第五章 马尔科夫预测法

马尔科夫过程：以时间t作参变量的随机函数称 为随机过程。随机过程中，有一类具有“无 后效性性质”，即当随机过程在某一时刻t0 所处的状态已知的条件下，过程在时刻t> t0时所处的状态只和t0时刻有关，而与t0以 前的状态无关，则称这种随机过程为马尔科 夫过程。
马尔科夫链：时间和状态都是离散的马尔科夫 过程称为马尔科夫链。例如：蛙跳问题：假 定池中有N张荷叶，编号为1,2,3，…..N， 即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。 青蛙所属荷叶为它目前所处状态；因此它未 来的状态，只与现在所处状态有关，而与以 前的状态无关。
Z0
p
1
p1
0
2
p2
0
„ „
n
pn
0
Zt
p
1
p1
t
2
p2
t
„ „
n
pn
t
则马尔科夫链在t时刻的绝对分布等于初始分布与t 步转移概率矩阵的乘积。
( p 1 , p 2 , p 3 ... p n ) ( p 1 , p 2 , p 3 ... p n ) P ( t )
t t t t 0 0 0 0
数学语言定义：
设 { n ; n 1, 2 , 3 ,...} 是一个随机序列，状态 或者无穷可列集合。 m , n 都是正整数且 i 表示现在时刻状态， i ， j , i k ( k 0 ,1, 2 ,... n - 1） E ， j 表示未来时刻状态， 刻的状态。 空间 E 为有限集合
目前青年教师400人，中年教师360人，老年 教师为300人。试分析3年后教师的结构以 及为保持编制不变，3年内应进多少硕士和 博士毕业生充实教师队伍。

解：设目前的教师结构为（400,360,300,0） 一年后的教师结构 （400,360,300,0）*P=320 330 312 98 这种结构说明一年后流退人员为98人，所以为保持 编制不变应该进98人。则人员结构变为： （320+98，330,312 0）=（418,330,312,0） 两年后的教师结构变为： 334 310 316 100
第一步：确定一步状态转移矩阵P
第二步：确定初始市场占有率。 S(0)=0.35 0.25 0.20 0.20 2010年市场占有率： S(1)= S(0)*P
2011年市场占有率：S(2)= S(1)*P
注意：矩阵相乘：MMULT 回车键：ctrl+shift+enter 长期市场占有率的计算： 长期市场占有率是稳定的市场占有率，可设采 用解方程的办法。 设长期的市场占有率为：s=（x,y,z,w) 其中X+Y+Z+W=1
第5章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫预测法的基本原理 一、马尔科夫预测法概述 马尔科夫（A.A.Markov）俄国的数学家。 1874年，马尔科夫考入了神往已久的彼得堡大学数 学系，1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校 任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年 系里的金质奖。两年后他完成了《关于双正定二次 型》的硕士论文，并正式给学生开课。又过了两年， 他开始考虑博士论文，后以《关于连分数的某些应 用》于1884年通过正式答辩。
例4: 假定市场上主要的手机品牌有诺基亚、摩托罗拉、
三星及其他品牌，分别有四类不同的销售商进行销售。 同时假定这些品牌目前的市场占有率分别为35%， 25%，20%，20%。2009年上半年某课题组的问卷 调查表明，2010年使用诺基亚手机的学生中，有65% 的人将继续使用诺基亚手机，10%的人将改用摩托罗 拉手机，20%的人将使用三星手机，5%的人将改用其 他品牌手机；使用摩托罗拉手机的学生中，有50%的 人将继续使用摩托罗拉手机，25%的人将改用诺基亚 手机，15%的人将改用三星手机，10%的人将改用其 他品牌手机；使用三星手机的学生中，有70%的人将 继续使用三星手机，15%的人改用诺基亚手机，10%
时间序列的“无后效性
”
状态转移矩阵： 一步状态转移矩阵 设系统有N个状态，描述各种状态下向其他 状态转移的概率矩阵：
p11 p12 p21 p22 ： pn1 pn2 … pnn
… p1n
…
p2n
该N阶方阵描述了t时刻系统内部各状态i到t+1 时刻系统内部各状态的变化规律性。它具有 两个性质： （1）pij>=0 (2) ∑ pij=1
状态转移：是指事物从一种状态转移到另外 一种状态的可能性。记为Pij，表示事物从状 态i转移到状态j的概率。 马尔科夫预测的基本模型： Xk+1=Xk×P Xk:表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的 状态向量；P表示一步转移概率矩阵；Xk+1 表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的 状态向量.
（3）任一概率向量与稳态概率矩阵的乘积为 固定概率向量。
第二节 马尔科夫法在经济预测中的应用
一、马尔科夫预测法的假设 （1）转移矩阵必须逐期保持不变，即不随时 间的变化而变化。 （2）预测期间状态的个数必须保持不变。 （3）状态的转移仅受前一期的影响。
二、应用举例 例1、为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌 洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进行了购 买倾向的调查。在本月购买A、B、C品牌的 顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们下月购买倾向，调查结果用矩阵表 示：
稳定性假设： 若系统的一步状态转移概率不随时间变化， 即转移矩阵在各个时刻都相同，则称该系统 是稳定的。这个假设称为稳定性假设。后面 的问题均假定满足稳定条件。
k步状态转移概率矩阵： 经过K步转移有状态i转移到状态j的概率记为： P（Xi+k=j/Xt=i）=Pij(k) I,j=1,2,3,4…..N 定义：k步状态转移矩阵为：
0.3 0.5 0.2 0.6 0.3 0.1 0.4 0.5 0.1
人力资源管理预测
1、某高校为了编制师资发展规划，需要预测 未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行 如下分类：青年、中年、老年和流退（流失 和退休）。根据历史资料，各类教师（按一 年为一期）的转移概率矩阵为： 0.8 0.15 0 0.05 0 0.75 0.2 0.05 0 0 0.8 0.2 0 0 0 1
这种结构说明再一年后流退人员为100人，所以为 保持编制不变应该进100人。则人员结构变为： 434 310 316 0 3年后的教师结构变为 347 298 315 100 这种结构说明第三年后流退人员为100人，所以为 保持编制不变应该进100人。 因此3年内共进298名博士和硕士毕业生充实队伍。
20世纪初，马尔科夫发现自然界中有一类事 物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而 与事物的过程状态无关。比如，研究一个商 店的累积销售额，如果现在时刻的累积销售 额已知，则未来某一时刻的累积销售额与现 在时刻以前的任一时刻的累积销售额都无关。 事物的这类特性称为无后效性。具有这种特 性的随机过程称为马尔科夫过程。
作业：已知某种商品的销售状态划分为畅销和 滞销，分别用1和2表示，要求：计算状态转 移概率矩阵。
市场占有率有关的例题
例3：现已知某地区经销甲、乙、丙三个厂家生产的 味精。经过调查8月份该地区共有1600户，其中购 买甲、乙、丙味精的户数分别为480，320，800。 9月份发生一些变化，购甲味精的户数有48户转买 乙味精，有96户转买丙味精；8月份购买乙味精的 顾客有32户转买甲味精，有64户转买丙味精；8月 份购买丙味精的顾客有64户转买甲味精，有32户 转买乙味精。 要求：预测9月份、10月份的市场占有率。
40 30 30 60 30 60 60 30 30
要求：（1）写出状态转移概率矩阵 （2）求购买C品牌的顾客在未来第二个月购买A品牌 和B品牌的概率。
例2、已知A产品在2004-2008年60个月的销 售情况数据，试计算转移概率矩阵。 第一步：首先确定销售状态的个数。
差；一般；中等；很好。
第二步：确定状态转移矩阵。
期望利润预测
1、利润矩阵 设市场状态空间为s={1,2,3，…n},转移概率 矩阵为P=pij,当市场由状态i转移至状态j时， 厂家的利润为Qij,则称由Qij构成的的n阶方 阵为利润矩阵
Q11 Q12…Q1n Q21 Q22…Q2n .. Qn1 Qn2…Qnn
2、期望利润公式 设Vi（k）为从状态i开始，经过k步转移到各状 态所获得的期望利润，i=1,2,…,n。 记Vi（K）=（V1（k），V2（k），… Vn （k） ）T,并规定V（0）=0 由数学期望的定义知，当k=1时， Vi（1）= Qi1pi1+ Qi2pi2+… Qinpin
当K>1时， Vi（k）等于由状态i开始，经一步 转移到各状态所获得的期望利润Vi（1）再 加上经一步转移后所到达的各状态j再经k-1 步转移到达各状态所获得的期望利润Vj（k1）的数学期望： 即Vi（k）= V1（k）+∑ Vj（k-1）pij 写成矩阵的形式：

V1（k） V2（k） … = Vn（k）
的人将改用摩托罗拉手机，5%的人将改用 其他品牌的手机。使用其他品牌手机的学生 中，有50%的人将继续使用其他品牌手机， 20%的人将改用诺基亚手机，15%的人将 改用摩托罗拉手机，15%的人将改用三星 手机。预测2010年、2011年这些品牌的市 场占有率、长期市场占有率，并分析为提高 占有率企业可能采取的策略。
V1（1） V2（1） …. Vn（1）
P11 p12 .. p1n P21 p22 ..p2n … Pn1 Pn2… Pnn
V1（k-1） V2（k-1） … Vn（Hale Waihona Puke Baidu-1）
设一生产厂家的产品每月市场状态有畅销和滞 销两种，用1表示畅销，用2表示滞销，假设 从畅销到畅销可获利30万元；从畅销转为滞 销可获利10万元，从滞销转向畅销可获利 20万元，从滞销到滞销将亏损10万元。现 有30个月的市场销售记录如下表所示
均衡状态下的市场占有率分别为50%， 25%和25%，厂家2认为应该采取积极的 营销策略，提高自己的市场占有率，为此设 计了两套方案。 方案一：旨在吸引老客户，该方案实施需要 花费约450万元，实施方案后，估计的转移 概率矩阵为
要求：试选择最佳方案。
0.4 0.3 0.3 0.3 0.7 0 0.6 0.1 0.3 方案2：希望吸引厂家1和厂家2的顾客，方 案的实施需要花费大约400万元，实施该 方案后，估计的转移概率矩阵为：
固定概率向量： 设P为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。如果 存在概率向量u使得U*P=U，则称u为P的 固定概率向量。 正规概率矩阵：若一个转移矩阵P，存在某一 个正整数m，使Pm的所有元素均为正数（Pij） ，则该矩阵均为正规概率矩阵。
若P为n阶的正规概率矩阵，则有 （1）P有且只有一个固定概率向量U，且U 的所有元素均为正数。 （2）P的各次方组成的序列P1，P2，P3….. 趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概 率U。这个方阵U称为稳态概率矩阵。 这个性质说明无论系统出于何种状态，在经 过足够多的状态转移之后，均达到一个稳态。
则：S*P=S，解四个方程。 营销策略的分析（略） 作业： 北京地区销售的鲜奶是由3个厂家提供的。该 地区客户总数为100万户，假定厂家从每个 客户哪里平均每年获利50元。厂家2的市场 调查显示，状态转移概率矩阵为：
0.4 0.3 0.3 0.6 0.3 0.1 0.6 0.3 0.1
P[K]=
P11(k)， P12(k)，…. P1N(k) ： Pn1(k) , Pn2(k), ……PNN(k)
当系统满足稳定性假设时： P[K]=Pk=P．P….P 其中P为一步状态转移矩阵。 即当系统满足稳定性假设的时候，k步状态转 移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方。
t时刻的绝对分布：设马尔科夫链在初始时刻和t时刻 的概率分布为：
i k ( k 0 ,1, 2 ,....) 表示现在时刻以前各时 Pij 则称 { n ; n 1,2,...} 是马尔科夫链。 以上的公式说明的随机
若： p { n m j / n i ， n -1 i n 1 ,... 0 i 0 } p { n m j / n i }