第8讲 有理真分式的递推公式

dx
某些无理函数的不定积分
由递推公式
d(x2 2x 2)
d( x 1)
( x2 2x 2)2 [( x 1)2 1]2
x2
1 2x
2
(t
2
dt 1)2
.
t x1
dt
(t 2 1)2
t 2(t 2
1)
1 2
dt t2 1
2( x2
x 1 2x
2)
1 2
arctan( x
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§3 有理函数和可化为有理 函数的不定积分
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
例3 求 I=
x
2x 5
4 x4
x
3 5x
4x 3
2 2x
9x 2
10 4x
dx 8
.
解 由例1,
2x4 x3 4x2 9x 10
C,
k 1, k 1.
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有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
(ii)
令t x
p,
r2 q
p2 ,N
M
pL , 则
2
4
2
(
Lx M x2 px q)k
x5
x4
5x3
2x2
4x
dx 8
dx x2
2dx x2
dx ( x 2)2
(x x2
1)dx . x1
ln
|
x
2
|
2 ln
|
x
2
|
x
1
2
(x x2
1)dx . x1
其中
( x 1)dx x2 x 1
1 2
d( x2 x 1) x2 x 1
1 2
1
x2
x
dx 1
数学分析 第八章 不定积分
2
dx 1
x 12 1
arctanx
1
C, 1
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有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
2x 1
( x2 2x 2)2dx
(
(2 x2
x
2
2) 1 x 2)2
有理函数的部 分分式分解
有理真分式 的递推公式
三角函数有理 式的不定积分
例4
求
(
x
2
x
2 2x
1
2)2dx.
解 由于
某些无理函数的不定积分
x2 1
x2 2x 2 (2x 1)
( x2 2x 2)2 ( x2 2x 2)2
x2
1 2x
2
(x2
2x 1 2x
2)2
,
而
x2
dx 2x
某些无理函数的不定积分
任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 式的不定积分之和：
(i)
(
x
dx a
)k
;
(ii)
(
x
Lx M 2 px q)k
dx
( p2 4q 0).
下面解这两类积分:
ln | x a | C,
(i)
dx ( x a)k
1 (1 k)( x a)k1
dx
Lt N (t 2 r 2 )k dt
k 1 时,
L
t dt N
dt .
(t 2 r2 )k
(t 2 r2 )k
t2
t
r
2 dt
1 2
ln(t
2
r
2
)
C,
dt
t2 r2
1 arctan r
t r
C.
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三角函数有理 式的不定积分
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三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
Ik
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
(t 2
t r 2 )k1
Ik1 .
化简得
Ik
2r 2 (k
t 1)(t 2
r 2 )k1
2k 3 2r 2(k 1)
I k 1 ,
k 2, 3, .
2
dt
1 r2
I k 1
1 r2
(t 2
t2 r 2 )k
dt
1
1
1
r 2 Ik1 2r 2(k 1)
td
(t 2
r 2 )k1
1 r2
I k 1
1 2r 2 (k
1)
(t 2
t r 2 )k1
Ik1 .
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某些无理函数的不定积分
1 ln | x2 x 1 | 1
2
2
dx
x
1 2
2
2
3
2
1 ln | x2 x 1 | 1 2 arctan 2x 1 C.
x3
3
2( x2 2x 2) 2 arctan( x 1) C.
dx
x2 2x 2
arctan x 1 C
(x2
2x 1 2x
2)2
dx
x3 2( x2 2x
2)
1 2
arctan( x
1)
C
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2
23
3
于是
I ln | x 2 | 2ln | x 2 | 1 1 ln | x2 x 1 | x2 2
(x x2
1)dx x1
1
123
adr(xcxt22anx2xx131)112C.
x
2
1 x
dx 1
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三角函数有理 式的不定积分
某些无理函数的不定积分
k 2 时,
t2
t r2
k
dt
1 2
dt 2 r 2
(t 2 r 2 )k
21
Baidu Nhomakorabea
1
k t 2
r2
k 1
C.
记 Ik
dt (t 2 r2 )k
,则
Ik
1 r2
(
t2 (t
2
r
2)t r 2 )k
1)
C2 .
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某些无理函数的不定积分
于是
x2 1 dx
1 dx
2x 1 dx
( x2 2x 2)2
x2 2x 2
( x2 2x 2)2