 5 5 A C 1. 4 2 1 x 1 5 5 5. (1 2 x)(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
1 d (x ) 1 d ( x 2 x 1) 3 2 1 2 3 2 2 x2 x 1 (x ) 2 4
1 2x 1 2 ln(x x 1) 3 arctan C. 2 3
dx 1 1 1 2x 1 2 x3 1 3 ln(x 1) 6 ln(x x 1) 3 arctan 3 C.
变分子为
B 2
有理真分式的不定积分
好的，我将为您介绍有理真分式的不定积分。
首先，什么是有理真分式？有理真分式是指分子和分母都是多项式的分式。
例如，$\frac{x^2 + 1}{x+2}$ 就是一个有理真分式。
对于有理真分式的不定积分，我们可以分为两种情况来讨论：分母因式分解后含有线性因式和二次因式的情况。
一、分母因式分解后含有线性因式的情况设有理真分式的分母为 $ax+b$，其中 $a$，$b$ 均为实数且$a\neq0$。
这时我们可以将分母进行因式分解，得到：$$\frac{px+q}{ax+b}$$其中 $p$ 和 $q$ 为实数常量。
接下来，我们需要考虑如何对这个式子进行积分。
我们可以通过一些代换或分离因式的方法将其变形为较为简单的形式，再进行积分。
这里介绍一种常用的方法——部分分式分解法。
部分分式分解法是将有理真分式分解为若干个分式相加的形式，从而使每个分式都可以通过基本的积分公式进行积分。
它的具体步骤如下：1. 对于分母含有 $(ax+b)$ 这样的一次因式的有理真分式，我们可以将其表示为$$\frac{p}{ax+b}=\frac{A}{ax+b}$$其中$A$ 是一个待定的常数。
将这个等式两边同乘$(ax+b)$，得到$$p = A(ax+b)+R$$其中 $R$ 是一个不含 $(ax+b)$ 的多项式。
将 $x$ 分别取不同的值，可以得到一系列关于$A$ 和$R$ 的方程，从而求出$A$ 和$R$。
2. 对于分母含有 $(ax^2+bx+c)$ 这样的二次因式的有理真分式，我们可以将其表示为$$\frac{p}{ax^2+bx+c}=\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$其中$A$ 和$B$ 是待定常数。
将这个等式两边同乘$(ax^2+bx+c)$，得到$$p = (Ax+B)(ax^2+bx+c)+R$$其中 $R$ 是一个不含 $(ax^2+bx+c)$ 的多项式。
同样地，将$x$ 分别取不同的值，可以得到一系列关于 $A$、$B$ 和 $R$ 的方程，从而求出 $A$、$B$ 和 $R$。
分式递推
第十讲:分式递推分式递推数列特指数列{a n }:a 1=t,a n+1=.其通项求解有如下四种类型.1.基本类型(Ⅰ)例1:(2008年陕西高考试题)(理)己知数列{a n }的首项a 1=53,a n+1=123+n na a ,n=1,2,…. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的x>0,a n ≥)32()1(1112x x x n -+-+,n=1,2,…; (Ⅲ)证明:a 1+a 2+…+a n >12+n n . 解析:(Ⅰ)由a n+1=123+n n a a ⇒3213111+⋅=+n n a a ⇒)11(31111-=-+n n a a ⇒n a 1-1=2(31)n ⇒a n =233+n n ; (Ⅱ)令f(x)=)32()1(1112x x x n -+-+⇒f '(x)=-2422)1()32(2)1()1(2)32()1()1(1x x x x x x x n n +-=++⋅--+--+⇒f(x)的最大值=f(n 32)=a n ; (Ⅲ)令{b n }的前n 项和为12+n n ,则b n =)1(1)1(+-+n n n n =1-)1(1+n n ,因a n =233+n n =1-232+n ,所以,a n >b n ⇔)1(1+n n >232+n⇔3n+2>2n(n+1),令g(x)=3x+2-2(x 2+x)(x ≥3)⇒g '(x)=3xln3-2(2x+1)⇒g ''(x)=3xln 23-4>0⇒g '(x)≥g '(3)>0⇒g(x)≥g(3)>0⇒当n ≥3时,a n >b n 且g(1)+g(2)>0⇒a 1+a 2>b 1+b 2,所以,a 1+a 2+…+a n >12+n n . [思想方法]:数列{a n }:a 1=x,a n+1=c ba aa n n +的通项,可由a n+1=c ba aa n n +两边取倒数得:11+n a =c n a 1+ab,通过换元x n =n a 1得:x n+2=cx n +a b ,由此求解.一般地,如果x n =n a 1,则x n+2=px n +f(n)⇔a n+1=pa n f a n n+)(.类题:1.(2008年陕西高考试题)(文)己知数列{a n }的首项a 1=32,a n+1=12+n n a a ,n=1,2,….(Ⅰ)证明:数列{n a 1-1}是等比数列; (Ⅱ)求数列{na n}的前n 项和S n . 2.(2006年江西高考试题)己知数列{a n }满足:a 1=23,且a n =12311-+--n a na n n (n ≥2,n ∈N*).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)证明:对一切正整数n,不等式a 1a 2…a n <2×n！恒成立.2.基本类型(Ⅱ)例2:(原创题)己知数列{a n }:a 1=2,a n+1=1223--n n a a .(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:a 1a 2…a n >12+n .解析:(Ⅰ)因数列{a n }的特征方程x=1223--x x 只有一根x=1.故由a n+1=1223--n n a a ⇒111-+n a =112231---n n a a ⇒111-+n a =112--n n a a⇒111-+n a =11-n a +2.令b n =11-n a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=++111111111n n a b a b ⇒b n+1=b n +2⇒{b n }是以b 1=1为首项公差为2的等差数列⇒b n = 2n-1⇒11-n a =2n-1⇒a n =1+121-n ;(Ⅱ)令数列{x n }的前n 项的积为12+n ⇒x 1=3,x n+1=1232++n n ⇒x n =1212-+n n .而a n >x n ⇔1+121-n >1212-+n n ⇔122-n n>1212-+n n ⇔122-n n >12+n ⇔2n>1)2(2-n ,这是显然成立的,故a n >x n >0⇒a 1a 2…a n >x 1x 2…x n =12+n .[思想方法]:若数列{a n }:a 1=x,a n+1=c ba aa n n+的特征方程=x 只有一根α,则数列{}是以α-t 1为首项,公差为的等差数列,特别地,当α=1时,a n =1+ban +1. 类题:1.(原创题)数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=2334--n n a a .(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求证:a 1a 2…a n >313+n . 2.(2008年佛山第一次质检试题)数列{a n }满足:a 1=21,a n+1=n a -21.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ,证明:S n <n-ln(22+n ). 3.基本类型(Ⅲ)例3:(2007年全国I 高考试题)己知数列{a n }中,a 1=2,a n+1=(2-1)(a n +2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }中,b 1=2,b n+1=3243++n nb b,n=1,2,3,….证明:2<b n ≤a 4n-3,n=1,2,3,….解析:(Ⅰ)a n+1=(2-1)(a n +2)⇒a n+1-2=(2-1)(a n -2),所以,数列{a n -2}是以a 1-2=2-2=2(2-1)为首项,以2-1为公比的等比数列⇒a n -2=2(2-1)(2-1)n-1=2(2-1)n ⇒a n =2(2-1)n+2;(Ⅱ)令f(x)=3243++x x ,由f(x)=x 得x=±2,所以22223223)234()223()234()223(23243232432211+-⋅+-=+++-+-=+++-++=+-++n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b =(2-1)422+-⋅n n b b , 所以,数列{22+-n n b b }是以为(2-1)2首项,公比为(2-1)4的等比数列⇒22+-n n b b =(2-1)4n-2⇒b n =22424)12(1)12(1-----+n n . 首先,2<b n ⇔2<22424)12(1)12(1-----+n n ⇔1-(2-1)4n-2<1+(2-1)4n-2⇔2(2-1)4n-2>0;其次,b n ≤a 4n-3⇔22424)12(1)12(1-----+n n≤2(2-1)4n-3+2⇔2424)12(1)12(1-----+n n ≤(2-1)4n-3+1(令(2-1)4n-2=t,则t ∈(0,1))⇔tt-+11≤(2+1)t+1⇔0≤t ≤ (2-1)2.[思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,若特征方程=x 有两根α,β,则数列{}是以βα--t t 为首项,公比为βαb t b t --的等比数列. 类题:1.(2005年重庆高考试题)数列{a n }满足:a 1=1,且8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0(n ≥1).记b n =211-n a (n ≥1).(Ⅰ)求b 1,b 2,b 3,b 4的值; (Ⅱ)求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n . 2.(2006年江西高考试题)己知各项均为正数的数列{a n }满足:a 1=3,且1122++--n n nn a a a a =a n a n+1,n ∈N*.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,T n =211a +221a +…+21n a ,求S n +T n ,并确定最小正整数n,使S n +T n 为整数.4.基本类型(Ⅳ)例4:(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设复数列{x n }满足x n ≠a-1,0,且x n+1=1+n nx ax .若对任意n ∈N +都有x n+3=x n , 则a 的值是 .解析:由x n+1=1+n n x ax ⇒x n+3=122+++n n x ax =1)1(112++++n n x a x a =1)1(23+++n n x a a x a =x n 恒成立,即a 3=(a 2+a+1)x n +1⇒因为x n ≠a-1,或0,故a 2+a+1=0⇒a=231i ±-.[思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,若特征方程=x 无实根,则数列{a n }是周期数列. 类题:1.①(2011年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=-11+n a ,则a 2010的值为______. ②(2005年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=nna a -+11,则a 2005的值为____________. ③(2004年第15届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=1,a n+1=313+-n n a a (其中n ∈N*),a 2004= .2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=1-na 1.记数列{a n }的前n 项之积为P n ,则P 2009的值为 .5.换元技巧例5:(2005年重庆高考试题)数列{a n }满足:a 1=1,且8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0(n ≥1).记b n =211-n a (n ≥1).(Ⅰ)求b 1,b 2,b 3,b 4的值;(Ⅱ)求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)由8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0⇒a n+1=16852+-+n n a a ,令16852+-+x x =x 得x=21,45.所以,452111--++n n a a =45168522116852-+-+-+-+a a a a n n = ⋅214521--nn a a ⇒4521--n n a a =-2(21)n-1⇒a n =1)21(221)21(51++-n n =n n 24251++-⇒b n =211-n a =32(2n-1+2)⇒b 1=2,b 2=38,b 3=4,b 4=320; (Ⅱ)由b n =211-n a ⇒b n (a n -21)=1⇒a n b n =21b n +1=31×2n-1+35⇒S n =31(2n -1)+35n. 另解:由b n =211-n a ⇒b 1=2,且a n =n b 1+21⇒a n+1=11+n b +21,代入8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0得:8(11+n b +21)(n b 1+21)-16(11+n b +21)+2(n b 1+21)+5=0⇒4+3b n+1=6b n ⇒b n+1-34=2(b n -34)⇒数列{b n -34}是以32为首项,公比为2的等比数列⇒b n -34=32×2n-1⇒b n =32(2n-1+2)⇒b 1=2,b 2=38,b 3=4,b 4=320.[思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,若特征方程=x 有两个实根α,β⇒α+β=cd a -,αβ=-cb .40 第十讲:分式递推令b n =α-n a 1⇒b n+1=α-+11n a ⇒11+n b +α=d b c b b a nn ++++)1()1(αα⇒(c α-a)b n+1+(c α+d)b n +c=0,从而转化为线性递推数列. 类题:1.(原创题)己知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=122++n n a a .记b n =11+n a . (Ⅰ)求数列{b n }的通项公式b n ; (Ⅱ)求数列{nb n }的前n 项和S n .2.(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)数列{a n }满足:a 1=4,a n+1a n +6a n+1-4a n -8=0,记b n =26-n a ,n ∈N *.(Ⅰ)求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{a n b n }的前n 项和S n .6.通项不等式例6:(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=13++x x (x ≠-1).设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足:b n =|a n - 3|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤12)13(--n n; (Ⅱ)证明:S n <332. 解析:(Ⅰ)令f(x)=x ⇒x=3±,由3331313133133)(3)(3311+-⋅+-=+++-++=+-=+-++n n n n n n n n n n a a a a a a a f a f a a =-(2-3)33+-n n a a ⇒33+-n n a a =(3-2)n⇒a n =3nn )23(1)23(1---+⇒b n =|a n -3|=3|nn )23(1)23(2---|,所以,b n ≤12)13(--n n⇔3|nn )23(1)23(2---|≤12)13(--n n⇔3×2n (2-3)n≤(3-1)n|1-(3-2)n|⇔3(3-1)2n≤(3-1)n|1-(3-2)n|⇔3(3-1)n≤|1-(3-2)n|⇔3(3-1)n≤1-(2-3)n(n 为偶数)⇔3(3-1)n+(2-3)n≤1⇔3(3-1)2+(2-3)2≤1;(Ⅱ)由(I)知b n ≤12)13(--n n=21n )213(-⇒S n <21[213-+(213-)2+…+(213-)n ]=21[2131)213(1213-----n]<332. 另解:由a n+1=f(a n )＝13++n n a a ⇒a n+1=1+12+n a ≥1,b n+1=|a n+1-3|=|13++n n a a -3|=113+-n a |a n -3|≤213-b n ⇒b n ≤ 213-b n-1≤(213-)2b n-2≤…≤(213-)n-1b 1=12)13(--n n. [思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,特征方程=x.若特征方程有两个实根α,β⇒α+β=c d a -,αβ=-cb.令b n =|a n -α|⇒b n+1=|a n+1-α|=|-α|=||||d ca d c n ++β|a n -α|=||||d ca d c n ++βb n .若||||d ca d c n ++β≤M,则b n ≤M n-1b 1.类题:1.(原创题)己知数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=3243++n n a a ,数列{b n }满足:b n =|a n -2|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤2(2-1)4n-3; (Ⅱ)证明:S n <412+. 2.(原创题)己知数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=124+-n n a a ,数列{b n }满足:b n =|a n -1|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*). (Ⅰ)证明:b n ≤3n-1(2-1)n; (Ⅱ)证明:S n ≤22×3n ×(2-1)n-1.。
(完整版)高等数学中有理分式定积分解法总结.doc
由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q( x)在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商P xP x称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式Q x与分母多项式 Q x 之间无公因式，当分子多项式P x 的次数小与分母多项式Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1. 对于假分式的积分： 利用多项式除法， 总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式 .例3x 4 2x 21.1x 2 1dx解 原式3x 2 x21 x 2x21dx3x2dx x 2 dxx 2 13 x2dx 1 x 2 1 dx1 3 x2dx dx1 dxx 3 x21x arctanx C2x 4x 2 3 例 1.221 dxx2x 2 x 2 13 x2 dx解 原式x212 x 2dx 31 1 dx x2 dxx 2x 2 12 x 34arctan x x C31总结：解被积函数为假分式的有理函数时， 用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分 . 对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：x 2 dx1 1dxx 2 1 x 2 1P x 对于真分式，若分母可分解为两个多项式乘积Q x = Q 1 x Q 2 x ，且 Q 1x ，Q xP x P xP xQ 2 x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：12，上述过程称为Q xQ 1 x Q 2x把真分式化为两个部分分式之和. 若 Qx 或 Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘12积，则最后有理函数分解式中出现多项式、P 1 xk、P 2 x 等三类函数，则多项xx 2px la q式的积分容易求的2. 先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1类型一(ax b) mdxcxkx31dx例 2.1.1x2解 原式 =x 33x23x1dxx 2= xdx3 dx 31dx 1dxx x 2= 1x 2 3x 3In x 1 C 2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2类型二cx kax m dxbx 2例 2.2.13 dxx2解 令 x+2=t , 则 xt 2 ， 有 dx dt2t 2原式 = 2dxt 3= t24t4dtt 3= 14 11 dt t2 dt43 dttt=Int+ 4 - 2+Ct t 2=I n x 242Cx 2x 2 2总结：当被积函数形如时cxkm dx ，将其用换元法转换为ax b解法求解2.3 类型三P x l dxax 2bx c例 2.3.1x 32dxx 22x2原式 =x 32 dtx 1 21设=tant,x=tant+1,dx=set2x-1tdt3上式 =1+tantset 2tdtset 2t= tan 3 t 3tan 2 t 3tan t 1dtset 2t = sin 3 t cos 1 t 3sin t cost 3sin 2 t cos 2 t dtm(axb)dx ，再按照后者cx k=- 1 cos 2t costd cost +3sin 2tdt dt cos2tdt4=-Incost + 1cos 2t+2t+2sintcost2 1x 1Q tant=x-1, cost=2,sint= 2x 1 1x1 1上式122x 22 x 214 2arctan x 1 x 2 2x 2C= 2 In x4x 2x 23例2.3.2x 1 dxx 2 2x132x22=2dx22x 3x=1x 21 3 d x 22x 3 -212 dx 2 2 xx 1 2= 1In x22x 3 - 2arttanx 1+C22总结：当被积函数分母含有 ax 2 +bx+c 时，可以用凑微分法进行积分 ；对于形如 ax 2 lbx+c 时，可将其变形为 T 2 x +1或者是1-T 2 x ,然后利用三角函数恒等变形 sin 2x+cos 2x=1和1+tan 2x=set 2x 将T 2 x 降次，便于计算 .3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分例 3.1 2x+3dx2 3x 10x解法 12x+3 dx2 3x 10x =x 21d x 2 3x 103x 10=In x 23x 10 +C解法 22x+3dxx 23x102x+3 10 = 2x+3 = A + B 2 x 2 3x x+5 x 2 x 5 x =A B x 5B 2A1 1x 5 x 2x 5 x 2原式 =11dxx5 x 2=In x 23x 10 +C总结： 假分式分母可以因式分解， 将被积函数化为部分分式之和的形式， 然后用基本积分公4式进行运算 .x2 dx例 3.22x 1x 2 x 1原式 =2xdx2x 1 x 2 x111 2x 1 1=d 2x 1 - 2x 2 x 2dx 2x 11=1 d 2x 11x21 d x 2x 1112dx 2x 12 x121 3x24=In2x 1 - 1In x2x 1+ 1arctan x1+C232总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换.x 3dx 例 3.3x 2x 1 1=x 3dxx 2x11x 2 1 dxx 2 2x 1 x11 2x 2112 dxx 22xdx1 x11 x2 1 d x22x 11 2 dx1dx 2 2x 1x 1x1Inx1 x 1 Cx 11总结： 此题能够得出一个重要结论， 分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标 准进行因式分解，拆项除此之外， 常见的还有， 可化为有理函数的积分 . 例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sin xdx . 例如被积函数中含有cos xsin x 1nax b 或 nax b时用换元法将根号去掉，例：x 1 xdx ， 1dx . 虽然形式cxd1 x3x15各种各样 , 但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松6。
七年级下册分式知识点
七年级下册分式知识点分式是数学中的一个重要知识点，也是初中数学的难点之一。
在初中阶段，学生要学习基本的分式知识点，如何化简分式、分式的乘法、除法、加法和减法，以及分式的应用等。
一、分式的定义分式是指一个数与另一个数的比值表示成a/b（分子为a，分母为b）的形式。
其中“a”和“b”都是整数，且“b≠0”。
分式也被称为有理式或者比值式。
二、分式的化简方法化简分式有以下几种方法：1、约分：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，即可将它们化为最简分式。
2、分式乘法：将两个分式相乘，去掉相同因式即可化简。
例如：（2x+6）/（6x）*（6x）/(x+3)=（x+3）/x。
3、分式除法：将两个分式相除，化为乘法并取倒数，然后再进行分式乘法或分式加减即可。
4、分式加减：将分式化为相同的分母，然后将分子相加或相减即可。
例如：（3/5）+（2/3）=（9/15）+（10/15）=（19/15）。
三、分式的乘法和除法分式的乘法和除法有以下几种规律：1、分式的乘法公式：（a/b）*(c/d)=(ac)/(bd)。
2、分式的除法公式：（a/b）/(c/d)=(a/b)*(d/c)。
3、分式的乘数倒数：任何一个数的倒数与它的乘积都等于1，即a*(1/a)=1。
4、分式的除数倒数：任何一个数的倒数与它的倒数的乘积都等于1，即（a/b）/（b/a）=（a/b）*(a/b)=1。
四、分式的应用分式在日常生活中有很多应用，如：1、饮料的浓度：饮料的浓度可以用分式表示，浓度越高，分子就越大，分母就越小。
2、车程时间：车程时间可以用分式表示，如：两辆车同时从两地出发，相向而行，相遇后的时间可以用分式表示。
3、兑换比例：货币兑换比例可以用分式表示，如美元和人民币1:6.7，就可以用分式1/6.7表示。
从以上分式的定义、化简、乘法、除法和应用来看，分式是初中数学中的一个重要知识点，还有很多值得学习的内容和思考。
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
高等数学中有理分式定积分解法总结
由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商()()P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2 422231x x dx x +++⎰ ()22222131x x x dx x ++-=+⎰解 原式222212311x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰324arctan 3x x x C =+-+ ()422222222222223321.11311311311131arctan x x dxx x x x dx x x x dx dxx x dx dxx x dx dx dxx x x x C +++-=+=-+⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111x dx dx x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ 对于真分式()()P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：()()P x Q x ()()()()1212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()()1kP x x a -、()()22lP x xpx q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1 类型一 ()mkax b dx cx +⎰ 例2.1.1()321x dx x -⎰322331=x x x dx x -+-⎰解 原式211=33xdx dx dx dx x x-+-⎰⎰⎰⎰211=332x x In x C x-+++总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二 ()kmcx dx ax b +⎰例2.2.1()232x dx x +⎰解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =()()232323222=44=111=44t42=Int+42n 222t dxtt t dt tdt dt dtt t t tx C x x --+-+++-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C=I 总结：当被积函数形如时()kmcx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()mkax b dx cx+⎰，再按照后者解法求解2.3 类型三()()2x lP dx axbx c ++⎰()()()()3223222322322312222x =dt11x-1dt 1+tan =dtset tan 3tan 3tan 1=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dxxx x t t t tt t t tt t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦++++++⎰⎰⎰⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()222223=-1cos costd cos +sin 2dt dt cos 2dt 41cos 21122=222arctan 1224422t t t t t x In x x x Cx x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰ =-In +cos t+2t+2sintcosttant=x-1, 上式()()()()()2222222221dx2312222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1lx x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set . x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分()()()()()()22222222+3dx 3102+3dx3101=d 310310=In 3102+3dx 3102+32+3=310+525252115252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A Bx x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰⎰⎰⎰例3.1 解法1 +C 解法2 =+= 原式211dx52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.例3.2 ()()22dx 211x x x x ++++⎰()()()()2222222=dx2111121122=212111111121d 12121213241121122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23dx 11x x x ---⎰()()()()()2222223=d 1121d 211122112d d 2111111d 21d d 221111111x xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x InC x x --+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫-- ⎪=- ⎪-++ ⎪⎝⎭=-+---++--=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：()1+sin sin 1cos xdx x x +⎰.例如被积函数中含有时用换元法将根号去掉，例：x，. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。
第8讲 有理真分式的递推公式
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
例3 求 I=
x
2x 5
4 x4
x
3 5x
4x 3
2 2x
9x 2
10 4x
dx 8
.
解 由例1,
2x4 x3 4x2 9x 10
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
Ik
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
(t 2
t r 2 )k1
Ik1 .
化简得
Ik
2r 2 (k
t 1)(t 2
r 2 )k1
2k 3 2r 2(k 1)
I k 1 ,
k 2, 3, .
C,
k 1, k 1.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
(ii)
令t x
p,
r2 q
p2 ,N
M
pL , 则
2
4
2
(
Lx M x2 px q)k
dx
某些无理函数的不定积分
由递推公式
d(x2 2x 2)
d( x 1)
( x2 2x 2)2 [( x 1)2 1]2
x2
1 2x
高等数学中有理分式定积分解法总结整理
素材归纳不易，仅供学习参考由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商()()P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2 422231x x dx x +++⎰ ()22222131x x x dx x ++-=+⎰解 原式222212311x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰()422222222222223321.11311311311131arctan x x dxx x x x dx x x x dx dxx x dx dxx x dx dx dxx x x x C +++-=+=-+⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式324arctan 3x x x C =+-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111x dx dx x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ 对于真分式()()P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：()()P x Q x ()()()()1212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()()1kP x x a -、()()22lP x xpx q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1 类型一 ()mkax b dx cx+⎰ 例2.1.1()321x dx x -⎰322331=x x x dx x-+-⎰解 原式 211=33xdx dx dx dx x x-+-⎰⎰⎰⎰211=332x x In x C x-+++总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二 ()kmcx dx ax b +⎰例2.2.1()232x dx x +⎰解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =()()232323222=44=111=44t 42=Int+42n 222t dx t t t dt t dt dt dtt t t tx Cx x --+-+++-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C=I 总结：当被积函数形如时()kmcx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()mkax b dx cx+⎰，再按照后者解法求解2.3 类型三()()2x lP dx axbx c ++⎰()()()()3223222322322312222x =dt11x-1dt 1+tan =dtset tan 3tan 3tan 1=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dxxx x t t t tt t t tt t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦++++++⎰⎰⎰⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()222223=-1cos costd cos +sin 2dt dt cos 2dt 41cos 21122=222arctan 1224422t t t t t x In x x x Cx x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰ =-In +cos t+2t+2sintcosttant=x-1, 上式()()()()()2222222221dx2312222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1lx x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set . x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分()()()()()()2222222dx3102+3dx3101=d 310310=In 3102+3dx3102+32+3=310+525252115252=x x x x x x x x x x x x x x x x A Bx x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰⎰⎰⎰例3.1 解法1 +C 解法2 =+=原式211dx52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.例3.2 ()()22dx 211x x x x ++++⎰()()()()2222222=dx2111121122=212111111121d 12121213241121122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23dx 11x x x ---⎰()()()()()222222=d 1121d 211122112d d 2111111d 21d d 221111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x InC x x -+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫-- ⎪=- ⎪-++ ⎪⎝⎭=-+---++--=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：()1+sin sin 1cos xdx x x +⎰.例如被积函数中含有时用换元法将根号去掉，例：x，. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏) (素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)。
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
第八讲 有理真分式的递推公式
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 式的不定积分之和：
(i)
(
x
dx a
)k
;
(ii)
(
x
Lx M 2 px q)k
dx
( p2 4q 0).
下面解这两类积分:
ln | x a | C,
(i)
dx ( x a)k
1 (1 k)( x a)k1
2
23
3
于是
I ln | x 2 | 2ln | x 2 | 1 1 ln | x2 x 1 | x2 2
(x x2
1)dx x1
1
123
adr(xcxt22anx2xx131)112C.
x
2
1 x
dx 1
数学分析 第八章 不定积分
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
dx
Lt N (t 2 r 2 )k dt
k 1 时,
L
t dt N
dt .
(t 2 r2 )k
(t 2 r2 )k
t2
t
r
2 dt
1 2
ln(t
2
r
2
)
C,
dt
t2 r2
1 arctan r
t r
C.
数学分析 第八章 不定积分
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
Ik
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
(t 2
t r 2 )k1
Ik1 .
化简得
Ik
2r 2 (k
t 1)(t 2
r 2 )k1
2k 3 2r 2(k 1)
I k 1 ,
k 2, 3, .
2
dx 1
x 12 1
arctanx
1
C, 1
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
2x 1
( x2 2x 2)2dx
(
(2 x2
x
2
2) 1 x 2)2
1)
C2 .
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
于是
x2 1 dx
1 dx
2x 1 dx
( x2 2x 2)2
x2 2x 2
( x2 2x 2)2
x5
x4
5x3
2x2
4x
dx 8
dx x2
2dx x2
dx ( x 2)2
(x x2
1)dx . x1
ln
|
x
2
|
2 ln
|
x
2
|
x
1
2
(x x2
1)dx . x1
其中
( x 1)dx x2 x 1
1 2
d( x2 x 1) x2 x 1
1 2
1
x2
x
dx 1
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dx
某些无理函数的不定积分
由递推公式
d(x2 2x 2)
d( x 1)
( x2 2x 2)2 [( x 1)2 1]2
x2
1 2x
2
(t
2
dt 1)2
.
t x1
dt
(t 2 1)2
t 2(t 2
1)
1 2
dt t2 1
2( x2
x 1 2x
2)
1 2
arctan( x
x3
3
2( x2 2x 2) 2 arctan( x 1) C.
dx
x2 2x 2
arctan x 1 C
(x2
2x 1 2x
2)2
dx
x3 2( x2 2x
2)
1 2
arctan( x
1)
C
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有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
例3 求 I=
x
2x 5
4 x4
x
3 5x
4x 3
2 2x
9x 2
10 4x
dx 8
.
解 由例1,
2x4 x3 4x2 9x 10
C,
k 1, k 1.
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有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
(ii)
令t x
p,
r2 q
p2 ,N
M
pL , 则
2
4
2
(
Lx M x2 px q)k
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
例4
求
(
x
2
x
2 2x
1
2)2dx.
解 由于
某些无理函数的不定积分
x2 1
x2 2x 2 (2x 1)
( x2 2x 2)2 ( x2 2x 2)2
x2
1 2x
2
(x2
2x 1 2x
2)2
,
而
x2
dx 2x
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§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
1 ln | x2 x 1 | 1
2
2
dx
x
1 2
2
2
3
2
1 ln | x2 x 1 | 1 2 arctan 2x 1 C.
2
dt
1 r2
I k 1
1 r2
(t 2
t2 r 2 )k
dt
1
1
1
r 2 Ik1 2r 2(k 1)
td
(t 2
r 2 )k1
1 r2
I k r 2 )k1
Ik1 .
数学分析 第八章 不定积分
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
k 2 时,
t2
t r2
k
dt
1 2
dt 2 r 2
(t 2 r 2 )k
21
1
k t 2
r2
k 1
C.
记 Ik
dt (t 2 r2 )k
,则
Ik
1 r2
(
t2 (t
2
r
2)t r 2 )k