第五章 马尔科夫预测法

时间序列的“无后效性
”
状态转移矩阵： 一步状态转移矩阵 设系统有N个状态，描述各种状态下向其他 状态转移的概率矩阵：
p11 p12 p21 p22 ： pn1 pn2 … pnn
… p1n
…
p2n
该N阶方阵描述了t时刻系统内部各状态i到t+1 时刻系统内部各状态的变化规律性。它具有 两个性质： （1）pij>=0 (2) ∑ pij=1
第5章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫预测法的基本原理 一、马尔科夫预测法概述 马尔科夫（A.A.Markov）俄国的数学家。 1874年，马尔科夫考入了神往已久的彼得堡大学数 学系，1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校 任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年 系里的金质奖。两年后他完成了《关于双正定二次 型》的硕士论文，并正式给学生开课。又过了两年， 他开始考虑博士论文，后以《关于连分数的某些应 用》于1884年通过正式答辩。
Z0
p
1
p1
0
2
p2
0
„ „
n
pn
0
Zt
p
1
p1
t
2
p2
t
„ „
n
pntLeabharlann 则马尔科夫链在t时刻的绝对分布等于初始分布与t 步转移概率矩阵的乘积。
( p 1 , p 2 , p 3 ... p n ) ( p 1 , p 2 , p 3 ... p n ) P ( t )
t t t t 0 0 0 0
P[K]=
P11(k)， P12(k)，…. P1N(k) ： Pn1(k) , Pn2(k), ……PNN(k)
当系统满足稳定性假设时： P[K]=Pk=P．P….P 其中P为一步状态转移矩阵。 即当系统满足稳定性假设的时候，k步状态转 移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方。
t时刻的绝对分布：设马尔科夫链在初始时刻和t时刻 的概率分布为：
i k ( k 0 ,1, 2 ,....) 表示现在时刻以前各时 Pij 则称 { n ; n 1,2,...} 是马尔科夫链。 以上的公式说明的随机
若： p { n m j / n i ， n -1 i n 1 ,... 0 i 0 } p { n m j / n i }
例4: 假定市场上主要的手机品牌有诺基亚、摩托罗拉、
三星及其他品牌，分别有四类不同的销售商进行销售。 同时假定这些品牌目前的市场占有率分别为35%， 25%，20%，20%。2009年上半年某课题组的问卷 调查表明，2010年使用诺基亚手机的学生中，有65% 的人将继续使用诺基亚手机，10%的人将改用摩托罗 拉手机，20%的人将使用三星手机，5%的人将改用其 他品牌手机；使用摩托罗拉手机的学生中，有50%的 人将继续使用摩托罗拉手机，25%的人将改用诺基亚 手机，15%的人将改用三星手机，10%的人将改用其 他品牌手机；使用三星手机的学生中，有70%的人将 继续使用三星手机，15%的人改用诺基亚手机，10%
数学语言定义：
设 { n ; n 1, 2 , 3 ,...} 是一个随机序列，状态 或者无穷可列集合。 m , n 都是正整数且 i 表示现在时刻状态， i ， j , i k ( k 0 ,1, 2 ,... n - 1） E ， j 表示未来时刻状态， 刻的状态。 空间 E 为有限集合
稳定性假设： 若系统的一步状态转移概率不随时间变化， 即转移矩阵在各个时刻都相同，则称该系统 是稳定的。这个假设称为稳定性假设。后面 的问题均假定满足稳定条件。
k步状态转移概率矩阵： 经过K步转移有状态i转移到状态j的概率记为： P（Xi+k=j/Xt=i）=Pij(k) I,j=1,2,3,4…..N 定义：k步状态转移矩阵为：
期望利润预测
1、利润矩阵 设市场状态空间为s={1,2,3，…n},转移概率 矩阵为P=pij,当市场由状态i转移至状态j时， 厂家的利润为Qij,则称由Qij构成的的n阶方 阵为利润矩阵
Q11 Q12…Q1n Q21 Q22…Q2n .. Qn1 Qn2…Qnn
2、期望利润公式 设Vi（k）为从状态i开始，经过k步转移到各状 态所获得的期望利润，i=1,2,…,n。 记Vi（K）=（V1（k），V2（k），… Vn （k） ）T,并规定V（0）=0 由数学期望的定义知，当k=1时， Vi（1）= Qi1pi1+ Qi2pi2+… Qinpin
则：S*P=S，解四个方程。 营销策略的分析（略） 作业： 北京地区销售的鲜奶是由3个厂家提供的。该 地区客户总数为100万户，假定厂家从每个 客户哪里平均每年获利50元。厂家2的市场 调查显示，状态转移概率矩阵为：
0.4 0.3 0.3 0.6 0.3 0.1 0.6 0.3 0.1
第一步：确定一步状态转移矩阵P
第二步：确定初始市场占有率。 S(0)=0.35 0.25 0.20 0.20 2010年市场占有率： S(1)= S(0)*P
2011年市场占有率：S(2)= S(1)*P
注意：矩阵相乘：MMULT 回车键：ctrl+shift+enter 长期市场占有率的计算： 长期市场占有率是稳定的市场占有率，可设采 用解方程的办法。 设长期的市场占有率为：s=（x,y,z,w) 其中X+Y+Z+W=1
这种结构说明再一年后流退人员为100人，所以为 保持编制不变应该进100人。则人员结构变为： 434 310 316 0 3年后的教师结构变为 347 298 315 100 这种结构说明第三年后流退人员为100人，所以为 保持编制不变应该进100人。 因此3年内共进298名博士和硕士毕业生充实队伍。
作业：已知某种商品的销售状态划分为畅销和 滞销，分别用1和2表示，要求：计算状态转 移概率矩阵。
市场占有率有关的例题
例3：现已知某地区经销甲、乙、丙三个厂家生产的 味精。经过调查8月份该地区共有1600户，其中购 买甲、乙、丙味精的户数分别为480，320，800。 9月份发生一些变化，购甲味精的户数有48户转买 乙味精，有96户转买丙味精；8月份购买乙味精的 顾客有32户转买甲味精，有64户转买丙味精；8月 份购买丙味精的顾客有64户转买甲味精，有32户 转买乙味精。 要求：预测9月份、10月份的市场占有率。
的人将改用摩托罗拉手机，5%的人将改用 其他品牌的手机。使用其他品牌手机的学生 中，有50%的人将继续使用其他品牌手机， 20%的人将改用诺基亚手机，15%的人将 改用摩托罗拉手机，15%的人将改用三星 手机。预测2010年、2011年这些品牌的市 场占有率、长期市场占有率，并分析为提高 占有率企业可能采取的策略。
当K>1时， Vi（k）等于由状态i开始，经一步 转移到各状态所获得的期望利润Vi（1）再 加上经一步转移后所到达的各状态j再经k-1 步转移到达各状态所获得的期望利润Vj（k1）的数学期望： 即Vi（k）= V1（k）+∑ Vj（k-1）pij 写成矩阵的形式：

V1（k） V2（k） … = Vn（k）
V1（1） V2（1） …. Vn（1）
P11 p12 .. p1n P21 p22 ..p2n … Pn1 Pn2… Pnn
V1（k-1） V2（k-1） … Vn（k-1）
设一生产厂家的产品每月市场状态有畅销和滞 销两种，用1表示畅销，用2表示滞销，假设 从畅销到畅销可获利30万元；从畅销转为滞 销可获利10万元，从滞销转向畅销可获利 20万元，从滞销到滞销将亏损10万元。现 有30个月的市场销售记录如下表所示
0.3 0.5 0.2 0.6 0.3 0.1 0.4 0.5 0.1
人力资源管理预测
1、某高校为了编制师资发展规划，需要预测 未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行 如下分类：青年、中年、老年和流退（流失 和退休）。根据历史资料，各类教师（按一 年为一期）的转移概率矩阵为： 0.8 0.15 0 0.05 0 0.75 0.2 0.05 0 0 0.8 0.2 0 0 0 1
状态转移：是指事物从一种状态转移到另外 一种状态的可能性。记为Pij，表示事物从状 态i转移到状态j的概率。 马尔科夫预测的基本模型： Xk+1=Xk×P Xk:表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的 状态向量；P表示一步转移概率矩阵；Xk+1 表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的 状态向量.
马尔科夫过程：以时间t作参变量的随机函数称 为随机过程。随机过程中，有一类具有“无 后效性性质”，即当随机过程在某一时刻t0 所处的状态已知的条件下，过程在时刻t> t0时所处的状态只和t0时刻有关，而与t0以 前的状态无关，则称这种随机过程为马尔科 夫过程。
马尔科夫链：时间和状态都是离散的马尔科夫 过程称为马尔科夫链。例如：蛙跳问题：假 定池中有N张荷叶，编号为1,2,3，…..N， 即蛙跳可能有N个状态（状态确知且离散）。 青蛙所属荷叶为它目前所处状态；因此它未 来的状态，只与现在所处状态有关，而与以 前的状态无关。
（3）任一概率向量与稳态概率矩阵的乘积为 固定概率向量。
第二节 马尔科夫法在经济预测中的应用
一、马尔科夫预测法的假设 （1）转移矩阵必须逐期保持不变，即不随时 间的变化而变化。 （2）预测期间状态的个数必须保持不变。 （3）状态的转移仅受前一期的影响。
二、应用举例 例1、为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌 洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进行了购 买倾向的调查。在本月购买A、B、C品牌的 顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们下月购买倾向，调查结果用矩阵表 示：
固定概率向量： 设P为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。如果 存在概率向量u使得U*P=U，则称u为P的 固定概率向量。 正规概率矩阵：若一个转移矩阵P，存在某一 个正整数m，使Pm的所有元素均为正数（Pij） ，则该矩阵均为正规概率矩阵。