第3节 半群与幺半群的同态与同构

如果同态f是单射，则称f 是A到B的一个单同态(映 射)，而称半群A 与B单同态. 如果同态f是满射，则称f 是A到B的一个满同态(映 射)，而称半群A与B 满同态，并记为A ~B . 如果同态f是双射，则称f 是A到B的一个同构(映 射)，而称半群A与B 同构，并记为A B. 如果同态f是双射，且A=B，则称f 是A的一个自同 构(映射)，而称半群A自同构.
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近世代数 主要内容： (幺)半群的同态与同构
总 结
基本要求： 判断函数是否为同态映射和同构映射
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解答
说明：判别或证明同态映射的方法 (1) 先判断（或证明）f 是G1 到 G2的映射 f: G1G2. 如果已知 f: G1G2，则这步判断可以省去. (2) x, y G1, 验证 f(xy) = f(x) f(y) (3) 判断同态性质只需判断函数的单射、满射、双射 性即可.
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商半群
定义4 设(A,∘)和(B,)是两个半群，f 是A到B的同态. 半群(A/Ef , ▪)称为商半群. 定义5 令γ:A A/Ef ，aA，γ(a)=[a]，则称γ 为A到商半群A/Ef的自然同态.
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幺半群的同构与同态
定义6设(M1,∘, e1)和( M2,, e2)是两个幺半群，如果存 在f: M1M2 ，对x, yM1有 f(e1)=e2，f(x∘y) = f(x)f(y)， 则称(M1,∘, e1)与(M2,, e2)是同态，f 称为M1到M2的 一个同态映射(简称同态)，f(M1)称为同态象. [注意] (1)同态分类：同半群同态. (2) 两个幺半群((M1,∘, e1)和( M2,, e2))同构定义中的 条件f(e1)=e2 可以去掉，因为它可以从f(x∘y) = f(x)f(y)推出.
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代数系统的同态与同构
同态分类： (1) 如果f是单射，则称为单同态. (2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称B是A的同 态像，记作AB. (3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统A同构 于B， 记作AB. (4) 如果A=B，则称作自同态.
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实例
(1) 设(Z,+), (Zn,)．其中Z为整数集，+为普通加法； Zn={[0],[1],…,[n1]}，为模n加. 令 f : Z→Zn，f (x)=[x] 则 f 是Z到Zn的满同态． (2) 设(R,+), (R*,· )，其中R和R*分别为实数集与非 零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令 f : R→R*，f (x)= ex 则 f 是R到R*的单同态.
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半群的同构与同态
定义2 设(A,∘)和(B,)是两个半群，如果存在f:AB， 对x, yA 有 f(x∘y) = f(x)f(y), 则称(A,∘)与(B,)同态， f 称为 A到B的一个同态映射(简称同态)， f(A)称为同态象.
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近世代数 同态分类：
半群的同构与同态
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同余关系
定义3 设是代数系(A,∘)上的等价关系. a,b,c,dA， 如果 ab， cd，则必有a∘cb∘d，那么称是A上的 同余关系.
[说明] 简单的说，同余关系就是可乘的等价关系.
定理6 设是代数系(A,∘)上的等价关系. 定义： [x], [y]A/ ，[x]▪[y]=[x∘y]， 则“▪”是二元代数运算 是A上的同余关系.
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幺半群的同构与同态
定理9 设(M1,∘, e1)和( M2,, e2)是两个幺半群。如果 有从M1到M2的同态f ，则M1 的可逆元素x的象f(x) 也可逆且 f(x-1) =[ f(x)]-1. 定理10 设f是幺半群(M1,∘, e1)到幺半群( M2,, e2)的同 态，g是幺半群( M2,, e2)到幺半群( M3, , e3)的同 态，则f与g的合成gf是(M1,∘, e1)到( M3, , e3)的同态.
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半群的同构与同态
定理3(半群的Cayley定理) 任意一个半群都同构于某 个变换半群。(成立吗?) 定理4 设(A,∘)是一个半群，(B,)是一个代数系。 如果存在一个从A到B的满射f，使得x, y A 有 f(x∘y) = f(x) f(y), 则( B,)是一个半群. 定理5 设f是半群(S1,∘)到半群( S2,)的同态， g是半群 (S2, )到半群( S3, )的同态，则f与g的合成gf是(S1, ∘) 到( S3, )的同态.
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解答
解 (1) 不是同态, 因为 f(22)=f(4)=5, f(2)f(2)=33=9 (2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为 f(1)= f(1), 且 ran f 中没有负数. (3) 不是G 的自同态，因为 f 不是 G 到 G 的函数 (4) 不是G 的自同态，因为 f(22)=2, f(2)f(2)=22=4
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练习
设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统， 判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明 理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、 同构. (1) f(x) = |x| +1 (2) f(x) = |x| (3) f(x) = 0 (4) f(x) = 2
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定理2 设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算， o’,∗’是V2上的二元运算. 如果 f： V1V2是满同态， 则 (1) 若e为运算o的单位元，则 f(e)为运算o’的单位元. (2) 若 为运算o的零元，则 f() 为运算o’的零元. (3) 设uV1，若 u1 是 u 关于运算o的逆元，则 f(u1) 是 f(u)关于运算o’的逆元，即[f(u)]-1=f(u1) .
定理1 设V1,V2是代数系统. o,∗是V1上的二元运算， o’,∗’是V2上的二元运算. 如果 f：V1V2是满同态， 则 (1)若运算o满足交换律(结合律)，则运算o’也满足 交换律(结合律). (2) 若运算o对运算∗满足分配律，则运算o’对运算∗’ 也满足分配律.
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近世代数 满同态映射保持运算的特异元素
近世代数 第3节 半群与幺半群的同态与同构 主要内容: 代数系统的同态与同构 半群的同态与同构 幺半群的同态与同构
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代数系统的同态与同构
定义1 设(A,∘)和(B,)是两个代数系统，如果存在映射 f:AB，且x, yA 有 f(x∘y) = f(x)f(y), 则称 f 是A到B的同态映射(简称同态)， 称(A,∘)与(B,)同态(有时简称A与B同态). f(A)称为同态象.
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幺半群的同构与同态
定理7(幺半群的Cayley定理) 任意一个幺半群都同构 于某个变换幺半群。 定理8 设(A,∘,e)是一个幺半群，(B,)是一个代数系。 如果存在一个从A到B的满射f，使得x, y A 有 f(x∘y) = f(x) f(y), 则f(e)是(B,)的单位元，从而(B,)是一个幺半群.
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近世代数 设(A,∘)和(B,)是两个半群，f 是A到B的同态. 则可由 f确定A上的一个等价关系Ef： x, yA xEf y(或(x,y)Ef) f(x)=f(y) 下面利用A上的运算“∘”定义A/Ef上的一个代数运算 “▪”： [x], [y]A/Ef ，[x]▪[y]=[x∘y] 为了证明“▪”是二元代数运算，有两种途径： (1)证明a[x], b[y]，总有[a∘b]=[x∘y]，即[x]▪[y]与 [x], [y]的表示方式无关(实质上就是证明映射的“单 值性”). 12/22 (2)证明Ef是同余关系(随后给出定义及结论).
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幺半群的同态基本定理
定理11(幺半群的同态基本定理) 设f是幺半群(M1,∘, e1) 到幺半群( M2,, e2)的同态，则 (1)同态象f(M1)是M2的一个子幺半群； (2)由f确定的等价关系Ef是同余关系，于是 (M1/Ef , ▪, [e1])是幺半群； (3)存在唯一的M1/Ef 到M2的单同态β使f=βγ， 其中γ为M1到M1/Ef 的自然同态. (4)如果f是满同态，则M1/Ef M2.
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近世代数
实例
(1) 设(Z,+), (Zn,)．其中Z为整数集，+为普通加法； Zn={[0],[1],…,[n1]}，为模n加. 令 f : Z→Zn，f (x)=[x] 那么 f 是Z到Zn的满同态． (2) 设(R,+), (R*,· )，其中R和R*分别为实数集与非零实数 集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令 f : R→R*，f (x)= ex 则 f 是R到R*的单同态. (3) 设(Z,+)，其中Z为整数集，+为普通加法. aZ，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么 fa 是Z的自同态. 当a=0时称 f0 为零同态；当a=1时， 称 fa 为自同构；除此之外其他的 fa 都是单自同态. 10/22
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近世代数
实例
(3) 设(Z,+)，其中Z为整数集，+为普通加法. aZ， 令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么 fa 是Z的自同态. 当a=0时称 f0 为零同态； 当a=1时，称 fa 为自同构； 除此之外其他的 fa 都是单自同态.
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满同态映射保持运算的规律