初中数学思维训练

1、 数列3,6,9,12,...,3,...n 中，第1994个数除以29的余数是多少？

2、 计算444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)44444(1)(3)(5)(7)(9)44444

++++++++++

3、 证明：44...488...89是平方数。

4、 若3(0)x y z a a ++=≠，求

222

()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值

5、 已知1x y z a b c ++=，且0a b c x y z ++=，求证：2222221x y z a b c

++=

6、 33...3n

=

7、 已知a b c =+，求证：240b ac +≥

8、 若1212,,...,,,,...,,n n a a a b b b 都是实数

，求证：

22

2

2

2

2

2

11221212(...)(...)(...)n n n n a b a b a b a a a b b b ++≤++++

9、 已知,αβ是方程2

10x x --=的两个实数根，求68αβ+的值

10、 已知p 是质数，使得关于x 的二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求p 的所有可能的值。

11、 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至

少有一个整数根，求a 的值。

12、

实数p,q 满足p+q=2，求33

p q +的最小值

13、

已知a,b,c 均为实数，且2816a b ab c +=⎧⎨=+⎩，求a+2b+3c 的值。

14、 已知正数a,b 满足a+b=1

，求证：

2225(1)(2)(2)2a b +++≥

15、

已知实数a,b,x,y 满足a+b=x+y=2,ax+by=5，求()()

2222a b xy ab x y +++的值

16、

已知ax+by-2c=0, 20ab c ->,求证：1xy ≤

17、

求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值

18、

已知a,b,c 0,1a b c ≥++=≤

19、 设2(),0y f x ax bx a ==+>，且a,b 都是整数，已知当x=15时，y<0,当x=16时，

y>0.

（1）求证：b 不是a 的倍数，且b 是负整数

（2）在x 取整数n 所得的所有函数值f(n)中，使f(n)取最小值的n 是多少？

21、当22326x y x +=时，求22

x y +的最大值和最小值

22、已知a,b,c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A 和B ，若A,B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值

23、某商店将进货价每个10元地商品按每个18元售出时，每天可卖出60个。商店经理在市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售就减少5个，若将这种商品的售价（在每个18远的基础上）每降低1元，则日销售量九增加10个。为获得每日最大极润，此商品售价应定为每个多少元？

24、如图所示，在三角形ABC 中，AC=BC=5，80,ACB ∠=︒0为三角形内一点，10,OBA ∠=︒30,OAB ∠=︒求BO 的长。

25、如图所示，在三角形ABC 中，AB=AC ，1cos ,4,3

B B

C ==点D,E,F 分别在AC,AB,BC 上，将三角形BEF 沿EF 翻折后，恰巧能与三角形DEF 重合。若三角形ADE 为等腰三角形，求C

D 的长。

26、在等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=CD=5，AD=2，BC=8，,MEN B MEN ∠=∠∠的顶点E 在BC 边上移动，一条边始终过点A ，另一条边与CD 相交与F ，连接AF

（1）BE=x,DF=y,求出y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域

（2）若三角形AEF 是等腰三角形，求出BE 的长

27、如图所示，已知二次函数y=2

(0)x bx c c -++>的图像与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3。顶点为M

（1）求二次函数的解析式

（2）探索：线段BM 上是否存在点N ，使得三角形NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由

28、如图所示，B,C,E 三点共线，分别以BC 、CE 为底边作正三角形ABC 以及正三角形CDE ，连接BD,AE 分别交AC,DC 于M,N 两点。探索：ABED S 和2

AE 的关系。

29、在锐角三角形ABC 中，BD ,.AC CE AB ABC ⊥⊥ 和ADE 的面积分别为18和8，

且DE=BC 的长

30、一个正整数若能表示成为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“聪明数”，例如16=2253-就是一个“聪明数”试求从1到2000这2000个正整数中，共有多少个“聪明数”？

31、已知n 个整数12,,...,n x x x ，其中每一个数不是1就是-1，4n ≥，并且12342345112123...0n n n x x x x x x x x x x x x x x x x -+++=，求证：n 是4的倍数。