2019-2020学年江苏省无锡市江阴市青阳片七年级(下)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市青阳片七年级（下）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列图形可由平移得到的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）下列计算正确的是( )
A ．236a a a =
B ．632a a a ÷=
C ．236()a a =
D ．33(2)6a a =
3．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A ．296(3)(3)6x x x x x -+=+-+
B ．623ab a b =
C ．2(5)(2)310x x x x +-=+-
D ．22816(4)x x x -+=-
4．（3分）下列长度（单位)cm 的三根木棒首尾顺次相接，不能做成三角形框架的是( )
A ．5、7、2
B ．7、13、10
C ．5、7、11
D ．5、10、13
5．（3分）下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②④
6．（3分）如图，四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，则下列结论中正确的是( )
A ．若//A
B D
C ，则B C ∠=∠
B ．若2180A ∠+∠=︒，则//AB DC
C ．若1180B ∠+∠=︒，则//AB DE
D ．若//AD BC ，则21∠=∠ 7．（3分）画ABC ∆中AC 边上的高，下列四个画法中正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（3分）如图，1∠，2∠，3∠，4∠是五边形ABCDE 的外角，且123468∠=∠=∠=∠=︒，则AED ∠的度数是( )
A ．88︒
B ．98︒
C ．92︒
D ．112︒
9．（3分）小淇将2(20192020)x +展开后得到2111a x b x c ++；小尧将2(20202019)x -展开后得到2222a x b x c ++，若两人计算过程无误，则12c c -的值为( )
A ．2019
B ．2020
C ．4039
D ．1
10．（3分）图1是二环三角形，126360S A A A =∠+∠+⋯+∠=︒，图2是二环四边形，
128720S A A A =∠+∠+⋯+∠=︒，图3是二环五边形，12101080S A A A =∠+∠+⋯+∠=︒⋯聪
明的同学，请你直接写出二环十边形，(S = )度．
A ．1440
B ．1800
C ．2880
D ．3600
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 ．
12．（2分）十边形的内角和是 度．
13．（2分）因式分解：96a b -= ． 14．（2分）若2(1)16x a x --+是一个完全平方式，则a = ．
15．（2分）如图，直径为2cm 的圆1O 平移3cm 到圆2O ，则图中阴影部分的面积为 2cm ．
16．（2分）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知//AB CD ，78BAE ∠=︒，120DCE ∠=︒，则E ∠的度数是 ．
17．（2分）一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人走过的路程最短，则α= ．
18．（2分）如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP a =，BP b =，且10a b +=，15ab =．则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共9题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（12分）计算
（1）1301()(2)|3|()93
π-+-+--
（2）234843(2)()(2)a b a b -+-
（3）(2)(2)(1)(4)a a a a +---+
（4）(23)(23)a b a b +++-
20．（6分）因式分解
（1）22x y xy y -+；
（2）416x -
21．（6分）先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中12
a =-，1
b =． 22．（6分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC ∆的三个顶点的位置如图所示．现将ABC ∆沿着点A 到点D 的方向平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．
（1）画出ABC ∆中AB 边上的高CH ；（提醒：别忘了标注字母）；
（2）请画出平移后的DEF ∆；
（3）平移后，求线段AC 扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
23．（6分）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，垂足为点E ，48C ∠=︒，ADE B ∠=∠，求B ∠的度数．
24．（8分）如图，已知//BC GE ，150AFG ∠=∠=︒．
（1）求证：//AF DE ；
（2）若AQ 平分FAC ∠，交BC 于点Q ，且15Q ∠=︒，求ACQ ∠的度数．
25．（10分）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a 、b ，斜边长为c ．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ； （2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a ，b ，c 之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a b +的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为
（6）已知4a b +=，2ab =，利用上面的规律求33a b +的值．
26．（10分）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120︒，40︒，20︒，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108︒，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图1，已知60MON ∠=︒，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，
以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与O 、B 重合），若80ACB ∠=︒．判定
AOB ∆、AOC ∆是否是“梦想三角形”
，为什么？ （3）如图2，点D 在ABC ∆的边上，连接DC ，作ADC ∠的平分线交AC 于点E ，在DC 上取一点F ，使得180EFC BDC ∠+∠=︒，DEF B ∠=∠．若BCD ∆是“梦想三角形”，求B ∠的度数．
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市青阳片七年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列图形可由平移得到的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据平移的性质，对逐个选项进行分析即可．
【解答】解：A 、由一个图形经过平移得出，正确；
B 、由一个图形经过旋转得出，错误；
C 、由一个图形经过旋转得出，错误；
D 、由一个图形经过旋转得出，错误；
故选：A ．
【点评】本题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，大小，方向．学生比较难区分平移、旋转或翻转．
2．（3分）下列计算正确的是( )
A ．236a a a =
B ．632a a a ÷=
C ．236()a a =
D ．33(2)6a a =
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方计算判断即可．
【解答】解：A 、235a a a =，错误；
B 、633a a a ÷=，错误；
C 、236()a a =，正确；
D 、33(2)8a a =，错误；
故选：C ．
【点评】此题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方，关键是根据法则进行计算．
3．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A ．296(3)(3)6x x x x x -+=+-+
B ．623ab a b =
C ．2(5)(2)310x x x x +-=+-
D ．22816(4)x x x -+=-
【分析】根据因式分解的定义，等式的左边是整式的加法，等式的右边是多项式的乘积，符合该定义的即为所求．
【解答】解：根据因式分解的定义，可得22816(4)x x x -+=-是因式分解，
故选：D ．
【点评】本题考查因式分解的定义；掌握因式分解的基本定义和等式的形式是解题的关键．
4．（3分）下列长度（单位)cm 的三根木棒首尾顺次相接，不能做成三角形框架的是( )
A ．5、7、2
B ．7、13、10
C ．5、7、11
D ．5、10、13
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A 、527+=，不能组成三角形，故本选项正确；
B 、7101713+=>，能能组成三角形，故本选项错误；
C 、571211+=>，能能组成三角形，故本选项错误；
D 、5101513+=>，能能组成三角形，故本选项错误．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，是判定能否组成三角形的理论依据．
5．（3分）下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②④
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的概念解答即可．
【解答】解：1∠和2∠是同位角的是①②，
故选：A ．
【点评】此题考查同位角，内错角，同旁内角的概念，关键是根据同位角，内错角，同旁内角的概念解答．
6．（3分）如图，四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，则下列结论中正确的是( )
A ．若//A
B D
C ，则B C ∠=∠
B ．若2180A ∠+∠=︒，则//AB DC
C ．若1180B ∠+∠=︒，则//AB DE
D ．若//AD BC ，则21∠=∠ 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可得．
【解答】解：A 、若//AB DC ，则180B C ∠+∠=︒，此选项错误；
B 、若2180A ∠+∠=︒，则//AB DE ，此选项错误；
C 、若1B ∠=∠，则//AB DE ，此选项错误；
D 、若//AD BC ，则21∠=∠，此选项正确；
故选：D ．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
7．（3分）画ABC ∆中AC 边上的高，下列四个画法中正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据三角形的高线的定义：过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的距离叫做三角形的高对各选项图形判断即可．
【解答】解：由三角形的高线的定义，C 选项图形表示ABC ∆中AC 边上的高．
故选：C ．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义并准确识图是解题的关键．
8．（3分）如图，1∠，2∠，3∠，4∠是五边形ABCDE 的外角，且123468∠=∠=∠=∠=︒，则AED ∠的度数是( )
A ．88︒
B ．98︒
C ．92︒
D ．112︒
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与AED ∠相邻的外角，从而求解．
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：12345360∠+∠+∠+∠+∠=︒，
536046888∴∠=︒-⨯︒=︒，
180********AED ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360︒．
9．（3分）小淇将2(20192020)x +展开后得到2111a x b x c ++；小尧将2(20202019)x -展开后得到2222a x b x c ++，若两人计算过程无误，则12c c -的值为( )
A ．2019
B ．2020
C ．4039
D ．1
【分析】依据小淇将2(20192020)x +展开后得到2111a x b x c ++；小尧将2(20202019)x -展开后得到2222a x b x c ++，即可得到221220202019c c -=-，进而得出结论．
【解答】解：2(20192020)x +展开后得到2111a x b x c ++；
212020c ∴=，
2(20202019)x -展开后得到2222a x b x c ++，
222019c ∴=，
221220202019(20202019)(20202019)4039c c ∴-=-=+-=，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，应用完全平方公式时，要注
意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
10．（3分）图1是二环三角形，126360S A A A =∠+∠+⋯+∠=︒，图2是二环四边形，128720S A A A =∠+∠+⋯+∠=︒，图3是二环五边形，12101080S A A A =∠+∠+⋯+∠=︒⋯聪
明的同学，请你直接写出二环十边形，(S = )度．
A ．1440
B ．1800
C ．2880
D ．3600
【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【解答】解：依题意可知，二环三角形，360S =度； 二环四边形，7203602360(42)S ==⨯=⨯-度； 二环五边形，10803603360(52)S ==⨯=⨯-度；
⋯
二环n 边形(3n 的整数）中，360(2)S n =-度． 360(102)2880⨯-=︒．
故选：C ．
【点评】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 62.510-⨯ ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：60.0000025 2.510-=⨯， 故答案为：62.510-⨯．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12．（2分）十边形的内角和是 1440 度．
【分析】n 边形的内角和是(2)180n -︒，代入公式就可以求出十边形的内角和． 【解答】解：十边形的内角和是(102)1801440-︒=︒． 【点评】正确记忆多边形的内角和公式是解决本题的关键． 13．（2分）因式分解：96a b -= 3(32)a b - ． 【分析】直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【解答】解：963(32)a b a b -=-． 故答案为：3(32)a b -．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 14．（2分）若2(1)16x a x --+是一个完全平方式，则a = 9或7- ． 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：22(4)816x x x ±=±+， (1)8a ∴--=±， 9a ∴=或7-，
故答案为：9或7-
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 15．（2分）如图，直径为2cm 的圆1O 平移3cm 到圆2O ，则图中阴影部分的面积为 6 2cm ．
【分析】由平移的性质知，1O 与2O 是全等的，所以图中的阴影部分的面积与图中的矩形的面积是相等的，故图中阴影部分面积可求． 【解答】解：
1O 平移3cm 到2O
1O ∴与2O 全等
∴图中的阴影部分的面积=图中的矩形的面积
2236cm ∴⨯=
∴图中阴影部分面积为26cm ．
故答案为：6．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．解题的关键是要知道图中的阴影部分的面积=图中的矩形的面积．
16．（2分）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知//AB CD ，78BAE ∠=︒，120DCE ∠=︒，则E ∠的度数是 42︒ ．
【分析】延长DC 交AE 于F ，依据//AB CD ，78BAE ∠=︒，可得78CFE ∠=︒，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠． 【解答】解：如图，延长DC 交AE 于F ， //AB CD ，78BAE ∠=︒， 78CFE ∴∠=︒，
又120DCE ∠=︒，
1207842E DCE CFE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故答案为：42︒．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 17．（2分）一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人走过的路程最短，则α= 120 ．
【分析】根据图中的信息可知机器人走过的路线是正多边形，要使机器人走过的路程最短，则多边形的边数最少，即正多边形是正三角形，再用外角和的度数除以3即可得出α． 【解答】解：根据题意得，机器人走过的路线是正多边形，每个外角都等于α， 要使机器人走过的路程最短，
∴正多边形是正三角形，
3603120α=÷=．
故答案为：120．
【点评】本题考查多边形的内角和外角，解题的关键是能根据题目提供的信息得到机器人行走的路线是什么图形．
18．（2分）如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP a =，BP b =，且10a b +=，15ab =．则图中阴影部分的面积为 45 ．
【分析】依据AP a =，BP b =，点M 是AB 的中点，可得2
a b
AM BM +==
，再根据ADM BEM APCD BEFP S S S S S ∆∆=+--阴影正方形正方形，即可得到图中阴影部分的面积． 【解答】解：AP a =，BP b =，点M 是AB 的中点， 2
a b
AM BM +∴==
， ADM BEM APCD BEFP S S S S S ∆∆∴=+--阴影正方形正方形 22112222a b a b
a b a b ++=+-⨯-⨯
2221
()4
a b a b =+-+
221
()2()4a b ab a b =+--+
1003025=--
45=，
故答案为45．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
三、解答题（本大题共9题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19．（12分）计算
（1）1301()(2)|3|()93
π-+-+--
（2）234843(2)()(2)a b a b -+- （3）(2)(2)(1)(4)a a a a +---+ （4）(23)(23)a b a b +++-
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式利用平方差公式，以及多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； （4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式9(8)31=+-+- 3=；
（2）原式812812168a b a b =+ 81224a b =；
（3）原式224(44)a a a a =--+-- 22444a a a a =---++ 3a =-；
（4）原式22(2)3a b =+- 22449a ab b =++-．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）因式分解 （1）22x y xy y -+； （2）416x -
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式2(21)y x x =-+
2(1)y x =-；
（2）原式22(4)(4)x x =-+
2(2)(2)(4)x x x =-++．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（6分）先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中12
a =-，1
b =．
【分析】根据整式的乘法去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解答】解：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++ 222222222a ab a b a ab b =-+-+++ 224a b =-，
当12a =-，1b =时，原式221
4()102
=--=．
【点评】本题考查了整式的混合运算和化简，主要检查学生能否正确进行化简和计算． 22．（6分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC ∆的三个顶点的位置如图所示．现将ABC ∆沿着点A 到点D 的方向平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．
（1）画出ABC ∆中AB 边上的高CH ；（提醒：别忘了标注字母）； （2）请画出平移后的DEF ∆；
（3）平移后，求线段AC 扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
【分析】（1）利用网格特点和三角形高的定义画图；
（2）利用点A、D的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点E、F即可；
（3）线段AC扫过的部分所组成的封闭图形为矩形，利用矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，CH为苏偶作；
（2）如图，DEF
∆为所作；
（3）线段AC扫过的部分所组成的封闭图形的面积223212
==．
【点评】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．（6分）如图，在ABC
C
∠=︒，
⊥，垂足为点E，48
∠，DE AC
∆中，AD平分BAC
∠的度数．
ADE B
∠=∠，求B
【分析】根据三角形内角和定理求出CDE ∠，根据角平分线的定义和已知得到90ADC AED ∠=∠=︒，计算即可．
【解答】解：DE AC ⊥， 90DEC ∴∠=︒，
9042CDE C ∴∠=︒-∠=︒，
AD 平分BAC ∠，
BAD CAD ∴∠=∠，又ADE B ∠=∠， 90ADC AED ∴∠=∠=︒， 9048ADE CDE ∴∠=︒-∠=︒， 48B ∴∠=︒．
【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒、角平分线的定义是解题的关键．
24．（8分）如图，已知//BC GE ，150AFG ∠=∠=︒． （1）求证：//AF DE ；
（2）若AQ 平分FAC ∠，交BC 于点Q ，且15Q ∠=︒，求ACQ ∠的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到150E ∠=∠=︒，再由50AFG ∠=︒可得AFG E ∠=∠，最后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到65AHD ∠=︒，根据平行线的性质和角平分线的性质得到65CAQ ∠=︒，由三角形的内角和即可得到结论． 【解答】（1）证明：//BC GE ， 150E ∴∠=∠=︒，
150AFG ∠=∠=︒， 50E AFG ∴∠=∠=︒， //AF DE ∴；
（2）解：150∠=︒，15Q ∠=︒， 65AHD ∴∠=︒， //AF DE ，
65FAQ AHD ∴∠=∠=︒， AQ 平分FAC ∠， 65CAQ FAQ ∴∠=∠=︒，
1801806515100ACQ CAQ Q ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a 、b ，斜边长为c ．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ()b a - ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a ，b ，c 之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）； （4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a b +的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （6）已知4a b +=，2ab =，利用上面的规律求33a b +的值．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （3）根据（1）的结果，即可得出答案； （4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案； （6）代入（5）中的等式求出即可．
【解答】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为()b a -， 故答案为：()b a -；
（2）图中阴影部分的面积为22c ab -或2()b a -， 故答案为：22c ab -，2()b a -；
（3）由（1）知：222()c ab b a -=-， 即222a b c +=， 故答案为：222a b c +=；
（4）222a b c +=，5a =，12b =， 13c ∴=，
故答案为：13；
（5）图形的体积为3()a b +或33222222a b a b a b a b ab ab ab +++++++， 即33322()33a b a b a b ab +=+++， 故答案为：33322()33a b a b a b ab +=+++；
（6）4a b +=，2ab =，33322()33a b a b a b ab +=+++，333()a b ab a b =+++ 3334324a b ∴=++⨯⨯，
解得：3340a b +=．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个
部分的体积和面积是解此题的关键．
26．（10分）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120︒，40︒，20︒，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108︒，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 36︒或18︒ ．
（2）如图1，已知60MON ∠=︒，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与O 、B 重合），若80ACB ∠=︒．判定
AOB ∆、AOC ∆是否是“梦想三角形”
，为什么？ （3）如图2，点D 在ABC ∆的边上，连接DC ，作ADC ∠的平分线交AC 于点E ，在DC 上取一点F ，使得180EFC BDC ∠+∠=︒，DEF B ∠=∠．若BCD ∆是“梦想三角形”，求B ∠的度数．
【分析】（1）分两种情形：当108︒是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可．
（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：AOB ∆、AOC ∆都是“梦想三角形”．
（3）根据“梦想三角形”的定义，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）当108︒是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36︒，第三个内角原式36︒，故最小的内角是36︒，
当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54︒，18︒，最小的内角是18︒ 故答案为：36︒或18︒．
（2）结论：AOB
∆、AOC
∆都是“梦想三角形”．
理由：AB OM
⊥，90
OAB
∴∠=︒，
9030
ABO MON
∴∠=︒-∠=︒，
3
OAB ABO
∴∠=∠，
AOB
∴∆为“梦想三角形”，
60
MON
∠=︒，80
ACB
∠=︒，ACB OAC MON
∠=∠+∠，806020
OAC
∴∠=︒-︒=︒，
3
AOB OAC
∴∠=∠，
AOC
∴∆是“梦想三角形”．
（3）解：180
EFC BDC
∠+∠=︒，180
ADC BDC
∠+∠=︒，EFC ADC
∴∠=∠，
//
AD EF
∴，
DEF ADE
∴∠=∠，
DEF B
∠=∠，
B ADE
∴∠=∠，
//
DE BC
∴，
CDE BCD
∴∠=∠，
DE平分ADC
∠，
ADE CDE
∴∠=∠，
B BCD
∴∠=∠，
BCD
∆是“3倍角三角形”，
3
BDC B
∴∠=∠，或3
B BDC
∠=∠，
180
BDC BCD B
∠+∠+∠=︒，
36
B
∴∠=︒或
540
()
7
B
∠=︒．
【点评】本题考查三角形内角和定理，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。