高中数学11空间几何体114投影与直观图预习导学案新人教B版必修2

1.1.4 投影与直观图

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1．投影的概念 图示

由图可知当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有如下性质：

(1)直线或线段−−−−→平行投影直线或线段．

(2)平行直线

−−−−→平行投影平行或重合的直线． (3)平行于投射面的线段−−−−→平行投影与这条线段平行且等长．

(4)平行于投射面的平面图形−−−−→平行投影与这个图形全等．

(5)同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．

思考1 中心投影与平行投影有何区别和联系？

提示：中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，但应注意的是：

(1)画实际效果图时，一般用中心投影法．如人的视觉、照片、美术作品等都具有中心投影的特点；

(2)中心投影和平行投影的区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点；

(3)中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图．经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；

(4)画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．

思考2如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，试问：中心投影后得到的图形与原图形有什么关系？

提示：若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似．

3．直观图与斜二测画法

(1)概念．

当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影(平面图形)可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．

(2)空间图形的直观图画法：斜二测画法．

(3)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

(4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤：

①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz ＝90°，∠yOz＝90°．

②画出与轴Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

③已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．

思考3画一个水平放置的正三角形的直观图，如何建系最合理？

提示：如图所示，建系时一是要考虑正三角形的对称性，二是尽量使三个顶点都落在坐标轴上．

思考4某个确定的几何体的直观图唯一吗？

提示：不唯一，作直观图时，由于建系不同画出的直观图也有所不同．

特别提醒平面图形用其直观图表示时，一般说来，不变的有：

(1)平行关系不变；

(2)点的共线性不变；

(3)线的共点性不变；

变化的有：

(1)角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；

(2)有些线段的度量关系也发生变化．