Radon变换
Radon变换知识讲解
• 对f(x,y)的Radon变换R f ( p, ) 定义为沿由 p 和
定义的直线l的线积分 。其用于Radon变换的坐 标系如下：
Y
（x,y)
t| zq
p t
l X
• 上述线的积分可以表示为：
Rf(p, ) f(x,y )dl
Rf ap,at
f (x, y) (ap ax cos ay sin )dxdy
• 常熟因子a可以从Delta函数中提取出来，得到：
•
Rf af , at a 1 Rf p,t （放缩性）
• 若a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数
R f p , t R f p , t
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
• Delta函数（狄克拉函数）是一个广义函数，并 没有具体的定义，该函数在非零点取值均为0， 而在整个定义域的积分为1，下面为一个最简单 的Delta函数：
(x )
0,x 1,x
0 0
• 结合直线方程，则Delta函数可以表示为：
(p
x
cos
y
sin )
0,p 1,p
x cos x cos
fx ,y 0 dF 1 q R fq ,t
Radon变换资料讲解
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。
Radon变换综述
Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。
当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。
,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。
这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。
Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。
但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。
由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。
因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。
首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。
对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。
Radon变换
f x, y
0
d q F qt exp j 2qp dp
• 上式中方括号内是 q F qt 的1-D傅里叶反变换。 利用傅里叶变换的卷积定理可得：
F q F qt F q F F qt
R f ( p, ) f ( x, y) ( p x cos y sin )dxdy
- -
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出， 所以借助Delta函数的性质，可知上式就为l的线积 分。 Rf (p , ) 并不是定义在极坐标系统中的， 注意： 而是定义在一个半圆柱的表面。Radon空间示例如 下：
• 3、Radon变换的盲图像恢复 • 所谓盲图像恢复，就 是仅从降质图像中将扩展 函数（PSF）和原始图像都恢复出来。 • 在获取图像的过程中有许多因素会导致图像质量 的下降即降质，如光学系统的像差、大气扰动、 运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的模糊和 变形。图像恢复的目的就是对退化图像进行处理， 使其恢复成没有退化前的理想图像。图像质量的 优劣对视觉判读以及各种计算机视觉系统都十分 重要，因此图像恢复一直是图像处理领域中的研 究热点之一。
• 经典的图像恢复方法主要是针对已知或对图像 有特殊的限制和规定的情况下对图像进行恢复， 但是点扩展函数 (PSF)的信息在实际中很难获取 或者说测量代价高，因此这些对PSF要求有先验 知识的方法在实际中并不可取。实际中，PS... 展开 在获取图像的过程中有许多因素会 导致图 像质量的下降即降质，如光学系统的像差、大气 扰动、运动、散焦和系统噪音，它们造成图像的 模糊和变形。
R f ap, at
拉冬变换
图七 f-ρ域映射到F-X域的频谱图
图八 F-X域Radon变换后返回到t-x域
的信号图
模型测试与分析
为了更加明确的看到Radon变换前后信号是否相近，我们取Radon变换 前后t-x域中的第5道数据进行比较，如图九所示。
图九 F-X域Radon前后t-x域信号比较
模型测试与分析
从图九我们可以看到F-X域Radon变换前后两信号重叠， 同样，图四与图八、图五与图七也表明了F-X域Radon变 换前后信号的一致性，因此，返回到t-x域，保持了波 的形态，说明该算法是稳定的。
H 1
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
（，） d ( x, t x ) x （， =t- x） d '( x, t )
2.4
Radon变换原理
2.2 F_X域拉当变换的数学原理
由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算 时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为：
在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集 是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发 散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立 叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
拉冬变换数学基础
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
radon变换在地震数据中的应用
radon变换在地震数据中的应用应用radon变换在地震数据中地震是指地球内部的能量释放，导致地震波的传播和地壳的震动。
地震数据的采集和分析对于了解地壳结构、预测地震活动以及保护人们的生命财产安全具有重要意义。
而radon变换作为一种有效的信号处理方法，在地震数据的分析中得到了广泛的应用。
radon变换是指将二维信号转换为一种新的坐标系下的表示方法，它可以将信号在频率域上进行分解，从而提取出信号的特征信息。
在地震数据中，radon变换可以用于提取地震波的运动信息，对地壳结构进行进一步的分析。
radon变换可以用于地震数据的去噪。
地震数据中常常伴随着各种干扰信号，如噪声、多路径传播等。
这些干扰信号会影响地震波的传播和观测结果，使得地震数据的解释变得困难。
利用radon变换可以将地震数据转换到新的坐标系下，通过滤波等方法去除噪声和干扰信号，从而提高地震数据的质量和可靠性。
radon变换可以用于地震数据的成像。
地震数据的成像是指根据地震波的传播和反射特性，重建地下地层的分布情况。
传统的成像方法需要进行大量的计算和模型假设，而利用radon变换可以将地震数据转换到新的坐标系下，通过简化计算和数据处理的方式实现快速成像。
这样可以提高成像的效率和准确性，为地震勘探和地质研究提供更可靠的依据。
radon变换还可以用于地震数据的波速分析。
地震波在地下的传播速度与地下介质的物理性质密切相关，通过对地震数据进行radon 变换，可以提取出地震波的传播速度信息。
这样可以帮助地震学家和地质学家研究地下结构和地震活动的机制，为地震预测和防灾减灾提供科学依据。
radon变换还可以用于地震数据的异常检测和异常分析。
地震活动往往伴随着地下构造和地质异常的变化，通过对地震数据进行radon变换，可以将地震波在频率域上进行分解，并提取出异常信号。
这样可以帮助地震学家和地质学家发现地下构造和地质异常，进一步研究地震活动的机制和演化规律。
2_3---radon变换
关于radon变换Radon变换，先是图像在某个方向上的投影后，将重叠在一起的像素的大小加在一起得到的一组数据。
比如如下的一个正方形：a=ones(100,100);%用上述的语句画一个正方形。
b=radon(a,0);%这句话表示在0度这个方向，也就是水平轴方向的投影后对重合的像素点进行求和，图像如下：45度的radon变换如下图所示：可以验证radon变换就是将图像投影到一个方向后，再对这个方向上的投影点重合在一起的所有像素点加在一起。
求所有角度的radon变换：Theta=0:179;c=radon(a,theta);imshow(c);colormap(jet);colorbar;上图中，x 轴上第一个点代表的东西是一个角度数，Y 轴上的一串点对应的就是上面在这个度数下的radon 变换数据，只不过用plot 画的时候，是在一维空间画的，现在画的是二维的空间。
从图中我们可以看出来，随着投影角度的越来越大，投影的长度也越来越大，中心值有大小 也越来越大，这些都可以验证radon 变换。
判定图像中的直线pic=imread('e:\test11.jpg'); figure(1); imshow(pic); title('彩色图像');figure(2); pic=rgb2gray(pic); imshow(pic); title('灰度图像');pic=edge(pic); figure(4);imshow(pic);title('边缘图像');figure(5);pic=double(pic); theta=0:179;r=radon(pic,theta);imshow(r,[]);colormap(hot);colorbar;从radon 变换图中，根据极值点，就可以判断出来原图中的直线了。
Radon变换ppt课件
形式为：
因 为 f x , y 可 用 F （ u , v ) 的 2 D 傅 里 叶 反 变 换 表 示 ， 写 成 极 坐 标
f ( x ,) y d [ q F ( q t ) e x p ( j 2)] q p d p
Radon变换
目录
1、Radon变换定义 2、Radon变换基本性质
3、Radon反变换
1、Radon变换定义
图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性 质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空 间以得到所需的效果。 正变换： 图像空间到其他空间 反变换： 其他空间到图像空间
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
[pt ,] f R f [ ]c o s x p
(6)卷积 这里用 表示1-D卷积，而用 表示2-D 卷积以示区别。对Radon变换的卷积定理可 ( x ,) yg ( x ,) y h ( x ,) y 如下表示：如果 f ，那么对
2、Radon变换基本性质
(5)微分 这里仅考虑 ，其他结果可用相同方法得到。
f x
e ) f fx [ ( , y ] fx (, y ) c o s i m e xl e 0 c o s
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ p e ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
radon变换在地震数据中的应用
radon变换在地震数据中的应用地震数据的处理和分析在地震学领域具有重要的意义。
为了更好地理解地震活动的性质和特征，科学家们采用了各种方法和技术。
其中，使用Radon变换是一种广泛应用的技术，它在地震数据处理中起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍Radon变换在地震数据中的应用。
Radon变换是一种信号处理技术，可以将时域信号转换为空域信息。
在地震学中，Radon变换被用来处理地震数据，并从中提取有关地下构造和地震波传播的信息。
Radon变换可以将地震记录转换为从不同传播角度观测到的数据。
通过对这些观测数据进行处理和分析，可以获得丰富的地下信息。
在地震勘探中，Radon变换可以帮助确定地下的构造特征和界面位置。
通过对地震数据进行Radon变换，可以将数据转换为不同方向的视图，从而使地震学家们更好地理解地下结构的几何和物理特征。
例如，当地震波从水层到固体地层传播时，会发生反射和折射，这些复杂的波形可以通过Radon变换进行解析和分析，从而确定地下结构的性质和分布。
此外，Radon变换还可以用于地震数据的噪声抑制和滤波。
在地震数据中，存在着各种噪声来源，如地表噪声和仪器噪声等。
这些噪声会干扰地震信号的提取和分析。
通过应用Radon变换，可以将地震信号和噪声分离开来，并对噪声信号进行抑制和滤波，从而提高地震数据的质量和可解释性。
Radon变换还可以用于地震数据的成像和反演。
通过对地震数据进行Radon变换，并运用逆Radon变换的方法，可以生成地震剖面和速度模型。
这些地震剖面和速度模型可以帮助研究人员更好地理解地下的构造和地震波传播的机制。
同时，通过与其他地震学方法的结合，可以对地下的物理参数进行反演，从而提供关于地下介质的详细信息。
综上所述，Radon变换在地震数据处理中具有重要的应用价值。
它可以帮助研究人员更好地理解地下构造和地震波传播的特征，并为勘探和地震学研究提供有力的工具和指导。
随着技术的不断发展，Radon 变换在地震学领域的应用将会越来越广泛，为我们揭示地震现象的本质和地球深处的奥秘提供更多可能性。
radon变换矫正 原理
radon变换矫正原理
Radon变换矫正是一种用于医学影像处理的技术，它可以将医学影像中的伪影和噪声去除，从而提高影像的质量和准确性。
该技术的原理是基于Radon变换，下面将详细介绍Radon变换矫正的原理。
Radon变换是一种数学变换，它可以将二维平面上的图像转换为一组一维的投影数据。
具体来说，Radon变换将图像中的每个像素点沿着一定的方向进行积分，得到该方向上的投影值。
通过对不同方向上的投影值进行组合，就可以重建出原始图像。
在医学影像处理中，Radon变换可以用于去除伪影和噪声。
伪影是由于影像采集过程中的物理因素或处理过程中的算法缺陷导致的图像畸变，而噪声则是由于影像采集设备的电子噪声或环境干扰等因素引起的图像随机波动。
这些因素会影响医学影像的质量和准确性，因此需要进行矫正。
Radon变换矫正的过程包括以下几个步骤：
1. 对原始影像进行Radon变换，得到一组投影数据。
2. 对投影数据进行滤波，去除高频噪声和伪影。
3. 对滤波后的投影数据进行反变换，得到矫正后的影像。
具体来说，滤波的过程可以采用不同的算法，如Butterworth滤波、高斯滤波等。
这些算法可以根据不同的需求进行调整，以达到最佳的矫正效果。
总之，Radon变换矫正是一种有效的医学影像处理技术，它可以去除伪影和噪声，提高影像的质量和准确性。
在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和优化，以达到最佳的矫正效果。
radon变换构造频域算子
radon变换构造频域算子
Radon变换是一种用于图像处理和计算机视觉任务中的频域算子，它可以将图像从空域转换到频域，用于提取图像中的频域特征。
Radon变换的基本思想是将图像中的像素值在不同的角度上进行投影，然后对每个投影进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
这样可以得到一组频域投影数据，用于描述图像的频域特征。
具体的Radon变换可以按照以下步骤进行构造：
1. 选择一组角度值，例如0°、45°、90°、135°等。
2. 对于每个角度，将图像中的像素值沿该角度进行投影。
投影可以使用正弦和余弦函数来实现，计算每个像素在投影线上的位置和对应的像素值，并将其累加得到投影值。
3. 对每个投影值进行傅里叶变换，得到图像在不同频率上的响应。
4. 将得到的频域投影数据进行合并或处理，可以通过加权平均或选择特定频率范围的响应来提取图像的频域特征。
Radon变换可以用于图像恢复、图像分析、医学图像处理等领域，可以提取图像中的纹理信息、边缘信息等频域特征，对图像的处理和分析具有重要作用。
Radon变换图像重构
适用于需要从投影数据中重建出完整图像的场景，如CT成像、三 维重建等。
03 Radon变换的算法实现
离散Radon变换算法
离散Radon变换算法是一种将图像投影到一系列方向上的算法，通过在每个方向上 对图像进行投影，可以得到一组投影数据。
该算法通常使用快速傅里叶变换（FFT）来实现，可以在较短的时间内完成对大规模 图像的变换。
性质
Radon变换具有线性、可逆性和空间 不变性等性质，广泛应用于图像处理 和计算机视觉领域。
Radon变换的数学表达
数学表达式
Radon变换可以表示为将图像函数f(x, y)投影到射线θ=α，其中α是射线与x轴 的夹角，通过积分得到投影数据P(α, t)，即对每个角度进行积分运算。
逆变换
对于给定的投影数据，可以通过逆Radon变换重构原始图像。逆变换的过程是 通过对每个角度进行反投影运算，得到重构图像的像素值。
机器学习算法在Radon变换中的应用
利用机器学习算法对Radon变换进行改进，例如支持向量机、随机森林等，以提高图像重构的准确性和效率。
特征提取与分类
通过机器学习算法对Radon变换后的图像进行特征提取和分类，以实现更加精准的图像重构。
基于深度学习的Radon变换改进
深度学习模型在Radon变换中的应用
加鲜明。
细节提取
02
利用Radon变换的特性，可以从图像中提取出更多的细节信息，
提高图像的分辨率。
应用场景
03
适用于需要增强图像对比度和细节的场景，如安防监控、医学
影像分析等。
图像重建
逆Radon变换
通过逆Radon变换，可以从投影数据中重建出完整的图像。
投影数据获取
radon变换的原理及直线检测
radon变换的原理及直线检测Radon 变换的原理及直线检测在图像处理和计算机视觉领域，Radon 变换是一种非常有用的工具，特别是在直线检测方面。
让我们来深入了解一下 Radon 变换的原理以及它是如何实现直线检测的。
首先，什么是 Radon 变换呢？简单来说，Radon 变换是将图像在不同的角度上进行投影的一种数学变换。
想象一下，我们有一张图像，就像是一幅画，而 Radon 变换就是把这幅画沿着不同的方向压扁，然后记录下每个方向上的投影值。
为了更直观地理解，假设我们有一个简单的二维图像，上面只有一个白色的矩形。
如果我们沿着水平方向进行投影，那么得到的就是矩形在水平方向上的长度；如果沿着垂直方向投影，得到的就是矩形在垂直方向上的长度。
而 Radon 变换就是对所有可能的方向进行这样的投影操作。
那么，Radon 变换是如何实现的呢？从数学角度来看，对于一个二维函数 f(x,y)，它的 Radon 变换R(ρ,θ)定义为：＼R(＼rho,＼theta) ＝＼int_{＼infty}＾｛＼infty}＼int_{＼infty}＾｛＼infty} f(x,y) ＼delta(＼rho x\cos\theta y\sin\theta) dx dy＼这里的ρ 表示从原点到直线的垂直距离，θ 表示直线与 x 轴的夹角，δ 是狄拉克函数。
这个公式可能看起来有点复杂，但实际上它就是在计算图像在特定角度和距离下的积分值。
在实际计算中，通常会将图像离散化，然后通过数值计算的方法来近似求解 Radon 变换。
这样，我们就能够得到图像在不同角度和距离下的投影值。
接下来，让我们看看 Radon 变换在直线检测中的应用。
为什么Radon 变换能够用于直线检测呢？这是因为如果图像中存在一条直线，那么在这条直线对应的角度和距离上，Radon 变换的值会出现一个峰值。
例如，如果图像中有一条水平直线，那么在θ ＝ 0 度的方向上，Radon 变换的值会比较大；如果是一条倾斜的直线，那么就会在对应的倾斜角度上出现峰值。
radon变换原理
radon变换原理Radon变换原理是一种常用于图像处理和分析的数学方法，它能够将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息。
通过对图像进行Radon变换，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。
Radon变换的基本原理是利用投影将二维图像转换为一维信号。
首先，将图像沿着一定方向进行投影，得到一系列的投影线。
然后，将每条投影线上的像素值相加，得到一维信号。
通过变换不同的方向，可以得到一系列的一维信号，从而提取出图像中的特征信息。
Radon变换的过程可以用数学公式来表示，但为了避免输出公式，下面通过描述来解释Radon变换的原理。
假设有一幅二维图像，其像素值可以表示为一个矩阵。
我们需要将这个矩阵转换为一维信号，首先选择一个方向，比如水平方向。
然后，将每一行的像素值相加，得到一个一维信号。
这个一维信号表示了图像在水平方向上的投影信息。
同样地，我们可以选择其他的方向，比如垂直方向、45度方向等，得到相应方向上的投影信息。
通过Radon变换，我们可以得到图像在不同方向上的投影信息，从而实现对图像的特征提取。
例如，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行适当的处理，可以实现边缘检测。
边缘是图像中像素值变化较大的区域，通过对投影信息进行分析，我们可以找到这些变化较大的区域，从而实现边缘检测。
除了边缘检测，Radon变换还可以应用于形状分析和图像重建等领域。
在形状分析中，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行分析，可以得到图像中不同形状的特征信息，从而实现对形状的识别和分类。
在图像重建中，可以利用Radon变换将图像进行投影，然后通过逆变换将投影信息转换回原始图像，从而实现图像的重建。
Radon变换是一种常用的图像处理方法，通过将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。
虽然Radon变换的原理可以用数学公式来表示，但通过描述也能够清晰地理解其基本原理和应用。
图像变换基础RadonHadamardFt
实现Hadamard变换的方法
定义： Hadamard变换 是一种离散变换， 用于将输入信号映 射到输出信号
实现步骤：通过迭 代的方式，对输入 信号进行逐级变换， 最终得到输出信号
算法复杂度：时间 复杂度和空间复杂 度均为O(nlogn)
应用场景：在图像 处理、信号处理等 领域广泛应用
实现Fourier变换的方法
01
添加目录项标题
02
Radon变换
Radon变换的定义
Radon变换是 图像处理中的一 种重要变换，用 于将图像从空间 域转换到 Radon域
它通过对图像中 的每个像素点进 行线性积分来计 算Radon变换
Radon变换在 图像处理中广泛 应用于图像增强、 图像恢复和图像 压缩等领域
通过对Radon 变换的逆变换操 作，可以将图像 从Radon域转 换回空间域
离散傅里叶变换（DFT）：对图像进行傅里叶变换，将图像从空间域转换到频率域。 快速傅里叶变换（FFT）：基于DFT的算法，通过减少计算量来提高变换速度。 傅里叶变换滤波器：在频率域对图像进行滤波处理，实现图像的增强和降噪。 傅里叶逆变换：将处理后的图像从频率域转换回空间域，得到最终的变换结果。
和通信领域
添加标题
优缺点比较：Radon 变换能够提供图像在 各个方向上的信息，
但计算量大； Hadamard变换具有 高效性，但在处理灰 度图像时可能会引入 误差；Fourier变换能 够揭示图像的频率成 分，但无法提供空间
信息
Radon-Hadamard-Fourier变换的优劣比较
添加标题
Radon变换：在图像处理中，Radon变换是一种重要的线性变换，能够将图像从空间域转换 到角度域，从而提取出图像中的方向信息。
matlab中radon变换
在MATLAB中，可以使用`radon`函数进行Radon变换。
给定一个图像`I`和一个角度向量`theta`，`radon`函数将返回在每个给定角度下的Radon变换。
以下是使用`radon`函数的基本语法：
```matlab
R = radon(I, theta)
```
其中，`I`是输入图像，`theta`是角度向量，`R`是返回的Radon变换结果。
如果`theta`是一个标量，则`R`是一个包含在`theta`的列向量。
如果`theta`是一个向量，则`R`是一个矩阵，每一列是对应其中一个`theta`的Radon变换。
如果忽略掉`theta`，则默认为0:179。
此外，还可以使用以下语法获取径向坐标向量：
```matlab
[R, xp] = radon(I, theta)
```
其中，`R`是返回的Radon变换结果，`xp`是径向坐标向量。
每个坐标值`xp(i)`是对应于`R(i,:)`的径向坐标，沿着X'轴的数值，其为在`theta(i)`下，X'轴逆时针方向映射来的。
两个坐标系的原点为图像的中心点。
需要注意的是，在使用`radon`函数之前，需要确保输入图像是灰度图像（如果是彩色图像，需要先将其转换为灰度图像）。
此外，确保角度向量`theta`的单位是度数。
Radon变换
(2)相似性 如果 ，则：
2、Radon变换基本性质
(3) 对称性 考虑如下等式(其中t=(cosӨ,sinӨ)为与l垂直方 向上的单位矢量。
2、Radon变换基本性质
常熟因子a可以从Delta函数中提出来，得到：
如果a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶 函数：
2、Radon变换基本性质
现在对上式两边取Radon变换，利用平移性质 得到：
[ pe ,] t [,] p t f R R f f [ ] c o s l i m x e e 0
2、Radon变换基本性质
根据偏微分的定义得到：
R [p ,t] f f [ ]c o s x p
1、Radon变换定义
对f(x,y)的Radon变换Rf(p, θ)定义为沿由p和θ 定义的直线l的线积分。
1、Radon变换定义
上述线积分可写为：
, , )l p R f(xyd
f
如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
( p , ) f ( x , yp ) ( x c o s ห้องสมุดไป่ตู้y s i n ) d x d y R
经 整 理 得 到 R a d o n 反 变 换 ：
1 1 1 ， fx ( ,) y 2 d [ ( p , t ) （ p ） ( ) ] 2 R f 0 2 2 p
1 ，
利 用 柯 西 主 值 ， 可 将 上 式 第 2 个 等 号 右 边 的 第 2 个 反 变 换 表 示 为 ：
s g nq 1 1 { } = ( ) 2 F j2 2 p
1
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Radon变换:
又称为Hough Transform (数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37) 考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。
则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。
通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。
在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线 y=2x-3;
变换 -3=-2x+y; 其中：a=-2,b=-3
假设有两个点在XY平面:〔0，-3〕，〔2，1〕，此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。
即：xcosθ+ysinθ=ρ
基础补充：
直角坐标系：xcosa+ycosa=0 〔a为一个常角，特如45度，则明显是y= -x的直线〕
下面通过极坐标转换来更进一步说明其普遍性：
因为直角坐标与极坐标变换公式为x=ρcosθ，y=ρsinθ，其中ρ是极半径，θ是极角。
代入所给的直线方程得ρcosθcosa+ρsinθsina=0，即
ρcos(θ-a)=0，而ρ≠0，所以有cos(θ-a)=0，θ-a=π/2，即此直线方程为
θ=a+π/2。
极坐标的参量：是角度和极半径〔也等于弦长吗〕
设原点O到直线L的距离为p并且L的垂线OD的倾斜角为a，则L的方程为xcosa+ysina=p〔a、p 为常数，a为与X轴夹角，P为直线与原点距离〕
D点的坐标：xd=pcos a
yd=psin a
直线L上任一点A的坐标设为：〔x，y〕，
根据两点式直线方程，可得出：〔x-xd〕/(yd-y)=tan a,
即：(x-pcos a)/(psin a-y) = sin a / cos a,
最后导出： xcos a+ysin a =p
以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标， 为角度。
我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。
如下例：
function radontest
I=zeros(200,200);
%I(100:170,100:170)=1;
A=eye(100,100);
I(101:200,1:100)=A;
figure, imshow(I);title('orginal image');
orginal image
theta=0:180;
[R,xp]=radon(I,theta); % R是点的数量多少
% xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离
% 0-180代表0到180度
% 此变换是以图像的中心点为原点的变换
figure,imagesc(theta,xp,R); title('R_theta X');
xlabel('theta(degree)');
ylabel('X\prime');
colormap(hot);
colorbar;
即所求 =45度，X`=-75左右。
意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。
此直线真正的45+90=135度，右移-75/sin45=100的距离。
(6)
由(6)式可见，f(x) 的Radon变换是f(x) 沿不同θ方向的投影；而 f(x) 的脊波变换看作是先对 f(x) 进行Radon变换，然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果，即：
(7)
正因为脊波变换在Radon域上对各个方向进行一维小波变换，将图像的线奇异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀疏表示。
脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换，然后进行Radon逆变换得到。
然而Randon变换的离散化是一个比较复杂的问题，在众多的离散化算法中，有些存在大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又比较困难。
其中有限Radon变换FRAT〔Finite Radon Transform〕[6][7]是其中比较好的离散化算法之一。
有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon 变换的离散化方法。
一个N×N〔N要求是一个素数〕大小的图像 f(i,j)，其中｛0,1,2…,N －1｝。
它的有限Radon变换FRAT定义为：
(8)
其中，是满足斜率 k和截距 l 的直线上的所有象素点的集合，定义如下：
, 当k∈｛0,1,2…,N－1｝
, 当
(9)
由式〔8〕(9)可知，有限Radon变换是满足要求的直线上的图像象素点灰度值的累加和。
一个N×N大小的图像经有限Radon变换后，将得到(N＋1)×N 大小的矩阵，它有N＋1个斜率方向，每个方向上有N个系数。
有限Radon变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBP〔Finite Back Projection〕来得到：
(10)
指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k 和截距 l 的集合，即：其中P
ij
…
(11)
为了获得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定义的有限Radon变换〔FRAT〕和反变换FBP要求变换的图像均值为零[8]，对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像。