_广义相对论入门讲座_连载_黎曼几何中的张量
广义相对论 黎曼几何
广义相对论黎曼几何
广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的描述引力的理论。
这个理论认为，物体之间的引力作用是由于它们所在的四维时空的曲率引起的。
在这种观念下，引力不再是一种神秘的力量，而是物体沿着弯曲时空的自由下落运动。
黎曼几何在这背景下扮演了重要角色。
黎曼几何是一种研究曲率的数学工具，它研究的是弯曲的空间，而不是欧几里得空间（即平面几何和立体几何）。
在广义相对论中，黎曼几何为我们提供了一种描述时空曲率的方法。
通过黎曼几何，我们可以更好地理解爱因斯坦场方程，这是描述引力如何改变时空曲率的方程。
广义相对论的应用不仅仅局限于理论研究，它对我们日常生活也产生了深远影响。
例如，全球定位系统（GPS）就需要考虑广义相对论的效应。
由于引力使时空弯曲，卫星和地球之间的距离在引力场中会发生变化。
这种效应被称为“引力红移”。
如果不考虑这种效应，GPS的定位精度会受到影响。
此外，广义相对论还为其他领域的研究提供了理论基础。
例如，它与量子力学相结合，促使了量子引力理论的发展。
而黑洞研究、宇宙学等领域也离不开广义相对论的指导。
总之，广义相对论是我国科学家在物理学领域的重要贡献。
它不仅改变了我们对引力的认识，还为现代科学的发展奠定了基础。
广义相对论与黎曼几何系列之七黎曼几何
广义相对论与黎曼几何系列之七黎曼几
何
黎曼几何是描述弯曲空间的数学理论，是20世纪物理学从广义相对论中脱胎出来的一种相对论研究方法。
它是以德国数学家黎曼的黎曼几何理论为基础，把物理理论空间及物理场理论空间抽象化，将黎曼几何的思想方法不断的整合进一步的发展出来的有机统一的系统，构成了基础的物理学研究理论。
黎曼几何是定义在非平凡的大型空间内的几何理论。
它的特点就是能够将广义相对论的概念转换为几何概念，使用几何方式来说明广义相对论的结果，从而使物理理论更加透彻理解和表达。
它使得物理学家们能够从曲空间、弯光、万有引力弯曲至变形的动力学系统，不断提升理论的可扩展性和准确性。
黎曼几何的基本原理是将物理的概念和结构整合，映射到数学的概念和结构上，实现弯曲空间表达的物理效果，使空间更为复杂。
由此可以得出新的物理定律，便于理论研究。
随着计算机技术的发展，它也应用于机器学习和虚拟现实中，带来快速的发展。
黎曼几何是20世纪物理学研究宇宙学问题的重要工具，它不断丰富了深入理解宇宙的知识，并作出重要的贡献，让物理学家们更加深刻的认识到宇宙空间的复杂性与奥秘。
广义相对论入门02-广义相对论的数学基础(上)20160506
dx′µ
=
∂x′µ ∂xα
dxα
∂x′µ
若
∂xα
≠ 0或∞ ，则有逆变换
并且有
dxα
=
∂xα ∂x′µ
dx′µ
克罗内克尔符号为
∂x′µ ∂xα ∂xα ⋅ ∂x′ν
∂x′µ = ∂x′ν
= δνµ
δνµ
=
⎧1 ⎩⎨0
µ =ν µ ≠ν
2、广义相对论中的张量 （1）标量：在坐标变换下不变的量。， （2）矢量（一阶张量）：在坐标变换下，与坐标微元具有相同变换的量。
广义相对论的数学基础主要为张量分析和微分几何中的黎曼几何。 张量的重要性在于其和坐标变换相联系。张量方程与坐标系的选取无关。
一、狭义相对论中的张量
狭义相对论都是在仿射空间中进行讨论。仿射空间是数学中的几何结构，这种结构是欧
式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法
dxµ′ ⋅ dx′µ = (dx1′)2 + (dx2′ (dx4′ )2
= aµα dxα ⋅ aµβ dxβ = aµα aµβ dxα dxβ
根据光速不变原理，以光信号联系的两个事件的四维时空间隔不变，即
dxµ′ ⋅ dxµ′ = dxα ⋅ dxα
则
aµα aµβ = δαβ
二阶张量： Tµ′ν = aµα aνβTαβ ；
n 阶张量： Tµ′νLλ = aµα aνβ Laλσ TαβLσ
n 阶张量的分量个数为维度的 n 次方。
二、广义相对论中的张量：即非线性、也非正交 1、广义坐标变换
( ) x′µ = x′µ xν
其中μ、ν=1、2、3、4 或μ、ν=0、1、2、3，一般 x0=ct，x4=ict。注意区分指标和指数。取 微分，得
广义相对论_ppt02
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
2010-4-24 广义相对论_数学基础 5
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
最好理解的广义相对论公式解读(上)
最好理解的广义相对论公式解读（上）大家好，今天给大家继续解读广义相对论我们在上个视频中给大家说了麦克斯韦方程组两组方程的张量形式，\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\mu_{0} J^{\nu} ，现在我们把它拿过来再简单说说， \partial_{\mu} 是微分张量写法，它所表达的意思是一个梯度算符，而且这是一个协变过程， \mu 代表了4组分量，也就是 \mu =1,2,3，4的意思；这与 J^{\nu} 表达的意思是相同， \nu 在这里也表示4组数据，即 \nu =1,2,3，4；只不过像 \partial_{\mu} 这种情况，我们叫它是（0,1）型协变张量，也就是说这几组矢量按照行的形式顺序排列的；像 J^{\nu} 这种情况，我们叫它是（1,0）型逆变张量，也就说这几组矢量是按照列的形式顺序排列的；F^{\mu\nu} 这是（2,0）型逆变张量，根据张量的运算规定，\mu\nu 这种重复出现的指标，我们叫它哑指标，它代表的是遍历求和；遍历求和就是把所包含的元素挨个的求和一次，本题中 \partial_{\mu}F^{\mu\nu} 恰好 \mu 这个指标重复出现了，所以就是把与 \mu 这个元素有关的量内积之后求一遍和，然后在结果中去掉 \mu 这个指标就可以了，这个方法我们称之为“爱因斯坦求和约定”接下来我们先看看广义相对论场方程的各项表达式的意思：方程左侧代表的是时空的曲率，右侧代表的是能流密度；下面我们详细说一说G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{C^{4}}T_{\mu\nu}其中： G_{\mu\nu} 称为爱因斯坦张量，实际上它就是R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R 张量差得到的结果；R_{\mu\nu} 是从黎曼曲率张量缩并而成的里奇（Ricci）曲率张量，它是描述时空弯曲的张量，表示空间弯曲程度。
黎曼几何简介-USTC
λµeν
∇fα fβ = Γ˜γ αβ fγ
=
Γ˜ γ
∂xν αβ ∂yγ eν
上面两个结果相对照，得到：
Γ˜ γ
αβ
=
∂xλ ∂yα
∂xµ ∂yβ
∂yγ Γν ∂xν
λµ
+
∂2xν ∂yα∂yβ
∂yγ ∂xν
3 度规相容联络
由于联络系数的具体形式在上面并未赋予，我们进一步从物理角度提出 要求：在 V 上平行移动的矢量 X, Y 的矢量积 g(X, Y ) 应不变：
3 度规相容联络
4
也有莱布尼茨法则：
∇X (f Y ) = X[f ]Y + f ∇X Y
∇X (T1 ⊗ T2) = (∇X T1) ⊗ T2 + T1 ⊗ (∇X T2)
协变导数在坐标变换下，联络系数的变换：取
2
组坐标
{eµ}
=
{
∂
∂ xµ
},
{fα}
=
{
∂
∂ yα
},
对后者的协变导数：
∇fα fβ = Γ˜γ αβ fγ
特征值的数目，其中 j = 1 是 Lorentz 度规，总可坐标伸缩为闵氏度规 η = diag(−1, 1, · · · , 1)
以后称呼流形和其上的度规组 (M, g) 是相应的黎曼或洛伦兹型的；在 洛伦兹型的流形上，将 TpM 分成三个子空间：g(U, U ) > 0 是 spacelike 的， = 0 是 lightlike 的，< 0 是 timelike 的。
6. 嵌入度规 (Induced metric) 是子流形嵌入到维度更大流形上，获得的 度规结构：若 M 是 n 维 Riemann 流形 N 的 m 维子空间，有映射 f : M → N 将 M 嵌入到 N 中，（N 的度规已知），则：
广义相对论与黎曼几何系列-概述说明以及解释
广义相对论与黎曼几何系列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分主要介绍了广义相对论与黎曼几何的相关概念和背景。
广义相对论是爱因斯坦在20世纪提出的一种描述引力的理论，它拓展了牛顿力学中的引力概念。
黎曼几何则是数学领域中的一个分支，用于研究在非欧几何空间中的曲面和流形。
本文将围绕这两个主题展开讨论，探讨它们之间的联系和应用。
1.2文章结构文章结构部分的内容:本文将分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，我们将概述广义相对论和黎曼几何的基本概念，介绍文章的结构和目的。
在正文部分，我们将详细讨论广义相对论和黎曼几何的原理、应用和相关概念。
最后，在结论部分，我们将对文章进行总结并展望未来可能的研究方向。
希望通过本文的阐述，读者能够更深入地了解广义相对论和黎曼几何在物理学和数学领域的重要性和应用。
1.3 目的本文的目的是探讨广义相对论与黎曼几何之间的关系，并分析它们在物理学和数学领域的重要性和应用。
通过对这两个领域的深入了解和比较，我们可以更好地理解爱因斯坦的广义相对论理论，以及黎曼几何在描述时空曲率和引力场等物理现象中的作用。
通过本文的研究，读者可以更深入地了解广义相对论和黎曼几何的理论基础和数学原理，进而更好地理解现代物理学和数学的发展趋势与未来的研究方向。
同时，也可以帮助读者在相关领域的学习和研究中更好地应用这些理论知识，提升其对宇宙和时空结构等复杂问题的理解能力和研究水平。
2.正文2.1 广义相对论：广义相对论是爱因斯坦在1915年提出的一种描述引力的理论。
相对论是描述时空的理论，而广义相对论则是描述引力场如何影响时空的理论。
在广义相对论中，引力被理解为时空的几何形状变化所引起的。
根据爱因斯坦的理论，大质量物体会造成时空弯曲，其他物体会沿着这个弯曲的时空轨迹运动，这就是引力的来源。
广义相对论还提供了描述物质如何运动的方程，即爱因斯坦场方程。
这个方程描述了时空的曲率与物质分布之间的关系，从而可以预测引力场的行为。
_广义相对论入门讲座_连载_黎曼几何中的张量
这里采用了爱因斯坦惯例， 重复指标代表求和． 上式 会非常繁复： 如果分开写， dx' 0 = dx' 1 =
0 0 0 0 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 0 dx + 1 dx + 2 dx + 3 dx x x x x 1 1 1 1 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 d x + d x + d x + 0 1 2 3 dx x x x x 2 2 2 2 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 0 dx + 1 dx + 2 dx + 3 dx x x x x
x ' μ x β α Tβ （ 11 ） x α x ' ν 变换的量， 分别称为逆变张量、 协变张量和混合张 量． 上述有两个指标的张量称为二阶张量 ． 有一个指 称为一阶张量． 没有指标的标量， 称为零 标的矢量， 阶张量． 存在二阶以上的张量， 例如后面连载⑤中将 介绍的描述时空弯曲情况的曲率张量 R μ 它有 4 νσρ ， 个指标． 高阶张量定义为在广义坐标系下按下面规 律变换的量：
x ' μ1 x ' μ2 x ' μ m x β1 x β2 … … x α1 x α2 x αm x' ν1 x' ν2 x β n α1α2…αm T β β …β x ' ν n 1 2 n （ 12 ）
式（ 12 ） 是一个（ m + n） 阶的张量． 2 不难看出， 在四维时空中， 二阶张量有 4 = 16 （ m + n ） 阶张量有 4 个分量， 到的曲率张量 R
《走近广义相对论》 学历案
《走近广义相对论》学历案在探索宇宙奥秘的征程中，爱因斯坦的广义相对论无疑是一座璀璨的丰碑。
它不仅改变了我们对引力的理解，更深刻地影响了现代物理学的发展。
让我们一同走近广义相对论，揭开它神秘的面纱。
要理解广义相对论，首先得从牛顿的万有引力定律说起。
在牛顿的理论中，两个物体之间的引力大小与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
这个理论在很长一段时间内成功地解释了许多天体的运动现象。
然而，随着观测技术的不断提高，一些现象却无法用牛顿的理论来完美解释。
比如，水星近日点的进动问题。
水星是距离太阳最近的行星，其轨道并非是一个完美的椭圆。
按照牛顿的理论计算，水星的近日点位置应该是固定不变的，但实际观测却发现，水星的近日点在每世纪会有一定的进动。
这个微小的偏差，牛顿的理论无法给出令人满意的答案。
正是在这样的背景下，爱因斯坦提出了广义相对论。
广义相对论的核心观点是：物质和能量会弯曲时空，而引力则是时空弯曲的表现。
想象一下，一张平坦的弹性网，我们把一个重物放在网上，网就会凹陷下去。
这时，如果我们在网上放一个小球，小球就会沿着凹陷的网滚向重物。
这就类似于物体在弯曲的时空中受到引力的作用。
广义相对论有着一系列令人惊叹的预言。
其中之一就是光线的弯曲。
当光线经过一个大质量天体附近时，由于时空的弯曲，光线会发生偏折。
这个预言在 1919 年的日食观测中得到了证实，从而让广义相对论一举成名。
另一个重要的预言是引力红移。
由于引力场的作用，光子的能量会降低，导致其频率减小，波长变长，从而发生红移现象。
这一现象在后来的实验中也得到了验证。
广义相对论还对宇宙的演化有着重要的意义。
它预言了宇宙的膨胀，为现代宇宙学的发展奠定了基础。
然而，广义相对论的数学表述非常复杂，涉及到张量分析和黎曼几何等高深的数学知识。
这使得它对于大多数人来说，理解起来颇具难度。
但我们可以通过一些简单的类比和例子来帮助理解。
比如，想象一个二维的平面生物生活在一个弯曲的表面上，它们对于空间的感知和我们在弯曲时空中的感受有相似之处。
《广义相对论》课件
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述
黎曼曲率张量的几何意义
黎曼曲率张量的几何意义黎曼曲率张量，这名字听起来就特别高大上，就像武侠小说里那些绝世武功秘籍的名字一样。
那它到底是啥呢？咱们先从一个简单的例子说起吧。
你在平地上走路，是不是觉得很轻松，想怎么走就怎么走，方向都不会乱。
这就有点像在一个没有曲率的空间里，就像一张超级平的纸。
可是，要是你走到了一个球面上呢，比如说地球（虽然地球不是完美的球体，但先这么类比着）。
你从一个点出发，一直朝着一个方向走，走着走着你会发现，嘿，你居然又回到了原点。
这就是因为球面是弯曲的，和那张平纸不一样。
黎曼曲率张量呢，就像是一个超级探测器，专门用来探测这种空间弯曲的情况。
它就像是一个超级敏感的小助手，能告诉你这个空间在各个点、各个方向上到底是怎么弯曲的。
你可以把空间想象成一块布，这块布可能这儿凹进去一块，那儿凸出来一块，黎曼曲率张量就像是能摸清楚这块布每一处起伏的小手。
要是把空间比作一个大公园，那黎曼曲率张量就是那个对公园的每一个角落、每一条小路、每一个小山坡都了如指掌的管理员。
比如说，公园有个小池塘，池塘边的路可能是弯弯绕绕的，在这个地方空间就弯曲得比较复杂。
黎曼曲率张量就能精确地把这种弯曲的复杂情况给描述出来。
你可能会问，这有啥用呢？用处可大了去了。
在物理学里，特别是广义相对论里面，它可是个超级明星。
爱因斯坦就发现了这个宝贝，用它来描述引力。
你看，引力是啥呢？以前人们觉得是一种神秘的力量在拉着东西。
可是爱因斯坦说，不是的，其实是物质让空间弯曲了，就像在那块布上放了个大石头，布就凹下去了，周围的小物件就会朝着凹下去的地方滚过去，这就是引力的效果。
而黎曼曲率张量就是那个能把空间弯曲情况描述得清清楚楚的工具，没有它，爱因斯坦可没法准确地构建广义相对论。
再举个例子吧。
假如你是一个小蚂蚁，在一个巨大的、形状奇怪的空间里爬行。
你可能只知道自己在爬，但是不知道这个空间到底是啥样的。
黎曼曲率张量就像是一个给小蚂蚁的地图，告诉它这个空间在每个地方是怎么弯曲的，哪里有“坑”，哪里有“坡”。
广义相对论与黎曼几何系列之十：测地线和曲率张量
物理学讲堂·45卷(2016年)2期图1平行移动(a)平面上平行移动一圈；(b)球面上平行移动一圈图2在纬度α的圆上以及在赤道上切矢量的平行移动有所不同首先以平面和球面为例，再重温《广义相对论与黎曼几何系列之九：二维曲面上的平行移动和曲率》一文中介绍的平行移动。
图1是在平面和球面上分别作平行移动的例子：女孩从点1到点2再到点3，一直到点7，作平行移动一圈后回到点1(1和7是同一点)。
所谓“平行移动”的意思是说，她在移动的时候，尽可能保持身体(或是她的脸)相对于身体的中心线没有旋转。
这样，当她经过1，2，3……回到1的时候，她认为她应该和原来出发时面对着同样的方向。
她的想法是正确的，如果她是在平面上移动的话(图1(a))。
但是，假如她是在球面上移动的话，她将发现她面朝的方向可能不一样了！图1(b)中红色箭头所指示的便是她在球面上每个位置时面对的方向。
从图中可见，出发时她的脸朝左，回来时却是脸朝右。
平行移动的概念不仅可以被用来定义曲面的曲率，也可以被用来定义测地线。
测地线是欧几里德几何中“直线”概念在黎曼几何中的推广。
从整体来说，欧氏几何中的直线，是两点之间最短的连线，就局部而言，可以用“切矢量方向不改变”来定义它。
将后面一条的说法稍加改动，便可以直接推广到黎曼几何中：“如果一条曲线的切矢量关于曲线自己是平行移动的，则该曲线为测地线。
”在《广义相对论与黎曼几何系列之八：平行移动和协变微分》一文中，曾经给出矢量V 平行移动时在列维—齐维塔联络意义下的逆变分量坐标表达式：d V j /d s +Γjnp V n d x p /d s =0。
根据上述测地线的定义，如果将其中的V j 用切矢量的分量(d x j /d s )代替的话，便可得到用克里斯托费尔符号表示的测地线的方程：再以球面为例，我们可以利用上一节中采取的方法来研究切矢量的平行移动。
一般来说，沿着球面上纬度为α的圆的平行移动等效于在一个锥面“帽子”上的平行移动。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
广义相对论之1引言、泊松方程与张量基础知识
黑洞与引力波的研究
01
黑洞的性质与分类
02
引力波的探测与性质
03
黑洞与引力波的应用
广义相对论预言了黑洞的存在，并给 出了黑洞的基本性质和分类，如史瓦 西黑洞、克尔黑洞等。
广义相对论预言了引力波的存在，近 年来引力波的直接探测成功验证了这 一预言，并为研究黑洞、中子星等极 端天体提供了新的手段。
黑洞和引力波的研究不仅有助于深入 理解广义相对论，还对宇宙学方法
分离变量法
对于具有特定对称性的泊松方程， 可以采用分离变量法将其转化为 常微分方程进行求解。
有限差分法
有限差分法是一种数值求解偏微 分方程的方法，通过将连续的空 间离散化，将泊松方程转化为线 性方程组进行求解。
有限元法
有限元法是一种广泛应用的数值 分析方法，通过将求解域划分为 有限个单元，构造插值函数来逼 近未知函数，从而求解泊松方程。
时空弯曲与物质分布的关系
物质分布决定时空弯曲的程度，而时空弯曲又影响物质的运动。这 种相互作用通过爱因斯坦场方程来描述。
广义协变原理
广义相对论要求物理定律在任意坐标系下保持形式不变，即广义协 变原理。这一原理保证了理论的普适性和一致性。
广义相对论的研究意义
01
对宇宙大尺度结构的理解
广义相对论揭示了引力在宇宙大尺度结构形成和演化中的重要作用，解
引力红移实验
实验原理
在强引力场中，光的频率会发生变化，导致 光谱线向红端移动，即引力红移现象。
实验方法
通过观测从太阳或其他大质量天体表面发出的光的 频谱变化，可以验证广义相对论中关于引力红移的 预测。
实验结果
观测结果表明，从太阳表面发出的光的频谱 确实发生了红移，且红移量与广义相对论的 预测值相符。
黎曼曲率张量 推导
黎曼曲率张量推导
一、引言
黎曼几何是描述空间结构的数学工具，它在广义相对论等物理学领域以及计算机图形学等领域有广泛应用。
在黎曼几何中，曲率是一个重要的概念，用于描述空间中的弯曲程度。
本文将推导黎曼曲率张量的定义和性质。
二、预备知识
在黎曼几何中，我们通常使用联络来描述向量在流形上的平行移动。
联络是一个向量场到向量场的线性映射，它满足某些性质，如平行性和协变性。
三、黎曼曲率张量的定义
黎曼曲率张量是一个二阶协变张量，用于描述流形上向量场的曲率。
具体来说，对于任意点P处的切空间TP，黎曼曲率张量R(X,Y)Z是满足以下性质的二阶协变张量：
1. R(X,Y)Z是反对称的，即R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z。
2. 对于任意标量函数f和向量场X、Y、Z，有R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z。
3. 对于任意向量场X、Y和标量函数f，有R(X,fY)Z=fR(X,Y)Z。
4. 对于任意向量场W，有R(X,Y)W+R(Y,W)X+R(W,X)Y=0。
四、黎曼曲率张量的性质
黎曼曲率张量具有以下性质：
1. 局部对称性：对于任意向量场X、Y，有R(X,Y)Z+R(Y,X)Z=0。
2. 标量性质：对于任意向量场X、Y、Z，有R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z。
3. 零曲率性质：如果R(X,Y)Z=0，则对于任意向量场W，有R(X,Y)W=0。
五、结论
通过以上推导，我们可以得出黎曼曲率张量的定义和性质。
黎曼曲率张量是描述流形上向量场曲率的重要工具，它在几何和物理等领域中有广泛应用。
第1 页。
广义相对论的几何结构
广义相对论的几何结构广义相对论（General Theory of Relativity）是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论。
相对论的几何结构是该理论的核心概念之一。
下面将从几何结构的角度解释广义相对论。
广义相对论的几何结构可以用黎曼几何来描述。
黎曼几何是一种描述曲线和曲面的几何学，它通过引入度量张量来描述空间的曲率和形状。
在广义相对论中，空间被视为一种弯曲的四维时空，其几何性质由度量张量来描述。
在广义相对论中，引力被解释为时空的弯曲。
这种弯曲是由物质和能量分布所决定的。
根据质能—动量张量的分布情况，时空会发生弯曲，物体在弯曲时空中运动时会受到引力的作用。
广义相对论中的度量张量和曲率张量是描述时空几何性质的重要工具。
度量张量描述了时空的度量关系，即测量长度和角度的规则。
曲率张量描述了时空的曲率和弯曲程度。
通过求解爱因斯坦场方程，可以得到时空的度量和曲率的具体形式。
广义相对论的几何结构还包括测地线和时空的拓扑性质。
测地线是物体在时空中的自由运动轨迹，其运动路径是沿着时空的最短路径。
测地线的性质受到时空的弯曲和引力场的影响。
时空的拓扑性质描述了时空的连通性和空间的形状，如平坦时空和弯曲时空的区别。
广义相对论的几何结构还包括事件的因果结构和黑洞的性质。
事件的因果结构描述了事件之间的因果关系，即一个事件是否能影响另一个事件。
根据时空的弯曲程度和引力场的强弱，黑洞可以形成。
黑洞是一种极度弯曲的时空区域，其引力场极强，连光都无法逃离。
广义相对论的几何结构在宇宙学中也起着重要作用。
宇宙学研究的是整个宇宙的演化和结构。
根据广义相对论的几何结构，可以推导出宇宙的膨胀和演化的模型，如宇宙大爆炸理论和暗能量的存在。
广义相对论的几何结构是该理论的核心概念之一。
它通过度量张量、曲率张量、测地线、拓扑性质、事件的因果结构和黑洞的性质等来描述时空的性质和引力的作用。
这些几何结构不仅解释了引力，还对宇宙学和黑洞等诸多问题提供了重要的理论框架。
广义相对论之7局域惯性系、黎曼曲率张量与里奇张量PPT演示课件
Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之三
28
Bianchi恒等式
29
Bianchi恒等式的证明
30
31
Riemann曲率张量在一般参考系的表达式
证明见下页
32
一 般 参 考 系 的 黎 曼 曲 率 张 量 表 达 式 的 证 明
33
34
Ricci张量
35
Ricci标量
16riemann曲率张量关于最后两个指标反对称17riemann曲率张量关于最前两个指标反对称证明见下面三页18riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之一19此式的补充证明见下页riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之二20riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之三21riemann曲率张量关于最前两个指标最后两个指标整体交换是对称的22ricci恒等式23ricci恒等式的证明2425riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之一26riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之二27riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之三28bianchi恒等式29bianchi恒等式的证明3031riemann曲率张量在一般参考系的表达式证明见下页323334ricci张量35ricci标量36einstein张量证明见下页37einstein张量的散度为零的证明38个人观点供参考欢迎讨论
由
此式的补充证明见下页
20
由
Riemann曲率张量关于最前两个指标
反对称的证明之三
21
Riemann曲率张量关于(最前两个指标)<—>(最后两个指标) 整体交换是对称的
22
Ricci恒等式
23
张天蓉博客：广义相对论与黎曼几何
张天蓉博客：广义相对论与黎曼几何爱因斯坦建立的引力场方程，是广义相对论定量描述引力、时空和物质的统一性的理论手段，在宇宙学研究中具有重要作用。
这个引力场方程G mn = R mn-1/2（g mn R）=（8πG/c4）T mn是一个二阶张量方程，其中R mn为里奇张量，它由黎曼几何张量缩并而成，表示曲率，意味着空间的弯曲状况；T mn为能量-动量张量，表示物质（质量）分布和运动状况，意味着描述的是能量流、动量流及其应力；g mn为3+1维时空的度规张量，称为爱因斯坦张量；G是重力常数，c是真空中光速，8πG/c4称为系数，可由低速的牛顿理论来确定。
方程的意义是：空间物质的能量-动量（T mn）分布=空间的弯曲状况（R mn）。
其解的形式是：ds2=Adt2+Bdr2+C dq2+Ddφ2式中A,B,C,D为度规g mn分量。
考虑能量-动量张量T mn的解比较复杂，最简单就是让T mn等于0。
对于真空静止球对称外部的情况，得到了施瓦西解。
如果是该球体内部的情况，或者是考虑球体轴对称的旋转，就稍微复杂一点。
考虑星云内部或外部的情况，星云内的星球还要运动、转动等，这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。
含宇宙常数项的场方程R mn- 1/2（g mn R）+ Λg mn = 8πG/c4T mnΛ是宇宙常数，其物理意义是宇宙真空场。
Λg mn为宇宙项，如果从数学上理解，则由这个场方程得到的解也是：ds2 = Adt2 + Bdr2 + C dq2 + Ddφ2ds表达空间弯曲程度的一小段距离。
由于4维空间与时间有关，ds是随时间变化而变化的。
如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的；而当加了宇宙项，选取适当Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。
从物理的意义上理解，把宇宙项移到方程式的右边，变为：R mn-1/2（g mn R）=（8πG/c4）T mn-Λg mnΛ项为负值，起到了斥力的作用，即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。
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空间曲率 平行线 正 零 负 无 一条 两条以上
3 种几何的比较
三角形三内角 圆周率 之和 ＞ 180° = 180° ＜ 180° ＜π =π ＞π 例 球面 平面 伪球面、 马鞍面
罗氏几何和黎氏几何， 统称非欧几何． 1845 年，
第9 期
： 《广义相对论入门讲座》 赵峥 连载③
63
黎曼从更高的角度把这 3 种几何统一起来， 成为黎 曼几何， 用来描述弯曲和扭曲的几何客体 ． 黎曼天才地预见到， 真实的空间不一定是平直 的． 如果不平直， 就不能用欧氏几何来描述， 而要用 黎曼几何来描述． 他还预见， 物质的存在可能造成空 间的弯曲． 黎曼几何， 为爱因斯坦发展他的相对论， 准备了 数学基础． 爱因斯坦产生了与当年黎曼类似的猜想 ． 但是， 今天的爱因斯坦已经掌握了大量的物理知识 ， 创建 新理论的条件已经成熟， 这些都是当年黎曼不可能 具备的． 如何把时空几何与运动物质联系起来呢 ？ 爱因 斯坦在建立新理论的过程中感到自己的数学知识欠 缺， 他需要新的数学工具． 于是， 他求助于自己的好 友格罗斯曼． 格罗斯曼查阅文献， 然后告诉爱因斯 当时一些意大利人正在研究的黎曼几何和张量 坦， 分析， 也许对他有用． 爱因斯坦接受了朋友的忠告， 努力钻研黎曼几何， 几经曲折， 终于建立起新的辉煌 理论． 新理论克服了旧理论的两个基本困难 ， 用广义 相对性原理代替了狭义相对性原理， 并且包容了万 有引力． 爱因斯坦认为， 新理论是原有相对论的推 广， 因此称其为广义相对论， 而把原有的相对论称为 狭义相对论． 广义相对论， 实际上是一个关于时间、 空间和引 空间是一个整体 力的理论． 狭义相对论认为时间、 （ 四维时空） ， 能量、 动量是一个整体 （ 四维动量 ） ， 但 没有指出时间 － 空间与能量 － 动量之间的关系． 广 义相对论进一步指出了这一关系， 认为能量 － 动量 的存在（ 也就是物质的存在 ） ， 会使四维时空发生弯 曲！ 万有引力并不是一般的力， 而是时空弯曲的表 现！ 如果物质消失， 时空就回到平直状态．
0 x1 = x ， x2 = y ， x3 =的原因是， 在弯曲时空中， 上角标与下
角标有不同的意义． 下面会看到它们的区别． ） 新旧 坐标之间的关系可表为 x ' μ = x ' μ （ x0 ， x1 ， x2 ， x3 ） = x ' μ （ x α ） ， （ μ， 1， 2， 3） （ 1） α = 0， 这就是说， 每一个新坐标， 都是 4 个旧坐标的函数， 函数关系各式各样， 可能简单也可能复杂． 例如新坐 0 0 x1 ， x2 ， x3 的函数． 式 （ 1 ） 所示的 标 x' ， 它同时是 x ， 新旧坐标之间的广义坐标变换一般是非线性的 、 复 杂的． 微分式（ 1 ） ， 得到广义坐标变换下坐标微分元 的变换关系： dx' μ = x ' μ ν dx ， x ν （ μ， 1， 2， 3） ν = 0， （ 2）
x ' μ1 x ' μ2 x ' μ m x β1 x β2 … … x α1 x α2 x αm x' ν1 x' ν2 x β n α1α2…αm T β β …β x ' ν n 1 2 n （ 12 ）
式（ 12 ） 是一个（ m + n） 阶的张量． 2 不难看出， 在四维时空中， 二阶张量有 4 = 16 （ m + n ） 阶张量有 4 个分量， 到的曲率张量 R
1 μ2 … μ m T' μ ν1 ν2 … ν n =
x'μ x1 ， x2 ， x3 ） 在 p 点的值． 因此， 只对 p 点考虑， ν 是常 x p 数． 所以， 变换式（ 2） 及其矩阵形式式（ 4） ， 在时空的每 都可以当作一个线性变换来看待． 变换究竟是线 一点， 性还是非线性， 取决于变换系数是否是常数． 如果是常 就是线性变换． 否则， 是非线性变换． 数， 式（ 2 ） 的逆变换可以写成 x ν dx ν = dx' μ ， （ μ， 1， 2， 3） ν = 0， x ' μ 重复指标同样代表求和． （ 5）
x ' μ x β α Tβ （ 11 ） x α x ' ν 变换的量， 分别称为逆变张量、 协变张量和混合张 量． 上述有两个指标的张量称为二阶张量 ． 有一个指 称为一阶张量． 没有指标的标量， 称为零 标的矢量， 阶张量． 存在二阶以上的张量， 例如后面连载⑤中将 介绍的描述时空弯曲情况的曲率张量 R μ 它有 4 νσρ ， 个指标． 高阶张量定义为在广义坐标系下按下面规 律变换的量：
x ' x 0 1 x ' x 0 = 2 x'0 x 3 x'0 x
0
x ' 1 x x ' 1 x x ' 1 x
0
x ' 2 x x ' 2 x x ' 2 x
0
1
1
2
2
x ' 3 x 0 1 x ' d x 3 1 x d x 2 （ 4） 2 x ' d x 3 x d x 3 3 x ' 3 x
这里采用了爱因斯坦惯例， 重复指标代表求和． 上式 会非常繁复： 如果分开写， dx' 0 = dx' 1 =
0 0 0 0 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 0 dx + 1 dx + 2 dx + 3 dx x x x x 1 1 1 1 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 d x + d x + d x + 0 1 2 3 dx x x x x 2 2 2 2 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 0 dx + 1 dx + 2 dx + 3 dx x x x x
3 3 3 3 x ' 0 x ' 1 x ' 2 x ' 3 d x + d x + d x + 0 1 2 3 dx x x x x 写成矩阵形式， 则为
64
大
学
物
理
第 30 卷
dx' dx' 1 2 dx' dx' 3
0
3 3 x ' x ' 1 2 x x 我们看到， 爱因斯坦惯例， 大大简化了数学表达的 形式．
（ 3）
图2
dx' 2 = dx' 3 =
广义相对论认为， 质点在万有引力作用下的运 动（ 例如地球上的自由落体； 行星的绕日运动等 ） ， — —惯性运动． 它们在时 是弯曲时空中的自由运动— 空中描出的曲线， 虽然不是直线， 却是直线在弯曲时 — — — ． 空中的推广 测地线 在三维空间中， 测地线是短
（ 9） （ 10 ）
应该注意， 与洛伦兹变换不同， 在广义坐标变换 μ x ' 中， 变换矩阵的矩阵元 ν 不是常数， 而是位置的函数． x x'μ 0 x1 ， x2 ， x3 ） 的函数． 但是， 也就是说， ν 是坐标（ x ， 如果 x 则 我们选择时空的一个确定点 p， x'μ 0 只依赖于（ x ， xν p
第 30 卷第 9 期 2011 年 9 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol． 30 No． 9 Sep． 2011
櫍殻
櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻 《广义相对论入门讲座》 连载
《 广义相对论入门讲座 》 连载 ③
— — — 黎曼几何中的张量
赵 峥
櫍殻
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几何学起源于古埃及尼罗河水泛滥后土地的丈 量． 公元前 300 年左右的数学家欧几里得总结和发 展前人积累的知识， 完成了《几何原本 》 一书， 搭起 以它逻辑的严 了欧几里得几何学的框架． 欧氏几何， 密， 形式的完备和优美， 两千年来为数学家和哲学家 ． 所倾倒 唯一使人感到美中不足的是它的第五公设 ， ， “过直线外的一点， 即平行公理． 此公理说 可以引 一条、 并且只能引一条直线与原直线平行 （ 不相 ． 与其他公设比较， 交） ” 这个公设显得过长、 过于复 杂． 人们自然希望第五公设能从其他公设推出 ， 从而 不再是一个公设． 这方面的尝试开始于公元 5 世纪． 一千多年中， 许多杰出数学家为它绞尽脑汁、 耗尽才 结果都一无所获． 无数前人的失败， 终于使后人 华， 悟出了道理． 第一个察觉其中奥妙的人大概是高斯 ． 然而， 由于欧氏几何在数学、 哲学和神学中的神圣地 位， 高斯缺乏公开挑战的勇气， 没有发表自己的观 点． 第一个公布新几何初步结果的是年轻的匈牙利 数学家鲍耶 （ 1802 —1860 年 ） ． 他 从 事 这 一 研 究 不 久， 就 走 上 了 正 确 的 道 路． 他 采 用 反 证 法， 企图从 “第五公设不成立” ． 引出谬误 然而他在反证的路上 越走越远， 却始终不见“谬误 ” 的影子． 鲍耶终于认 识到第五公设确实是不可证明的公理 ， 但是， 人们可 以引入不同于第五公设的其他公理， 取代“第五公 设” 建立新的几何学． 最先建立完整的新几何学的是俄国数学家罗巴 切夫斯基（ 1792 —1856 年） ． 他与鲍耶一样， 用“过直 线外一点， 可以引两条以上直线与原直线平行 （ 不 相交） ” 的新公设来取代第五公设． 罗巴切夫斯基的 新几何， 被称为罗氏几何． 数学家黎曼用另一个公设来代替欧几里得的第 ， “过直线外一点的任何直线都必定 五公设． 他提出 ． 他所建立的几何称黎氏几何． 与原直线相交”
黎氏几何 欧氏几何 罗氏几何
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