初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 人教版数学九年级上册
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
感悟新知
知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时，关于 x 的一元二次 方程 x2＋kx＋12＝0 的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得 k ＝±4 3 ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 3 ，∴两 直角边长为 2 3 ，2 3 ，∴斜边长为 2 3 × 2 ＝2 6 ， ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 ＋2 3 ＋2 6 ＝4 3 ＋2 6
2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是__3__．
3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积 为－4，则k的值为( D ) A．－1 B．4 C．－4 D．－5
4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另 一根为( C ) A．2 B．3 C．4 D．8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
，x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ，
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
湘教版数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系课件
谢谢！
知1－导
(2) 方程x2－5x＋6=0的两个根分别为x1=______， x2 =______，
得x2－5x＋6=(x－____)(x－____).
知1－讲
对于方程 a x2＋b x＋c＝0 ( a≠0 )，当≥0时，该方程的根
识点
与它的系数之间有什么关系呢
?
解：当≥0时，设a x2＋b x＋c＝0( a≠0) 的两个根为x1， x2，
与系数还有什么关系呢 ?
知1－导
知识点
1 一元二次方程根与系数的关系
(1) 先解方程，再填表：
方程
x2 -2x=0
x1
x2
0
2
x1+x2
x1 ·x2
x2 +3x-4=0
x2 -5x-6=0
由上表猜测：若方程 x2＋bx＋c =0的两根分别为x1，
x2，则：x1＋x2＝______，x1 ·x2＝_______；
则 a x2＋b x＋c ＝ a ( x－x1 ) ( x－x2 )
＝a [x2－(x1＋x2) x ＋ x1x2]，
b
c
a ( x x )，
a
a
b
c
于是 x 2 x =x 2 ( x1 + x2 ) x x1 x2 .
a
a
又 a x2＋b x＋c＝
2
知1－讲
根据七年级上册教科书 2.5 节关于两个多项式相等
＝－ .
∴x1＋x2＝ ＝
a
2
a
2
2
知1－讲
总 结
求一元二次方程两根之和或两根之积时，要把
方程化成一元二次方程的一般情势， 先确定方程有
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 一元二次方程的根与系数的关系
则 x1＋ x2＝－2， x1·x2＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
谢谢观看
Thank you for watching!
第二十一章
*21.2.4
一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
要点归纳
知识要点
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系
x2＋ px ＋ q ＝0 x1＋ x2＝ －p
公式 ax2＋ bx ＋ c ＝
0（ a ≠0）
应用 应用前提
x1＋ x2＝ －
x1·x2＝ q
）
D
A. x2－6 x ＋8＝0
B. x2＋2 x －3＝0
C. x2－ x －6＝0
D. x2＋ x －6＝0
3. 已知 x1， x2是一元二次方程 x2＋4 x －3＝0的两个
实数根，则 x1＋ x2－ x1 x2的值是（
A. 6
B. 0
2
3
4
5
6
）
D. －1
C. 7
1
D
7
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋ c ＝0有一个根
x1·x2＝
方程有实数根，即Δ＝ b2－4 应用
用 形式
≥
当堂检测
1. 已知 x1， x2是一元二次方程2 x2－4 x ＋1＝0的两
个实数根，则 x1·x2等于（
）
C
A. －2
D. 2
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2
3
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5
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7
2. 已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这个
中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析
公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。
公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。
掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。
二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。
2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。
根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。
三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。
难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。
2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。
在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。
四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。
五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
初三数学一元二次方程根和系数关系解析
初三数学一元二次方程根和系数关系解析一元二次方程是我们初中数学中非常重要的内容，它的根和系数之间存在着一些有趣的关系。
在本文中，我们将对一元二次方程的根和系数之间的关系进行深入分析。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程一般可以写成如下形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别是方程的系数，其中a≠0。
这里的a决定了方程的开口方向，b决定了方程的对称轴位置，c决定了方程与x轴的交点。
二、一元二次方程的根和系数之间的关系1. 判别式一元二次方程的判别式可以用来判断方程的根的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ表示判别式。
①当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
②当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
③当Δ < 0时，方程没有实根，但可能有共轭复根。
2. 根与系数之间的关系通过解一元二次方程，我们可以得到根与系数之间一些有趣的关系。
①根的和与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/a。
我们可以通过求和的方式得到方程中b和a之间的关系。
②根的积与系数的关系设方程的两个根为x₁和x₂，则有：x₁ * x₂ = c/a。
我们可以通过求积的方式得到方程中c和a之间的关系。
三、例题分析现在，我们通过一个例题来更好地理解一元二次方程的根和系数之间的关系。
例题：已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 的两个根互为相反数，求k 的值。
解析：根据题意可知，设方程的两个根为x₁和-x₁，则有：x₁ + (-x₁) = 4/a，即 -2x₁ = 4/a。
由于根互为相反数，可以把方程改写成2x₁² - 4x₁ + k = 0。
根据根和系数的关系可知：2x₁² - 4x₁ + k = 0 中的系数-4与k之间存在关系 k = 2/a。
综上，根据题意可以得出k = 2/a。
通过这个例题，我们可以清楚地看到根和系数之间的关系以及如何利用根与系数之间的关系解题。
《一元二次方程的根与系数的关系》课件
•引言•一元二次方程的基本概念•一元二次方程的根与系数的关系•案例分析目•练习与巩固•总结与回顾录0102一元二次方程是数学学习中的重要内容，是初中数学的核心知识点之一。
掌握一元二次方程的解法有助于学生更好地理解其他高级的数学概念，提高数学成绩。
学习一元二次方程还有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，对于学生的长远发展具有重要意义。
学习一元二次方程的重要性示例公式法因式分解法图像法030201根的判别式根与系数的关系一元二次方程的根的性质根的判别式是二次方程解的公式，它基于方程的系数，可以判断方程是否有实数解、两个不同的实数解或相同的实数解。
根的判别式详细描述总结词根与系数的关系推导是一元二次方程求解的关键步骤。
详细描述通过配方、因式分解等数学方法，将一元二次方程转化为两个一次方程，再解这两个一次方程得到原方程的解。
同时，根据判别式的性质，可以判断出方程的解的情况。
详细描述案例一：实际问题中的一元二次方程求解总结词在实际问题中，一元二次方程通常出现在投资、增长率等经济问题的数学模型中。
详细描述例如，某公司预计未来三年的年利润为10%的增长率，假设第一年的利润为100万元，求第二、三年的利润。
此问题可以通过一元二次方程求解得到。
案例二：数学竞赛中的一元二次方程求解总结词详细描述在物理问题中，一元二次方程通常出现在与运动、力等相关的物理公式中。
详细描述例如，在自由落体运动中，物体下落的距离h与时间t的关系可以表示为h = -gt² + v0t + h0，其中g是重力加速度，v0是初速度，h0是初始高度。
我们可以使用一元二次方程来求解时间t。
总结词案例三：物理问题中的一元二次方程求解VS总结词：强化基础详细描述：设计一系列简单的一元二次方程题目，旨在帮助学生掌握解一元二次方程的基本方法，并熟悉根与系数的关系。
示例题目：$2x^{2} - 4x = 0$，$3x^{2} + 5x = 0$等。
一元二次方程根和系数关系及应用题(讲义及答案)
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）一、知识点睛1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ⋅=_________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程：① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．二、精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（ ）A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22. 若x1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -=6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．8. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +；（2）2212x x +．解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ⋅= ． （1）原式== =9.已知关于x的方程2(1)20m x x---=．若x1，x2是该方程的两个根，且2212121 8x x x x+=-，求实数m的值．10.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）【分析】解：三、回顾与思考_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ______【参考答案】一、知识点睛1. b ca a ，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②面积型；③经济型． 二、精讲精练 1．D 2．2，-43．12a <≤4．2±5．A6．6000(1+x )2=88407．108．解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵ ∴122x x +=-，1232x x ⋅=-．（1）原式121224332x x x x +-===-；（2）79．5m = 10．水渠应挖1m 宽．11．（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12．13．产品的销售单价应定为120元．。
《一元二次方程根与系数的关系》PPT
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
问题2 求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
讲授新课
一 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
问题1：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2与x1 • x2系数 有什么规律？
方程
x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
21 3
2
-1 3
2
-3
14
5
4
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.
x1 x2 p x1 x2 q
方程
9 x2 6x 1 0 3 x2 4x 1 0
3 x2 7x 2 0
x1
1 3
2 7 3
1 3
x2
1 3
2 7 3
-2
x1 x2
2 3 4 3
7 3
x1. x2
那么x1 + x2= -
b a
c , x1 ·x2= a
注：能用根与系数的关系的前提条 件为b2-4ac≥0
类型一 直接运用根与系数的关系
典例精析
例1 不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0; (2)3x2 7x 9 0; (3)5x 1 4x2.
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用鹿邑前沿教育：根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系1) 若方程$ax^2+bx+c=0$ 的两个实数根是$x_1$，$x_2$，则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
2) 若一个方程的两个根为 $x_1$，$x_2$，那么这个一元二次方程为 $a(x-x_1)(x-x_2)=0$。
二、根与系数的关系的应用：1) 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。
2) 判别一元二次方程两根的符号。
对于$ax^2+bx+c=0$ 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式 $\Delta=b^2-4ac$，但$\Delta$ 只能用于判定根的存在与否。
若判定根的正负，则需要确定 $b$ 或 $a$ 的正负情况。
因此解答此题的关键是：$b$ 或 $a$ 的正负情况。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于 $ax^2+bx+c=0$ 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，但 $\Delta$ 只能用于判定根的存在与否。
若判定根的正负，则需要确定 $b$ 或 $a$ 的正负情况。
因此解答此题的关键是：$b$ 或 $a$ 的正负情况。
解：$\because \Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\times2\times(-7)=65>0$。
therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为 $x_1$，$x_2$，$\because \Delta>0$。
therefore$ 原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中 $a>0$，若$\Delta>0$，仍需考虑 $b$ 的正负，所以可判定方程的根为一正一负；倘 $a<0$，则需考虑 $b$ 和 $c$ 的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
21-2-4一元二次方程的根与系数的关系课件人教版数学九年级上册
4
, (2)x1·x2=
(3) x12 x 22 14
(4) ( x1 x 2 ) 2 12
,
.
1
,
2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个
3
-3
根是___，m
=____.
2
3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
和 1 ，则：p = 1
, q= -2
人教版 九年级上册
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决
问题.
一元二次方程
--根与系数的关系
学习目标
●通过对一元二次方程的求解，了解根与系数
的关系.
●通过对根与系数的关系的理解，能利用一元
二次方程的根与系数的关系解决问题
新知导入
●求
两个根的和、
积与a,b,c有
根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0;
解:
x1+x2=- =-(-6)=6，
x1x2= =-15.
例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两
个 根 x 1 ，x 2 的和与积：
(2)
2
3x ＋7x－9＝0;
例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两
个 根 x 1 ，x 2 的和与积：
3
5
，k=－7.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它
的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
一元二次方程的根与系数的关系+课件++2024—2025学年人教版数学九年级上册+
（4）x2-4x+1=0
，
（√ ） （×） （×）
（× ）
2.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0
（1）3，1
（4）3x2=2
（2） ，
（3） ，0
（4）0，
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
x1
x2
b a , x1x2
c a
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际
问题．
1.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为
x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（ A ）
A.－3，2
B. 3，-2
C. 2，－3
D. 2，3
【解析】根据根与系数的关系得：x1+x2=-p=2+1=3， x1·x2=q=2，即p=－3，q=2.
——拉普拉斯
【解析】设方程的另一个根是x1，那么2x1= ∴x1= 又 +2= ∴ k=-7
答：方程的另一个根是 ，k的值是-7.
【跟踪训练】
1.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数
是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0 -1，7
（2）3x2+5x-2=0 ，
（3）2x2-3x+1=0 3，1
4
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解
决问题.（重点） 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问
题的能力．
请同学们猜想： 对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x -==⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1. 阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca． 根据上述材料解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2；有两个实数根：x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【思路点拨】（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围； （2）由y=x 1+x 2=-ba，代入即可求得：y=2-2m ，根据（1）中m 的取值范围，即可求得最小值． 【答案与解析】【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．举一反三：【变式】（杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4；（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，∴m2﹣4m﹣45=0，解得m1=9，m2=﹣5．当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；故m的值为9；（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，解得：m=﹣1，∴方程变为x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，不能组成三角形；当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19．2.（肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1﹣x 2）2；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2==10． （2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=x 1x 2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3.（灌云县期末）已知关于x 的方程x 2+ax ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【答案与解析】解：（1）在方程x 2+ax ﹣2=0中，△=a 2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8，∵a 2+8≥8，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程2222cx bx a bx ax b ++=++有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．（曲靖一模）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6.（芦溪县模拟）设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．15 B ．12 C ．6 D ．3二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．（凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m≠n，则n m m n+= ．9．（濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程 ，使它的两根分别是方程x 2﹣7x ﹣1=0各根的倒数．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k 为 时，两根互为相反数；（2）当k 为 时，有一根为零，另一根不为零. 12．（仁寿县一模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则m 的值是 ．三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.15．（杭州校级期中）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1•x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x 2+px+q=0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或a ＝c ，∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A ．4.【答案】C ； 【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根， 再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2=，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2×=6． 故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则m ，n 是方程3x 2+6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程x 2﹣7x ﹣1=0的两根为α、β，则有：α+β=7，α•β=﹣1． ∴==﹣7，=﹣1，∴以、为根的方程为x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为x 1, x 2，则x 1+x 2=-=-；x 1x 2= .（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 即x 1+x 2=-=0，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零， 即x 1x 2==0，解得k=.又当k=时，x 1+x 2=-≠0，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=>0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得m 1=﹣1，m 2=5，当m=﹣1时，原方程变形为x 2+x ﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；当m=5时，原方程变形为x 2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m 的值为﹣1． 故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=． 由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-13，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-13，且k ≠0 . (2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-kk ，且01)1(2=-+kk k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-13，且k ≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5=0的解， 当a ≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5， +====﹣47；当a=b 时，原式=2．（3）设方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则+==﹣，•==，则方程x 2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
一元二次方程的根与系数的关系：PPT课件
根与系数的基本关系
01
一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根 x1 和 x2 满足以 下关系
02
x1 + x2 = -b/a
03
x1 * x2 = c/a
04
这两个公式揭示了根与系数之间的基本关系，是求解一元二次方程的 关键。
根与系数的和与积的关系
01
根的和等于系数之比的 相反数：x1 + x2 = b/a
在不等式求解中的应用
利用一元二次方程的根与系数关系，可以将不等式转化为关于根的不等式，进而求 解。
当一元二次不等式的一个根已知时，可以利用根与系数的关系求出另一个根的范围， 从而确定不等式的解集。
对于一些特殊形式的一元二次不等式，可以直接利用根与系数的关系进行求解。
在函数图像中的应用
一元二次方程的根对应着函数图像的 顶点或交点，利用根与系数的关系可 以求出顶点的坐标或交点的坐标。
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
contents
目录
• 引言 • 一元二次方程的根与系数的关系 • 一元二次方程的根的判别式 • 一元二次方程的根与系数关系的应用 • 典型例题解析 • 课程总结与回顾
01 引言
一元二次方程的定义
只含有一个未知数 （元）
是整式方程，即等号 两边都是整式
未知数的最高次数是 2（二次）
利用一元二次方程的根与系数关系， 可以求出函数图像的对称点、对称中 心等对称性质。
通过分析一元二次方程的根的性质， 可以判断函数图像的开口方向、对称 轴等性质。
05 典型例题解析
例题一：一元二次方程根与系数的关系
解析
根据一元二次方程的求根公式，我们有 x1 = [-b + sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 和 x2 = [-b - sqrt(b^2 4ac)] / (2a)。将这两个表达式相加和相乘，即可得到 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a。
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初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。
x x b a x x c a1212+=-=， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。
需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。
一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。
例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。
解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。
例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。
解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。
m m >∴=-015，不符合题意，舍去∴=m 1说明：解一元二次方程首先要看判别式，只有∆≥0，方程才有解x 1和x 2，才能使用韦达定理，这种题往往以大题的形式出现，也是一种常考题型。
例1. 已知方程x x k 24020-+=的一个根加3即为另一根的80倍，求k 的值。
分析：设两根为αβ、，那么由根与系数的关系有：αβαβ+==402，k ，只有两个方程，还缺少一个方程，进一步审题，则发现αβ+=380，这样方程的个数与未知量的个数相等。
解：设方程的两根为αβ、，据题意有：αβαβαβ+==+=⎧⎨⎪⎩⎪402380k解之得：αβ===⎧⎨⎪⎩⎪39751985k∴k 的值为1985说明：方程思想的最基本观点：几个未知数，列几个独立的方程。
在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解，在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。
例2. 已知方程22102x mx m +-+=的两个实数根的平方和为294，求m 的值。
分析：设两个实根为αβ、，很显然αβαβ+=-=-m m 2122，，可以把αβ22+用αβ+与αβ表示出来，得到一个关于m 的方程，解之求m 。
做到这里并不完全正确，上述做法只考虑到方程的根与系数的关系，而忽视了一个条件，即方程是否有实数根，因此要对m 检验。
解：设方程的两个实数根为αβ、，依题有()∆=-⨯⨯-≥<>+=-<>=-<>+=<>⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪m m m m2224212012212232944αβαβαβ 由<4>得：()αβαβ+-=22294把<2>、<3>代入上式得：m m 2412294--=() 解得：m m 12311==-，把m m 12311==-，分别代入<1>检验可知当m =-11时，∆<0，故m =-11舍去∴=m 3例 3.2003200220010200120022003022a ab b +-=--=，，且ab ≠1，求：bab a -+1的值。
分析：观察题设的两个等式结构，可以构造一个一元二次方程，使方程的两根分别是与a 、b 有关的式子，再根据韦达定理，及整体代入求值的思想，解决求bab a -+1的值。
解：由20012002200302b b --=，可知b ≠0，则方程两边同除以-b 2，得：2003120021200102⋅+⋅-=b b又∵20032002200102a a +-=∴a b、1是方程20032002200102x x +-=的根ab a b≠∴≠11，∴+=-⋅=-a b a b 120022003120012003b ab a a a b b -+=-+=-+=-111120022003200120032003说明：要注意ab ≠1这一条件的重要性，只有ab ≠1，a b、1才是构造的一元二次方程两根，才能利用韦达定理。
例4. 已知关于x 的方程()x k x k k 22212101-+++-=<>（1）求证：对于任意实数k ，方程<1>总有两个不相等的实数根； （2）如果a 是关于y 的方程：()()()y x x k y x k x k 21212202-+-+--=<>的根。
其中x x 12、为方程<1>的两个实数根，求代数式114112a a a a a a-+⎛⎝ ⎫⎭⎪÷+⋅-的值。
分析：（1）运用一元二次方程根的判别式即可得到结论，（2）由一元二次方程根与系数的关系可得到关于y 的方程为y y 2210--=。
根据方程根的意义可得等式a a 221=+，再由代数式恒等变形可得所求代数式的值。
解：（1）()()∆=+-+-4142122k k k=++--+=>4844848022k k k k ∴对任意实数k ，方程<1>总有两个不相等的实数根 （2） x x 12、是方程<1>的两个实数根()()∴+=+=+-∴+-=+-=--=-++=+--⋅++=-x x k x x k k x x k k k x k x k x x k x x k k k k k k 121221212121222221212212221211，()()()()∴方程<2>为y y 2210--=∵a 是方程<2>的根()()∴--=∴=+∴-+⎛⎝ ⎫⎭⎪÷+⋅-=+-+⋅+⋅-=+--=+-++-=-a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a 222222222210211141111141114121211412，()[()]()例5. 已知关于x 的方程kx k x k 22110+-+-=()只有整数根，且关于y 的一元二次方程()k y y m --+=1302有两个实数根y 1和y 2. （1）当k 为整数时，确定k 的值。
（2）在（1）的条件下，若m >-2，用关于m 的代数式表示y y 1222+。
分析：解答本题时要根据整数的性质，结合方程有实数根的条件来确定k 值。
另外要注意什么时候对二次项系数讨论，什么时候对二次项系数不讨论。
解：（1）当k=0时，方程<1>化为--=x 10，方程有整数根x =-1 当k ≠0时，解得x x k k k121111=-=-+=-+， ∵方程<1>的根是整数∴=±k 1但当k=1时，()k y y m --+=1302不是一元二次方程 ∴=k 1舍去 ∴k=0或-1（2）当k=0时，方程<2>化为--+=y y m 230 ∵方程<2>有两个实数根∴=+≥∆940m ，即m ≥-94，又m >-2 ∴当m >-2时，()y y y y y y m 122212212292+=+-=+当k=-1时，方程<2>化为--+=2302y y m ∵方程<2>有两个实数根 ∴=+≥∆980m ，即m ≥-98又m >-2 ∴≥-m 98时，有y y y y y y m 122212212294+=+-=+()例6. 如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程()()x m x m 221410--+-=的两个根，又知菱形ABCD 的周长为20，求m 的值。
DA CB O分析：由已知根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到关于AO 、BO 和m 的两个方程。
显然AB=5，在Rt AOB ∆中，由勾股定理又可得到一个关于AO 、BO 的方程，联系上述方程即可求出m 的值。
解：∵AO 、BO 是方程()()x m x m 221410--+-=的两个根()∴+=-⋅=-AO BO m AO BO m 2141， ∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC ⊥BD由于菱形周长为20，且四边长相等 ∴AB ＝5由勾股定理，得：AO BO AB 222+= 即AO BO 2225+=()∴+-⋅=AO BO AO BO 2225()()212412534022m m m m --⨯-=--=解得：m =4或m =-1当m =-1时，()AO BO m ⋅=-=-418不符合题意，故舍去。
当m =4时，()()∆=--⨯->2144102m m ∴=m 4说明：该例中因为已知方程的两根是线段的长，所以不仅要求方程有实数根，即∆≥0。
而且要求方程有两个正根，即210m ->，且()410m ->，解题时要注意挖掘和利用这些隐含条件，才能保证结论的正确。
例7. 设x px q 20-+=的两实根为αβ、 （1）求以αβ33、为两根的一元二次方程；（2）若以αβ33、为根的一元二次方程，仍是x px q 20-+=，求所有这样的一元二次方程。
分析：只须求出αβαβ3333+，即可。
解：（1）由韦达定理知：αβαβ+==p q ，()()[]()()αβαβαβαβαβαβ3322333333+=++-=-==p p q q∴以αβ33、为两根的一元二次方程为： ()x p p q x q 22330--+=（2）由（1）及题设知：p p q p q q()23312-=<>=<>⎧⎨⎪⎩⎪由<2>得：q =±01，若q =0，代入<1>，得：p =±01， 若q =-1，代入<1>，得：p =0若q =1，代入<1>，得：20±=，p ∆=-≥p q 240 10==∴q p ，（舍）∴符合要求的方程为：,010002222=-=-=+=x x x x x x ，，，0122=++x x ,.0122=+-x x1. 已知实数x 1和x 2满足x x x x 121222620620-+=-+=，，求x x x x 2112+的值。