直接迭代法
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
序贯模块法
不可再分块迭代的三种收敛方法段宝颜摘要：本文主要介绍用经典的序贯模块法来解不可再分块，并设置迭代收敛框根据迭代准则直至收敛，随后又介绍了修正切断迭代变量的三种方法，直接迭代法、加权直接迭代法和严格Wegstein法。
1序贯模块法经典的序贯模块法的基本思想是环路切断后对切断流股变量进行直接迭代的方法来解不可再分块的。
以下图为例来说明序贯模块法的求解过程。
图1四单元单循环系统该系统本身为一个不可再分块，设不可再分块中各单元的模型方程为X2=g2(X1,X0)X3=g3(X2)X4=g4(X3)X1=g1(X4) （1）该不可再分块仅由一个环路构成，切断X1，并设置迭代收敛框。
设切断流股变量初始才算值为X1 (0),序贯计算的过程可用下式表示：X1 (1) =g1(g4(g3(g2(X1 (0), X0)))) （2）X0为已知的系统输入流股变量，X1 (1)是根据不可再分块内计算次序计算出来的X1的计算值。
由于X1 (1)不可能刚好等于假设的流股变量初值X1 (0)，故必须设法修正X1 (0)，直至收敛。
2 迭代收敛框的作用及准则2.1迭代收敛框的作用（1）修正迭代变量（2）判别是否达到收敛，所谓收敛即当满足一定的收敛准则时模拟问题得到近似解。
2.2收敛准则收敛准则一：在过程系统稳定模拟计算中，常用的收敛准则可以是相邻两次迭代的迭代变量绝对误差的平方和小于某一预定的误差限ε1，即Obj=∑（X j(i+1)−X j(i)）2<ε1 （3）X j(i+1)为后一次迭代的流股变量向量X1的第j个分量，X j(i)：前一次迭代的流股变量向量X1的第j个分量，这种收敛准则常因变量的分量间数量级上的差异而导致收敛上的困难。
收敛准则二：相邻两次的迭代的迭代变量相对误差的平方和小于误差极限ε2Obj=∑（X j(i+1)−X j(i)∕X j(i)）2<ε2（4）收敛准则三：相邻两次的迭代的迭代变量的加权平方和小于误差限ε3Obj=∑ωj（X j(i+1)−X j(i)）2<ε3（5）ωj：加权因子，可根据具体变量的数值大小及敏感性程度人为地决定其大小。
20190312第二讲：方程的图形法迭代法直接法
直 接 法
方 程 的
图
形
法
❖ solve 对多变量方程fn(xn)=0求解(解析解)： 例5 求解方程组 x2y2=0 x-1/2y=b
s=solve('x^2*y^2,x-y/2=b'); [s.x, s.y]
❖ solve 对多变量方程f(xn)=0求解(数值解)： 例6 求解方程组 x2y2-2x-1=0 x2-y2-1=0
❖ solve 对单变量方程f(x)=0求解(无穷解?) ： 例4 求解方程tan(x)=sin(x)
x=solve('tan(x)=sin(x)') fplot(' tan(x)-sin(x) ',[-10*pi,10*pi]); grid on
方程(组)直接求解函数：solve 26
迭第
代二
法讲
x=solve('a*x^2+b*x+c')
或者
x=solve('a*x^2+b*x+c=0') pretty(x)
方程(组)直接求解函数：solve 25
迭第
代二
法讲
直 接 法
方 程 的
图
形
法
❖ solve 对单变量方程f(x)=0求解(数值解) ： 例3 求解方程x3-2x2=x-1
x=solve('x^3-2*x^2=x-1') double(x) fplot('x^3-2*x^2-x+1',[-5,5]); grid on axis([-1 3 -10 10])
迭第
代二
法讲
直 接 法
方 程 的
图
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
线性方程组的直接法和迭代法
线性方程组的直接法 直接法就就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
线性方程组迭代法 迭代法就就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.该方法具有 对讣算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等 优点,就是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法.迭代法不就是用有限步运算求 精确解，而就是通过迭代产生近似解逼近精确解•如Jacobi 迭代、Gauss- Seidel 迭代、S0R 迭代法等。
1. 线性方程组的直接法直接法就就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方 法。
1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。
当 方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。
如果方程组无解或者有 两个不同的解时，则系数行列式必为零。
如果齐次线性方程组的系数行列式不等 于零，则没有非零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
定理1如果方程组Ax = b 中»= A 工0,则Ax = b 有解，且解事唯一的， 解为X 严 ¥，/岸,..％ 理,D 就是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。
Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件:1、 未知数的个数等于方程的个数。
2、 系数行列式不等于零例1 a 取何值时，线性方程组X] + 兀2 + 兀3 = adX] +兀2 +些=1有唯一解。
內+花+ 0勺=1所以当a 丰1时，方程组有唯一解。
定理2当齐次线性方程组Av = O, |4|乂0时该方程组有唯一的零解。
定理3齐次线性方程组Ar = 0有非零解＜=＞同=0。
1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法就是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出 矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出 一 1 1 11 1 1解:|牛 a 1 1= () 1-6/ 1-« 1 1 a 00 G-1 =_(。
电力系统潮流计算方法分析
电力系统潮流计算方法分析电力系统潮流计算是电力系统运行中的基础性分析方法之一，它用于求解电力系统中各个节点的电压、相角以及线路的功率、电流等变量。
潮流计算是电力系统规划、运行和控制等方面的重要工具。
本文将对电力系统潮流计算方法进行分析。
电力系统潮流计算方法主要有两种，即直接法和迭代法。
直接法又分为解析法和数值法，迭代法包括高斯赛德尔迭代法、牛顿-拉夫逊迭代法等。
解析法是通过电力系统各个节点之间的网络拓扑关系和节点电压平衡条件的方程式，直接求解节点电压和线路功率等参数。
解析法的优点是计算速度快，但其适用范围较窄，主要适用于小型简单电力系统，对于大型复杂电力系统的潮流计算会出现计算量庞大的问题。
数值法是通过将连续变量离散化，将微分方程转化为差分方程，并利用数值解法求解离散的方程组来得到电力系统潮流计算结果。
数值法的优点是适用范围广，能够处理大型复杂电力系统的潮流计算，但其缺点是计算速度相对较慢。
在迭代法中，高斯赛德尔迭代法是一种经典的迭代法，它通过先假设节点电压的初值，然后利用节点注入功率与节点电压之间的关系不断迭代计算，最终达到收敛条件为止。
高斯赛德尔迭代法的优点是收敛速度快，计算精度高，但其缺点是收敛性有时不易保证，并且计算速度会随着系统规模的增大而变慢。
牛顿-拉夫逊迭代法是一种基于牛顿迭代法的改进方法，它引入雅可比矩阵，通过牛顿迭代法的迭代过程来求解节点电压和线路功率等参数。
牛顿-拉夫逊迭代法的优点是收敛性好，计算速度快，但其缺点是在实际应用中需要预先计算雅可比矩阵，会增加计算的复杂度。
综上所述，电力系统潮流计算方法有直接法和迭代法两种，其中直接法包括解析法和数值法，迭代法包括高斯赛德尔迭代法和牛顿-拉夫逊迭代法。
在实际应用中，根据电力系统的规模和复杂程度选择合适的方法进行潮流计算，以得到准确可靠的计算结果。
此外，随着计算机技术的不断发展，还可以利用并行计算和分布式计算等方法来提高潮流计算的效率。
一种适用重载点接触弹流润滑问题的新的直接迭代法
一种适用重载点接触弹流润滑问题的新的直接迭代法张美莹;夏伯乾【摘要】基于快速求解点接触弹流问题的直接迭代算法,通过将压力迭代矩阵由满元矩阵变为带状的稀疏矩阵,提出一个更高效的求解点接触弹流问题的新算法.该算法不仅具有更高的计算效率,而且可适用于重载工况.采用新算法求解了若干重载点接触EHL问题,结果与采用逆解法求得的结果非常接近,表明直接迭代法也适用于重载弹流问题研究.%Based on fast direct iterative algorithm for point contact EHL,by changing the full elements pressure iterative matrix into a spare band matrix,a more efficiency direct iterative algorithm for point contact EHL problems was proposed. The new algorithm is more efficient, and is applicable to heavy load conditions. Some numerical examples of heavy load point contact EHL problem solved by the new method were provided, and the results were very close to the results obtained by inverse solution algorithm, which indicates that direct iterative algorithm can be also suitable to the study of heavy-load point contact EHL problems.【期刊名称】《润滑与密封》【年(卷),期】2011(036)010【总页数】4页(P29-32)【关键词】弹流润滑;点接触;重载荷;直接迭代算法【作者】张美莹;夏伯乾【作者单位】郑州大学机械工程学院,河南,郑州,450001;郑州大学机械工程学院,河南,郑州,450001【正文语种】中文【中图分类】TH117近20年来点、线接触弹流润滑问题的数值分析得到了广泛的研究，但大多数研究是在轻载或中等载荷工况下完成的。
电力系统暂态分析
电力系统暂态分析概述电力系统暂态分析是电力系统工程中的重要环节，它主要研究电力系统在暂态过程中的运行状态和稳定性。
暂态过程是指系统发生突发故障后，从故障发生到系统恢复正常运行的过程。
电力系统暂态分析的目的是评估系统在故障情况下的电压、电流和功率等参数的变化，以便采取相应的措施来保障系统的平安运行。
暂态分析的方法暂态分析的方法主要有以下几种：1. 数值计算法数值计算法是一种较为常用的暂态分析方法。
它通过建立电力系统的数学模型，采用数值计算的技术来模拟系统在暂态过程中的行为。
数值计算法可以分为直接法和迭代法两种。
直接法是指直接求解系统方程组，得到系统在每个时刻的状态；迭代法是指通过屡次迭代求解，逐步逼近真实解。
数值计算法的优点是适用范围广，可以模拟各种不同类型的暂态过程，但计算量大，耗时较长。
2. 等效方法等效方法是一种简化计算的暂态分析方法。
它通过将电力系统中的各个元件等效为简化的模型，来简化暂态分析的计算过程。
等效方法主要包括等值电路法和等值参数法。
等值电路法是指将电力系统中的元件用等效电路来代替，以简化计算；等值参数法是指将电力系统中的元件用等效参数来代替，以简化计算。
等效方法的优点是计算速度快，但往往精度较低。
3. 软件仿真法软件仿真法是一种基于计算机软件的暂态分析方法。
它利用计算机软件来构建电力系统的模型，并通过仿真计算得到系统在暂态过程中的行为。
常用的电力系统暂态分析软件有PSS/E、EMTP等。
软件仿真法的优点是模型灵巧性高，能够模拟复杂的暂态过程，但需要具备一定的计算机编程和模拟仿真的技术。
暂态分析的应用暂态分析在电力系统工程中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 故障分析暂态分析可以用于故障分析，即在系统发生故障后，分析故障对系统的影响。
通过暂态分析，可以评估故障引起的电压暂降、电压暂升和电流过载等情况，以及评估故障后的系统稳定性和可靠性。
2. 保护设备设计暂态分析可以用于保护设备的设计。
直接迭代法
直接迭代法直接迭代法是一种常见的数值计算方法，可以用于求解函数的根、解微积分方程、寻找最优解等问题。
在这种方法中，我们通过不断地迭代来逼近目标值，直到达到所需的精度为止。
直接迭代法的基本原理是利用函数的局部线性近似来逼近函数的根或最优解。
具体来说，我们先选取一个初始值，然后通过函数的局部线性近似来计算出函数在该点的斜率，从而得到下一个近似解。
通过不断地重复这个过程，我们最终可以得到所需的解。
例如，我们可以使用直接迭代法来求解方程f(x)=0的根。
假设我们已经选取了一个初始值x0，那么我们可以利用函数f(x)在x0处的斜率来计算出下一个近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)，其中f'(x0)表示f(x)在x0处的导数。
通过重复这个过程，我们可以得到一个数列{x0,x1,x2,...}，其中每个数都是方程f(x)=0的一个近似解。
当这个数列的收敛性被证明时，我们可以认为它的极限值就是方程的实根。
类似地，我们也可以使用直接迭代法来解微积分方程。
例如，我们可以考虑如下的微分方程y'=f(x,y)，其中x和y都是实数。
假设我们已经知道了y在某个初始点x0处的值y0，那么我们可以利用函数f(x,y)在点(x0,y0)处的斜率来计算出下一个近似解y1=y0+f(x0,y0)Δx，其中Δx表示我们希望x的步长。
通过不断地重复这个过程，我们可以得到一个数列{y0,y1,y2,...}，其中每个数都是微分方程的一个近似解。
当这个数列的收敛性被证明时，我们可以认为它的极限值就是微分方程的解。
除了求解函数的根和解微积分方程之外，直接迭代法还可以用于寻找最优解。
例如，我们可以考虑如下的最小化问题：minimize f(x)，其中x是一个实数向量。
假设我们已经知道了函数f(x)在某个初始点x0处的值f0，那么我们可以利用函数f(x)在点x0处的梯度来计算出下一个近似解x1=x0-α∇f(x0)，其中α是一个正数，表示我们希望x的步长。
数值计算算法的原理及应用
数值计算算法的原理及应用数值计算是指利用数字计算机以及数学理论和算法，对数学问题进行数值求解的一门学科。
它将数学模型转化为计算机程序，通过计算机的运算，得出数值结果，从而解决现实问题。
数值计算算法的原理数值计算算法是数值计算中最核心的部分，它决定了计算的精度和效率。
在数值计算中，算法主要分为两类：直接法和迭代法。
直接法是指通过一次运算即可获得问题的解，通常能够获得非常高的精度。
例如高斯消元法就是一种直接法，可以解决线性方程组问题。
但直接法对于某些复杂问题不适用，因为对于大规模的问题，直接法需要的计算量过大，计算时间长。
而且有些需要解决的问题并不是线性问题，而是非线性问题，这种情况下直接法并不适用。
迭代法是通过不断迭代计算来逼近问题的解，需要相对较少的计算量，但精度通常不能得到确保。
迭代法常用于非线性问题，例如牛顿迭代法可以用于求解非线性方程组、迭代法可以用于求解微分方程等。
但要求设置一个适当的误差限，以确保迭代结束的准确性。
数值计算算法的应用数值计算算法的应用非常广泛，覆盖了各个领域，如工程、科学和金融等。
工程领域中，数值计算可以用于解决各种物理或工程问题。
例如，通过有限元方法可以预测结构的强度，通过计算流体力学可以模拟飞机在空气中的飞行，通过有限差分法可以估计地震波的传播等。
这些问题通常非常复杂，需要大量的精确计算才能得出结果，而数值计算通过有效的算法和高性能的计算机提供了一个有效的解决方案。
科学领域，数值计算同样是重要的工具，例如，多项式拟合可以用于曲线拟合，交错梯度法可以用于求解多元函数极值等等。
通过数值计算，科学家们可以得出数据模型中的隐藏规律，研究新的科学理论，推进科学进步。
最后，数值计算还在金融领域扮演着关键角色。
例如通过蒙特卡罗模拟可以模拟股票的走势，通过数值计算可以计算出利率、贷款、赔付等问题。
这些问题的复杂性和规模使得传统的手动计算方法不再可行，数值计算算法可以帮助我们快速而精确地找到最佳解决方案。
迭代法求解方程原理
迭代法求解方程：原理与步骤详解迭代法，又称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
迭代法求解方程的原理是基于数学中的逼近理论，通过构造一个序列，使得该序列的极限值就是方程的解。
这种方法通常用于求解非线性方程或者方程组，因为这些方程可能难以通过直接求解的方式得到解析解。
迭代法求解方程的基本步骤：1.选择迭代函数：根据待求解的方程，选择一个合适的迭代函数。
这个迭代函数通常是通过对方程进行某种变换得到的。
2.确定迭代初值：为迭代过程选择一个初始值，这个初始值可以是任意的，但不同的初始值可能会影响到迭代的收敛速度和稳定性。
3.进行迭代计算：使用迭代函数和初始值，计算得到序列的第一个值。
然后，用这个值作为下一次迭代的输入，继续计算得到序列的下一个值。
如此反复进行，直到满足某个停止条件（如达到预设的迭代次数，或者相邻两次迭代结果的差值小于某个很小的阈值）。
4.判断解的有效性：如果迭代过程收敛，即序列的极限值存在且唯一，那么这个极限值就是方程的解。
否则，如果迭代过程发散，或者收敛到非唯一解，那么这种方法就失败了。
迭代法的收敛性：迭代法的关键问题是判断迭代过程是否收敛，即序列的极限值是否存在且唯一。
这通常取决于迭代函数的选择和初始值的设定。
对于某些迭代函数，无论初始值如何，迭代过程都会收敛到同一个值；而对于其他迭代函数，迭代过程可能会发散，或者收敛到多个不同的值。
迭代法的优缺点：优点：◆迭代法适用于求解难以直接求解的方程或方程组。
◆迭代法通常比直接法更容易编程实现。
◆在某些情况下，迭代法可能比直接法更快。
缺点：◆迭代法可能不收敛，或者收敛速度很慢。
◆迭代法的收敛性通常需要额外的数学分析或实验验证。
◆对于某些方程，可能需要尝试不同的迭代函数和初始值，才能找到有效的解决方案。
常见的迭代法：◆雅可比迭代法：用于求解线性方程组的一种方法，通过不断更新方程组的近似解来逼近真实解。
迭代法
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值，迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。
方法介绍迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
迭代法应用迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。
迭代法的收敛性定理可分成下列三类：①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛；②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解；③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。
迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。
迭代法算法迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。
一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式（代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。
数值分析思考题6
数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。
直接法又称为精确法。
（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。
2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。
迭代公式收敛的充分必要条件是假设矩阵M的谱半径，可知的充分必要条件是。
迭代公式和,收敛。
严格对角占优线性方程组Ax=b（其中，）的Jacobi 迭代公式，收敛。
Gauss-Seidel迭代公式，收敛。
3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。
（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1，使得,则收敛于x*。
（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数在不动点x*的某邻域内具有二阶连续导数， 且，则二阶收敛，极限是x*。
（3）牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。
经实验，当谱半径是时，松弛因子是。
5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。
分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T点附近的根：2123212332312470,10110,1080.x x x x x x x x ⎧---=⎪+--=⎨⎪+-=⎩解非线性方程组的Newton 法的主要工作量在于求解。
牛顿解： ， ，Broyden 秩1校正方法： ， ，。
ansys求解中直接求解和迭代法
在ANSYS中，求解分为两种主要方法：直接求解和迭代法。
这两种方法用于解决不同类型的工程问题，具有不同的特点和适用性。
1. 直接求解（Direct Solver）：
- 直接求解方法也称为直接求解器或直接线性求解器，通常用于解决小型和中等规模的线性静力学问题。
- 这种方法通过矩阵分解技术（如LU分解或Cholesky分解）来解决线性方程组，从而获得精确的解。
- 适用于结构静力学、热传导、电磁场等问题，其中线性性质占主导地位。
- 由于其精确性，通常用于验证模型和进行初步分析。
2. 迭代法（Iterative Solver）：
- 迭代法也称为迭代求解器，通常用于解决大型和复杂的线性和非线性问题。
- 这种方法通过反复迭代来逐步逼近解，通常用于求解大规模稀疏矩阵的线性方程组。
- 适用于非线性材料、非线性几何、动力学等问题，其中复杂性较高且求解过程不容易收敛。
- 由于其高效性，通常用于工程实际应用中，特别是在大型有限元模拟中。
在ANSYS中，您可以根据具体问题和求解需求选择使用直接求解器或迭代求解器。
ANSYS提供了多个不同的求解器选项，以满足各种工程应用的需求。
您可以在ANSYS 的用户界面或命令行中配置求解器和求解选项，并根据模型的特点和求解性能的需求进行选择。
请注意，具体的求解方法和选项可能会根据ANSYS版本和扩展模块的不同而有所不同。
一种适用重载点接触弹流润滑问题的新的直接迭代法
种 适 用重 载 点 接 触 弹 流 润 滑 问题 的 新 的直 接 迭 代 法
张美莹 夏 伯 乾
河南郑州 ４ ００ ） ５０ １
（ 郑州大学机械工程学 院
摘 要 ：基 于快 速求 解 点 接触 弹 流 问题 的直接 迭 代 算法 ，通 过 将 压 力 迭 代 矩 阵 由满 元 矩 阵变 为带 状 的 稀 疏 矩 阵 ，提 出一 个 更 高效 的求 解 点 接触 弹流 问题 的新算 法 。该算 法 不 仅具 有 更 高 的计 算效 率 ，而 且可 适 用 于重 载 工 况 。采 用新 算 法 求解 了若 干重 载 点接 触 Ｅ Ｌ问题 ，结 果 与 采 用逆 解 法 求 得 的结 果 非 常 接 近 ，表 明 直 接 迭 代 法 也 适 用 于 重 载 弹 流 问题 Ｈ
２１ 年 １ ０１ ０月
润 滑 与 密 封
ＬＵＢＲＩ ＡＴ ０Ｎ Ｃ １ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ
０ｃ． ０１ ｔ２ １
第３ ６卷 第 １ ０期 NhomakorabeaＶ０ ． ６ Ｎｏ ０ １３ ．１
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ｐ ｉ ｔｃ ｎ ａ ｔＥＨＬ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｏ ｎ ｏ ｔ ｃ ｒｂｅ ．
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ｌｓｏ ｙ ｒ ｄ ｎ ｍｉ ｕ ｒｃ ｔｏ ｐ ｉｔｃ ｎ ａ ｔ ｈ ａ ｙ ｌａ ｄｒ ｃ ｔｒ ｔ ｅ ａｇ ｒｔｍ ｙ ｒ ｓ ｅａ ｔｈ ｄ ｏ ｙ ａ ｃ ｌｂ ａｉｎ； ｏｎ ｏ ｔｃ ； ｅ ｖ ｏ ｄ； ｉｅ ｔｉ ａｉ ｌｏ ｈ ｉ ｅ ｖ ｉ
研究 。
关 键 词 ：弹 流润 滑 ；点 接 触 ；重 载 荷 ；直 接 迭代 算 法
直接法与迭代法在求解大规模稀疏线性方程组中的比较研究
直接法与迭代法在求解大规模稀疏线性方程组中的比较研究在科学和工程问题中，线性代数是一个非常重要的分支领域。
在大规模科学计算和工程计算中，线性方程组的求解是一个需要高效和准确的问题，这个问题的求解是计算机领域中的一个重要难题。
本文将比较和分析直接法和迭代法这两种用于求解大规模稀疏线性方程组的算法。
一、直接法在数学领域中，解决线性方程组是一项非常广泛的研究问题，而直接法是其中的一种传统方法。
在求解小规模的线性方程组时，直接法是一种非常有效的解题方法。
所谓直接法，就是通过对方程组的系数矩阵进行高斯消元等操作，将未知量解出来。
以高斯消元法为例，消元法将系数矩阵的行进行逐行的消元，使得系数矩阵化为一个上三角矩阵，然后通过回带法求解出未知量。
直接法主要有高斯消元法和LU分解法两种，其中高斯消元法是裸的的直接法。
直接法的优点是它的精度非常高，可以获得准确的解。
同时，在小规模的方程组中，直接法的性能也很好。
但是，直接法的缺点也是显而易见的：当方程组的维数大到一定程度时，直接法的时间复杂度会增加到难以计算的程度。
二、迭代法用于求解大规模稀疏线性方程组的另一种方法是迭代法。
迭代法是一种迭代逼近的方法，通过一系列逐步近似地计算来解决问题。
迭代法的核心思想是：场解逐渐逼近正确的解。
相比直接法，迭代法的时间复杂度要低得多。
迭代法包含以下几个步骤:1.选取一个初始解x0；2.给出逼近的准则和停止准则；3.通过计算产生下一个逼近解；4.不断重复以上步骤，直到满足停止准则为止。
迭代法在大规模线性方程组的求解中有着广泛的应用。
迭代法有很多优点，其中最重要的是相比直接法，迭代法的时间复杂度相对要低很多。
另外，迭代法还具有灵活性高，容易适应不同的求解目标等优点。
但是，迭代法也有许多缺点，其中最重要的是其求解精度相对直接法要低。
迭代法也比较复杂，算法实现有很多细节需要处理。
此外，迭代法的收敛速度非常慢，因此，在实际问题中需要通过参数制定来进行优化。
化工过程分析与合成3.3.5 模拟的收敛方法
如果 w(k ) w2 则令 w(k ) w2
w1和w2分别为 w(k )取值的上界和下界。而 w1和w2 取值的大
小则往往靠经验。这种将调整系数 w(k ) 的取值加以限定的韦
格施坦法就称为有ห้องสมุดไป่ตู้的韦格施坦法。
6. 优势特征值法（dominant eigenvalue method）
3. 割线法（secant mthod）
迭代公式为： X (k1) X (k)
X (k ) X (k1)
f (X )(k)
f ( X )(k) f ( X )(k1)
特点：在各轮迭代中只需进行函数值的计算。在作每一轮计算时
需要前两轮的信息。在迭代求解开始之前，需设置两个初始点
（初值）。
4. 韦格施坦法（Wegstein method）
用于显式方程、具有显式迭代形式的割线法。其迭代公式为：
X (k1) X (k ) w(k ) ( ( X (k ) ) X (k ) )
其中：
w(k )
1 1 S(k)
S (k)
( X (k) ) ( X (k1) )
只需45次）迭代，即可发现相继两轮函数向量的欧氏范数之
比已渐趋稳定，于是可得(k )的估值，进而可进行一轮优势特
征值法的迭代，而使收敛过程得到一次明显加速。
7. 牛顿－拉夫森法 (Newton-Raphson method)
对于非线性方程组：
f
(
X
)
0
在
(k)
X X
处作泰勒展开，只截取一次项，则可得如下的方程形式：
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直接迭代法
直接迭代法，是一种基于迭代的计算方法。
它是一种基础的数值计算方法，可以用于求解各种数学问题，包括求解方程、求解积分、求解微分方程等。
直接迭代法的基本思想是通过一系列的迭代计算，逐步逼近所求解的问题的解。
直接迭代法的具体操作是，从一个初始值开始，通过一定的迭代关系式，逐步计算得到下一个值，直到满足一定的收敛条件为止。
在这个过程中，需要注意迭代关系式的选择，以及收敛条件的确定，这些都会影响到算法的收敛速度和精度。
直接迭代法的优点之一是易于实现，只需要一些简单的数学运算即可。
另外，它也可以适用于各种类型的问题，因此具有广泛的应用价值。
不过，需要注意的是，直接迭代法在处理某些问题时可能会出现数值不稳定的情况，因此需要进行一些修正或改进。
在具体应用中，直接迭代法可以用于求解各种方程，如线性方程、非线性方程等。
例如，可以利用直接迭代法求解如下的非线性方程：
f(x) = x^3 - 3x + 1 = 0
通过对该方程进行变形，可以得到如下的迭代关系式：
x(n+1) = (3x(n) - 1)/(x(n)^2)
其中，x(n)表示第n次迭代的解，x(n+1)表示第n+1次迭代的解。
通过不断迭代，可以逐步逼近方程的解。
除了求解方程外，直接迭代法还可以应用于求解积分、微分方程等问题。
例如，可以利用直接迭代法求解如下的微分方程：
y' = -y + x
通过对该微分方程进行离散化，可以得到如下的迭代关系式：
y(n+1) = y(n) + h*(-y(n) + x(n))
其中，y(n)表示第n次迭代的解，y(n+1)表示第n+1次迭代的解，h表示步长。
通过不断迭代，可以逐步逼近微分方程的解。
直接迭代法是一种基础的数值计算方法，具有广泛的应用价值。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的迭代关系式和收敛条件，以及进行一些修正和改进，以保证算法的精度和稳定性。