北师大版高中数学必修2课件：1.5.2 平行关系的性质(1)PPT课件
高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT
由此易知三者之间可以任意转化．另一种转化就是空间问题平 面化，辅助面在转化空间问题为平面问题中有着重要作用．
3．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆 空间之中两直线，平行相交和异面． 线线平行同方向，等角定理进空间． 判断线和面平行，面中找条平行线； 已知线和面平行，过线作面找交线． 要证面和面平行，面中找出两交线． 线面平行若成立，面面平行不用看． 已知面与面平行，线面平行是必然． 若与三面都相交，则得两条平行线．
∵M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点，
∴MK∥AD，NK∥DD1. 又∵MK 平面 ADD1A1，NK AD，DD1 平面 ADD1A1，
平面 ADD1A1，
∴MK∥平面 ADD1A1，NK∥平面 ADD1A1， 又 MK∩NK＝K，∴平面 MNK∥平面 ADD1A1. 又 MN 平面 MNK，MN 平面 ADD1A1， ∴MN∥平面 ADD1A1.
规律方法 以符号语言为载体考查位置关系问题的判断题，是 高考选择题考查立体几何的主要形式，要熟悉相关定理是前提， 全面分析问题是关键，合理应用模型及排除法是常用方法．
【变式 1】 两个相交平面分别过两条平行直线中的一条，则它 们的交线和这两条平行直线是什么位置关系？试说明理由． 解 平行． 如右图，已知 a α，b β，a∥b，α∩β＝l. 因为 a α，b⃘α，且 a∥b，所以 b∥α.
【解题流程】 α∥β → AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′
→ 线段成比例 → S△A′B′C′ [规范解答] 相交直线 AA′、BB′所在平面和两平行平面 α、β 分 别相交于 AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得，AB∥A′B′.(2 分) 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交 于 BC、B′C′，从而 BC∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′.(4 分)
新版高中数学北师大版必修2课件1.5.2平行关系的性质
5.2 平行关系的性质
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
易错辨析
正解取D1D的中点G,连接EG,GC, ∵E是A1A的中点,G是D1D的中点,∴EG������ AD. 由正方体性质知AD������ BC,∴EG������ BC. ∴四边形EGCB是平行四边形,∴EB������ GC.① 又∵G,F分别是D1D,C1C的中点,∴D1G������ FC. ∴四边形D1GCF为平行四边形,∴D1F������ GC.② 由①②知EB������ D1F,∴四边形BED1F是平行四边形. 纠错心得1.立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能直
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5.2 平行关系的性质
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做一做2 平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且 α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是 ( )
A.互相平行 B.交于一点 C.相互异面 D.不能确定 解析:由面面平行的性质定理,可知答案为A. 答案:A
探究一
探究二
易错辨析
探究二平面与平面平行的性质及其应用
【例2】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面 A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面 AB1C1?并证明你的结论.
分析:先找出过DE与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D、E 与△AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的 交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可.
高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1-5-2平行关系的性质课件PPT
问题引入
1. 直线和平面有哪几种位置关系？ 平行、相交、在平面内
2. 反应直线和平面三种位置关系的根据 是什么？
公共点的个数
没有公共点： 平行
仅有一个公共点：相交 无数个公共点： 在平面内
问题引入
3. 直线和平面平行的判定定理
如果平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行.
问题引入
4. 线面平行的判定定理解决了线面 平行的条件；反之，在直线与平面平行 的条件下，会得到什么结论？
问题讨论
1. 若直线l∥平面α,则直线l与平面α 的直线的位置关系有哪几种可能?
l
a
b
问题讨论
2. 若直线l ∥平面α，则在平面α内与 l 平行的直线有多少条？这些与l平行的 直线的位置关系如何？
且AC、BD与 β,分别相 交于点C, D.
求证：AC=BD.
证明：
∵AB∥β ,
平面AD∩β=CD ∵AC∥BD
∴AB∥CD
∴ABCD是平行四边形 ∴AC=BD
例题解析
例3.在四面体ABCD中,E、F分别是 AB、AC的中点,过直线EF作平面α,分别 交BD、CD于M、N,求证：EF∥MN.
A
E
a
c
b
α
β
γ
例题解析
证明：因为 b,所以b
因为a // b
所以a // ，
又因为 a，所以a
又因为 c
所以a // c，因为a // b
所以b // c
课堂练习
Ø1. 复习直线与平面的位置关系; Ø2. 复习直线与平面平行的判定; Ø3. 学习并掌握直线与平面平行的 性质.
高中数学北师大版必修二 1.5.2平行关系的性质 课件(36张)
目标导航
预习引导
预习交流 3
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,那么 a 与 β 的位置关系是怎样的? 提示:a∥β.由于 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,而 a⫋α,所以 a 与 β 也没有公共点.故必有 a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法,即 转化为面面平行.
预习交流 4
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,直线 b⫋β,那么 a 与 b 的位置关系是怎 样的? 提示:直线 a 与 b 可能平行,也可能异面,但不可能相交.
问题导学
当堂检测
证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点, ∴ AP∥OM. 又 OM⫋平面 BMD,AP⊈ 平面 BMD,∴ AP∥平面 BMD. ∵ 平面 PAHG∩平面 BMD=GH,AP⫋平面 PAHG, ∴ AP∥GH.
(1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长.
问题导学
当堂检测
思路分析:由 PB 与 PD 相交于点 P 可知 PB,PD 确定一个平面,结合 α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平 面问题.
问题导学
当堂检测
(1)证明:∵ PB∩PD=P, ∴ 直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又 α∥β,∴ AC∥BD. (2)解:由(1)得 AC∥BD,∴ ∴=
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预习引导
2.平面和平面平行的性质定理 (1)文字叙述: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号表示: ������ ∥ ������ ������⋂������ = a ⇒ a∥b. ������⋂������ = b (3)图形表示:
高一数学(北师大)必修2课件：1.5.2平行关系的性质
1•理解线面平行的性质定理2•理解面面平行的性质定理3•能够利用两个定理解决有关问题.HI首页X褊嚴E DWf 思维脉络首页1・直线与平面平行的性质定理文字语言:如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线符号语言:川％压0QCI0二图形语言:作用:证明两条—平行.首页做一做1如图所示，在四棱锥P-ABCD中,分别为A C,PC上的点,且MNII平面丹10，则（）A.MNWPDB.MNIIB4C.MNWADD.以上均有可能PBX名师点拨：;I正确理解线面平行的性质定理:(1)克线与平面平行的性质定理中有三个条件：①直线/和平面僅平行。
即/ //a；②平面a』相交亍即g Dp=b ；③直线I在平面0内，即库乩这三个条件缺一不可.(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.(3)在应用线面平行的性质定理时亍往往会出现这样的易错点fa. // 宰趴所以a //,所以在应用时要谨慎.; (4)线面平行的判定定理与性质定理常常交桥使周::先通过线线平行找出线面平行"再通过线面平行推出线线I平行，其关系可用以下关系链表示：i 「囊线］在平面内作您丽|经过直线作或找平翦|...... •平行…或找二篆直线八平行t面号平WT的交线"•平行..DWf D 鵜細ANC首页2 •平面与平面平行的性质定理文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的•平行.符号语言:a II p.a^\y-a,p^\y-b^c图形语言:作用:证明直线与直线DWf D為絲狐观首页做一做2 平面a II平面0,平面y II平面5,且aC\y=a,ar\3=b,j3C\y=c^r\3=d,则交线a.b.c.d的位置关系是（）A.互相平行 B.交于一点C.相互异面D.不能确定解答，(名师点拨JIa正确理解面面平行的性质定理:(1)面面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一1种方法；I] (2〉已知两个平面平行'虽然一个平面内的任何直线I〕椰平行于另一个平面’但是这两个平面内的所有直线并不II-定相互平行.[ (3)面面平行的其他性质：: II ①两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一： I个平面.简言之严面面平行，则线面平行「这可以作为证iII明銭面平行的一种方法. i I ②夹在两个平行平面间的平行践段相等. i I ③两个平面都与第三个平面平行.那么这两个平面互i 「相平行+i I: ④两条直线被三个平行平面所截.截得的对应线段成1II比仙i Ii ⑤经过平面外一点有JI只有一个平面与已知平面平行.=DWf D為絲狐观首页思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“V”,错误的打“X”.(1)如果三个平面a,0,y满足a\\p\\y,且平面5与这三个平面相交，交线分别为d上G则有a II b II c成立()(2)若直线"与平面a不平行，过直线“的平面”与平面a的交线为/，则" 与/不平行.()(3)若直线"与平面a平行，则直线“一定平行于平面a内所有的直线. ()首页X籀嚴E探究一直线与平面平行的性质及其应月【例1】如图所示，己知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和仲作平面交平面BDM于GE求证:APWGH.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC 探究一探究二探究二易错辨析证明涟接A C交BD于点O，连接MO.:四边形ABCD是平行四边形，・：0是AC的中点.又M是PC的中点,・II OM.・・OMM平面BMDAPE平面BMD..9.AP\\平面BMD :•平面BAHGA平面BMD=GHAP圧平面PAHG./.APWGH.首页X籀嚴E探究一探究二探究二易错辨析c反恩感悟上: :: 如果已知亢线与平面平行，在利用直线与平面平行的；ti性质定理时■常作过此克线与已知平面相交的辅助平面.i: : I完成线面平行向线线平行的转化"再由线线平行向线面平II行转化•这种互相转化的思担方法的应用「在立体几何中；［十IANC 分常见. ii 「'■ta ■■ ■«*■ ■ * ■ ■・■・■■■■・■■心■ ■■■“■ ■ a：■ ■・■•■■!&■ ■■■■■■<!■ ■ is ■ ■■■■■■■】■■■■(■■■•■■•■ ■■■«■■ m ■首页X籀嚴E变式训练1如图所示亦n”二CD/zn尸EF0PI尸A5ABII久求证:CDWEF.探究二平面与平面平行的性质及其应用【例2】如图所示，已知刖風点P 是平面切外的一点(不在a 与”之 间)，直线P5"分别与a,0相交于点A,〃和CQ(1) 求证:ACIIBD;(2)若PA=4 cm,AB=5 cmfC二3 eg求PD的长.分析:由PB与PD相交于点P可知P5PD确定一个平面，结合a II几可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.I反思感悟)利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤: (1 ｝先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面.使这两条直线椰在这个平面内;(4)由定理得出结论.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC 探究一探究二探究二易错辨析变式训练2在正方体中，作截面EFGH(如图所示)交GDA1B/5CQ分别于点E,FGH,则四边形EFGH的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形首页X籀嚴E解析:由于正方体中平面ABB X A X\\平面DCCQi，又截面EFGH与平面ABB{A{.平面DCC X D X分别相交于由面面平行的性质定理知GFHEH;同理可得EFWGH,故四边形EFGH —定是平行四边形，故选A.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC探究三平行关系的综合问题【例3】如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE /ED=2 :1,在棱PC上是否存在一点F,使BFII平面AEC?并证明你的结论.i!l首页探究一探究二探究二易错辨析分析:可从“若两个平面平行，则一个平面内的任一直线都与另个平面平行”这一结论入手考虑，作过点B与平面AEC平行的平与PC的交点就是要找的点.首页X 籀嚴ED 嘉絲邀IANC探究一探究二探究二易错辨析解:存在•当F 是棱PC 的中点时,BFII 平面AEC ，证明如下: 取PE 的中点M,连接FMJBF,则FMII CE.因为FW 平面AECCE9平面AEC,所以FM11平面AEC.① 由EM 二 -PE 二ED,知E 是MD 的中点，连接2设BD n A C 二0则0为BD 的中点，连接OEMBMWOE.因为BMg 平 探究一 探究二 探究二易错辨析由FMHBM=M,得平面BFMW 平面AEC. 因为BFM 平面BFM,所以BF11平面AEC.P首页X籀嚴E匚反思感悟j 空间中三种平行关系的转化| L由面面平行的性质知，当a //P时，若/呈s则必有:1//P，因此可通过面面平行来证明线面平行.1 2.空间中三种平行关系的转化如下：线线平行i 3■在解决问题时▼论证平行关系亍用判定定理；已知平!行关系，则用性质定理.变式训练3如图所示屮为平行四边形ABCD所在平面外一点，点M,N 分别为AB,PC的中点，平面PADH平面PBC=l.(1)求证:BCIIZ;⑵MN与平面是否平行?证明你的结论.探究一探究二探究二易错辨析证明:如图所示，取PD的中点£连接ENAE，又因为N为PC的中点，所以EN |DC.在平行四边形ABCD ^.CD AB,又M为AB的中点，所以EN AM.所以四边形A MNE为平行四边形，所以AE〃MN. 又AE仝平面PAD,MN工平面PAD,所以MW〃平面PAD.在立体证明中错套平面几何定理而致误典例如图所示，已知EF分别是正方^ABCD-A X B X C{D X的棱AA^CC,的中点•求证四边形BEDpF是平行四边形.错解:在正方^ABCD-A X B X C X D^,平面A X ADD X\\平面B X BCC{, 由面面平行的性质定理得D{E\\FB.同理QiFHEB，故四边形EEFD、为平行四边形.正解:取DiD的中点G，连接EG,GC,:K是AiA的中点,G是DiD的中点，• ••EG AD.由正方体性质知AD BC. /.EG BC.•:四边形EGCB是平行四边形，•：EB GC.又：GF分别是DiACiC的中点，•:D1G FC.•:四边形DiGCF为平行四边形，•:D\F GC. ② 由①參口EB DiF,•:四边形BEDiF是平行四边形.工纠错心得」III L立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能I直接使•用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几「何问题转化为平面几何问题再证明.: 2•错解中就是担当然认为四边形EEDiF一是平面图I［形，而没有必要的说理••■■■■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■0■■■■■■■■■■■■■■■■■首页X初虢弟E D煮腦t®1 •如果直线t/平行于平面％则下列说法正确的是（）A.平面a内有且只有一条直线与“平行B.平面a内有无数条直线与“平行C.平面a内不存在与“平行的直线5 D.平面a内任一条直线都与d平行首页X初虢弟E D煮腦t®20 3 4 52•若平面a II平面堆禹则a与b~定是（）A.平行直线B.异面直线c・相交直线 D.无公共点的直线53•如图所示，在正四棱柱ABCDTBGD中,E，F，G,H分别是棱CCiCmDDC的中点、,N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件 ______________ 时，有MNII平面B、BDD\・INA B5解析:连接F&由题意知，HNII平面B、BDD「FH\\平面B、BDD「且HNOFH二H、所以平面NHFW平面B X BDD X.所以当M在线段HF上运动时，有MNII平面B X BDD{.5 A B矗X麴競E DSM?2 23 ④4•已知三棱锥缶BCD中二/截面EFGH与AB.CD都平行，则截面EFGH的周长是_____________ .首页1 2 3 [J] 5解析:截面肯定是平行四边形，且篇=务,所以EF=—a, R理空=—.AC AB AC所以FG=W@所以EF+FG=a. 所以截面EFGH的周长为2么N(5•在正方WABCD-A X B X C{D X中,分别为棱A/】与BC的中点，求证:EFII平面AiACC]・首页X褊嚴E DWf12 3 41-22345证明:取B[C]的中点G,连接EG ，GF因为EG 分别是A]Bi ，BiC\的中点，所以EGIIAG 因为 EG0 平面 A {ACC V A X C X ^ 平面 A X ACC X , 所以EG II 平面A X ACC V同理個为G ，F 分别是B^C^BC 的中点，所以GF\\C X C. 因为GFg 平面A]ACG ，C]C2平面A X ACC 所以GFW首页X 褊嚴E DWf1，平面A l ACC l・因为EGRGF=G,所以平面EFGW平面A X ACC X.又EF9平EFG,所以EFII平面A{ACC1-。
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质ppt课件北师大版必修2
【证明】 证法一：如图 1 所示，分别过 E，F 作 EM∥BB1， FN∥CC1 分别交 AB，BC 于点 M，N，连接 MN.
∵BB1∥CC1，∴EM∥FN. ∵B1E＝C1F，AB1＝BC1，∴AE＝BF. 由 EM∥BB1 得AABE1＝BEBM1，
由 FN∥CC1，得BBCF1＝CFCN1， ∴EM＝FN，∴四边形 EFNM 是平行四边形，∴EF∥MN. 又∵MN 平面 ABCD，EF 平面 ABCD， ∴EF∥平面 ABCD. 证法二：如图 1 所示．过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于 G，连接 GF，则有BB11EA＝BB11GB.又∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴CC11FB＝BB11GB，∴ FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG＝G，AB∩CB＝B，∴平面 EFG∥ 平面 ABCD.
如图，已知 E，F 分别是菱形 ABCD 边 BC，CD 的中点， EF 与 AC 交于点 O，点 P 在平面 ABCD 之外，M 是线段 PA 上 一动点，若 PC∥平面 MEF，试求 PM MA 的值．
解：如右图，连接 BD 交 AC 于点 O1，连接 OM，因为 PC ∥平面 MEF，平面 PAC∩平面 MEF＝OM，
【解】 因为 AC∩BD＝P，所以经过直线 AC 与 BD 可确定 平面 PCD，
因为 α∥β，α∩平面 PCD＝AB，β∩平面 PCD＝CD，所以 AB∥CD.所以APAC＝BPDB，即69＝8－BDBD.所以 BD＝254.
规律方法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
已知平面 α∥平面 β，点 A，C∈α，点 B，D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 AS＝8，BS＝9，CD＝34，求 CS 的长．
类型五 探索性问题 【例 5】 如右图所示，要在呈空间四边形形状的撑架上安 装一块矩形太阳能吸光板，矩形 EFGH 的四个顶点分别在空间 四边形 ABCD 的边上．已知 AC＝a，BD＝b，则 E，F，G，H 在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.5.2平行关系的性质
【做一做】 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平 面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是 .
答案:平行
2.平面与平面平行的性质定理
题型一
题型二
题型三
题型一
线面平行性质的应用
【例1】 已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β. 求证:a∥l. 分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利 用平行公理证明. 证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b. ∵a∥α,∴a∥b. 过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c. 又b⊈β,c⫋β,∴b∥β. 又b⫋α,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求 PD的长.
解:仿照例 2 易证得 AC∥BD, ∴ ������������ = ������������ , ������������ + ������������ ������������ + ������������ 即 = . ������������ ������������ 5 ������������ +3 3 ∴ = , 解得PD= .
1
2
3
4
5
2.如图所示是长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为 截面,则四边形EFGH的形状为 .
答案:平行四边形
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线a∥平面α,点A和直线a分别在α的两侧,点B,C,D∈a. 线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则 EG= .
(1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行的关系,这样就转化为平 面问题.
1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质
又DF∥B1C1,DF⊈平面AB1C1,B1C1⫋平面AB1C1,
所以DF∥平面AB1C1.
同理,PF∥平面AB1C1.
探究一
探究二
易错辨析
又PF∩DF=F,所以平面PQDF∥平面AB1C1.
故点E的集合是线段PQ.
探究一
探究二
易错辨析
在立体几何证明中错套平面几何定理而致误
⫋
答案:D
1
2
3
4
5
3.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交平
面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=
.
解析:∵a∥α,α∩平面 ABD=EG,∴a∥EG,即 BD∥EG,∴ = + ,
·
5×4
则 EG=+ = 5+4 =
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1.
因为AB1⫋平面AB1C1,EF⊈平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE⫋平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.
探究一
探究二
易错辨析
延伸探究若在△ABC内找一点E呢?点E只有一个吗?若只有一个,
A.平面α内有且只有一条直线与a平行
B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内不存在与a平行的直线
D.平面α内任一条直线都与a平行
答案:B
)
1
2
3
4
5
2.若平面α∥平面β,a⫋α,b⫋β,则a与b一定是(
北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(北师大版)
【答案】 D
3.已知直线 a∥平面 α ， 平面 α ∥平面 β ， 则 a 与 β 的位置关系为________。
【解析】
若 a β ，则显然满足题目条件。
若 a⊆ / β ，过直线 a 作平面 γ ，γ ∩α ＝b，γ ∩β ＝c， 于是由直线 a∥平面 α 得 a∥b，由 α ∥β 得 b∥c， 所以 a∥c，又 a⊆ / β ，c β ，所以 a∥β 。
作业
1.已知 a，b 表示直线，α ，β ，γ 表示平面，下列推理正确的是( A.α ∩β ＝a，b α ⇒a∥b B.α ∩β ＝a，a∥b⇒b∥α 且 b∥β C.a∥β ，b∥β ，a α ，b α ⇒α ∥β D.α ∥β ，α ∩γ ＝a，β ∩γ ＝b⇒a∥b
【解析】 由面面平行的性质定理知 D 正确。
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
平行关系的性质
探究新知
教材整理 1 直线与平面平行的性质定理 阅读教材 P32“练习”以下至 P33“例 4”以上部分，完成下列问题。 文字语言 如果一条直线与一个平面平行， 那么 过该直线的 与已知平面的 符号语言 图形语言
任意一个平面
交线 与该直线平行
【精彩点拨】 连接AC交BD于O，连接MO → MO是△PAC的中位线 →
PA∥MO → PA∥平面BMD → PA∥GH → GH∥平面PAD
【自主解答】 如图所示， 连接 AC 交 BD 于点 O， 连接 MO。
∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点， ∴PA∥MO，而 AP⊆ / 平面 BDM，OM ∴PA∥平面 BMD，又∵PA 平面 BDM，
)
【答案】 D
高中数学北师大版必修二课件 第1章 5.2 平行关系的性质
)
[答案] D
[解析] 直线与平面不平行，则直线与平面相交或直线在 平面内，所以A、B、C都错．
2．已知直线a，b和平面α，β，则下列结论正确的是(
A．若a∥β，α∥β，则a∥α B．若α∥β，a C．若α∥β，a α，则a∥β α，b β，则a∥b
)
D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
[答案] B
[规律总结] 利用平面平行的性质定理证明线线平行的基
本步骤： (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的
一条；
(2)判定这两个平面平行； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论．
如图， E ， H 分别是三棱锥 A － BCD 的棱 AB ， AD 的中点，
平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG.
[解析] ∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， ∴EH∥BD. 又 BD 平面 BCD，EH 平面 BCD， ∴EH∥平面 BCD. 又 EH α，α∩平面 BCD＝FG， ∴EH∥FG.
平行 ，那么过该直线 如果一条直线与一个平面________ ________的任意 交线 与该直线平行． 一个平面与已知平面的________
(2)符号表示 a ∥ α a β⇒a∥b. α∩β＝b
(3)图形表示 (4)简记为：线面平行⇒线线平行． 2．平面与平面平行的性质定理 (1)定理内容
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
立体几何初步
第一章
§5 5.2 平行关系
平行关系的性质
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
§5.2平行关系的性质课件(北师大版必修二)(1)ppt课件
b a//b
b a
另证：
b
// bÜ
bÜ
b //
a // b
a
2.抽象概括: 平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们
的交线平行.
//
a
a // b
b
点D、AEB、F .DE . 求证：BC EF 证明：连接AF，交平面 于点G.
平面ADF∩α=AD
平面ADF∩β=GE AD // GE
//
DE AG
平面ACF∩β=BG
EF GF
平面ACF∩γ=//CF
AB DE .
BG // CF
AG GF
如果一条直线与一个平面平行, 那么过这条直线做一个平面
பைடு நூலகம்
与已知平面相交，这条直线与交线平行.
a
b
a / / , a Ü , b a / /b.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1.
（1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？
B
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α，AC//BD, 且AC,
BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
A
证明： 连接CD, A, B, C, D在同一平面内,
B
设该平面为β. 则α∩β=CD. AB Ü
C
D
AB//平面α
AB//CD AC//BD
高中数学 第一章 立体几何初步 5.2 平行关系的性质课件 北师大版必修2.pptx
5.2 平行关系的性质
1
学习目标
1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面 平行，两平面平行的性质定理. 2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 直线与平面平行的性质
思考1
如图，直线 l∥平面 α，直线 a 平面 α，直线 l 与直线 a 一
解析 42 答案
4. 如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平
面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，
3 F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝_2___.
解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β ＝EF. 因为 a∥平面 α，a 平面 β，所以 EF∥a.
12345
解析 41 答案
3.平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，
β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是
√A.互相平行
B.交于一点
C.相互异面
D.不能确定
解析 由平面与平面平行的性质定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d， 所以a∥b∥c∥d，故选A.
12345
29
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上， 点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.
30 证明
命题角度2 探索性问题 例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点 A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截 面的面积.
高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步1-5-2平行关系的性质课件
α
思考2:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面 α有几种位置关系？
a
a
α
α
思考3:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面 α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
a
b α
思考4:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么 结论？并用文字语言表述之.
βa
例3.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与 γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.
求证：AB DE
A
BC EF
证明：连结AF交β于M,连结BM、EM，BE. ∵β∥γ，平面ACF分别交β、
γ于BM、CF，∴BM∥CF.
B
∴ AB AM
BC MF
同理， AM DE
MF EF
C
AB DE BC EF
D
M E
F
知识小结
1．直线与平面平行和平面与平面平行的性质：
面面平行
线面平行
线线平行 2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
l α β
“若面面平行，则线面平行”
/ /,l l / /
思考7:若 // ，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，
那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
γ
b β
α
a
定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那么它们 的交线平行.
γ
“若面面平行，则线线平行”
b β
α
a
/ /, a, 平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行.
直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平 行”，在实际应用中它有何功能作用？
高中数学北师大版必修二《1.5.2平行关系的性质》课件PPT
• 单击此所处以编过辑A母B，版C文D本可样作式平面，
• 二级
且• 三平级面 与平面和分别相交于AC和BD.
• 四级
因为• 五/级/ ，所以BD // AC.
因此，四边形ABCD是平行四边形. 所以, AB CD.
8
单击此处编辑母版标题样式
两个平面平行的其它性质
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二为•级A三B级、CD 的中点，
A
C
求证• :四直级• 五线级MP // 平面 .
NPபைடு நூலகம்
M
B
D
11
单击此证明处: 连编接B辑C，母设其版中标点为题N，样式
连接MN，NP，MP • 单击此在处编B辑CD母中版，文NP本//样BD式，NP//平面
• 二•级三在级BCA中，NM//AC， NM//平面 • 平四级面 // 平面
2
单击此平处面编与辑平面母平版行的标性题质样式
• 单击此处若编辑母版//文本，样且式 a,则与 的位
• 二•级置三级关系如何？
• 四级
设• 五级 b，则直线a、b的位置关系如何？ 为什么？
3
单击此处编辑母版标题样式
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平
• 单击此面处相编交辑,母那版么文它本们样式的交线平行.
• 三级
•B四组级• 五级第2、3题.
14
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
1•.二5级.2 • 三级
谢谢大家 • 四级 • 五级
北师大版 高中数学
15
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
γ
a
b
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（×）
l
α
l //
例题解析
(2) 设a、b为直线,α为平面,若a∥b， 且b在α 内，则a∥α .
a （×）
α
b
例题解析
(3)若直线l∥平面α ，则l与平面α内
的任意直线都不相交.
（√）
(4) 设a、b为异面直线，过直线a且
与直线b平行的平面有且只有一个.
b （√）
a
例题解析
例2.已知:如图,AB//平面β,AC//BD,
问题讨论
5. 上述命题反映了直线和平面平 行的一个性质，其内容可简述为“线面 平行则线论
6. 若l∥α,P∈α,过点P作直线m∥l,则 m与α的位置关系如何?为什么?
l
α mP
例题解析
例1. 判断下列命题是否正确？
(1) 若直线l 平行于平面α内的无数条直
线，则l∥α.
l
α
问题讨论
3. 若直线l∥平面α,过直线l 作平面β使它 与平面α相交,设α∩β=m,则l与m的位置关系如 何?为什么?
β
l
α
m
4. 试用文字语言将上述原理表述成一个 命题.
引入新知
直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.
F
BM
D
N C
例题解析
证 明 ： 因 为 E ,F 分 别 是 A B ,A C 的 中 点 ， 所以EF//BC 又 因 为 B C 平 面 B C D
所 以 EF//平 面 BC D
又 因 为 E F ， M N 且 平 面 B C D M N
所 以 由 线 面 平 行 的 性 质 得 ： E F //M N .
1.5.2 平行关系（1）
问题引入
1. 直线和平面有哪几种位置关系？ 平行、相交、在平面内
2. 反映直线和平面三种位置关系的依据 是什么？
公共点的个数
没有公共点： 平行
仅有一个公共点：相交 无数个公共点： 在平面内
问题引入
3. 直线和平面平行的判定定理
如果平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行.
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2020年10月2日
20
且AC、BD与 β,分别相 交于点C, D.
求证：AC=BD.
证明：
∵AB∥β ,
平面AD∩β=CD ∵AC∥BD
∴AB∥CD
∴ABCD是平行四边形 ∴AC=BD
例题解析
例3.在四面体ABCD中,E、F分别是 AB、AC的中点,过直线EF作平面α,分别 交BD、CD于M、N,求证：EF∥MN.
A
E
问题引入
4. 线面平行的判定定理解决了线面 平行的条件；反之，在直线与平面平行 的条件下，会得到什么结论？
问题讨论
1. 若直线l∥平面α,则直线l与平面α 的直线的位置关系有哪几种可能?
l
a
b
问题讨论
2. 若直线l ∥平面α，则在平面α内与 l 平行的直线有多少条？这些与l平行的 直线的位置关系如何？
课堂练习
➢1. 复习直线与平面的位置关系; ➢2. 复习直线与平面平行的判定; ➢3. 学习并掌握直线与平面平行的 性质.
演讲完毕，谢谢观看！
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例题解析
例4. 设平面α、β、γ两两相交,且 a ， b , c 若a∥b，求证：b∥c .
a
c
b
α
β
γ
例题解析
证 明 ： 因 为 b ,所 以 b
因为a // b
所以a //，
又 因 为 a ， 所 以 a
又 因 为 c
所 以 a//c， 因 为 a//b
所以b // c