第七章统计推断
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
电大 社会统计学 第七章 统计推断
（二）置信水平和置信空间
置信区间是在区间估计中，由样本统计量所构造的 总体参数的估计区间，它有估计量加减抽样误差构 成，我们将区间的最小值称为置信下限，区间的最 大值称为置信上限。 置信水平就是将构造置信区间的步骤重复很多次， 置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。
求置信区间的步骤
（四）区间估计
（三）样本均值抽样分布的特征
• 假设从容量N的总体中抽取容量为n的样本，其中总体的均值 为μ，方差为σ2，样本均值的数学期望为E（ X ），方差为σ2x
三、样本比例的抽样分布
• 用π表示总体比例，用P表示样本比例。
第三节 参数估计
• 参数估计是统计推断的一个重要部分，它是用样本统计量推 断总体参数的过程。 • 参数估计可分为点估计和区间估计两种类型。 • 一、点估计 • 点估计就是直接用估计量作为总体参数θ的估计值。用样本均 值直接作为总体均值μ的估计值，用样本比例P直接作为总体 比例π的估计值，用样本方差直接作为总体方差的估计值 等。例如，随机样本的均值为6分，我们用6分直接作为总体 的估计值，认为这次考试总体平均分为6分，这就是点估计。
• 假设检验的基本思想可以用小概率原理解释。 • 小概率原理，就是在一次试验中小概率事件是几乎 不可能发生的。也就是说，如果我们对总体的某个 假设是真实的，那么极端值（不支持假设的事件） 是几乎不可能发生的。如果发生了，我们就有理由 怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。
第四节 假设检验
• 二、虚无假设和替换假设
• （3）有效性。是指当总体参数的无偏估计不止一个统计量时， 标准差小的估计量更有效，标准差大的有效性就相对差。也 就是说，估计量与总体参数的离散程度也要较小。 • （4）充分性。是指一个容量为的样本统计量，是否充分反映 了全部个数据所反映总体的信息，这就是充分性。
《统计学》第七章抽样推断第二节 抽样误差
经济、管理类 基础课程
统计学
二、抽样误差的影响因素
差异越大，抽 样误差越大
单位数越多， 抽样误差越小
1.总体各单位标志值的差异程度； 2.样本的单位数； 3.抽样的方法； 4.抽样调查的组织形式。
重复抽样的抽 样误差比不重 复抽样的大 6-4 简单随机抽样 的抽样误差最 大
三、抽样平均误差
或
p p P
如果抽样极限误差用抽样平均误差来 衡量，则有： x t x 或 p t p
9
式中， N为总体单位数； n为样本容量；σP2 为总体成数方 差一般情况下是末知，可用样本成数方差替代σp2 。
8
四、抽样极限误差
抽样极限误差是指用绝对值形式表示的样本指 标与总体指标偏差可允许的最大范围。即：
x x X
即，抽样极限误差是 抽样平均误差的多少 式中， x样本平均指标 ；X 为总体平均指标 倍。我们把倍数 t称 p为样本成数；P 为总体成数 。 为抽样误差的概率度
2
n （ 1－ ） 当N 很大时，可近似表示为： ＝ n N
6
1. 重复抽样的条件下
平均数的抽样平均误差 : x
n
式中，n为样本容量； 为总体标准 。
成数的抽样平均误差 : p
p
n
式中，n为样本容量； 为总体成数标准差 P 一般情况下是末知，可用样本成数标准差替代 p。
P(1 P)
7
2. 不重复抽样的条件下
平均数的抽样平均误差 : x 当N很大时近似为 x
2 ( N n)
n( N 1)
；
2
《社会统计学》章节知识点——单选题
《社会统计学》章节知识点——单选题第一章总论●变量类型1.下列变量属于数值型变量的是（ A ）。
A．工资收入B．产品等级C．学生对考试改革的态度D．企业的类型【参考答案】A2.从变量分类看，下列变量属于定序变量的是（ C ）。
A．专业B．性别C．产品等级D．收入【参考答案】C●总体和样本1．某地区政府想了解全市332.1万户家庭年均收入水平，从中抽取3000户家庭进行调查，以推断所有家庭的年均收入水平，这项研究的样本是（ B ）。
A．332．1万户家庭B．3000户家庭C．332．1户家庭的年均收入D．3000户家庭的年均收入【参考答案】B2．学校后勤集团想了解学校22000学生的每月生活费用，从中抽取2200名学生进行调查，以推断所有学生的每月生活费用水平，这项研究的总体是（ A ）。
A．22000名学生B．2200名学生C．22000名学生的每月生活费用 D．2200名学生的每月生活费用【参考答案】A3．为了解某地区的消费，从该地区随机抽取5000户进行调查，其中30%回答他们的月消费在5000元以上，40%回答他们每月用于通讯、网络的费用在300元以上，此处5000户是（ C ）。
A．变量 B．总体 C．样本 D．统计量【参考答案】C●抽样方式4．从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，同时保证总体中每个元素都有相同的机会入选样本，这样的抽样方式称为（ A ）。
A．简单随机抽样B．系统抽样 C．整群抽样D．分层抽样【参考答案】A5．某班级有60名男生，40名女生，为了了解学生购书支出，从男生中抽取12名学生，从女生中抽取8名学生进行调查，这种调查方法属于（ C ）。
A．简单随机抽样 B．整群抽样 C．分层抽样 D．系统抽样【参考答案】C6．先将总体按某标志分为不同的类别或层次，然后在各个类别中采用简单随机抽样或系统抽样的方式抽取子样本，最后将所有子样本合起来作为总样本，这样的抽样方式称为（ D ）。
统计学第七章参数估计
单击添加文本具体内容
参数估计
假设检验
描述统计
推断统计
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
统计推断的过程
总体
总体均值、比例、方差等
样本统计量 如：样本均值、比例、方差
样本
§7.1 参数估计的一般问题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
一、估计量和估计值
参数估计（Parameter Estimation） ，用样本估计量估计总体估计值。
一个总体参数的区间估计
总体参数
符号表示
样本统计量
均值
比例
方差
第一章节
总体均值的区间估计 (正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计 (大样本)
假定条件 总体服从正态分布,且方差(２) 未知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量 z 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
(1)估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：样本算术平均数、样本中位数、样本标准差、样本方差等。 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 (2)参数用 表示，估计量用 表示 (3)估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
矩估计法
最小二乘法
换句话说，做出校全体女大学生身高均数为163.0 -- 164.5cm的结论，说对的概率是95%，说错的概率是5%；做出校全体女大学生身高均数为162.7 – 164.7cm的结论，说对的概率是99%，说错的概率是1%。
3、置信区间与置信水平
(1 - ) 区间包含了 的区间未包含
a /2
A
B
的抽样分布
第七章方差分析第一节单因素)
一、各处理重复数相等的方差分析
【例1】 某水产研究所为了比较四种不同 配合饲料对鱼的饲喂效果， 配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基 本相同的鱼20尾，随机分成四组， 随机分成四组，投喂不 同饲料， 同饲料，经一个月试验以后， 经一个月试验以后，各组鱼的增 重结果列于下表。 重结果列于下表。
上一张 下一张 主 页
型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效 应αi、试验误差εij之和。尽管各总体的均数可 以不等或相等，σ2则必须是相等的。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正态性 （normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这也是进行其它类型方差分
F=MSt/MSe =46.5×20/38.84×4=5.99**
3.统计推断： 统计推断： F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，F＞ F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品种间差异极显著。 表明品种间差异极显著。
上一张 下一张 主 页
退 出
SS MS e = e = df e =
t
t
1 = n
∑
T
∑
e
= SS
ni ≠ n
Ti2 − C ni
j
总自由度的剖分
总自由度
dfT = kn −1 = N −1
处理自由度 dft = k −1 误差自由度 dfe = dfT − dft = kn − k = N − K
MSt = SSt / df t MSe = SS e / df e MSt F= MS e
析的前提或基本假定。
xij = µ + α i + ε ij = µ + ( µi − µ ) + ( xij − µi )
数理统计 第七章-参数估计
休息
结束
2. 最大似然法
是在总体类型已知条件下使用的一 种参数估计方法 。 它首先是由德国数学家高斯在1821 年提出的 ,费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这 种方法的一些 性质 。
休息 结束
最大似然法的基本思想：
已发生的事件具有最大概率。
休息
结束
先看一个简单例子： 在军训时，某位同学与一位教官同 时射击，而在靶纸上只留下一个弹孔。 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
max f ( xi , )
i 1
n
休息
结束
X 假设X 为连续型总体： f ( x; )
( X 1 , , X n ) 为子样
( x1 , , xn ) 为子样观察值。
已发生的事件为：
x x ,X {{X 11 1x, X 1 nx1 ,n } , xn x X n xn } x
休息
结束
ˆ
1 n ( X i X )2 n i 1
1 n ˆ X ( X i X )2 n i 1
休息
结束
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 。 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 。
( 1 )x , 0 x 1 f( x) 0, 其它
1
其中 1 是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计. 解:
1 E( X ) x( 1 )x dx
0
( 1 )
从 中解得
1
0
x
1
例如设总体X的均值为方差o均未知...
第七章参数估计统计推断的基本问题可以分为两大类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题．本章讨论总体参数的点估计和区间估计．§1 点估计设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题．例1 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以>o为参数的泊松分布，参数为未知．现有以下的样本值，试估计参数．解由于X，故有＝E(X)．我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X)．现由已知数据计算得到得E(X)＝的估计为1．22．口.176.点估计问题的一般提法如下：设总体X的分布函数的形式为已知，是待估参数．X，，X：，…，X。
是X的一个样本，是相应的一个样本值．点估计问题就是要构造一个适当的统计量()，用它的观察值（）作为未知参数的近似值．我们称()为的估计量，称()为的估计值．在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计，并都简记为．由于估计量是样本的函数．因此对于不同的样本值，的估计值一般是不相同的。
例如在例1中，我们用样本均值来估计总体均值．即有估计量下面介绍两种常用的构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法．(一)矩估计法设X为连续型随机变量，其概率密度为Zf(x；)，或X为离散型随机变量，其分布律为P{X＝x}＝p(x；)，其中为待估参数，是来自X的样本．假没总体X的前k阶矩(其中Rx是X可能取值的范围)存在．一般来说，它们是的函数．基于样本矩：○1多于一个未知参数时，可同样讨论．· 177·依概率收敛于相应的总体矩(i=l，2，…，k)，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数(见第六章§2)，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量．这种估计方法称为矩估计法．矩估计法的具体做法如下：设这是一个包含是k未知参数的联立方程组．一般来说，可以从中解出，得到以Ai分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以分别作为，i＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量．矩估计量的观察值称为矩估计值．例2 设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a，b未知．是来自X的样本，试求a，b的矩估计量．．178．·自这一方程组解得解所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异．(二)最大似然估计法若总体X属离散型，其分布律P{X．179．=x}=p(x; )，的形式为已知，为待估参数，是可能取值的范围．设是来自X的样本，则的联合分布律为又设是相应于样本的一个样本值．易知样本取到观察值的概率，亦即事件发生的概率为这一概率随的取值而变化，它是的函数。
统计推断原理
统计推断原理统计推断是指根据样本数据对总体特征进行推断的一种统计方法。
它是基于概率理论和数理统计学的基本原理，通过对样本数据的分析和推断，来对总体的特征进行估计和推断。
统计推断在科学研究、社会调查、经济预测等领域都有着广泛的应用，是一种非常重要的统计方法。
统计推断的原理可以分为参数估计和假设检验两个方面。
参数估计是指根据样本数据对总体参数进行估计，常见的参数包括总体均值、总体方差等。
而假设检验则是根据样本数据对总体特征进行检验，判断某种假设是否成立。
在进行参数估计和假设检验时，我们通常会使用一些统计量来进行推断，如样本均值、标准差、t 值、F值等。
统计推断的原理主要包括抽样理论、估计理论和假设检验理论。
抽样理论是统计推断的基础，它研究如何从总体中抽取样本，并对样本数据进行分析和推断。
估计理论则是研究如何根据样本数据对总体参数进行估计，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验理论则是研究如何根据样本数据对总体特征进行检验，判断某种假设是否成立。
在统计推断中，我们通常会使用一些统计分布来进行推断，如正态分布、t分布、F分布等。
这些统计分布在进行参数估计和假设检验时起着非常重要的作用，它们可以帮助我们进行推断，并且在一定条件下具有一定的稳定性和可靠性。
统计推断的原理在实际应用中有着广泛的应用。
在医学研究中，我们可以通过对样本数据的分析和推断，来对某种药物的疗效进行评估；在市场调查中，我们可以通过对样本数据的分析和推断，来对市场需求进行预测；在质量控制中，我们可以通过对样本数据的分析和推断，来对产品质量进行检验。
统计推断的原理为我们提供了一种科学的方法，来对未知总体特征进行推断，它具有着重要的理论和实际意义。
总之，统计推断的原理是一种基于概率理论和数理统计学的推断方法，它通过对样本数据的分析和推断，来对总体特征进行估计和推断。
统计推断的原理包括参数估计和假设检验两个方面，它在实际应用中有着广泛的应用，为我们提供了一种科学的方法，来对未知总体特征进行推断。
第七章 统计 抽样推断
与全面调查相比，抽样调查既节省了人力、 物力、财力和时间，又达到了认识总体数量特 征的目的。我国在1994年确立了以周期性普查 为基础，以经常性抽样调查为主体，同时辅之 以重点调查、科学核算等综合运用的统计调查 方法体系。
三、优点：
1、更科学
2、更经济 3、时效性强 4、应用广
四、抽样推断的应用
n AN N!/( N n)!
N
n
不考虑顺序的不重复抽样
不考虑顺序的重复抽样
C
n N
C
n N n1
第三节：点估计和抽样平均误差
人们每时每刻都在做估计。根据婴儿的哭 声估计其冷热和什么时候吃奶、根据望闻问切 来估计病人的病情、根据外表估计一个人的身 高体重、根据前几天的数据估计今天的股市行 情，根据营业数据等估计一个公司的业绩等等。 估计就是根据你拥有的信息来对现实世界进行 某种判断。统计中的估计也不例外，它是完全 根据数据做出的。
x 或p P
1、抽样误差是个概念，只能理解无法计算；
2、抽样误差是个变量，随着样本不同而不同。
问：抽样误差是个变量，那么抽样误差有多少个 变量值？
二、抽样平均误差
• 平均误差
（一）抽样平均误差的定义公式 1、平均数的抽样平均误差
x
(x )
2
所有可能的样本数目
2、成数的抽样平均误差
指样本单位的抽取不受主 观因素及其他系统性因素 的影响，每个总体单位都 有均等的被抽中机会
抽样推断
总体指标：参数
（未知量）
统计推断
样本总体指标：统
计量（已知量）
例1 对湖中鱼产量的估计。 欲了解某湖中鱼的总产量，如果湖中有N条鱼， 平均每条鱼的重量为
7.1 参数的点估计
总体矩，样本矩回顾：
设 X 是总体，X1，X2，…，Xn是来自 X 的一个样本：
则总体 X 的 k 阶原点矩，记作 k E(X k )
总体 X 的 k 阶中心矩，记作 Vk E[X E(X )]k
样本的 k 阶原点矩，记作
Ak
1 n
n i 1
Xik
样本的 k 阶中心矩，记作
ˆ max{ xi }
小结
两种点估计方法:
矩估计法 最大似然估计法
用矩估计法估计参数通常比较方便，便于实 际应用，但所得估计的优良性有时比较差。
最大似然估计法使用时常常要进行比较复杂 的计算，然而得到的估计在许多情况下具有优良 性，它是目前仍然得到广泛使用的一种方法。
7.1.3 点估计标准
要了解这批灯泡的质量就要估计μ 和σ2的值。
例子：某电话交换台在1小时内接到的呼叫次数为Y Y~P(λ )，但 λ 未知. 某人想知道该电话交换台在1小时内呼叫10次 的概率，必须先估计λ 的值。
问题产生背景
在总体分布类型已知的情况下，如何从样本估 计总体分布中的未知参数就成为数理统计的基 本问题之一。
aˆ X 3B2 , bˆ X 3B2
例7.1.4 设总体X的均值μ 及方差σ 2都存在,且 有σ 2 >0，但μ ,σ 2 均未知. X1,X2,…,Xn 是来自总 体X的样本,求μ,σ2的矩估计量.
解 先求总体的一阶和二阶原点矩：
1 E(X ) ,
2 E(X 2 ) D(X ) E(X )2 2 ,
无偏性表示 ˆ 围绕被估参数 而摆动，以 致平均误差为零，即用ˆ 估计 没有系统
性误差。
例7.1.10 若X ~ U [0 , θ], 证明：
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
8第7章 两分类资料的统计描述与推断
—
38079 4755
—
38079 42834
100.0
110.7 112.1 92.5 82.1
100.0
110.7 101.2 82.5 88.8
—
10.7 1.2 17.5 11.2
－69433 －26599 －36749 －63348
2000
2001 2002 2003 2004 2005
319173
教学内容提要 ： 重点讲解：相对数的意义，样本率与已知总体率、两样 本比较。 讲解：总体率的置信区间，率的标准化。
介绍：概率的加法、乘法定理及全概率、Bayes公式。
重点：相对数的意义，样本率与总体率、两样本比较。
难点：概率的加法、乘法定理及全概率、Bayes公式， 二项分布和Poisson分布。
第一节
第七章 两分类资料的统计描述与推断
P106~120
教学目的与要求 ：6学时
掌握：相对比、构成比、率以及动态数列的意义， 总体率的置信区间，样本率与已知总体率比较、两 样本比较。
熟悉：率的标准化思想。
了解：概率的加法定理、乘法定理及全概率公式、 Bayes公式。
第七章 两分类资料的统计描述与推断
P106~120
事件A在n次重复独立试验中发生的次数X 是一个随机变量，X的可能取值为0，1， 2，…，n。在n次重复独立试验中，事件A 发生次数X＝k的概率为： Pn (X=k)=Cnkπk(1-π)n－k ，(k＝0,1,2,…,n)
则称随机变量X服从参数为n和π的二项分布，或简 称X为二项分布变量。
二项分布的图形
二项分布的概率函数
Pn（k）= Cnkpk(1- p) n－k （k =0，1，2，…，n ）
《应用统计学》第七章：抽样推断
样本指标
n
样本均值：
x
x1
x2
...
xN
xi
i1
n
n
样本成数： p n1
n
样本方差：S2 1
_
(x - x)2
n 1
样本标准差： S S2
四、抽样的理论依据
大数定律
• 切贝谢夫定理：当样本容量n足够大时，独立同分布的 一系列随机变量的算术平均数接近(依概率p收敛于)数 学期望值，即随机变量平均数具有稳定性，该定律提 供了用样本平均数估计总体平均数的理论依据。
N
总体均值：
X
X1
X2
...
XN
Xi
i1
N
N
总体成数： X)2 N _
总体方差： 2 (X - X)2 N
样本指标
由样本内各个单位标志值或标志特征计算的综合 指标称为样本指标
与总体指标相对应，样本指标也有样本平均数， 样本成数，样本标准差及样本方差，样本均值及 样本成数一般用小写字母来表示。
P(1- P) (1- n ) nN
【举例】抽样成数的抽样平均误差的计算
返回
第三节 抽样方案设计
简单随机抽样 类型抽样（分层随机抽样） 机械抽样 整群抽样 多阶段抽样
一、简单随机抽样
简单随机抽样又称为纯随机抽样，它是对总体不 作任何处理，不进行分类也不搞排队，而是从总 体的全部单位中随机抽选样本单位。
组单位数的多少与各组标志变动程度的差异两个
因素。
ni
抽样调查的特点
按随机原则抽取调查单位 根据部分实际资料对全部总体的数量特征
统计学第七章、第八章课后题答案
统计学第七章、第⼋章课后题答案统计学复习笔记第七章参数估计⼀、思考题1．解释估计量和估计值在参数估计中，⽤来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量。
如样本均值，样本⽐例、样本⽅差等。
根据⼀个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2．简述评价估计量好坏的标准（1）⽆偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的⽅差尽可能⼩。
对同⼀总体参数的两个⽆偏估计量，有更⼩⽅差的估计量更有效。
（3）⼀致性：是指随着样本量的增⼤，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3．怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道⼀些调查结果只给出百分⽐和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的⼈数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。
在公布调查结果时给出被调查⼈数是负责任的表现。
这样则可以由此推算出置信度（由后⾯给出的公式），反之亦然。
4．解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述⽤来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。
也就是说，⽆穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。
不要认为由某⼀样本数据得到总体参数的某⼀个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。
5．简述样本量与置信⽔平、总体⽅差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信⽔平1-α、总体⽅差、估计误差E 之间的关系为与置信⽔平成正⽐，在其他条件不变的情况下，置信⽔平越⼤，所其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=需要的样本量越⼤；与总体⽅差成正⽐，总体的差异越⼤，所要求的样本量也越⼤；与与总体⽅差成正⽐，样本量与估计误差的平⽅成反⽐，即可以接受的估计误差的平⽅越⼤，所需的样本量越⼩。
第七章__参数估计
三、区间估计与标准误
㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的
可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参
数所在的区域距离或区域长度。
⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。 ⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错
⑶区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小。
当总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐近正态分布，此时，样本平均数的平均数uX u， 平均数的离散程度即平均数分布的标准差（简称
例4
解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布，
则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总平 均身高μ进行估计。
SEX
S 4.8 0.81; df n 1 36 1 35 n 1 35
查t值表可知 : t0.05 230 2.042;t0.01 230 2.75
例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差 为 436.8cm ，现从该区抽取58名15岁男生， 测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm， 试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2
解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，
该样本的抽样分布为渐进正态分布。
SEX
因此, 的95%的置信区间为 :
82 2.0211.12 82 2.0211.12
第七章假设检验
第三节
u检验
u检验（u test ），亦称z检验（z test） 大样本均数（率）与总体均数（率）比较的u检 验、 两个大样本均数（率）比较的u检验 一、大样本均数比较的u检验 二、大样本率的u检验
一、大样本均数比较的u检验
假定样本数据服从正态分布 ，当总体标准差 未知时，可用样本标准差作为估计值 这里的总体均数一般是指已知的理论值、标准 值或经过大量观察所得到的稳定值，记作µ 0 （或记为 ）
两个样本率p1、p2的差值服从正态分布
u p1 p2
1 2
p p
2 2 p p p p 1 (1 1 ) / n1 2 (1 2 ) / n2
1 2 1 2
样本率p介于0.1～0.9之间，每组例数大于60 例
n1 p1 n2 p2 ˆ0 n1 n2
两样本均数比较的u检验
该检验方法适用于完全随机设计中两组 计量资料差别的比较 两样本均数差值服从正态分布
u Leabharlann 1 X 2X1X2
X
1X2
2 2 2 2 X / n 1 1 2 / n2 X2 1
当总体标准差未知，两组例数均超过30
ˆX
1X2
亦称样本率与总体率的比较的u检验，这里的 总体率一般是指已知的理论值、标准值或经大 量观察所获得的稳定值。
例7–3 全国调查的调查结果，学龄前儿童营 养性贫血患病率为23.5%。某医院为了解当
地学龄前儿童能够营养性贫血患病情况，对
当地1396例学龄前儿童进行了抽样调查，查
出营养性贫血患儿363例，患病率为26.0%。
ˆp p
1
2
1 1 ˆ0 (1 ˆ0 )( ) n1 n2
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其中n为样本可能数目，本例为25。
本例 u的 250 10(0元 )
x
25
上式表明了抽样平均误差的含义，但并不能作为计算
公式。因为：
在现实的抽样中，我们只能取得一个样本，不可能也
没必要获得全部所有可能样本，所以抽样平均误差也不
可能通过所有样本来直接计算。但我们可以根据数理统
计理论获得其计算公式。
第七章统计推断
抽取样本 样本平均数 x 误差 x X
2
x X
10 10 10 10 20 15 10 30 20 10 40 25 10 50 30 20 10 15 20 20 20 20 30 25 20 40 30 20 50 35 30 10 20 30 20 25 30 30 30
-20
400
-15
19
（三）纯随机抽样的抽样平均误差的计算
1.平均数的抽样平均误差 (1)重复抽样
x
n
或者 x
2
n
第七章统计推断
20
(2)不重复抽样：
x
2 Nn
() n N1
在实际中，往往N很大，N－1≈N，故改用
下列公式：
样本平均数
x
样本成数
p
样本方差
Ｓ2
样本标准差
ｓ
样本指标具有不唯一性（是随机变量）
第七章统计推断
11
(三) 抽样方法
1.重复抽样：放回抽样，每个单位被抽中 的概率相等。
2.不重复抽样：不放回抽样，每个单位 被抽中的概率不等。
二、抽样误差的概念及其影响因素
(一）抽样误差的概念
在统计调查中，调查资料与实际情况不一致， 两者的偏离称为统计误差。
第七章统计推断
9
(二)总体指标和样本指标(参数和统计量)
1.总体指标(全及指标、参数)：反映全及总体
属性或特征的综合指标。
一般用大写字母表示：
总体平均数
X
总体成数
P
总体方差
σ2
总体标准差
σ
总体指标具有唯一性（待估计）
第七章统计推断
10
2.样本指标(统计量)：是反映样本特征的指标
一般用小写字母表示：
登记误差 统计误差代表性误差随 系机 统误 性差 误差 实 抽际 样误 平差 均误差
第七章统计推断
13
登记误差 统计误差代表性误差随 系机 统误 性差 误差 实 抽际 样误 平差 均误差
抽样误差即是随机误差，这种误差是抽样调查 固有的误差，是无法避免的。其中：
实际误差是指一个样本指标与总体指标间的差 别（有多种值，无法知道）
第七章 统计推断
第七章统计推断
1
教学内容
抽样调查的概念和特点 抽样推断的基本概念 参数估计 假设检验(不作要求)
第七章统计推断
2
教学基本要求：理解抽样推断中的几个
基本概念；掌握抽样平均误差和抽样极限 误差的概念和计算方法；掌握总体平均数 和总体成数的区间估计方法。
本章重点：抽样平均误差和抽样极限误
抽样平均误差是指由于抽样的随机性而产生的所有
样本指标与总体指标之间的平均离差，它是所有可能 出现的样本指标的标准差。
什么是标准差？怎样计算样本指标的标准差？
五户家庭三月份购买某商品的支出： 1 0 元 ，2 0 元 ，3 0 元 ，4 0 元 ，5 0 元
X 30元 现从五户中抽取二户作调查， 如 果 为 重 复 抽 样 (考 虑 顺 序 ) 52＝ 25(种 ) 排列组合如下：
225
-10
100
-5
25
0
0
-15
225
-10
100
-5
25
0
0
5
25
-10
100
-5
25
0
0
接左：
抽取样本 样本平均数 x 误差 x X
2
x X
30 40 35
5
25
30 50 40
10
100
40 10 25
-5
25
40 20 30
0
0
40 30 35
5
25
40 40 40
10
100
40 50 45
差的概念和计算；总体平均数和总体成数 的区间估计方法。
第一节 抽样调查的概念和特点(回顾)
一、抽样调查的概念
根据所使用的抽样方法不同，抽样分为概率抽 样和非概率抽样。
一般所讲的抽样调查，是指狭义的抽样调查，即 等概率抽样：按照随机原则从总体中抽取一部分单 位组成样本进行观察，并运用数理统计的原理，以 样本单位得到的结果去推断总体的数量特征的方法。
(一)抽样平均误差的意义
抽样平均误差是把各个可能的抽样指标与 全及指标之间存在的抽样误差的所有结果都 考虑进去，是衡量抽样误差的核心指标，是 对总体指标作出区间估计的一个重要因素。 狭义上所指的抽样误差就是指抽样平均误差。
抽样平均误差能反映样本指标对全及指标 的代表性程度。
通常用μ表示
(二) 抽样平均误差的概念
二、抽样调查的特点
1、非全面调查 2、随机原则 3、以样本指标推断总体指标 4、抽样误差可以事先计算、控制
第七章统计推断
5
三、抽样调查的组织形式
简单随机抽样（纯随机抽样） 机械抽样（等距抽样） 类型抽样 整群抽样 多阶段抽样
第七章统计推断
6
第二节 抽样推断的基本概念
一、抽样推断中的几个基本概念
(一) 全及总体和抽样总体(总体和样本)
全及总体：所要调查观察的全部事物。
总体单位数用N表示 （唯一性）
变量总体
分为
属性总体
数量标志(计算平均数) 是非标志(计算成数)
补充内容：是非标志的平均数及标准差的计算
抽样总体：抽取出来调查观察的单位。
抽样总体的单位数用n表示。
n ≥ 30 大样本 n < 30 小样本
抽样平均误差是指全部可能出现的样本指标与 总体指标间的平均离差（可以计算）
（二）抽样误差的影响因素 1.抽样单位数目的多少n —反比关系 2.全及总体标志变异程度σ(σ2) —正比关系 3. 不同的抽样方法
—重复抽样误差＞不重复抽样误差
4. 不同的抽样组织形式
有哪些抽样组织形式？
三、抽样平均误差
15
225
50 10 30
0
0
50 20 35
5
25
50 30 40
10
100
50 40 45
15
225
50 50 50
20Βιβλιοθήκη 400合计-
-
2 500
因为抽样平均误差是所有样本平均数与总体平均数
之间的平均离差，即为抽样平均数的标准差。根据标
准差的定义，于是有：
抽样平 u 均 误 (x差 X)2
x
x
n
（不唯一）
n／N 称为抽第七样章统比计推或断抽样强度
8
是非标志的平均数及标准差的计算
成数(比重)是一种结构相对数，它实际 属于是非标志平均数的特例
统计上习惯以“1”表示“是”，以“0”表示“非”。 p为“1”的成数，q＝1—p为“0”的成数。 是非标志的平均数就是它的成数 P 是非标志的方差σ2＝P(1－P)，