2020年华师一附中4月月考高一数学试题
广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填在答题卷上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题0:p x ∈R ，01x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∈R ，1x ≤B ．x ∀∈R ，1x ≤C ．x ∀∈R ，1x <D ．x ∈R ，1x <2．设集合{}220M x x x =-≥，N x y ⎧⎫==⎨⎩，则M N 等于（ ）A ．(]1,0-B ．[]1,0-C ．[)0,1D ．[]0,13．已知命题:0p a b >>，命题:q a b a b +<+，则命题p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一次马拉松决定中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．13 14 150 0 3 4 5 6 6 8 8 81 1 12 2 23 34 45 5 5 0 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为130~号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[]130,151上的运动员人数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知()2tan π3α-=-，则()()()cos 3sin πcos π9sin αααα-++-+的值为（ ） A ．37-B ．15-C ．15D ．376．函数()()π2sin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()17π012f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1+D ．1 7．函数331x x y =-的图像大致是（ ）8．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12- C ．2- D ．29．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（ ）A ．50元B ．60元C ．70元D ．100元10．定义运算：,,a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C ．⎤⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦11．已知函数()1ln sin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式()()2240f a f a -+-<的解集是（ ）A ．)2B ．()3,2-C ．()1,2D ．12．已知t 为常数，函数()()21ln f x x t x =-+有两个极值点a 、()b a b <，则（ ）A ．()12ln 24f b ->B ．()12ln 24f b -<C ．()12ln 24f b +>D ．()13ln 24f b -<第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知23x=，48log 3y =，则2x y +=__________． 14．在区间[]0,9上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为__________． 15．若函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，则下列结论中正确的序号是__________． ①图像C 关于直线11π12x =对称； ②图像C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭内不是单调的函数； ④由3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且sin cos 22αα+=（1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 18．（本小题满分12分）已知函数()π1cos sin cos 264f x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求()f x 单调递增区间； （2）求()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）某人的手机使用的是每有300M 流量套餐，如图记录了某人在去年1月到12月的流量使用情况．其中横轴代表月份，纵轴代表流量．（1）若在一年中随机取一个月的流量使用情况，求使用流量不足180M 的概率；（2）若从这12个月中随机选择连续的三个月进行观察，求所选三个月的流量使用情况中，中间月的流量使用情况低于另两月的概率；（3）由折线图判断从哪个月开始，连续四个月的流量使用的情况方差最大．（结论不要求证明） 20．（本小题满分12分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品()04x x <≤万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x -万元，且每万件国家给予补助2ln 12e x e x x--万元．（e 为自然对数的底数） （1）写出月利润()f x （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式；（2）当月生产量在[]1,4万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）．（注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本）． 21．（本小题满分12分）已知函数()212xm f x e x mx =---． （1）当1m =时，求证：对[)0,x ∀∈+∞时，()0f x ≥； （2）当1m ≤时，讨论函数()f x 零点的个数． 22．（本小题满分10分） 已知()13f x x x =-+-． （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若()2f x m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题 BCACBB CDCDAA11．【解析】因为函数()1lnsin 1x f x x x +=+-的定义域为()101,11x x x ⎧+⎫>=-⎨⎬-⎩⎭，且()()0f x f x -+=，所以函数()1lnsin 1xf x x x+=+-为奇函数， 又()2ln 1sin 1f x x x ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭在()1,1-上为增函数，则()()2240f a f a -+-<可化为()()()2422f a f a f a -<--=-，则2214112142a a a a ⎧-<-<⎪-<-<⎨⎪-<-⎩2a <<．12．【解析】()()22221t x x tf x x x x-+'=-+=设()222g x x x t =-+为对称轴为12x =，开口向上的抛物线 则()g x 在()0,+∞上有两个相异实根a 、()112b a b b <⇒<<，2222022b b t t b b -+=⇒=-+∴()()()2221ln 2ln f b b t b b b b b =-+=--∴()()()()()21221ln 21221ln 0f b b b b b b b '=-----=-->，112b << ∴()f b 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数()()12ln 211042f f b f -⎛⎫⇒=<<= ⎪⎝⎭．二、填空题 13．314．2915．4 16．①②16．【解析】对于①：若函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为()π5π26k x k =+∈Z ， 当1k =时，11π12x =，故①正确； 对于②，若函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称中心为()ππ,026k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，当1k =时，对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确； 对于③，函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，故③错； 对于④，3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度后得到的函数解析式为π2π3sin 23sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错．所以应填①②．三、解答题17．【解析】（1）因为sincos22αα+=， 两边同时平方，得1sin 2α=．又ππ2α<<，所以cos α=． （2）∵ππ2α<<，ππ2β<<， ∴ππ2β-<-<-，故ππ22αβ-<-<．又()3sin 5αβ-=-，得()4cos 5αβ-==()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦4133252510⎛⎫=-+⨯-=-⎪⎝⎭． 18．【解析】（1）()ππ1cos sin coscos sin cos 2664f x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭211sin cos cos 224x x x x =+--()112cos 21cos 244x x x =++--3πsin 2cos 2sin 24423x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 由ππππ5π2π22πππ2321212k x k k x k -≤-≤+⇒-≤≤+∴()f x 递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）∵πππ2ππ,2,64336x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()max f x =()min f x = 19．【解析】（1）设流量不足150M 为事件A ，这一年共有12个月， 其中1月，2月，3月，4月，9月，11月共6个月流量不足180M ， ∴()61122P A ==． （2）设所选三个月的流量使用情况中，中间月的流量使用情况低于另两月为事件B ，在这一年中随机取连续三个月的使用流量，有()1,2,3，()2,3,4，()3,4,5，()4,5,6，()5,6,7，()6,7,8，()7,8,9，()8,9,10，()9,10,11，()10,11,12，共10种取法，…，其中()2,3,4，()6,7,8，()8,9,10，()10,11,124种情况满足条件， ∴()42105P B ==． （3）9月，10月，11月，12月这四个月的流量使用情况方差最大． 20．【解析】（1）由于：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本，可得()()()22ln 14221212ln 204e x f x x x e x e x e x x x x ⎛⎫=-+----=-++--<≤ ⎪⎝⎭（2）由()()2212ln 2f x x e x e x =-++--，[]1,4x ∈，则()()()()()2122210x x e e f x x e x x x--'=-++-=-> 列表如下：∴x e =时，()()2max 2f x f e e ==-答：月生产量在[]1,4万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为22e -，此时的月生产量值为e （万件）．21．【解析】（1）当1m =时，()212xx f x e x =---，则()1x f x e x '=--，()1x f x e '=- 当0x ≥时，10xe -≥，即()0f x '≥，∴函数()f x '在[)0,+∞上为增函数⇒当0x ≥时，()()00f x f ''≥=∴函数()212xx f x e x =---在[)0,+∞上为增函数， ∴当1m =时，对[)0,x ∀∈+∞，()()00f x f ≥=恒成立． （2）显然()00f =()x f x e mx m '=--，()x f x e m ''=-1︒ 当01m <≤时，()0ln f x x m ''=⇒=(),ln x m ∈-∞，()0f x ''<，()f x 递减；()ln ,x m ∈+∞，()0f x ''>，()f x 递增∴()()()ln min ln ln ln mf x f m e m m m m m f x ''==--=-≥⇒为增函数()f x ⇒只有一个零点0x =2︒ 当0m =时，()()0x f x e f x '=>⇒为增函数()f x ⇒只有一个零点0x =3︒ 当0m <时，()()0f x f x '''≥⇒为增函数()110f e -'-=>，∵111e m--<- ∴1111111110e m e e e f e m m e m m m m m ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=---<---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴101,1e x m -⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，()00f x '=()0,x x ∈-∞，()0f x '<，()f x 递减；()0,x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增∴()f x 在R 上最多有两个零点． 由()00f =∵()01,x -∈+∞，∴()()100f f -<= ∴()f x 在()1,-+∞有且只有一个零点又2111112m f e m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211102m m ⎛⎫⎛⎫>---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x在1,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭也有一个零点∴()f x 在R 上有两个零点．综上，当01m ≤≤时，函数()y f x =有且仅有一个零点； 当0m <时，函数()y f x =有两个零点．22．【解析】（1）() 24, 32, 1324, 1x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-+<⎩，由()4f x ≤可得04x ≤≤∴不等式的解集为{}04x x ≤≤．（2）由（1）知()f x 的最小值为2，∴()2f x m m >+恒成立等价于22m m >+，即220m m +-<， ∴21m -<<，∴实数m 的取值范围是()2,1-．。
2020届高一下期4月月考数学试题(卷)与答案解析
WORD格式可编辑2020届高一下期4月月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A. {1}B. {1，2}C. {0，1，2，3}D. {-1，0，1，2，3}2.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 1或23.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 34.在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（）A. B. π C. 2π D. 4π5.方程2x+x=2的解所在区间是（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）6.角α的终边经过点（2，-1），则sinα+cosα的值为（）A. -B.C. -D.7.已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°8.已知向量，的夹角为60°，且||=||=1，则|+|等于（）A. 3B.C. 2D. 19.已知，是不共线向量，=2+，=-+3，=λ-，且A，B，D三点共线，则实数λ等于（）A. 3B. 4C. 5D. 610.已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=、=、=、则①；②；③；④=其中正确的等式个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 411.向量，，且∥，则cos2α=（）A. B. C. D.12.函数y=sin x+cos x的最小值为（）A. 1B. 2C.D. -2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，若∥，则k= ______ ．14.向量=（2，3）在向量=（3，-4）方向上的投影为______．15.函数f（x）=log cos（2x-）的单调递增区间为______ ．16.已知函数f（x）=x2-|x|+a，若存在x1，x2，x3，x4（x1，x2，x3，x4互不相同），使f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=1，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知向量，满足||=2，||=1，向量=2-，=+3．（1）若与的夹角为60°，求|-|的值；（2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．18.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长．19.已知函数．（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．WORD格式可编辑20.设向量=（sin x，-1），=（cos x，-），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c cos A=2b cos A．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积S．22.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6海里，渔船乙以5 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．答案和解析【答案】1. C2. C3. D4. B5. A6. D7. A8. B9. C10. B11. D12. D13. 614.15. （kπ+，kπ+）（k∈Z）16. （1，）17. 解：（1）=2×1×cos60°=1．∴|-|2=2-2+2=3．∴|-|=．（2）∵⊥，∴•=0，即（2-）•（+3）=22+5-32=8+10cosθ-3=0．∴cosθ=-．∴θ=120°．18. 解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=-，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=319. （1）解：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，==．∵x1-x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，WORD格式可编辑故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为，最小值为．20. 解：（1）∵=（sin x，-1），=（cos x，-），∴f（x）=（+）•=（sin x+cos x，-）•（sin x，-1）=sin2x+sin x cos+=（1-cos2x）+sin2x+=sin2x-cos2x）+2=sin（2x-）+2，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+，故函数的递增区间是[kπ-，kπ+]；（2）∵x∈（0，），∴2x-∈（-，），故sin（2x-）的最大值是1，sin（2x-）＞sin（-）=-，故函数的最大值是3，最小值大于，即函数的值域是（，3]．21. 解：（1）在△ABC中，∵a cos C+c cos A=2b cos A，∴sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos A，∴sin（A+C）=sin B=2sin B cos A，∵sin B≠0，∴，可得：．（2）∵，，∴b2+c2=bc+4，可得：（b+c）2=3bc+4=10，可得：bc=2．∴．22. 解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=6，AC=5×2=10，∠BCA=α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos120°=196．解得BC=14，所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为7海里/小时．（2）在△ABC中，因为AB=6，∠BAC=120°，BC=14，∠BCA=α，由正弦定理，得．即．答：sinα的值为．【解析】1. 解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2. 解：∵幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，∴，解得m=2．故选：C．利用幂函数的定义及性质列出方程组，由此能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的定义及性质的合理运用．3. 解：∵a=，c=2，cos A=，∴由余弦定理可得：cos A===，整理可得：3b2-8b-3=0，∴解得：b=3或-（舍去）．故选：D．由余弦定理可得cos A=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4. 解：在△ABC中，，A=75°，B=45°，∴C=180°-A-B=60°，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R==，解得R=1，故△ABC的外接圆面积S=πR2=π，故选：B．由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积．本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题．5. 解：令f（x）=2x+x-2，A、由f（0）=-1，f（1）=2+1-2=1知，f（0）f（1）＜0，故A正确；B、由f（2）=4+2-2=4，f（1）=2+1-2=1知，f（2）f（1）＞0，故B不正确；C、由f（2）=4+2-2=4，f（3）=8+3-2=9知，f（2）f（3）＞0，故C不正确；D、由f（4）=16+4-2=18，f（3）=8+3-2=9知，f（2）f（3）＞0，故D不正确；故选A．构造函数f（x）=2x+x-2，分别计算区间端点的函数值，再验证是否符合函数零点存在的判定内容．WORD格式可编辑本题考查了函数零点的判定定理应用，一般的方法是把方程转变为对应的函数，求出区间端点的函数值，并验证它们的符号即可．6. 解：∵已知角α的终边经过点（2，-1），则x=2，y=-1，r=，∴sinα=-，cosα=，∴sinα+cosα=-，故选D．由题意可得x=2，y=-1，r=，可得sinα和cosα的值，从而求得sinα+cosα 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．7. 解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8. 解：∵向量，的夹角为60°，且||=||=1，∴|+|====．故选：B．由已知结合，展开平方，代入平面向量数量积公式得答案．本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．9. 解：∵A，B，D三点共线，∴=β，（β为实数），∵=2+，=-+3，=λ-，∴=（λ-1），∴=，解得，λ=5．故选：C．由A，B，D三点共线，得=β，（β为实数），由此能求出实数λ．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则、共线向量的性质的合理运用．10. 解：①∵E、F分别为△ABC的边CA、AB的中点，∴==（+ ）=+ ，故①错误，②==+，故②正确，③==+，故③错误，④=（-）+（-）+（-）=，故④正确，故正确是②④，共有2个，故选：B根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．本题主要考查向量的加法和加法的运算，根据三角形法则是解决本题的关键．11. 解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1-2sin2α=1-=故选：D根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．12. 解：∵y=sin x+cos x=2（sin x+cos x）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=-1时，函数y取得最小值-2．故选：D．利用两角和的正弦公式即可化为a sin x+b cos x=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．本题属于基础题，熟练掌握两角和的正弦公式化a sin x+b cos x=sin（x+θ）、及正弦函数的单调性、最值是解题的关键．13. 解：∵∴=（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）=2（2，1）-（k，3）=（4-k，-1）∵∥∴（2+2k）×（-1）=7（4-k），WORD格式可编辑∴k=6故答案为6．先根据向量的线性运算可求得与，再由∥可得到（2+2k）×（-1）=7（4-k），进而可求得k的值．本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算．考查基础知识的综合应用和灵活能力．考查对向量的掌握程度和计算能力．14. 解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为||cos＜，＞===-．故答案为：．根据投影的定义，应用公式在方向上的投影为||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．15. 解：∵对于函数g（x）=cos（2x-）的单调减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π，即kπ+≤x≤kπ+，而cos（2x-）＞0，故函数g（x）的单调减区间为（kπ+，kπ+）（k∈Z），根据复合函数的同增异减的原则，得：f（x）在（kπ+，kπ+）（k∈Z）递增，故答案为：（kπ+，kπ+）（k∈Z）．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时2x-的范围，进而求得x的范围，求得函数f（x）的单调递增区间即可．本题主要考查了余弦函数的单调性．考查了学生对三角函数基础知识的理解和把握．16. 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得1．故答案为：（1，）在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象，观察有四个交点的情况即可得到．本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．17. （1）求出，对|-|取平方计算；（2）由⊥得•=0，列出方程解出cosθ，得到θ的值．本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．18. （Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19. （1）利用函数的单调性的定义证明即可．（2）利用函数的单调性，求解函数的最值即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．20. （1）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；（2）求出（2x-）的范围，从而确定f（x）的范围，化简函数，可得函数的值域．本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21. （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sin B=2sin B cos A，结合sin B≠0，可求cos A，进而可求A的值．（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22. （1）在△ABC中使用余弦定理计算BC，从而得出渔船甲的速度；（2）在△ABC中，使用正弦定理计算∠BCA，从而得出sinα．本题考查了正余弦定理在三角形中的实际应用，属于中档题．。
2020学年高一数学4月月考试题含解析
宾川四中2017-2018学年度下学期4月月考高一数学试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项是正确的）1.1.已知集合，则=( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据交集的定义求出即可.解析：根据交集的定义，.故选：B.点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．2.2.函数与的定义域分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域分别求得集合，然后根据并集的定义，即可求得结果.【详解】由题可知，，；，即.故选D.【点睛】本题考查函数定义域的求解和并集的定义，重点考查学生对基本概念的理解和计算能力，属于基础题.3.3.设函数，则当时，的取值为（）A. -4B. 4C. -10D. 10【答案】C【解析】令，则，选C.4.4.半径为，中心角为动点扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为πcm弧长为故选：A.5.5.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案. 【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，在区间上是单调增函数，区间在对称轴的右面，即，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.6.6.下列说法中错误的是( )A. 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B. 若向量与不共线，则与都是非零向量C. 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D. 方向相反的两个非零向量必不相等.【答案】C【解析】选项A中，有向线段是线段，因此位置是固定的，而向量是可自由平移的，但向量可用有向线段表示．故A正确．选项B中，由于零向量与任意向量共线，所以向量与不共线时，则与都应是非零向量，故B正确．选项C中，方向相反的两个向量一定共线，故C错误．选项D中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等．故D正确．选C．点睛：向量与有向线段的关系（1）有向线段是具有方向和大小的线段，它的位置受两端点的限制；而向量也是有大小和方向的量，但向量可自由平移，且平移前后两向量为相等向量，所以有向线段和向量是两个不同的概念．（2）向量可用有向线段来表示，以体现向量具有方向和大小两方面的性质．7.7.若角是第三象限角，则点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】角是第三象限角，所以，所以点在第四象限.故选D.8.8.已知为第二象限角，则的值是（）A. -1B. 1C. -3D. 3【答案】B【解析】∵为第二象限角，∴。
2020届高一下期4月月考数学试题及答案
2020届高一下期4月月考数学试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A. {1}B. {1，2}C. {0，1，2，3}D. {-1，0，1，2，3}2.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 1或23.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 34.在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（）A. B. π C. 2π D. 4π5.方程2x+x=2的解所在区间是（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）6.角α的终边经过点（2，-1），则sinα+cosα的值为（）A. -B.C. -D.7.已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°8.已知向量，的夹角为60°，且||=||=1，则|+|等于（）A. 3B.C. 2D. 19.已知，是不共线向量，=2+，=-+3，=λ-，且A，B，D三点共线，则实数λ等于（）A. 3B. 4C. 5D. 610.已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=、=、=、则11.①；12.②；13.③；14.④=15.其中正确的等式个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 416.向量，，且∥，则cos2α=（）A. B. C. D.17.函数y=sin x+cos x的最小值为（）A. 1B. 2C.D. -2二、填空题（本大题共4小题，共分）18.已知，若∥，则k= ______ ．19.向量=（2，3）在向量=（3，-4）方向上的投影为______．20.函数f（x）=log cos（2x-）的单调递增区间为______ ．21.已知函数f（x）=x2-|x|+a，若存在x1，x2，x3，x4（x1，x2，x3，x4互不相同），使f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=1，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共分）22.已知向量，满足||=2，||=1，向量=2-，=+3．23.（1）若与的夹角为60°，求|-|的值；24.（2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．25.26.27.28.29.30.31.32.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．33.（Ⅰ）求cos∠CAD的值；34.（Ⅱ）若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长．35.36.37.38.39.已知函数．40.（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；41.（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．42.43.44.45.46.47.48.49.设向量=（sin x，-1），=（cos x，-），函数f（x）=（+）•．50.（1）求函数f（x）的单调递增区间；51.（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．52.53.54.55.56.57.58.59.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c cos A=2b cos A．60.（1）求角A的值；61.（2）若，求△ABC的面积S．62.63.64.65.66.67.68.69.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6海里，渔船乙以5 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．70.（1）求渔船甲的速度；71.（2）求sinα的值．72.73.74.75.答案和解析【答案】1. C2. C3. D4. B5. A6. D7. A8. B9. C10. B11. D12. D13. 614.15. （kπ+，kπ+）（k∈Z）16. （1，）17. 解：（1）=2×1×cos60°=1．∴|-|2=2-2+2=3．∴|-|=．（2）∵⊥，∴•=0，即（2-）•（+3）=22+5-32=8+10cosθ-3=0．∴cosθ=-．∴θ=120°．18. 解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=-，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=319. （1）解：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，==．∵x1-x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为，最小值为．20. 解：（1）∵=（sin x，-1），=（cos x，-），∴f（x）=（+）•=（sin x+cos x，-）•（sin x，-1）=sin2x+sin x cos+=（1-cos2x）+sin2x+=sin2x-cos2x）+2=sin（2x-）+2，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+，故函数的递增区间是[kπ-，kπ+]；（2）∵x∈（0，），∴2x-∈（-，），故sin（2x-）的最大值是1，sin（2x-）＞sin（-）=-，故函数的最大值是3，最小值大于，即函数的值域是（，3]．21. 解：（1）在△ABC中，∵a cos C+c cos A=2b cos A，∴sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos A，∴sin（A+C）=sin B=2sin B cos A，∵sin B≠0，∴，可得：．（2）∵，，∴b2+c2=bc+4，可得：（b+c）2=3bc+4=10，可得：bc=2．∴．22. 解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=6，AC=5×2=10，∠BCA=α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos120°=196．解得BC=14，所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为7海里/小时．（2）在△ABC中，因为AB=6，∠BAC=120°，BC=14，∠BCA=α，由正弦定理，得．即．答：sinα的值为．【解析】1. 解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2. 解：∵幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，∴，解得m=2．故选：C．利用幂函数的定义及性质列出方程组，由此能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的定义及性质的合理运用．3. 解：∵a=，c=2，cos A=，∴由余弦定理可得：cos A===，整理可得：3b2-8b-3=0，∴解得：b=3或-（舍去）．故选：D．由余弦定理可得cos A=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4. 解：在△ABC中，，A=75°，B=45°，∴C=180°-A-B=60°，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R==，解得R=1，故△ABC的外接圆面积S=πR2=π，故选：B．由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积．本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题．5. 解：令f（x）=2x+x-2，A、由f（0）=-1，f（1）=2+1-2=1知，f（0）f（1）＜0，故A正确；B、由f（2）=4+2-2=4，f（1）=2+1-2=1知，f（2）f（1）＞0，故B不正确；C、由f（2）=4+2-2=4，f（3）=8+3-2=9知，f（2）f（3）＞0，故C不正确；D、由f（4）=16+4-2=18，f（3）=8+3-2=9知，f（2）f（3）＞0，故D不正确；故选A．构造函数f（x）=2x+x-2，分别计算区间端点的函数值，再验证是否符合函数零点存在的判定内容．本题考查了函数零点的判定定理应用，一般的方法是把方程转变为对应的函数，求出区间端点的函数值，并验证它们的符号即可．6. 解：∵已知角α的终边经过点（2，-1），则x=2，y=-1，r=，∴sinα=-，cosα=，∴sinα+cosα=-，故选D．由题意可得x=2，y=-1，r=，可得sinα和cosα的值，从而求得sinα+cosα 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．7. 解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8. 解：∵向量，的夹角为60°，且||=||=1，∴|+|====．故选：B．由已知结合，展开平方，代入平面向量数量积公式得答案．本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．9. 解：∵A，B，D三点共线，∴=β，（β为实数），∵=2+，=-+3，=λ-，∴=（λ-1），∴=，解得，λ=5．故选：C．由A，B，D三点共线，得=β，（β为实数），由此能求出实数λ．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则、共线向量的性质的合理运用．10. 解：①∵E、F分别为△ABC的边CA、AB的中点，∴==（+ ）=+ ，故①错误，②==+，故②正确，③==+，故③错误，④=（-）+（-）+（-）=，故④正确，故正确是②④，共有2个，故选：B根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．本题主要考查向量的加法和加法的运算，根据三角形法则是解决本题的关键．11. 解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1-2sin2α=1-=故选：D根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求c os2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．12. 解：∵y=sin x+cos x=2（sin x+cos x）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=-1时，函数y取得最小值-2．故选：D．利用两角和的正弦公式即可化为a sin x+b cos x=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．本题属于基础题，熟练掌握两角和的正弦公式化a sin x+b cos x=sin（x+θ）、及正弦函数的单调性、最值是解题的关键．13. 解：∵∴=（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）=2（2，1）-（k，3）=（4-k，-1）∵∥∴（2+2k）×（-1）=7（4-k），∴k=6故答案为6．先根据向量的线性运算可求得与，再由∥可得到（2+2k）×（-1）=7（4-k），进而可求得k的值．本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算．考查基础知识的综合应用和灵活能力．考查对向量的掌握程度和计算能力．14. 解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为||cos＜，＞===-．故答案为：．根据投影的定义，应用公式在方向上的投影为||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．15. 解：∵对于函数g（x）=cos（2x-）的单调减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π，即kπ+≤x≤kπ+，而cos（2x-）＞0，故函数g（x）的单调减区间为（kπ+，kπ+）（k∈Z），根据复合函数的同增异减的原则，得：f（x）在（kπ+，kπ+）（k∈Z）递增，故答案为：（kπ+，kπ+）（k∈Z）．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时2x-的范围，进而求得x的范围，求得函数f（x）的单调递增区间即可．本题主要考查了余弦函数的单调性．考查了学生对三角函数基础知识的理解和把握．16. 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得1．故答案为：（1，）在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象，观察有四个交点的情况即可得到．本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．17. （1）求出，对|-|取平方计算；（2）由⊥得•=0，列出方程解出cosθ，得到θ的值．本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．18. （Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19. （1）利用函数的单调性的定义证明即可．（2）利用函数的单调性，求解函数的最值即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．20. （1）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；（2）求出（2x-）的范围，从而确定f（x）的范围，化简函数，可得函数的值域．本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21. （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sin B=2sin B cos A，结合sin B≠0，可求cos A，进而可求A的值．（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22. （1）在△ABC中使用余弦定理计算BC，从而得出渔船甲的速度；（2）在△ABC中，使用正弦定理计算∠BCA，从而得出sinα．本题考查了正余弦定理在三角形中的实际应用，属于中档题．。
湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一上学期第二次月考数学试题含答案
华中师大一附中2021-2022学年度第一学期第二次月考高一数学满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（）A ．3πB ．3π-C ．6πD ．6π-2．cos 210︒=（）A ．B ．12-C ．12D 3．已知α是第二象限角，5tan 12α=-，则cos α=（）A ．1213B ．1213-C ．513D ．513-4．设0.22a =，0.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<5．在用二分法求方程3x +3x ﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><，则方程的根落在区间（）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定6．函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为（）A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞-7．幂函数()()222af x a a x =--在()0,∞+上单调递增，则()()11x ag x b b +=+>过定点（）A ．()1,1B ．()1,2C ．()3,1-D ．()3,2-8．已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．33a b >C ．()ln 0a b ->D ．31a b -<9．函数()()21sin f x x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C．D．10．已知函数()()()3,2,log 13,2,xa a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（）A．)32⎡⎣B．-C．(D ．()1,211．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI t N e =（其中0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（）A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.512．定义在()0,+¥上的单调函数()f x 对任意的()0,x ∈+∞都有()()3log 4f f x x -=，则不等式()224f aa +>的解集为A ．{|3a a <-或1}a >B ．{}|1a a >C ．{}|31a x -<<D ．{}|3a a <-二、填空题13．计算：102293(425)34lg lg -⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________．14．已知函数()()223,1lg 1,1x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<，则[](3)f f -＝________；15．若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.16．下列各式：①(122⎡⎤⎢⎥⎣⎦②已知2log 13<a，则23a >；③函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于y 轴对称；④函数()f x =R ，则m 的取值范围是04m ≤≤．其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上）．三、解答题17．已知集合12324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{16}B x x =-≤≤（Ⅰ）求A B（Ⅱ）若{}11C x m x m =-≤≤+，且C A ⊆，求实数m 的取值范围．18．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．19．已知奇函数()221x f x a =-+（a 为常数）．(1)求a 的值；(2)若函数()()()21xg x f x k =+-有2个零点，求实数k 的取值范围；20．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，函数的解析式为()2210f x x x =-．(1)求当0x <时，函数的解析式；(2)设函数()f x 在[](),10x t t t ∈+≥上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．21．已知某零件在20周内周销售价格y （元）与时间t （周）()020t ≤≤的函数关系近似如图所示（图象由两条线段组成），且周销售量()g t 近似满足函数()1604g t t =-（件）.（1）根据图象求该零件在20周内周销售价格y （元）与时间t （周）的函数关系式()y f t =；（2）试问这20周内哪周的周销售额最大？并求出最大值.（注：周销售额=周销售价格⨯周销售量）22．已知函数()2()log 2()xf x k k R =+∈的图象过点(0,2)P ．（1）求k 的值并求函数()f x 的值域；（2）若函数1()2()22xf x h x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⋅，则是否存在实数a ，对任意14[]0,x ∈，存在2[0,2]x ∈使()()122h x f x ≥+成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B 【分析】由分针拨快10分钟知，分针顺时针旋转即为负角，且角度为圆周的1060，即可求得弧度.【详解】将分针拨快，即分针顺时针旋转，∴分针转过的角度为10π2π603-⨯=-.故选：B.2．A 【分析】直接利用诱导公式化简即得解.【详解】3cos210cos(18030)cos302︒=+=-= .故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B 【解析】先由α是第二象限角，得cos 0α<；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果.【详解】因为α是第二象限角，所以cos 0α<，又5tan 12α=-，所以22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，因此2225cos cos 1144αα+=，即2144cos 169α=，所以12cos 13α=-.故选：B.4．D 【分析】以“1”作为中间量，再结合指数函数和对数函数的单调性即可得到答案.【详解】因为00.30.3.20122221a b -=⎛⎫==> ⎪⎝⎭>=，0.20.2log 0.3log 0.21c =<=，所以c a b <<.故选：D.5．B 【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.【详解】∵f （1）<0，f （1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数()f x =3x +3x ﹣8存在一个零点又∵f （1.5）>0，f （1.25）<0，∴在区间（1.25，1.5）内函数()f x =3x +3x ﹣8存在一个零点，由此可得方程3380x x +-=的根落在区间（1.25，1.5）内，故选：B6．D 【分析】求出函数()()212log 4f x x =-的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的增区间.【详解】对于函数()()212log 4f x x =-，有240x ->，解得2x <-或2x >，故函数()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞ ，内层函数24u x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，由复合函数的单调性可知，函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-.故选：D.7．D 【解析】利用已知条件得到2221a a --=求出a 的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.【详解】由题意得：22211a a a --=⇒=-或3a =，又函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则3a =，则()()311x g x bb +=+>，当303x x +=⇒=-时，()32g -=，则()()11x ag x b b +=+>过定点()3,2-.故选：D.8．B 【分析】由对数函数的单调性可得0b a <<，然后利用反比例函数的单调性可以判断A ，利用指数函数的单调性可判断B ，利用特值可判断C ，由指数函数的性质可以判断D.【详解】12log y x = 为定义在()0,∞+上的单调减函数，故由已知1122log log a b <可得0b a <<，∵反比例函数1y x=在()0,∞+上单调递减，∴11a b<，故A 错误；∵函数3x y =在R 上单调递增，∴33a b >，故B 正确；取1,0.1a b ==，则0b a <<成立，但ln()0-<a b ，故C 错误.由0b a <<得，0a b ->可得0331a b >=－，故D 错误.故选：B.9．A 【解析】分析函数()f x 的奇偶性，以及当01x <<时，()f x 的符号，以及()f π的值，由此可得出合适的选项.【详解】函数()()21sin f x x x =-的定义域为R ，()()()()()221sin 1sin f x x x x x f x ⎡⎤-=--⋅-=--=-⎣⎦，函数()f x 为奇函数，当01x <<时，210x -<，sin 0x >，此时()0f x <，且()0f π=，故函数()f x 的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．A 【解析】根据题中条件，分别保证每段都单调递增，且必须满足()()23log 213a a -≤-+，进而可求解出结果.【详解】因为函数()()()3,2log 13,2xa a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，所以()()23113log 213a a a a ⎧->⎪⎪>⎨⎪-≤-+⎪⎩解得：32≤<a 故选：A.11．B 【解析】根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rtN e N =，求解t 值得答案【详解】解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =，所以0.40()tI t N e=，由0()2I t N =，得0.4002tN e N =，则0.42t e =，两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.691.70.40.4t =≈≈，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题12．A 【详解】令()04f x =，则()30log f x x x -=，所以()30log f x x x =+，又因为()04f x =，所以300log 4x x +=，解得03x =，可得()3log 3f x x =+，所以()f x 是增函数，由()224f a a +>，则()()223f a a f +>，所以223a a +>，解得31a a 或-．故本题选A ．13．5.【分析】利用指数的运算运算性质和对数的运算性质直接计算即可.【详解】()10229342534lg lg -⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()213lg 4253=+⋅+⋅122=++5=.故答案为5.【点睛】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用.14．0【分析】将-3代入方程，可得(3)1f -=，将1代入方程，即可得答案.【详解】由题意得：(3)lg101f -==，所以[(3)](1)1230f f f -==+-=.故答案为：015．3【解析】由()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，列方程组，求出42()133f x x x =++，由此能求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【详解】解：()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴12()21122()1f x f x x ff x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得42()133f x x x=++，∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯．故答案为：3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．①③④【分析】根据指数运算法则，利用对数函数的单调性，指数函数的图象，以及不等式恒成立求参数范围的方法，对每一项进行逐一分析，即可选择.【详解】①：根据指数运算法则，(122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②：2log 13a<，也即2log log 3a a a <，当1a >时，由log a y x =为单调增函数，解得：23a >；当01a <<时，由log a y x =为单调减函数，解得23a <；综上所述，()20,1,3a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭；故错误；③：函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于y 轴对称，故正确；④：函数()f x =R ，也即：210mx mx ++≥对任意的x R ∈恒成立，当0m =时，显然成立，故满足题意；当0m ≠时，要满足题意，只需0m >且240m m =-≤ ，解得：04m <≤；综上：[]0,4m ∈.故正确.故正确的是：①③④.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查知识点较多，侧重于细节的考察；其中对指数不等式，一定要注意对底数的分类讨论；对20ax bx c ++≥型的不等式，要注意二次项系数是否为零的讨论；本题考察学生的计算能力、逻辑思维能力，17．（Ⅰ）{}15x x -≤≤；（Ⅱ）3m ≤．【解析】（Ⅰ）由指数不等式可得{}25A x x =-≤≤，再由交集的概念即可得解；（Ⅱ）由集合间的关系，按照C =∅、C ≠∅分类，运算即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意，12324x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭{}25x x =-≤≤，{16}B x x =-≤≤，∴A B {}15x x =-≤≤；（Ⅱ）∵{}11C x m x m =-≤≤+，且C A ⊆，①当C =∅时，有11m m ->+，∴此时0m <，②当C ≠∅时，则有111215m mm m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m ≤≤，综上可知，实数m 的取值范围为3m ≤.18．(1)(2)2【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可；（2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可.(1)因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==.(2)原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++sin cossin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-，由（1）可得：tan θ=，代入上式可得：tan 12tan 1θθ+==-.19．(1)1(2)()0,1【分析】（1）由奇函数中()00f =求解即可；（2）函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，可转为为也即函数21xy =-与y k =的图象有两个交点，结合图象(1)由()221xf x a =-+是R 上的奇函数，可得()00f =，所以021021a a -=-=+，解得1a =，经检验满足奇函数，所以1a =；(2)函数()()()21xg x f x k =+-有2个零点，可得方程函数210x k --=有2个根，即21xk -=有2个零点，也即函数21xy =-与y k =的图象有两个交点，由图象可知()0,1k ∈所以实数k 得取值范围是()0,120．(1)()2210(0)f x x x x =+<；(2)()223268,022535,.2225210,2t t t g t t t t t ⎧--≤<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【分析】（1）根据0x ≥上的函数解析式，结合函数是偶函数，即可求得0x <时的解析式；（2）分类讨论二次函数的对称轴和定义域的关系，根据二次函数的性质，即可求得()g t .(1)令0x <，则0x ->；又当0x ≥时，()2210f x x x=-故可得()2210f x x x -=+，又()f x 是偶函数，故()()f x f x =-，则()2210f x x x =+.故当0x <时，()2210f x x x =+.(2)()2210f x x x =-，其对称轴为52x =，53()f x 在区间[],1t t +的最小值()()21268g t f t t t =+=--；当512t t ≤≤+时，即3522t ≤≤时，()f x 在区间[],1t t +的最小值()52522g t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当52t >时，()f x 在区间[],1t t +的最小值()()2210g t f t t t ==-.综上所述：()223268, 022535, 2225210, 2t t t g t t t t t ⎧--≤<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩.21．（1）260,010()2100,1020t t f t t t +≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，()t N ∈；（2）第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元.【解析】（1）根据图象，可得销售价格y （元）与时间t （周）的函数关系；（2）结合周销售量()g t 与时间t 之间的关系，可得周销售额函数，分段求最值，即可得到结论．【详解】解：（1）根据图象，销售价格y （元）与时间t （周）的函数关系为：260,010()2100,1020t t f t t t +≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，()t N ∈；（2）设20周内周销售额函数为()h t ，则()()()()2601604,010()()()21001604,1020t t t h t f t g t t t t ⎧+-≤<⎪==⎨-+-≤≤⎪⎩，若010t ≤<，t N ∈时，()()()2614060t t h t =-+，∴当5t =时，max ()9800h t =；若1020t ≤≤，t N ∈时，()()()21001604h t t t =--+，∴当10t =时，max ()9600h t =，因此，这种产品在第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元．【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（1）3k =；()2log 3,+∞（2）存在，0a ≤或4a ≥【解析】（1）因为函数()()()2log 2x f x k k R =+∈的图象过点()0,2P ，把点()0,2P 代入由(0)2f =即可求解.（2）对任意[]10,4x ∈，存在[]20,2x ∈使()()122h x f x ≥+成立，则()()12min 2h x f x ≥+，由()()2log 23x f x =+单调递增，求出2min ()2f x =，令[]221,4xt =∈，则[]2()23,1,4h t t at t =-+∈，即2234t at -+≥或者2234t at -+≤-恒成立在[]1,4t ∈上，分离参数即可求解.【详解】（1）因为函数()()()2log 2x f x k k R =+∈的图象过点()0,2P ，所以(0)2f =，即2log (1)2k +=，所以3k =，所以()()2log 23x f x =+，因为2x y =单调递增，所以()()2log 23x f x =+单调递增，因为233x +>，所以()()22log 23log 3x f x =+>，所以函数()f x 的值域为()2log 3,+∞.（2）由题意对任意[]10,4x ∈，存在[]20,2x ∈使()()122h x f x ≥+成立，则()()12min 2h x f x ≥+，由（1）知，当[]20,2x ∈时，()()2log 23x f x =+单调递增，所以2min ()2f x =，又()()11222222322223x x x f x x x h x a a a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅=+-⋅=-⋅+，[]10,4x ∈令[]221,4xt =∈，则[]2()23,1,4h t t at t =-+∈，所以2()234h t t at =-+≥，[]1,4t ∈恒成立，所以2234t at -+≥或者2234t at -+≤-恒成立在[]1,4t ∈上，即min 12()a t t ≤-或者max 72()a t t≥+令1()t t tφ=-，则()t φ在[]1,4t ∈上单调递增，所以min ()(1)0t φφ==所以20a ≤，即0a ≤令7()t t tϕ=+，函数()t ϕ在⎡⎣单调递减，在4⎤⎦单调递增，(1)178ϕ=+=，7(4)4(1)84ϕϕ=+<=所以max ()(1)8t ϕϕ==所以28a ≥即4a ≥综上所述，存在0a ≤或4a ≥，对任意[]10,4x ∈，存在[]20,2x ∈使()()122h x f x ≥+成立.【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
2020-2021高一数学4月月考试题
2020-2021高一数学4月月考试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知定义在上的奇函数满足：当时，，则( )A ．B ．C ．D ．3．若，，，则A ．B ．C ．D ．4．已知，则)42cos(πθ-=（ ）A ．B ．C ．D ．5．己知直线是函数与的图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向左平行移动个单位长度D ．向右平行移动个单位长度6．已知，且，则向量在方向上的投影为( )A ．B ．C ．1D ．7．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为 （ ）A ．1B ．C ．D ．9．若函数在区间和上均为增函数，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A ．358B ．3154C ．3152 D ．2 11．设当x θ=时，函数x x x f cos sin 2)(-=取得最大值，则cos θ=（ ）A ．255B ．55C ．255- D ．55- 12.在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，若是角的角平分线，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共90分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知为锐角，且，则______．14．函数的定义域为________。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三(下)3月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（下）3月月考数学试卷（理科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）设集合A={x|-1＜x ＜1}.B={y|y=x2.x∈A}.则A∩（∁R B ）=（ ） A.{x|0＜x ＜1} B.{x|-1＜x ＜0} C.{x|-1＜x ＜0} D.{x|-1＜x ＜1}2.（单选题.5分）i 是虚数单位.复数 1−3i1−i 的虚部是（ ） A.-1 B.-i C.-2 D.-2i3.（单选题.5分）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲.不破楼兰终不还”.其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题.5分）（理）已知圆心为O.半径为1的圆上有不同的三个点A 、B 、C.其中 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .存在实数λ.μ满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +uOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则实数λ.μ的关系为（ ） A.λ2+μ2=1 B. 1λ+1μ=1 C.λμ=1 D.λ+μ=15.（单选题.5分）如图是一个射击靶的示意图.其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶.设其命中10.9.8.7环的概率分别为P 1、P 2、P 3、P 4.则下列选项正确的是（ ）A.P1=P2B.P1+P2=P3C.P4=0.5D.P2+P4=2P36.（单选题.5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和.若S3S6 = 13.则S6S12=（）A. 310B. 13C. 18D. 197.（单选题.5分）2018年.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策.经济运行平稳增长.民生保障持续加强.惠民富民成效显著.城镇居民收入稳步增长.收入结构稳中趋优．据当地统计局公布的数据.现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图．现给出如下信息：① 10月份人均月收入增长率为2%；② 11月份人均月收入约为1442元；③ 12月份人均月收入有所下降；④ 从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高．其中正确的信息个数为（）A.1B.2C.3D.48.（单选题.5分）某多面体的三视图如图所示.其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形.侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形.俯视图为一矩形.则该多面体的外接球的表面积为（）A.7πB.8πC.9πD.10π9.（单选题.5分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1的左焦点为F.直线4x-3y+20=0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P.|OP|=|OF|.其中O为坐标原点.则双曲线C的离心率为（）A. 53B. 54C. √5D.510.（单选题.5分）函数f（x）= {√x+1，−1＜x＜02x，x≥0.若实数a满足f（a）=f（a-1）.则f（1a）=（）A.2B.4C.6D.811.（单选题.5分）若函数f（x）=sin（ωx+ π6）（ω＞0）在区间（π.2π）内没有最值.则ω的取值范围是（）A.（0. 112]∪[ 14. 23]B.（0. 16]∪[ 13. 23]C.[ 14 . 2 3 ]D.[ 13 . 23 ]12.（单选题.5分）设f n （x ）=1+x+x 2+…+x n （x ＞0）.其中n∈N .n≥2.则函数G n （x ）=f n （x ）-2在（ 12n .1）内的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.与n 有关13.（填空题.5分）若（x+a ）（1+2x ）5的展开式中x 3的系数为20.则a=___ ． 14.（填空题.5分）已知动点P 在椭圆 x 249+y 240=1 上.若点A 的坐标为（3.0）.点M 满足 |AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 .且 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .则 |PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值是___ ． 15.（填空题.5分）已知函数 f (x )=e x −1e x +1 .g （x ）=f （x-1）+1. a n =g (1n )+g (2n )+g (3n )+⋯+g (2n−1n)(n ∈N ∗) .则数列{a n }的通项公式为___ ．16.（填空题.5分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.点P 在线段BC 1上运动.有下列判断： ① 平面PB 1D⊥平面ACD 1； ② A 1P || 平面ACD 1；③ 异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是 (0，π3] ； ④ 三棱锥D 1-APC 的体积不变．其中.正确的是 ___ （把所有正确判断的序号都填上）．17.（问答题.12分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.已知b 2+c 2-a 2=accosC+c 2cosA ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S △ABC =25√34.且a=5.求sinB+sinC ．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.PC⊥底面ABCD.底面ABCD 是直角梯形.AB⊥AD .AB || CD.AB=2AD=2CD=2.E 是PB 上的点． （1）求证：平面EAC⊥PBC ；（2）若E 是PB 的中点.且二面角P-AC-E 的余弦值为 √63 .求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．19.（问答题.12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F.斜率为√2的直线交抛物线于A（x1.y1）.B（x2.y2）（x1＜x2）两点.且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1.l2.分别交曲线E于点C.D和M.N．设线段CD.MN 的中点分别为P.Q.求证：直线PQ恒过一个定点．20.（问答题.12分）某学校为了了解全校学生的体重情况.从全校学生中随机抽取了100人的体重数据.结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间.现将结果按如下方式分为6组：第一组[45.50）.第二组[50.55）.…第六组[70.75）.得到如图（1）所示的频率分布直方图.并发现这100人中.其体重低于55公斤的有15人.这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示.以样本的频率作为总体的概率．（Ⅰ）求频率分布直方图中a.b.c的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生.记X为体重在[55.65）的人数.求X的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为.该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ.σ2）.其中μ=60.σ2=25．若P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545.则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由21.（问答题.12分）设函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）（a∈R）．（1）当a=1时.求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对任意x∈[1.+∞）恒成立.求实数a的取值范围；（3）当θ∈(0，π2)时.试比较12ln(tanθ)与tan(θ−π4)的大小.并说明理由．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为{x=t2 2y=2t（t为参数）.曲线C2的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα（α为参数）.以O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ=π3.直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A.B两点.求|AB|的值．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-m|．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤4}.求实数m的值；（2）在（1）的条件下.若不等式f（x）+f（12x+3）≤8a+2b对一切满足a+b=2的正实数a.b恒成立.求x的取值范围．2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）设集合A={x|-1＜x＜1}.B={y|y=x2.x∈A}.则A∩（∁R B）=（）A.{x|0＜x＜1}B.{x|-1＜x＜0}C.{x|-1＜x＜0}D.{x|-1＜x＜1}【正确答案】：B【解析】：求出集合A.B.计算即可【解答】：解：集合A={x|-1＜x＜1}.B={y|y=x2.x∈A}=[0.1）.∁R B=（-∞.0）∪[1.+∞）.则A∩（∁R B）=（-1.0）.故选：B．【点评】：考查集合与集合的关系.集合的交并补运算.基础题．2.（单选题.5分）i是虚数单位.复数1−3i1−i的虚部是（）A.-1B.-iC.-2D.-2i【正确答案】：A【解析】：先化简复数z.然后由虚部定义可求．【解答】：解：1−3i1−i = (1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)= 4−2i2=2-i.∴复数1−3i1−i的虚部是-1.故选：A ．【点评】：该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念.属基础题．3.（单选题.5分）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲.不破楼兰终不还”.其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：返回家乡的前提条件是攻破楼兰.即可判断出结论．【解答】：解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件． 故选：B ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题． 4.（单选题.5分）（理）已知圆心为O.半径为1的圆上有不同的三个点A 、B 、C.其中 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .存在实数λ.μ满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +uOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则实数λ.μ的关系为（ ） A.λ2+μ2=1 B. 1λ+1μ=1 C.λμ=1 D.λ+μ=1 【正确答案】：A【解析】：由题意可得| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .再把 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -μ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .平方可得结论．【解答】：解：由题意可得| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ． ∵ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +uOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .即 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -μ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .平方可得 1=λ2+μ2. 故选：A ．【点评】：本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算.还考查了向量与实数的转化．在向量的加.减.数乘和数量积运算中.数量积的结果是实数.所以考查应用较多.属于基础题．5.（单选题.5分）如图是一个射击靶的示意图.其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶.设其命中10.9.8.7环的概率分别为P 1、P 2、P 3、P 4.则下列选项正确的是（ ）A.P 1=P 2B.P 1+P 2=P 3C.P 4=0.5D.P 2+P 4=2P 3 【正确答案】：D【解析】：由几何概型中的面积型得：P 1= 116 .P 2= 316 .P 3= 516 .P 4= 716 .再一一验证各选项即可得解．【解答】：解：设中心圆的半径为r.则由内到外的环数对应的区域面积依次为πr 2.3πr 2.5πr 2.7πr 2.则P 1= 116 .P 2= 316 .P 3= 516 .P 4= 716 .验证各选项.可知只有D 正确. 故选：D ．【点评】：本题考查了几何概型中的面积型.属中档题．6.（单选题.5分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和.若 S 3S 6= 13 .则 S6S 12=（ ）A. 310 B. 13 C. 18 D. 19【正确答案】：A【解析】：根据等差数列的前n项和公式.用a1和d分别表示出s3与s6.代入S3S6=13中.整理得a1=2d.再代入S6S12中化简求值即可．【解答】：解：设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.由等差数列的求和公式可得S3S6=3a1+3d6a1+15d=13，可得a1=2d且d≠0.∴ S6 S12=6a1+15d12a1+66d=27d90d=310.故选：A．【点评】：本题主要考查等比数列的求和公式.难度一般．7.（单选题.5分）2018年.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策.经济运行平稳增长.民生保障持续加强.惠民富民成效显著.城镇居民收入稳步增长.收入结构稳中趋优．据当地统计局公布的数据.现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图．现给出如下信息：① 10月份人均月收入增长率为2%；② 11月份人均月收入约为1442元；③ 12月份人均月收入有所下降；④ 从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高．其中正确的信息个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解．【解答】：解：由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图.知：在① 中.10月份人均月收入增长率为2%.故① 正确；在② 中.11月份人均月收入约为1442元.故② 正确；在③ 中.12月份人均月收入高于8月和9月.故③ 错误；在④ 中.从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高.故④ 正确．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查频率分布直方图的性质等知识.意在考查学生的转化能力和计算求解能力．8.（单选题.5分）某多面体的三视图如图所示.其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形.侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形.俯视图为一矩形.则该多面体的外接球的表面积为（）A.7πB.8πC.9πD.10π【正确答案】：C【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据求解外接球的半径.然后求解外接球的表面积．【解答】：解：由题意可知几何体的直观图如图.是长方体的一部分.三棱锥P-ABC.长方体的长为2.宽为1.高为2.外接球的直径：√22+12+22 =3.)2=9π．外接球的表面积为：4π×(32故选：C．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积.解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.（单选题.5分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1的左焦点为F.直线4x-3y+20=0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P.|OP|=|OF|.其中O为坐标原点.则双曲线C的离心率为（）A. 53B. 54C. √5D.5【正确答案】：D【解析】：由题设知△PFN是以FN为斜边的直角三角形.c=5.在Rt△PFN中.tan∠PFN= 43.FN=10．可得2a=2.a=1.由此能求出双曲线的离心率．【解答】：解：如图.设双曲线C：x 2a2−y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为N．∵|OP|=|OF|=|ON|=c.则△PFN是以FN为斜边的直角三角形. ∵直线4x-3y+20=0过点F.∴c=5.在Rt△PFN中.PF⊥PN.∵k PF= 43 .∴tan∠PFN= 43.FN=10．∴PN=8.PF=6.则2a=2.a=1. 则C的离心率为e= ca=5. 故选：D．【点评】：本题主要考查双曲线的标准方程.以及双曲线的简单性质的应用.考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题．10.（单选题.5分）函数f（x）= {√x+1，−1＜x＜02x，x≥0.若实数a满足f（a）=f（a-1）.则f（1a）=（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】：D【解析】：根据题意.由函数的解析式分析函数的定义域.分析可得函数f（x）在（-1.0）和区间[0.+∞）上都是增函数.进而分析可得若实数a满足f（a）=f（a-1）.必有a＞0.且有2a= √a .解可得a的值.结合解析式求出f（1a）的值即可得答案．【解答】：解：根据题意.f（x）= {√x+1，−1＜x＜02x，x≥0.其定义域为（-1.+∞）则函数f（x）在（-1.0）和区间[0.+∞）上都是增函数. 若实数a满足f（a）=f（a-1）.必有a＞0.且有2a= √a .解可得a= 14 .则f（1a）=f（4）=8.当a≥1时.有2a=2（a-1）.无解；故f（1a）=8.故选：D．【点评】：本题考查分段函数的应用.注意分段函数解析式的形式.要分段进行分析.属于基础题．11.（单选题.5分）若函数f（x）=sin（ωx+ π6）（ω＞0）在区间（π.2π）内没有最值.则ω的取值范围是（）A.（0. 112]∪[ 14. 23]B.（0. 16]∪[ 13. 23]C.[ 14 . 2 3 ]D.[ 13 . 2 3 ]【正确答案】：B【解析】：先求出f（x）取得最值时的x的值.x= π3ω + kωπ.k∈Z.然后令ω= 16时.得x∉（π.2π）恒成立.所以ω= 16符合题意.由此排除A、C、D【解答】：解：当f（x）取得最值时.ωx+ π6 = π2+kπ.x= π3ω+ kωπ.k∈Z.依题意得x= π3ω + kπω∉（π.2π）.因为当ω= 16时.x=（2+6k）π∉（π.2π）恒成立.k∈Z.排除A.C.D故选：B．【点评】：本题考查了正弦函数的图象．属中档题．12.（单选题.5分）设f n（x）=1+x+x2+…+x n（x＞0）.其中n∈N.n≥2.则函数G n（x）=f n（x）-2在（12n.1）内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.与n有关【正确答案】：B【解析】：运用导数求得f n（x）在（0.+∞）递增.计算G n（12）＜0.可得n∈N.n≥2.可得G n（12n）＜0.G n（1）＞0.由零点存在定理即可得到所求个数．【解答】：解：f n（x）=1+x+x2+…+x n（x＞0）.导数为f′n（x）=1+2x+…+nx n-1＞0.则f n（x）在（0.+∞）递增.G n（12）=f n（12）-2= 1−(12)n+11−12-2=2-（12）n-2=-（12）n＜0.G n （1）=f n （1）-2=n+1-2=n-1＞0（n≥2）. 且n∈N .n≥2.可得G n （ 12n ）=f n （ 12n ）-2＜0.由函数零点存在定理可得函数G n （x ）=f n （x ）-2在（ 12n .1）内的零点个数只有1个． 故选：B ．【点评】：本题考查函数的零点个数问题.注意判断函数的单调性和零点存在定理的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．13.（填空题.5分）若（x+a ）（1+2x ）5的展开式中x 3的系数为20.则a=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：根据二项展开式的通项公式.写出x 3的系数列方程求出a 的值．【解答】：解：（x+a ）（1+2x ）5的展开式中x 3的系数为C 52 •22+a• C 53 •23=20.∴40+80a=20. 解得a=- 14 ． 故答案为：- 14 ．【点评】：本题考查了二项展开式的通项公式应用问题.是基础题．14.（填空题.5分）已知动点P 在椭圆 x 249+y 240=1 上.若点A 的坐标为（3.0）.点M 满足 |AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 .且 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .则 |PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值是___ ． 【正确答案】：[1] √15【解析】：由椭圆的方程可得A 为椭圆的右焦点.由 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由勾股定理写出| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |代数式.当且仅当PA 最小时.PM 最小.由椭圆的性质可得P 为右顶点时取得最小值.求出结果．【解答】：解：由椭圆方程可得a=7.b=2 √10 .c= √a 2−b 2 =3. 因为 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2-1. 因为| AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.所以点M 的轨迹为以A 圆心.1为半径的圆.所以| AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |越小.| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |越小.当P 为右顶点时.| AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小.为a-c=7-3=4. 所以| PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为： √15 .故答案为：√15．【点评】：考查椭圆的性质.属于中档题．15.（填空题.5分）已知函数f(x)=e x−1e x+1 .g（x）=f（x-1）+1. a n=g(1n)+g(2n)+g(3n)+⋯+g(2n−1n)(n∈N∗) .则数列{a n}的通项公式为___ ．【正确答案】：[1]a n=2n-1【解析】：判断函数的奇偶性.利用函数的对称性.转化推出数列的通项公式即可．【解答】：解：由于f(−x)=e −x−1e−x+1=1−e x1+e x=−f(x) .所以函数f（x）为奇函数.故g（x）=f（x-1）+1的图象关于（1.1）对称. 由此得到g（x）+g（2-x）=2.所以a n=[g(1n )+g(2n−1n)]+[g(2n)+g(2n−2n)]+⋯+[g(n−1n)+g(n+1n)]+g(1)=2（n-1）+g（1）=2（n-1）+f（0）+1=2n-1．故答案为：a n=2n-1．【点评】：本题考查数列与函数综合应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．16.（填空题.5分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在线段BC1上运动.有下列判断：① 平面PB1D⊥平面ACD1；② A1P || 平面ACD1；③ 异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是(0，π3]；④ 三棱锥D1-APC的体积不变．其中.正确的是 ___ （把所有正确判断的序号都填上）．【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：① 根据平面与平面垂直的判定定理.即可判断① 正确；② 证明平面BA1C1 || 平面ACD1.由线面平行的定义可得A1P || 平面ACD1；③ 求出A1P与AD1所成角取得最小值和最大值.即可求得范围；④ 由图形得出V三棱锥D1−APC = V三棱锥C−AD1P.判断命题正确．【解答】：解：对于① .连接DB1.根据正方体的性质.有DB1⊥平面ACD1. 又DB1⊂平面PB1D.所以平面PB1D⊥平面ACD1. ① 正确；对于② .连接A1B.A1C1.易证平面BA1C1 || 平面ACD1.从而由线面平行的定义可得A1P || 平面ACD1.所以② 正确；对于③ .当P与线段BC1的端点重合时.A1P与AD1所成角取得最小值为π3.当P与线段BC1的中点重合时.A1P与AD1所成角取得最大值为π2.所以A1P与A1D所成角的范围是[ π3 . π2]. ③ 错误；对于④ .由V三棱锥D1−APC = V三棱锥C−AD1P.因为C到平面AD1P的距离不变.且三角形AD1P的面积不变.所以三棱锥A-D1PC的体积不变. ④ 正确；综上知.正确的命题序号是① ② ④ ．故答案为：① ② ④ ．【点评】：本题考查了空间图形中直线与直线、直线与平面的位置关系.也考查了基础知识的灵活运用问题.是中档题．17.（问答题.12分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知b2+c2-a2=accosC+c2cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=25√34.且a=5.求sinB+sinC．【正确答案】：【解析】：（I）由已知结合余弦定理可求cosA.进而可求A（II）由三角形的面积公式可求bc.然后结合余弦定理可求cosA= b 2+c2−a22bc可求b+c.然后根正弦定理即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）因为b2+c2-a2=accosC+c2cosA. 所以由2bccosA=accosC+c2cosA.即2bcosA=acosC+ccosA.由正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA.即2sinBcosA=sin（A+C）.∵sin（A+C）=sin（π-B）=sinB.∴2sinBcosA=sinB.即sinB（2cosA-1）=0.∵0＜B＜π.∴sinB≠0.∴ cosA=12.∵0＜A＜π.∴ A=π3．（Ⅱ）∵ S△ABC=12bcsinA=√34bc=25√34.∴bc=25.∵ cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−252×25=12.b2+c2=50.∴（b+c）2=50+2×25=100. 即b+c=10.∴ sinB+sinC=b•sinAa +c•sinAa= (b+c)sinAa =10•√325=√3．【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理及三角形的面积公式的综合应用.属于基本公式的综合应用．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD中.PC⊥底面ABCD.底面ABCD是直角梯形.AB⊥AD.AB || CD.AB=2AD=2CD=2.E是PB上的点．（1）求证：平面EAC⊥PBC；（2）若E是PB的中点.且二面角P-AC-E的余弦值为√63.求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明平面EAC⊥平面PBC.只需证明AC⊥平面PBC.即证AC⊥PC .AC⊥BC ； （2）根据题意.建立空间直角坐标系.用坐标表示点与向量.求出面PAC 的法向量 m ⃗⃗ =（1.-1.0）.面EAC 的法向量 n ⃗ =（a.-a.-2）.利用二面角P-A C-E 的余弦值为 √63.可求a 的值.从而可求 n ⃗ =（2.-2.-2）. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.-2）.即可求得直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】：（1）证明：∵PC⊥平面ABCD.AC⊂平面ABCD.∴AC⊥PC . ∵AB=2.AD=CD=1.∴AC=BC= √2 . ∴AC 2+BC 2=AB 2.∴AC⊥BC . 又BC∩PC=C .∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面EAC.∴平面EAC⊥平面PBC ．…（4分）（2）如图.以C 为原点.取AB 中点F. CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴、y 轴、z 轴正向.建立空间直角坐标系.则C （0.0.0）.A （1.1.0）.B （1.-1.0）． 设P （0.0.a ）（a ＞0）.则E （ 12 .- 12 . a2 ）.…（6分） CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.0）. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.0.a ）. CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 .- 12 . a 2）. 取 m ⃗⃗ =（1.-1.0）.则 m ⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = m ⃗⃗ • CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. m ⃗⃗ 为面PAC 的法向量． 设 n ⃗ =（x.y.z ）为面EAC 的法向量.则 n ⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = n ⃗ • CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即 {x +y =0x −y +az =0 取x=a.y=-a.z=-2.则 n ⃗ =（a.-a.-2）.依题意.|cos ＜ m ⃗⃗ . n ⃗ ＞|= m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √a 2+2 = √63 .则a=2．…（10分）于是 n ⃗ =（2.-2.-2）. PA⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.-2）．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ.则sinθ=|cos ＜ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ . n ⃗ ＞|= PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ | |n⃗ | = √23 . 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为 √23 ．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直.考查线面角.解题的关键是掌握面面垂直的判定.利用向量的方法研究线面角.属于中档题．19.（问答题.12分）已知过抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点F.斜率为 √2 的直线交抛物线于A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）（x 1＜x 2）两点.且|AB|=6． （1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线l 1.l 2.分别交曲线E 于点C.D 和M.N ．设线段CD.MN 的中点分别为P.Q.求证：直线PQ 恒过一个定点．【正确答案】：【解析】：（1）抛物线的焦点 F (p2，0) .直线AB 的方程为： y =√2(x −p2) .联立方程组.利用韦达定理.弦长公式求出p.即可得到抛物线方程．（2）设C.D 两点坐标分别为（x 1.y 1）.（x 2.y 2）.则点P 的坐标为 (x 1+x 22，y 1+y 22) ．设直线l 1的方程为y=k （x-1）（k≠0）．联立直线与抛物线方程.利用韦达定理求出P 、Q 坐标.求出PQ 方程.利用直线系求解定点坐标即可．【解答】：解：（1）抛物线的焦点 F (p2，0) .∴直线AB 的方程为： y =√2(x −p2) 联立方程组 {y 2=2px y =√2(x −p 2).消元得： x 2−2px +p 24=0 .∴ x 1+x 2=2p ，x 1x 2=p 24∴ |AB |=√1+2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3•√4p 2−p 2=6 .解得p=±2． ∵p ＞0.∴抛物线E 的方程为：y 2=4x ．（2）证明：设C.D 两点坐标分别为（x 1.y 1）.（x 2.y 2）.则点P 的坐标为 (x 1+x 22，y 1+y22) ． 由题意可设直线l 1的方程为y=k （x-1）（k≠0）．由 {y 2=4xy =k (x −1).得k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0．△=（2k 2+4）2-4k 4=16k 2+16＞0因为直线l 1与曲线E 于C.D 两点.所以 x 1+x 2=2+4k 2，y 1+y 2=k (x 1+x 2−2)=4k ． 所以点P 的坐标为 (1+2k 2，2k ) ．由题知.直线l 2的斜率为 −1k .同理可得点Q 的坐标为（1+2k 2.-2k ）． 当k≠±1时.有 1+2k 2≠1+2k 2.此时直线PQ 的斜率 k PQ =2k +2k 1+2k2−1−2k 2=k1−k 2 ．所以.直线PQ 的方程为 y +2k =k1−k 2(x −1−2k 2) .整理得yk 2+（x-3）k-y=0． 于是.直线PQ 恒过定点（3.0）；当k=±1时.直线PQ 的方程为x=3.也过点（3.0）． 综上所述.直线PQ 恒过定点（3.0）．【点评】：本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用.直线系方程的应用.考查分析问题解决问题的能力．20.（问答题.12分）某学校为了了解全校学生的体重情况.从全校学生中随机抽取了100人的体重数据.结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间.现将结果按如下方式分为6组：第一组[45.50）.第二组[50.55）.…第六组[70.75）.得到如图（1）所示的频率分布直方图.并发现这100人中.其体重低于55公斤的有15人.这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示.以样本的频率作为总体的概率． （Ⅰ）求频率分布直方图中a.b.c 的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生.记X 为体重在[55.65）的人数.求X 的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为.该校学生的体重ξ近似服从正态分布N （μ.σ2）.其中μ=60.σ2=25．若P （μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545.则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由茎叶图中的数据.用样本的频率估计总体的频率.求得对应的概率值.再计算a、b、c的值；（Ⅱ）用由题意知随机变量X服从二项分布B（3.0.7）.计算对应的概率值.写出分布列.求出数学期望值；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60.25）.计算P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）的值.再判断学生的体重是否正常．【解答】：解：（Ⅰ）由图（2）知.100名样本中体重低于50公斤的有2人.=0.02；用样本的频率估计总体的频率.可得体重低于50公斤的概率为2100=0.004；所以a= 0.025在[50.55]上有13人.该组的频率为0.13.=0.026.则b= 0.135=0.14.所以2c= 1−0.02×2−0.13×25即c=0.07；（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率.可知从全校学生中随机抽取1人.体重在[55.65）的概率为0.07×10=0.7.随机抽取3人.相当于3次独立重复实验.随机变量X服从二项分布B（3.0.7）.则P（X=0）= C30•0.70•0.33=0.027.P（X=1）= C31•0.7•0.32=0.189.P（X=2）= C32•0.72•0.3=0.441.P（X=3）= C33•0.73•0.30=0.343；所以X的概率分布列为：（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60.25）.其中σ=5；则P（μ-2σ≤ξ＜μ+2σ）=P（50≤ξ＜70）=0.96＞0.9545.所以可以认为该校学生的体重是正常的．【点评】：本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题.也考查了概率分布与数学期望的计算问题.是中档题．21.（问答题.12分）设函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）（a∈R）．（1）当a=1时.求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对任意x∈[1.+∞）恒成立.求实数a的取值范围；（3）当θ∈(0，π2)时.试比较12ln(tanθ)与tan(θ−π4)的大小.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）把a=1代入.然后对函数求导.结合导数可求函数单调区间；（2）由不等式的恒成立.结合导数与单调性及函数的性质对a进行分类讨论.进行求解即可；（3）令a=2.当x＞1时.f（x）=（x+1）lnx-2（x-1）＞0.即12lnx＞x−1x+1.当0＜x＜1时. lnx2＜x−1x+1.然后结合差角正切公式即可求解．【解答】：解：（1）当a=1时.f（x）=（x+1）lnx-（x-1）. f′(x)=lnx+1x.g（x）=lnx+ 1x .则g′(x)=x−1x2.当x∈（0.1）时.g′（x）＜0.g（x）单调递减.当x∈（1.+∞）时.g′（x）＞0.g（x）单调递增.g（x）min=g（1）=1＞0.f′（x）＞0．故f（x）在区间（0.+∞）上单调递增.无单调递减区间．（2）f′(x)=lnx+1x+1−a =g（x）+1-a.由（1）可知g（x）区间[1.+∞）上单调递增.则g（x）≥g（1）=1.即f′（x）在区间[1.+∞）上单调递增.且f′（1）=2-a.① 当a≤2时.f′（x）≥0.f（x）在区间[1.+∞）上单调递增.∴f（x）≥f（1）=0满足条件；② 当a＞2时.设h（x）=lnx+ 1x +1−a .x≥1.则ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2.∴h（x）在区间[1.+∞）上单调递增.且h（1）=2-a＜0.h（e a）=1+e-a＞0. ∴∃x0∈[1.e a].使得h（x0）=0.∴当x∈[1.x0）时.h（x）＜0.f（x）单调递减. 即当x0∈[1.x0）时.f（x）≤f（1）=0.不满足题意．综上所述.实数a的取值范围为（-∞.2]．（3）由（2）可知.取a=2.当x＞1时.f（x）=（x+1）lnx-2（x-1）＞0.即12lnx＞x−1x+1.当0＜x＜1时. 1x ＞1 .∴ 12ln1x＞1x−11x+1.即lnx2＜x−1x+1.又tan（θ−π4）= tanθ−1tanθ+1.∴当0 ＜θ＜π4时.0＜tanθ＜1. 12lntanθ＜tan(θ−π4)；当θ= π4时.tanθ=1. 12ln(tanθ)=tan(θ−π4)；当π4＜θ＜12π时.tanθ＞1. 12ln(tanθ)＞tan(θ−π4)．【点评】：本题主要考查了利用导数求解函数单调性及由不等式的恒成立求解参数范围问题.利用单调性比较大小.属于导数与函数的综合应用．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为{x=t2 2y=2t（t为参数）.曲线C2的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα（α为参数）.以O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和C2的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ=π3.直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A.B两点.求|AB|的值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用转换关系.把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．【解答】：解：（1）曲线C1的参数方程为{x=t22y=2t（t为参数）.转换为直角坐标方程为：y2=8x.转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ．曲线C2的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα（α为参数）.转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0. 转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0．（2）设A（ρ1，π3）B（ρ2，π3）.所以：ρ1=8cos π3sin2π3=163. ρ2=2cosπ3+2sinπ3=1+√3 .所以：|AB|=|ρ1−ρ2|=133−√3．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换.极径的应用.主要考查学生的运算能力和转化能力.属于基础题型．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-m|．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤4}.求实数m的值；（2）在（1）的条件下.若不等式f（x）+f（12x+3）≤8a+2b对一切满足a+b=2的正实数a.b恒成立.求x的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）解不等式f（x）≤6的解集.与已知解集相等.列方程可得；（2）先根据基本不等式求得右边的最小值.再将恒成立转化为最值后解不等式可得．【解答】：解：（1）由f （x ）≤6得|2x-m|≤6得m-6≤2x≤m+6.得 m 2 -3≤x≤ m2 +3.∴ {m 2−3=−2m2+3=4.∴m=2．（2）m=2时.f （x ）+f （ 12x +3）=|2x-2|+|x+4|= {−3x −2，x ≤−4−x +6，−4＜x ＜13x +2，x ≥1 . 而 12（ 8a+ 2b）（a+b ）= 12（8+2+ 8b a+ 2a b）≥ 12（10+2 √8b a•2ab）=9. 不等式f （x ）+f （ 12x +3 ） ≤8a +2b 对一切满足a+b=2的正实数a.b 恒成立等价于f （x ）+f （ 12x +3 ）≤9.∴ {x ≤−4−3x −2≤9 或 {−4＜x ＜1−x +6≤9 或 {x ≥13x +2≤9 . 解得-3≤x≤ 73 .所以x 的取值范围为{x|-3≤x≤ 73}【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题．。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣83．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，294．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．参考答案一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可．【解答】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确．故选：D．2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣8【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，且，∴＝﹣4+2m＝0．解得m＝2．故选：B．3．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，29【分析】共有22个数据，第11个数据和第12个数据的平均数为中位数；122出现的次数最多，为众数；找到最大值和最小值，差值为极差．解：共有22个数据，第11个数据为131，第12个数据为132，所以中位数为；数据122出现3次，出现次数最多，所以众数为122；最大值为112，最小值为148，所以极差为148﹣112＝36；故选：B．4．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°【分析】作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，求出DE，EF，FD，结合余弦定理可求出∠DEF＝120°，进而得到异面直线AB和DE所成的角为60°．解：如图，作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，即∠DEF或其补角，因为AC⊥BC，CA＝CB＝2，所以，所以，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，所以，连接AF，则，因为AD⊥平面ABC，又AF⊂平面ABC，所以AD⊥AF，所以，在△DEF中，由余弦定理可得，又∠DEF∈（0，180°），所以∠DEF＝120°，故直线EF和DE所成的夹角为60°．故选：C．5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．【分析】设圆锥的母线长为l，顶角为θ，求出过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积S，求出S取得最大值时θ的值，即可求出θ的取值范围．解：设圆锥的母线长为l，顶角为θ，则过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积为S＝l2sinθ，当sinθ＝1时S取得最大值，此时θ＝，所以圆锥的轴截面中，顶角θ的取值范围是（0，]．故选：B．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值【分析】根据三角形的面积公式可得出，从而得出A错误；根据余弦定理和可得出B错误；可得出，进而得出，从而判断C正确；可得出，从而判断D错误．解：∵△ABC的面积为，∴，∴a2＝bc sin A，∴A错误；根据余弦定理，，且，∴，∴B错误；，∴，∴，且tanφ＝2，∴的最大值为，∴C正确；∵，∴的最大值为1，∴D错误．故选：C．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝﹣．【分析】由题意利用两个复数相等的条件，结合同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．解：∵复数和θ都是实数，若z1＝z2，则2＝tanθ，且m（cos2θ+2sin2θ）＝cos2θ，∴m＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．【分析】根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离．解：根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期，且y＝2|tan（3x﹣）|的最小正周期为T＝，所以AC＝．故答案为：．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是①②③．【分析】连接OA，OB，OC，由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断①；过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF ⊥AB，垂足为F，连接OF，由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断②；连接OA，OB，OC，由三垂线定理的逆定理和三角形的垂心的定义，可判断③．解：对于①，连接OA，OB，OC，见图1．由SO⊥平面ABC，可得∠SAO为SA与平面ABC所成角，∠SBO为SB与平面ABC所成角，∠SCO为SC与平面ABC所成角，且∠SAO＝∠SBO＝∠SCO，所以AO＝BO＝CO，即O为△ABC的外心，故①正确；对于②，过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF⊥AB，垂足为F，连接OF，见图2．由三垂线定理的逆定理可得OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，可得∠SFO为侧面SAB与底面ABC所成角的平面角，∠SEO为侧面SCB与底面ABC所成角的平面角，∠SDO为侧面SAC与底面ABC所成角的平面角，且∠SFO＝∠SEO＝∠SDO，所以OD＝OE＝OF，即O为△ABC的内心，故②正确；对于③，连接OA，OB，OC，见图3．若SA⊥BC，SB⊥AC，由三垂线定理的逆定理可得OA⊥BC，OB⊥AC，即为•＝0，•＝0，即有•（﹣）＝0，•（﹣）＝0，所以•＝•＝•，即有•（﹣）＝•＝0，则OC⊥AB，即O为△ABC的垂心，故③正确．故答案为：①②③．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是[1，2]．【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用||＝，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出λ+μ的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论．解：根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CB⊥CD，AD∥BC，△ABD是边长为2的正三角形，解得：BC＝1，CD＝，AB＝BD＝AD＝2，所以A（﹣2，0），B（﹣1，），C（0，），D（0，0），则＝（2，0），＝（1，）由||＝，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x²+（y﹣）²＝，设P（cosα，sinα+），则＝（cosα+2，sinα+），由于，则：（cosα+2，sinα+）＝λ（2，0）+μ（1，），整理得：，所以，所以λ+μ＝sinα+cosα+＝sin（α+）+，因为﹣1≤sin（α+）≤1，所以1≤sin（α+）+≤2，所以λ+μ的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，求解即可．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由已知，可得（x﹣2）2+y2＝4，求出x的范围，再求出复数ω的模的取值范围即可．解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，∵|z|+＝，∴＝，则，解得，∴z＝﹣2i．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由|ω﹣2|＝|z|，可得（x﹣2）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣2）2≥0，∴0≤x≤4，∴|ω|＝＝，∴|ω|∈[0，4]．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围．解：（1）由题可得f（x）＝＝（2cos x，cos x）（sin x，﹣2cos x）＝2cos x sin x ﹣2cos²x＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；令2x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+（k∈Z），即f（x）的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）；（2）由（1）可知g（x）＝2sin[2（x+）﹣]+1＝2sin（2x+）+1，若关于x的方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，g（x）∈[0，2]．若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[0，2]．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．【分析】（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，结合概率的乘法公式，即可求解．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，分别求出两种情况，并求和，即可求解．解：（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，则P2＝．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，A1事件对应的概率P1＝，A3事件对应的概率P3＝，∴最后一次取球的是甲的概率P＝P1+P2＝．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．【分析】（1）由三角形面积公式可求得BC，再由余弦定理可求得CD，从而可求得AB 的长；（2）设A＝∠ACD＝θ，在△ACD中，利用正弦定理可求得CD＝，在△BCD中，利用正弦定理可得cosθ＝sin（﹣2θ），利用诱导公式即可求解θ的大小，即角A的大小．解：（1）在△BCD中，B＝60°，BD＝1，若△BCD的面积为，则S△BCD＝BD•BC•sin B＝，所以BC＝，所以BC＝2，则CD＝＝＝，所以AD＝CD＝，所以AB＝AD+BD＝+1．（2）在△ACD中，AD＝CD，可设A＝∠ACD＝θ，则∠ADC＝π﹣2θ，又，由正弦定理，得＝，所以CD＝，在△BCD中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝﹣2θ，由正弦定理，得＝，即＝，化简得cosθ＝sin（﹣2θ），于是sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），因为0＜θ＜，所以0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，所以﹣θ＝﹣2θ或﹣θ+﹣2θ＝π，解得θ＝或θ＝，即角A的大小为或．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）【分析】（1）根据折线图的频率即可作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图求出各组电量，可求得平均数；（3）根据方差公式设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600，后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为，进而可依公式求解．解：（1）频率分布直方图：由频率分布折线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，即x＝0.0044；（2）月用电量落在区间[50，100）（度），[100，150）（度），[150，200）（度）内的用户数分别为0.0024×50×100＝12，0.0036×50×100＝18，0.0060×50×100＝30所平均数＝（25×12+125×18+175×30）÷60＝140（度）；（3）由（2）知，月用电落在（间[50，200）（度）的户数＝12+18+30＝60月用电量在区间[200，350）（度）内的户数＝100﹣60＝40设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为s2＝5200060+40＝100，即．故有，有，所以：，故．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可．（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【解答】证明：（1）连结BD交AC交于G，∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，又∵E是PD的中点，∴EG//PB，又∵PB⊄平面ACE，EG⊂平面ACE，∴．PB//平面ACE，又PB⊂平面PAB，平面PAB∩平面ACE＝l，∴PB//l．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，设正方形ABCD的边长为4，∵PA＝PB，∴△PAB的中线AH＝2，PB＝4，AH⊥PB，同理AE＝2，PD＝4，AE⊥PD，∵EG＝PB＝2，AG＝AC＝2，∴△AEG为正三角形，中线AI＝，且AI⊥EG，∵AH⊥PB，PB//l，∴AH⊥l，同理AI⊥l，∴∠HAI是二面角CE﹣l﹣PB的一个平面角，又∵在正三角形△PBD中HI＝，∴cos∠HAI＝＝＝，则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为．解：（3）同（2）中PA⊥AB，得PA⊥CD，又∵在正方形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，同理AE⊥平面PCD同理PF⊥面AEF∴∠PEF是直线PD与平面AEF所成的角，∵在Rt△PEF和Rt△PCD中得tan∠PEF＝cot∠CPD＝＝＝，∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为．。
2024年华师大新版高一数学上册月考试卷含答案
2024年华师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、若以点F1（-2，0）、F2（2，0）为焦点的双曲线C过直线l：x+y-1=0上一点M，则能使所作双曲线C的实轴长最长时的双曲线方程为（）A.B.C.D.2、已知a=21.2，，c=log54，则a，b，c的大小关系为（）A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. b＜c＜a3、某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再上学，为了赶时间快速行驶．下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离．则较符合该同学走法的图是（）A.B.C.D.4、如图是底面积为体积为的正三棱锥的正视图（等腰三角形）和俯视图（等边三角形）；此三棱锥的侧视图的面积为（）A. 6B.C. 2D.5、函数的图象形如汉字“囧”；故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在（0；+∞）上单调递增；③“囧函数”的图象关于y轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+m（k≠0）至少有一个交点．正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、函数f（x）=6+12x-x3，x∈[-，3]的最大值是____．7、已知点P是半径为1的⊙O上的动点，线段AB是⊙O的直径．则的取值范围为____．8、1和4的等差中项为____．9、已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”．则函数f（x）=x3+3x2-x-2图象的对称中心坐标为____．10、若则x=____．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)11、已知抛物线C：x；直线y=kx+2交C于M；N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T．（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；（2）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．12、已知函数y=f（x），x∈D，设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的方程为y=kx+m；如果对任意的x∈D，均有：①当x＜x0时；f（x）＜kx+m；②当x=x0时；f（x）=kx+m；③当x＞x0时；f（x）＞kx+m．则称x0为函数y=f（x）的一个“∫-点”．（Ⅰ）判断0是否是下列函数的“∫-点”：①f（x）=x3；②f（x）=sinx．（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）=ax2+lnx．①若a=；证明：1是函数y=f（x）的一个“∫-点”；②若函数y=f（x）存在“∫-点”，直接写出a的取值范围．13、（I）证明：函数f（x）=（1+x）ln（1+x）在区间（0；+∞）内为增函数；（Ⅱ）设a＞0，b＞0，证明：（1+a+b）ln（1+a+b）＞（1+a）ln（1+a）+（1+b）ln（1+b）．14、如图；AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE．求证：（1）平面BCEF⊥平面ACE；（2）直线DF∥平面ACE．15、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a≠c且f（1）=0；证明：方程f（x）=0有两个不同实数根；（2）证明：若x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），则方程必有一实根在区间（x1，x2）内．16、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC=BC=BB1（1）求证：BC1∥平面CA1D（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）求二面角C-DA1-C1的余弦值．17、求证：．18、设；（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；（2）设，用定义证明19、设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0；f（0）f（1）＞0，求证：（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．（Ⅱ）-2＜＜-1；设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则.．评卷人得分四、计算题(共4题，共24分)20、用导数求单调区间。
2020年高一数学下学期 月考复习卷(必修4)(含答案)
19．（12
分）已知函数
f
பைடு நூலகம்
x
sin
2
x
sin
x
3 cos2 x ．
（1）求 f x 的最小正周期和最大值；
（2）讨论
f
x
在
6
,
2 3
上的单调性.
第3页共8页
20．（12 分）在 C 的内角 ， ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．
向量
m
a,
3b
14．已知向量
a
（3,
4），b
（-2,
4），那么
a
在
b
方向上的投影是________．
15．
3 tan12 3 =_____________．
sin12 4 cos2 12 2
16．平行四边形 ABCD 中， AB 4 ， AD 2 ， AB AD 4 ，点 P 在边 CD 上，则 PA PC
B． sin1 tan1 cos1 D． tan1 cos1 sin1
10．方程 sin x 1 x 的解的个数是（ ） 4
A．5
B．6
C．7
D．8
11．如图，D，C，B 三点在地面同一直线上， ，从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是
，
则 A 点离地面的高度 AB 等于（ ）
A．
B．
C．
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D
C
D
D
B
B
C
A
A
C
C
D
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
2020年湖北省华师一附中高一下学期 数学 期中考试(附带详细解析)
12．已知a， ，且a是 与 的等差中项，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围是______.
14．有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形 ，其中 ， 米， ，则这块花园的面积为______平方米.
15．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上）
①若 ，则 ；
②若 ， ， ，则满足条件的三角形共有两个；
③若 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，则 为正三角形；
④若 ， ， 的面积 ，则 .
16．已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和的最小值为______.
A．①④B．①②C．②③D．②④
5．数列 的前25项和为（ ）
A． B． C． D．
6．若 的内角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在各项均为正数的等比数列 中， ，且存在两项 ， 使得 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
8．首项为 的等差数列从第 项起开始为正数，则公差 的取值范围是（）
6．D
【解析】
， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，故选D.
7．B
【解析】
分析：由a7=a6+2a5求得q=2，代入 求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．
详解：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，可得 ∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵ ，∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，
2020年华师一附中4月月考高一数学试题
2020年华师一附中4月月考高一数学试题一、单选题（每题5分，共60分）1．在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C =A ．30°B ．45︒C ．150︒D ．135︒ 2．已知1tan 2a =，则cos2sin 2a a +=（ ） A ．75 B ．15 C ．15- D ．733．下列命题中正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，0c <，则a c b c +<+D >a b >4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．16a 2B ．8 a 2C ．8 a 2D ． 4a 25．若1cos 7α=，()sin αβ+=，02πα<<，02πβ<<，则角β的值为（ ） A ．8π B ．4π C ．6π D ．3π 6．在ABC ∆中，32,3==BC AB ，则角C 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πC ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形8．不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ）A ．6(2,)5-B ．6[2,]5-C ．6[2,)5-D ．{}6[2,)25-⋃9．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若232cos cos 22A B C -+=，且ABC ∆的面积为214c ，则C =（ ） A ．π3 B ．π6 C ．π6或5π6 D ．π3或2π310．设0a b >>，则()241ab b b a b ++-的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．611．正四棱锥P ABCD -，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π12．已知函数()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共20分）13．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．14．已知函数()21sin 222x f x x =+-若()13f α=，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______. 16．在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论：①由已知条件这一三角形被唯一确定； ②ABC ∆一定是一个钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =； ④若8+=b c ，则ABC ∆的面积是2． 其中正确结论的序号是_____________.三、解答题（本题共6题，共70分）17．（10分）（1）设0x ≥，求函数(2)(3)1x x y x ++=+的最小值. （2）解不等式：2112x x +≥-18．（12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B ，2c =，求ABC ∆的面积． 19．（12分）已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； ()2若7322410f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin α的值． 20．（12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，且22223sin b A c a +=. （1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.21．（12分）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（23.求圆柱的表面积.22．（12分）已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈（1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范。
2024年华师大新版高一数学上册月考试卷含答案
2024年华师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、若，，均为单位向量，且•=-，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A. 2B.C.D. 12、已知i为虚数单位，复数z=i+i2+i3+ +i2011，则复数z的模为（）A.B.C. 1D. 03、【题文】对任意的实数若表示不超过的最大整数,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、已知集合集合则= （）A.B.C.D.5、蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为1cm，2cm，3cm的长方体木块的顶点A处沿表面达到顶点B处（如图所示），这只蚂蚁走的路程是（）A.B.C.D. 1+评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、已知=（3，2），则沿着=（1，-2）平移后的坐标是____．7、某种灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则三个这样的灯泡使用1000小时后，至多只坏一个的概率是____．8、在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为____．（表示B的对立事件）9、函数y=f（θ）=的值域为____．10、某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为．11、下列命题中所有正确的序号是________．（1）函数的图像一定过定点（2）函数的定义域是则函数的定义域为（3）已知=且=8,则=-8；（4）已知且则实数．12、计算：8 +（﹣1）0﹣（）﹣2﹣25 =____．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)13、如图，已知平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=PD，AD=AB；E是线段AD的中点，F是线段PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求证：AC⊥平面PBE．14、已知非零向量，且，求证：．15、（2015秋•葫芦岛期末）如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，）和点P都在椭圆C1上，椭圆C2方程为+=4．（1）求椭圆C1的方程；（2）过P作椭圆C1的切线l交椭圆C2于M，N两点，过P作射线PO交椭圆C2于Q点，设=λ；（i）求λ的值；（ii）求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．16、如图；四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E；F分别是BC、PC的中点，PA=AB=2．（1）求证：AE⊥PD；（2）求三棱锥A-EFC的体积．17、设数列．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并用数学归纳法证明．18、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中；E，F，G，H，K，L分别为平行六面体棱的中点．求证；（1）；（2）E，F，G，H，K，L六点共面．19、已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f-ac＜e-bc．评卷人得分四、计算题(共2题，共8分)20、设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且直线y=2x为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果|PF1|-|PF2|=4，那么双曲线C的方程为____；离心率为____．21、解不等式ax2+3x＞3ax+9．评卷人得分五、综合题(共3题，共12分)22、已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=；M，N分别是PD，PB的中点．（1）设Q为线段AP上一点；若MQ∥平面PCB，求CQ的长；（2）求平面MCN与底面ABCD所成锐二面角的大小．23、已知抛物线y2=4x的焦点为F．（1）若直线l过点M（4；0），且F到直线l的距离为2，求直线l的方程；（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与X轴垂直，若线段AB中点的横坐标为2．求证：线段AB的垂直平分线恰过定点．24、已知函数，数列{a n}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），．（1）若数列{a n}是常数列；求a的值；（2）当a1=4时，记，证明数列{b n}是等比数列，并求．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【分析】由题设知= =x2+y2-xy=1，设x+y=t，y=t-x，得3x2-3tx+t2-1=0，由方程3x2-3tx+t2-1=0有解，知△=9t2-12（t2-1）≥0，由此能求出x+y的最大值．【解析】【解答】解：∵，，均为单位向量；且• =- ，=x +y （x；y∈R）；∴= =x2+y2-xy=1；设x+y=t，y=t-x，得：x2+（t-x）2-x（t-x）-1=0；∴3x2-3tx+t2-1=0；∵方程3x2-3tx+t2-1=0有解；∴△=9t2-12（t2-1）≥0；-3t2+12≥0；∴-2≤t≤2∴x+y的最大值为2．故选A．2、C【分析】【分析】根据所给的复数的形式，看出复数式中每四项之和等于0，则用2011除以4看出余数是3，在复数等于前三项之和，得到结果．【解析】【解答】解：∵i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0∴复数z=i+i2+i3+ +i2011=502×0+i+i2+i3=-1；∴复数z的模为1；故选：C．3、B【分析】【解析】试题分析：由题得,当时,满足但是所以若则所以综上,是的必要不充分条件,故选B.考点：新概念逻辑关系【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】集合集合则选C.5、B【分析】解：当展开的长方形的长是1+2=3，宽是3，路径长为．当展开的长方形的长是2+3=5，宽是1，路径长为．当展开的长方形的长是3+1=4，宽是2，路径长为．由于＜故最短的路线长为：．故选B．长方体展开是长方形；根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开最短路径问题，展成平面，确定起点和终点的位置，根据两点之间线段最短从而可求出解．【解析】【答案】 B二、填空题(共7题，共14分)6、略【分析】【分析】根据向量平移前后没有变化得到答案．【解析】【解答】解：因为向量的平移前后的向量是相等向量，所以沿着=（1；-2）平移后的坐标是没有变化；故答案为：（3，2）．7、略【分析】【分析】题意知3个相互独立的灯泡使用的时间能否超过1000小时，可以看做一个做了3次独立重复试验的概率，根据独立重复试验的公式得到结果．【解析】【解答】解：∵灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2；3个相互独立的灯泡使用的时间能否超过1000小时；可以看做一个做了3次独立重复试验的概率；∴最多只有1个损坏的概率是0.23+C31×0.8×0.22=0.096+0.008=0.104故答案为：0.1048、略【分析】【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A和事件是互斥事件，求出事件A和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．【解析】【解答】解：随机抛掷一颗骰子一次共有6中不同的结果；其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，P（A）= = ；事件B“出现小于5的点数”的对立事件；P（B）= = ，P（）= ；且事件A和事件是互斥事件；∴P（A+ ）= + = ．故答案为：．9、略【分析】【分析】变形可得ycosθ-2sinθ=3y-2，由辅助角公式和三角函数的值域可得y的不等式，解不等式可得．【解析】【解答】解：∵y= ；∴y（cosθ-3）=2sinθ-2；∴ycosθ-2sinθ=3y-2；∵ycosθ-2sinθ= cos（θ+φ），其中tanφ= ；∴|ycosθ-2sinθ|≤ ，即|3y-2|≤ ；解关于y的不等式可得0≤y≤ ；故答案为：[0，]．10、略【分析】组距是1，纵标【解析】【答案】3011、略【解析】试题分析：因为的图象过定点（0,1），经向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图像，所以（1）函数的图像一定过定点正确。
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2020年华师一附中4月月考高一数学试题一、单选题（每题5分，共60分）1．在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C =A ．30°B ．45︒C ．150︒D ．135︒ 2．已知1tan 2a =，则cos2sin 2a a +=（ ） A ．75 B ．15 C ．15- D ．733．下列命题中正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，0c <，则a c b c +<+D >a b >4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．16a 2B ．8 a 2C ．8 a 2D ． 4a 25．若1cos 7α=，()sin αβ+=，02πα<<，02πβ<<，则角β的值为（ ） A ．8π B ．4π C ．6π D ．3π 6．在ABC ∆中，32,3==BC AB ，则角C 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πC ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形8．不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ）A ．6(2,)5-B ．6[2,]5-C ．6[2,)5-D ．{}6[2,)25-⋃9．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若232cos cos 22A B C -+=，且ABC ∆的面积为214c ，则C =（ ） A ．π3 B ．π6 C ．π6或5π6 D ．π3或2π310．设0a b >>，则()241ab b b a b ++-的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．611．正四棱锥P ABCD -，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π12．已知函数()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共20分）13．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．14．已知函数()21sin 222x f x x =+-若()13f α=，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______. 16．在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论：①由已知条件这一三角形被唯一确定； ②ABC ∆一定是一个钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =； ④若8+=b c ，则ABC ∆的面积是2． 其中正确结论的序号是_____________.三、解答题（本题共6题，共70分）17．（10分）（1）设0x ≥，求函数(2)(3)1x x y x ++=+的最小值. （2）解不等式：2112x x +≥-18．（12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B ，2c =，求ABC ∆的面积． 19．（12分）已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； ()2若7322410f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin α的值． 20．（12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，且22223sin b A c a +=. （1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.21．（12分）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（23.求圆柱的表面积.22．（12分）已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈（1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范。
2020年华师一附中4月月考高一数学试题参考答案1．B 2．A 3．D. 4．A 5．D 6．B7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B13．18π 14．79- 15．1416．②③ 17．（1）3（2）(](),32,-∞-⋃+∞（1）由题意，设1t x =+()1t ≥，则1x t =-， 则(2)(3)1x x y x ++=+()()12t t t ++=232t t t++=23t t =++3≥， 当2t t=时，即t =时，即1x =时取等号， 所以函数(2)(3)1x x y x ++=+的最小值为3. （2）由不等式2112x x +≥-，可得2131022x x x x ++-=≥--，解得3x ≤-或2x >， 所以不等式的解集为(](),32,-∞-⋃+∞. 18．（1）π6C =；（2）1（1）由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得22()a a b c ＋=，即222a b c +-=由余弦定理得222cos 2a b c C ab -==＋，0πC <<Q ，π6C ∴=. （2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===，2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==+111sin 4(11222ABC S ab C ∆∴==⨯⨯= 19．（1）3()4=max f x，()min f x =；（2）2325 解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121116222222222sin x cos x cos x cos x sin x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭, 131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫==+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 21,32sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦,则3()4max f x =，()2min f x =-； ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．（1）3π； （2）a =，14. （1）由已知，得：222sin 3b bc A c a -+=，由余弦定理，得：222sin 23b c a A bc +-=，cos sin 3A A =，即tan A =()0,A π∈,所以3A π=.（2）2222cos a b c bc A =+-⋅214922372a ∴=+-⨯⨯⨯= a ∴=，又sin sin a b A B = 2sin B = sin B ∴=，b a <Q 0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ cos B ∴==sin22sin cos B B B ∴==,1cos27B =，()sin 2B A ∴-sin2cos cos2sin B A B A =- 1127=-=.21．（1）π （2）(2π+ （1）244r l ππαπ=== （2）如图所示，设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ，表面积为S ,则2,4,R OC AC AO =====易知AEB AOC ∆∆:AE EB AO OC ∴=,12r r =∴=222,2S r S r h πππ====g 底侧(22S S S ππ∴=+=+=+底侧22．（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a ≤（Ⅰ）Q ()24f x a ≤-+ 即()2220x a x a -++≤， ∴ ()20x a x （）--≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤， 综上所述，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤ . （Ⅱ）对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，Q 14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ 4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ . 综上4a ≤ .。