第三章__第一节__任意角和弧度制及任意的三角函数

1.角的分类 角的分类 任意角可按旋转方向分为 正角、 负角 、零角 .
2.象限角 象限角 ＜ ＜ ＋ 第一象限角的集合 {α|2kπ＜α＜2kπ＋ ＋ 第二象限角的集合 {α|2kπ＋ ，k∈Z} ∈
＜α＜2kπ＋π，k∈Z} ＜ ＋ ， ∈ ，k∈Z} ∈
＋ ＜ ＜ ＋ 第三象限角的集合 {α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ＋ 第四象限角的集合 {α|2kπ＋
(1)如果点 如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试 位于第三象限， 如果点 ， 位于第三象限 判断角θ所在的象限 判断角 所在的象限. 所在的象限 (2)若θ是第二象限角，则 若 是第二象限角 是第二象限角， 的符号是什么？ 的符号是什么？
(1)由点 所在的象限，知道sinθcosθ，2cosθ的符 由点P所在的象限，知道 ， 的符 由点 所在的象限 的符号. 号，从而可求sinθ与cosθ的符号 从而可求 与 的符号 (2)由θ是第二象限角，可求 由 是第二象限角 可求cosθ，sin2θ的范围， 是第二象限角， 的范围， ， 的范围 进而把cosθ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示 ， 进而把 看作一个用弧度制的形式表示 的角，并判断其所在的象限，从而 的角，并判断其所在的象限，从而sin(cosθ)， ， cos(sin2θ)的符号可定 的符号可定. 的符号可定
式、积化 2.能运用上述公式进行简单的 能运用上述公式进行简单的 和差与和 差化积 恒等变换(包括导出积化和 恒等变换 包括导出积化和 差、和差化积、半角公式， 和差化积、半角公式， 但对这三组公式不要求记忆). 但对这三组公式不要求记忆
知识点
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考情上线 1.高考命题中常以选择题或填空题的形 高考命题中常以选择题或填空题的形
函数y＝ 函数 ＝ Asin(ωx＋ ＋ φ)的图象 的图象
参数A、ω、φ对函数图象 参数 、 、 对函数图象 变化的影响. 变化的影响 2.了解三角函数是描述周期变 了解三角函数是描述周期变 化现象的重要函数模型， 化现象的重要函数模型，会 用三角函数解决一些简单的 实际问题. 实际问题
知识点
考纲下载 1.会用向量知识或三角函数 会用向量知识或三角函数 线推导出两角差的余弦公式. 线推导出两角差的余弦公式 2.能利用两角差的余弦公式推 能利用两角差的余弦公式推 导出两角差的正弦、 导出两角差的正弦、正切公
解析： 经过 解析：∵经过t(s)秒针转了 秒针转了
d tπ πt . ,∴ d = 10sin . ∴ =5 2 60 60
πt 答案： 答案： 10sin 60
1.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键. 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键 2.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限 判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限 3.对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据 对于已知三角函数式的符号判断角所在象限， 对于已知三角函数式的符号判断角所在象限 三角函数式的符号确定三角函数值的符号， 三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所 在象限. 在象限
＜α＜2kπ＋2π，k∈Z} ＜ ＋ ， ∈
终边相同的角相等吗？ 终边相同的角相等吗？ 提示：相等的角终边一定相同， 提示：相等的角终边一定相同，终边相同的角 不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相 不一定相等，终边相同的角有无数个， 差360°的整数倍 °的整数倍.
二、弧度制 1.弧度制 弧度制 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 弧度的角， 长度等于半径 长的弧所对的圆心角叫做 弧度的角， 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 以弧度 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.角度与弧度之间的换算 角度与弧度之间的换算 360°＝ ° rad,180°＝ ° rad,1°＝ ° rad,1 rad＝( ＝ )°. °
3.弧长、扇形面积公式 弧长、 弧长 设扇形的弧长为l，圆心角大小为 弧度 半径为r， 弧度)， 设扇形的弧长为 ，圆心角大小为α(弧度 ，半径为 ，
则l＝ ＝
形式考查任意角的三 角函数的定义、 角函数的定义、三角 函数值在各象限内的 符号、终边相同的角 符号、 及象限角等. 及象限角等 2.以集合的交、并、补 以集合的交、 以集合的交 运算为载体， 运算为载体，考查角 的关系. 的关系
知识点
考纲下载 1.理解同角三角函数的基 理解同角三角函数的基
考情上线 考查同角三角函数间的基 本关系式、诱导公式在三 本关系式、 角函数求值问题和三角恒 等变换中的应用. 等变换中的应用
正弦定 理和余 Biblioteka Baidu定理
掌握正弦定理、 掌握正弦定理、 余弦定理，并能 余弦定理，
式考查利用正、 式考查利用正、余弦定理及三角变换 公式进行恒等变形及度量问题. 公式进行恒等变形及度量问题
常考知识点有： 判断三角形形 解决一些简单的 2.常考知识点有：(1)判断三角形形 常考知识点有 三角形度量问题. 三角形度量问题 求三角形的边、 状； (2)求三角形的边、角、面积 求三角形的边 的大小； 三角形中的三角变换等 三角形中的三角变换等. 的大小； (3)三角形中的三角变换等
4.若角 的终边经过点 ，－ ，则tan2α的值为 若角α的终边经过点 ，－2)， 若角 的终边经过点P(1，－ 的值为
.
解析： 解析：tan= 答案： 答案：
5.某时钟的秒针端点 到中心点 的距离为 cm，秒针均匀 某时钟的秒针端点A到中心点 的距离为5 ， 某时钟的秒针端点 到中心点O的距离为 地绕点O旋转，当时间 ＝ 时 与钟面上标12的点 地绕点 旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标 的点 重 旋转 与钟面上标 的点B重 两点间的距离d(cm)表示成 的函数，则d 表示成t(s)的函数 合.将A、B两点间的距离 将 、 两点间的距离 表示成 的函数， ＝ ，其中t∈[0,60]. 其中 ∈ 弧度
(
)
解析： ＝ ， 在一、 解析：令k＝0,1，知α在一、三象限 在一 三象限. 答案： 答案：A
2.已知 已知cosθtanθ＜0，那么角 是 已知 ＜ ，那么角θ是 A.第一或第二象限角 第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 第三或第四象限角
(
)
B.第二或第三象限角 第二或第三象限角 D.第一或第四象限角 第一或第四象限角
；S扇形＝
＝
.
三、任意角的三角函数 三角函数 正弦 P(x，y)，那么 ， ， 定义 y 叫做 的正 叫做α的正 x 叫做 的余弦， 叫做α的余弦， 的余弦 叫做α的正 叫做 的正 余弦 正切
是一个任意角， 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 是一个任意角
记作cosα 弦，记作sinα 记作 记作
知识点
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能够运用正弦定理、 能够运用正弦定理、 弦定理， 弦定理， 解三角形问题往往与其他知识 余弦定理等知识和 (如立体几何、解析几何、向量 如立体几何、 如立体几何 解析几何、 余弦定 方法解决一些与测 和实际问题相联系， 理的应 等)和实际问题相联系，考查考 和实际问题相联系 量和几何计算有关 生的数学应用意识是高考的热点. 用举例 生的数学应用意识是高考的热点 的实际问题. 的实际问题
考情上线 1.以三角化简、求值为 以三角化简、 以三角化简 载体考查两角和与差 的三角函数公式的记 忆与理解， 忆与理解，同时考查 灵活运用公式的能力. 灵活运用公式的能力
和角公式
式.
3.能利用两角差的余弦公式推 2.对这部分内容的考查 能利用两角差的余弦公式推 对这部分内容的考查 导出两角和的正弦、余弦、 导出两角和的正弦、余弦、 正切公式， 正切公式，了解它们的内在 联系. 联系 题型灵活，选择题、 题型灵活，选择题、 填空题、 填空题、解答题均有 可能出现. 可能出现
切，记作tanα 记作
三角函数 Ⅰ 各 象 限 符 号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀
正弦
正
余弦
正 负 负 正
正切 正 负
正 负
正
负 负
一全正，二正弦，三正切， 一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数
正弦
余弦
正切
终边相同 的角的三 sin(α＋k2π) ＋ 角函数值 sinα ＝ (k∈Z) ∈ (公式一） 公式一） 公式一
三角函数的图象与 性质是历年高考的 重点. 重点
知识点
考纲下载 1.了解函数 ＝Asin(ωx＋φ)的 了解函数y＝ 了解函数 ＋ 的 物理意义；能画出 ＝ 物理意义；能画出y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解 ＋φ)的图象， 的图象
考情上线 1.考查图象的变换和 考查图象的变换和 解析式的确定， 解析式的确定，以 及通过图象描绘， 及通过图象描绘， 观察讨论有关性质. 观察讨论有关性质 2.以三角函数为载体， 以三角函数为载体， 以三角函数为载体 考查数形结合的思想. 考查数形结合的思想 3.主要以选择、填空的 主要以选择、 主要以选择 形式出现， 形式出现，若出现解 答题，将会是低、 答题，将会是低、中 档难度的题目. 档难度的题目
知识点
考纲下载 1.能利用两角和的正弦、余弦 能利用两角和的正弦、 能利用两角和的正弦 和正切公式导出二倍角的正
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倍角公式 和半角公
弦、余弦、正切公式，了解 余弦、正切公式， 它们的内在联系. 它们的内在联系
1.以三角函数的化简与 以三角函数的化简与 求值为载体， 求值为载体，考查二 倍角的正弦、余弦、 倍角的正弦、余弦、 正切公式的应用. 正切公式的应用 2.简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 是高考的必考内容. 是高考的必考内容
同角三角 函数的基
本关系式sin ＋ 本关系式 2x＋cos2x＝1， ＝ ， ＝tanx
能利用单位圆中的三角. 本关系式 2.能利用单位圆中的三角 能利用单位圆中的三角 与诱导公 式 函数线推导出π± ， 函数线推导出 ±α， 的正弦、 ±α的正弦、余弦、正切 的正弦 余弦、 的诱导公式. 的诱导公式
知识点
考纲下载 1.能画出 ＝sinx，y＝cosx，y＝ 能画出y＝ ， ＝ ， ＝ 能画出 tanx的图象 的图象. 的图象
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理解正弦函数、 三角函数 2.理解正弦函数、余弦函数在 理解正弦函数 的图象与 性质 [0,2π]上的性质 如单调性、最 上的性质(如单调性 上的性质 如单调性、 大值和最小值，图象与 轴交点 大值和最小值，图象与x轴交点 等)，理解正切函数在 ， ( )内的单调性 内的单调性. 内的单调性
知识点
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考情上线 1.以选择题或填空题的 以选择题或填空题的
任意角的 概念与弧 度制、任 度制、 意角的三 角函数
1.了解任意角的概念 了解任意角的概念. 了解任意角的概念 2.了解弧度制的概念， 了解弧度制的概念， 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度 的互化. 的互化 3.理解任意角的正弦、 理解任意角的正弦、 理解任意角的正弦 余弦、正切的定义. 余弦、正切的定义
cos(α＋k2π) ＋ ＝ cosα
tan(α＋k2π) ＋ ＝ tanα
三角函数
正弦
余弦
正切
三角函数 线
有向线段 MP 为正弦线
有向线段 OM 为余弦线
有向线段 AT 为正切线
1.若α＝k180°＋45°(k∈Z)，则α在 若 ＝ ° ° ∈ ， 在 A.第一或第三象限 第一或第三象限 C.第二或第四象限 第二或第四象限 B.第一或第二象限 第一或第二象限 D.第三或第四象限 第三或第四象限
解析： 解析：∵cosθtanθ＝sinθ＜0，cosθ≠0. ＝ ＜ ， 为第三、 ∴θ为第三、四象限角 为第三 四象限角. 答案： 答案：C
3.若点 在 若点P在 若点
2π 的终边上， 的坐标为( 的终边上，且OP＝2，则点 的坐标为 ＝ ，则点P的坐标为 3
)
解析：设P点的坐标为 ，y)，根据三角函数的定义可知， 点的坐标为(x， ，根据三角函数的定义可知， 解析： 点的坐标为 2π 1 2π x = 2cos = 2 × ( ) = 1, y = sin = 2× 3 2 3 所以P点的坐标为 所以 点的坐标为 答案： 答案：D