梁的挠度及转角(1)
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梁的挠度及转角(1)
A2= mL/6EI B2= - mL/3EI
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
梁的挠度和转角问题分析
. Atlhalt thRe ibegamhtwsorksRperospeerlry,vtheedb.eam should have sufficient stiffness under the condition of sufficient strength. So besides of stress limit, the approved deflection and corner of the beam is often limited, too. To study the deformation of bending of the beam and determine the deflection and corner generated by the elastic deflection is of considerable practical significance. Through guiding students to explore the pros and cons among the different calculation methods, this paper will choose the methods to solve problems quickly under specific circumstances, so as to serve the teaching and scientific research and engineering applications. Meanwhile,it also enables students to achieve the "learning by analogy and applying their knowledge" and exercise the ability of independent thinking and innovative thinking. Key words deflection;corner;method of integration;superposition method;Macaulay method;moment-area method
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等各个领域。
梁的挠度和转角是评估其性能的重要指标，对于结构的稳定性和安全性具有至关重要的意义。
本文将对梁的挠度和转角问题进行详细的分析，探讨其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度问题1. 挠度定义及产生原因梁的挠度是指梁在受外力作用下发生的弯曲变形程度。
产生挠度的主要原因包括外力作用、梁的自身重量、温度变化等。
其中，外力作用是导致梁产生挠度的主要因素。
2. 影响因素分析（1）材料性质：梁的材料性质，如弹性模量、强度等，直接影响梁的抗弯能力。
材料性质较差的梁，容易产生较大的挠度。
（2）几何尺寸：梁的几何尺寸，如截面形状、尺寸大小等，也会影响梁的抗弯能力。
截面形状和尺寸合理的梁，能够更好地抵抗外力作用，减小挠度。
（3）支座条件：支座对梁的支撑作用直接影响梁的变形程度。
支座间距、支座刚度等都会对梁的挠度产生影响。
3. 解决方法（1）优化材料选择：选用弹性模量高、强度大的材料，提高梁的抗弯能力。
（2）合理设计几何尺寸：根据实际需求，合理设计梁的截面形状和尺寸大小，以提高梁的抗弯能力。
（3）改善支座条件：通过调整支座间距、提高支座刚度等措施，减小梁的挠度。
三、梁的转角问题1. 转角定义及产生原因梁的转角是指梁在受外力作用下发生弯曲时，截面相对于原来位置发生的转动角度。
转角问题主要由外力作用和梁的自身特性共同引起。
2. 影响因素分析（1）外力作用：外力的大小和方向直接影响梁的转角程度。
当外力作用在梁的不同位置时，会产生不同的转角。
（2）支座条件：支座对梁的支撑作用也会影响梁的转角。
当支座间距、支座刚度等条件不合理时，容易导致梁产生较大的转角。
3. 解决方法（1）合理布置支座：根据实际需求，合理布置支座的位置和数量，以减小梁的转角。
（2）优化结构设计：通过优化梁的截面形状、尺寸大小等结构参数，提高梁的抗弯能力，从而减小转角。
第七章-梁的位移-转角、挠度
19
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
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ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学-梁的挠度PPT课件
40 3
最新课件 40 12 3 28
边界条件：当 x0时，y 0 ；
当 x2m时， yl2.2 910 3m
代入上式得 C 1.1 1 4 1 5 3 ， 0D 0
故 y3 1 2 ( 0 2x 0 4 2x 3 0 ) 1.1 1 4 1 5 30 x 40 123
当 x1m 时，y7.39 150 3m7.39 m5m 。
F1x 2EI
积分后得：
1(x1)y2 E FIx1d1xC14 E FxI12C1
y1(x1)4 E FIx12d1xC1x1最D 新1课件1E F 2xI13C1x1D 1
16
BC段：由于 y2 M E 2(x2I)E F(I2 3lx2) ，积分后得：
2(x2)y E FI(2 3lx2)d2 xC 2 E F(2 3 Il2 x x 2 2 2)C 2 y2(x2) E FI(2 3l2 x 1 2x2 2)d2 xC 2x2D 2 E F (4 3 Il2 2 x1 6x2 3)C 2x2D 2
y1E2FEFI(I43x13lx221F216E2lxI23x)156FE2lIx2
F3l
4E I
12((xx12))4EEFFIIx(1232 lx12F2El212Ix22)3FEl2I
由此可知：
A
1(x1
0)
Fl2 (逆时针方)； 向 12EI
yC
y2(x2
3l) 2最新课件
Fl3 8EI
解：静力分析，求出支座A点的约束反力及拉杆BC所受的力 。列平衡方程：
mFyA
R F 2q0
A
B
2F 2q10 B
R 40KN,F 40kN
A
挠度与转角的关系重点
dy tan y dx
因工程中构件的 值很小， tan ，则有
dy y dx
即梁横截面的转角函数等于梁的挠度y函数对x的一阶导数。
工程力学
/
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
工程力学
挠度与转角的关系
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-3平面弯曲梁的变形
3.挠度与转角的关系
曲线方程的一般形式为 由微分学可知
y y 的函数，则挠 挠度 与转角 的数值随截面的位置 而变， x x 和 均为
y f ( x)
因工程中构件的 值很小， tan ，则有
dy y dx
即梁横截面的转角函数等于梁的挠度y函数对x的一阶导数。
工程力学
/
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
工程力学
挠度与转角的关系
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-3平面弯曲梁的变形
3.挠度与转角的关系
曲线方程的一般形式为 由微分学可知
y y 的函数，则挠 挠度 与转角 的数值随截面的位置 而变， x x 和 均为
y f ( x)
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
(方案)梁的挠度和转角.ppt
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
FBy
FAy
AC段 (0 x a)
BC段 (a x L)
Fb M1(x) FAx L x,
EI1"
Fb L
x,
Fb M 2 (x) L x F (x a),
EI2 "
Fb L
x
F(x
a),
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
A 0
连续条件： B左 B右
B左 B右
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
y
p
c
c
w
x
x
W（-） θ（-）
（1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规 定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线 的纵坐标（挠度），向上为正。
（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。
（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。
演示课件
第八章 弯曲变形
6
x L, y 0 代入（2）得： D 1 qL4
8
代入（1）（2）得：
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
《梁的挠度及转角 》课件
静载荷
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
结构力学-弯曲变形
2EI 16EI
2EI B
l/2
B
p
EI C
l/2
p
c
c
P MB=Pl/2
B
C
B B
wc2
C
w2B
qa4 8EI z
qa3 6EI z
(l
a)
2C
qa3 6EI z
wB
w1B
w2B
qL4 8EI z
qa4 8EI z
qa3 6EI z
(l a)
q
3l 4 [
la3
a4
]
6EIz 4
4
x
qdx
q
解法2 A
a C dx
B
x
ql
w
距离A端为x的dx梁段上的荷载可视为集中力P=qdx
q x
B
6EI
以x=l 代入以上方程可得自由端的挠度和转角：
wB
wx xl
ql 2 24EI
l 2 4l 2 6l 2
ql 4 8EI
B (x) xl ql (l 2 3l 2 3l 2 ) ql3
6EI
c1 a
wB
;
wx
x0
ql 4
利用两个边界条件: w xl xl 0
由此：
c1
ql 3 6
,
c2
ql 4 24
ql 3 6
l
ql 4 8
8EI B (x) x0
ql 3
梁的挠度和转角问题分析
科学技术创新2018.06梁的挠度和转角问题分析王爽焦之森（齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院，黑龙江齐齐哈尔161000）对简支梁、外伸梁的变形问题的解析计算方法有很多种，常见的有积分法[1-5]、能量法[1-5]、叠加法[1-5]、奇异函数法[1-5]和共轭梁法[1-5]等，在用积分法求解简支梁、外伸梁的变形问题时须求解多个积分常数，计算繁琐；奇异函数法仍属于积分法，求解过程也须解积分常数；如果仅计算某一截面的位移，能量法较为简单，不过仍须进行积分计算[6]。
本文通过间接叠加法，来介绍简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的简单求解方法，即将简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题，转化为有初始转角的悬臂梁受载荷时的变形问题，使简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的求解过程的思维难度得到很大程度的降低，从而问题变得更容易理解。
1原理介绍与例题分析悬臂梁具有一个固定端，当悬臂梁受已经与水平线外荷载作用时，靠近固定端的载面不发生转动，转角为零。
如果有一个悬臂梁，在未荷载时，形成一个小的角度θB ，如图1所示。
图1有初始转角的悬臂梁x 轴为水平方向，梁轴线与x 轴成角θB ，即θB 为初始转角，此梁称为有初始转角的悬臂梁。
在未受荷载时，相对于x 轴，自由端已经有一挠度为θB l 。
根据叠加法，当加一静荷载F 时，自由端的挠度ω=θB l+Fl 33EI 转角为θB +Fl22EI。
应用初始转角悬臂梁概念，只要知道悬臂梁在集中力偶、集中力和均布载荷作用下自由端的挠度和转角公式，就可以通过叠加法，求解简支梁、外伸梁、的变形问题。
跨长l ，刚度EI 的悬臂梁在集中力偶Me ，集中力F ，均布荷载q 作用下，自由端的挠度和转角公式列出如下Mel 22EI ，Mel EI ，Fl 33EI，Fl 23EI ，ql 48EI ，ql 36EI。
下面举几个例子。
例1.如图例2-1所示简支梁端受集中力偶Me 作用，求端截面转角。
材料力学 (8)
C2 0
C1
ql
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
'
qx 24 EI q 24 EI (l 2lx x )
3 2 3
(l 6lx 4 x )
3 2 3
RA
A
x
q
A
l 2
RB
B
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值相等， 且都是最大值
x
CθB
y
3
l
θ
max
qc
5qL
4
C
z
l 2
384 EI z
转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的
转角。
转角
A C B x
ω 挠度
C' y B'
挠曲线 ：梁变形后的轴线称为挠曲线 。
挠曲线方程为
f ( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，ω为该点的挠度。
挠度与转角的关系： tg ' f '( x)
C
y
连续条件
x
L 2
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.6
用积分法求图示梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确 定积分常数的边界条件。 挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI
z1
共有四个积分常数
x
EI
z2
边界条件
A
L 2
B
RA RB ql 2
A
x
q
B
l
x
y 例题 5 .2图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
C1
ql
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
'
qx 24 EI q 24 EI (l 2lx x )
3 2 3
(l 6lx 4 x )
3 2 3
RA
A
x
q
A
l 2
RB
B
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值相等， 且都是最大值
x
CθB
y
3
l
θ
max
qc
5qL
4
C
z
l 2
384 EI z
转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的
转角。
转角
A C B x
ω 挠度
C' y B'
挠曲线 ：梁变形后的轴线称为挠曲线 。
挠曲线方程为
f ( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，ω为该点的挠度。
挠度与转角的关系： tg ' f '( x)
C
y
连续条件
x
L 2
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.6
用积分法求图示梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确 定积分常数的边界条件。 挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI
z1
共有四个积分常数
x
EI
z2
边界条件
A
L 2
B
RA RB ql 2
A
x
q
B
l
x
y 例题 5 .2图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
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梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。
本课程研究梁弯曲变形的 两个目的
o对梁进行刚度计算 o解超静定梁
2.挠曲线（deflection curve)
两个基本假设在研究梁弯曲变形 时的作用
平面假设
梁变形后的横截面仍为平面且垂直与变 形后的轴线。
连续性假设 梁的轴线将由原来的水平直线变成一 条连续平坦(flat)的曲线—挠曲线。
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
（1）约束条件（ ） constraint condition
①悬臂梁的固定端处
Px
Hale Waihona Puke x=0 ： =0 y=0② 简支梁的支座处
F
A
Bx
c
x=0 ： y A=0; x=L ： y B=0
Displacements of Bending Beam
§5-1梁的挠度及转角
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
A
x y
cB F x yw
c′
dy
dx B′
挠曲方程 W =y= f(x) （a）
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
1
(x)
Mddx20y2, dd2xy2 0
挠曲线近似 微分方程
3 积分法计算梁的位移
1）基本方程：EIzy〞= - M(x)
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
④求位移方程
EI y′= EI = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
5.EXANPEL
EI y′= = F(Lx - x2/2) + C EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
⑤确定积分常数
x=0 A= 0 yA= 0 C=0 y′= = F (Lx - x2/2) /EI y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的利弊
❖使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。
❖设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。 ❖利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。
x2]
y1
Fbx(l2 6lEI
b2
x2)
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
直梁平面弯曲的两种位移
F
A
C
X B
挠度（deflection）
w—横截面形心在垂直
C′
B′
于轴线方向的位移。
A
x y
cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横截
面绕其中性轴转过的角 度。
水平位移u —横截面形心沿水平方向的位移,在小
位移假设时忽略不计。
3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）
2、建立挠曲线微分方程
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量
1 M 4-4
EI Z
法、图解法1、有限M差(X分) 法、初参数法
(x) EIZ
d2y
M(x)
（2）几何方面：
dx2 EIz
(1Mx)0, dd2xy2[10d(d2yMy//dd0,)xdxd222x]y23/20
E Iz y〞= - M(x) (5-2b)
a
b
③中间铰
F
x
aa
B
c
a
x=a： yB左= yB右
(2)连续条件（continuity condition ）
x=a： yB左= yB右 B左= B右
外伸梁B端—连续条件 10KN
A
B
4m
1m
x=4， yB=0； yB左= yB右 B左= B右 ！！： 挠曲线近似微分方程的适用范围
1）均匀材料与等直截面梁—EI为常值。
在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲
线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最
大转角。
挠曲线方程和转角方程
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0
Fab ( l b ) 6 lEI
B
2
xl
Fab ( l 6 lEI
a)
梁上无拐点
w max w 1 / 2
1
w1
Fb [1(l2 2lEI 3
b2)
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程式及 其积分
1、挠度和转角的关系 2、建立挠曲线微分方程 3、积分法计算梁的位移 4、由边界条件确定积分常数
5. EXAMPEL
1、挠度和转角的关系
AA
x y
cB F x yw
c′
B′
挠曲线 y=f(x) 上任
意点的切线斜率为：
dyd(fx) (b)
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。
x
D=0
F x
B
⑥求B截面转角和位移将 x=L 代入
B
FL2
2EI
yB
FL3 3EI
()
例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支 梁，在全梁上受集度为q的均布荷载 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度和最大转角。
解： ①求约束反力
FA
FB
ql 2
②列弯矩方程
M (x)qxl1q2x q(lx x2) 22 2
③列挠曲线近似微分方程
Ew Iqlxx2 2
④求位移方程
Ew Iq(lx2 22
x33)c1
q lx3 x4
EIw ( 2
6
12)c1xc
⑤确定积分常数
1
⑥求最大挠度和位移
2
A
ql 3 24 EI z
B
3
yc
5 ql 4 384 EI
z
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
本课程研究梁弯曲变形的 两个目的
o对梁进行刚度计算 o解超静定梁
2.挠曲线（deflection curve)
两个基本假设在研究梁弯曲变形 时的作用
平面假设
梁变形后的横截面仍为平面且垂直与变 形后的轴线。
连续性假设 梁的轴线将由原来的水平直线变成一 条连续平坦(flat)的曲线—挠曲线。
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
（1）约束条件（ ） constraint condition
①悬臂梁的固定端处
Px
Hale Waihona Puke x=0 ： =0 y=0② 简支梁的支座处
F
A
Bx
c
x=0 ： y A=0; x=L ： y B=0
Displacements of Bending Beam
§5-1梁的挠度及转角
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
A
x y
cB F x yw
c′
dy
dx B′
挠曲方程 W =y= f(x) （a）
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
1
(x)
Mddx20y2, dd2xy2 0
挠曲线近似 微分方程
3 积分法计算梁的位移
1）基本方程：EIzy〞= - M(x)
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
④求位移方程
EI y′= EI = F(Lx - x2/2) + C
EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
5.EXANPEL
EI y′= = F(Lx - x2/2) + C EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D
⑤确定积分常数
x=0 A= 0 yA= 0 C=0 y′= = F (Lx - x2/2) /EI y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
§5-1 Deflection and Slope of Beam
1.弯曲变形的利弊
❖使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。
❖设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。 ❖利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。
x2]
y1
Fbx(l2 6lEI
b2
x2)
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
直梁平面弯曲的两种位移
F
A
C
X B
挠度（deflection）
w—横截面形心在垂直
C′
B′
于轴线方向的位移。
A
x y
cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横截
面绕其中性轴转过的角 度。
水平位移u —横截面形心沿水平方向的位移,在小
位移假设时忽略不计。
3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）
2、建立挠曲线微分方程
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量
1 M 4-4
EI Z
法、图解法1、有限M差(X分) 法、初参数法
(x) EIZ
d2y
M(x)
（2）几何方面：
dx2 EIz
(1Mx)0, dd2xy2[10d(d2yMy//dd0,)xdxd222x]y23/20
E Iz y〞= - M(x) (5-2b)
a
b
③中间铰
F
x
aa
B
c
a
x=a： yB左= yB右
(2)连续条件（continuity condition ）
x=a： yB左= yB右 B左= B右
外伸梁B端—连续条件 10KN
A
B
4m
1m
x=4， yB=0； yB左= yB右 B左= B右 ！！： 挠曲线近似微分方程的适用范围
1）均匀材料与等直截面梁—EI为常值。
在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲
线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最
大转角。
挠曲线方程和转角方程
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0
Fab ( l b ) 6 lEI
B
2
xl
Fab ( l 6 lEI
a)
梁上无拐点
w max w 1 / 2
1
w1
Fb [1(l2 2lEI 3
b2)
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程式及 其积分
1、挠度和转角的关系 2、建立挠曲线微分方程 3、积分法计算梁的位移 4、由边界条件确定积分常数
5. EXAMPEL
1、挠度和转角的关系
AA
x y
cB F x yw
c′
B′
挠曲线 y=f(x) 上任
意点的切线斜率为：
dyd(fx) (b)
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。
x
D=0
F x
B
⑥求B截面转角和位移将 x=L 代入
B
FL2
2EI
yB
FL3 3EI
()
例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支 梁，在全梁上受集度为q的均布荷载 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度和最大转角。
解： ①求约束反力
FA
FB
ql 2
②列弯矩方程
M (x)qxl1q2x q(lx x2) 22 2
③列挠曲线近似微分方程
Ew Iqlxx2 2
④求位移方程
Ew Iq(lx2 22
x33)c1
q lx3 x4
EIw ( 2
6
12)c1xc
⑤确定积分常数
1
⑥求最大挠度和位移
2
A
ql 3 24 EI z
B
3
yc
5 ql 4 384 EI
z
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，