函数的单调性(解析版)

考点10 函数的单调性

【命题解读】

考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】

1. 函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1

时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．

2. 函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3. 复合函数的单调性

对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4. 函数单调性的常用结论

(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()

x 2x 1－x 2

<0⇔f(x)在D 上是减函数．

(2)对勾函数y ＝x ＋a

x (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；

(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1

f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [

g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2

<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )

A ．递减函数

B ．递增函数

C ．先递减再递增函数

D ．先递增再递减函数

【答案】C

【解析】作出函数y ＝x 2

－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故

选C.

2、函数y ＝1

x －1在[2，3]上的最小值为( )

A ．2 B.1

2 C.1

3 D ．－12

【答案】B

【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝1

2. 故选B.

3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)

13的x

的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫13，23

B.⎣⎡⎭⎫13，23

C.⎝⎛⎭⎫12，23

D.⎣⎡⎭⎫12，23

【答案】D

【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)

13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <2

3.故选D.

4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )

A. y ＝1

f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数

C. y ＝－1

f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.

【解析】 如f (x )＝x 3

，则y ＝1

f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.

5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】BD ．

【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴1

02(1)

x a =

>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．

若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴1

02(1)

x a =

<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．

故选：BD ．

6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．

【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2

＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别