第4篇1:图论模型(最优连线问题、最短路问题)

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图论论文

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课程名称图论入门论文题目图论在物流物配送上的应用指导教师刘颖学院管理学院姓名郭凤午学号2011030284图论在物流货物配送中的应用摘要:最短路径问题对于节约人们的时间成本具有重要意义。

最短路问题是图论理论的一个经典问题。

寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。

最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。

它可被用来解决厂区布局、管路铺设、线路安装等实际问题。

本文介绍了图论的起源和发展、最短路径问题及其算法,并应用图论最短路径问题的分析方法解决物流货物配送中问题。

1 引言数学是一门古老的学科,它已经有了几千年的历史。

然而,图论作为数学的一个分支,却只有200多年的历史,但是其发展十分迅速。

图论是以图为研究对象,图形中我们用点表示对象,两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。

事实上,任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟,而且它具有形象直观的特点,在图中点的位置和线的长短曲直无关紧要[1]。

图论的发展大力地推进了科学文明的进步,解决了很多实际应用问题。

图论是数学领域中发展最快的分支之一,它以图为研究对象。

图论中的图是有若干给定的点及连接两点的线所构成的图形,这种图形常用来描述某些事物之间的某种特定关系,用来代表事物,用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

图论本身是应用数学的一部分,因此,历史上图论曾经被好多位数学家各自独立的建立过。

关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论文中,他所考虑的原始问题有很强的实际背景。

数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的!这是拓扑学研究的先声。

图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。

数学家赫伍德成功地运用肯普的方法证明了五色定理,即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。

美国伊利诺斯大学的黑肯和阿佩尔,经过四年的艰苦工作.终于完成了四色猜想的证明。

数模最短路与最优问题

数模最短路与最优问题

G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
返回
关联矩阵
对无向图G,其关联矩阵M= (mij ) ,其中:
1 mij 0
若vi与e
相关联
j
若vi与e
不关联
j
注:假设图为无向简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
算法的过程就是在每一步改进这两个标记,使最终 l(v) 为从顶点 u0 到 v 的最短路的权.
S:具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
算法步骤:
(1)赋初值:令 S={ u0 }, l(u0 ) =0 v S V \ S ,令 l(v) =W(u0 ,v) , z(v) = u0 u u0
• Euler把南北两岸和四个岛抽象成四个点,将连接这些 陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示,就得到如下 一个简图:
A
N
S
B
欧拉的结论
• 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是:
• 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接 起来;
• 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数.
(2)在有向图中,从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度, 记为 d+(v) ,从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度,记为d-(v) ,
d (v) = d+(v) + d-(v) 称为 v 的次数.
d(v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理1 d(v) 2 (G) vV (G)

数学建模最短路问题

数学建模最短路问题

设链W=v0e1v1e2…eivi已选定,则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1,除非已无选择余地,否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止,算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图,则G中含有奇度顶点(但奇度顶点的个数为偶数),此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次,它等价于在这些边上加一条或多条重复边,使新图G' 不含奇度顶点,并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例 求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解:先写出距离矩阵(实际应为对称矩阵)
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章 最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支,在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年,这一年发表了图论的第一篇论文,解决了著名的哥尼斯堡(Königsberg)七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻,则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边,E\M的边称为自由边,若(u, v)∈M,则称u(或v)是v(或u)的配偶。若顶点v与M的一条边关联,则称v是M-饱和的;否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的,称M是G的完美(理想)匹配。设M是G的一个匹配,若不存在M' 使|M'|>|M|,则称M为G的最大匹配。

最优算法中的最短路问题讨论

最优算法中的最短路问题讨论

最优算法中的最短路问题讨论
最优算法是在给定的图中找到两个节点之间的最短路径的一种方法。

最短路问题是图论中的经典问题,有很多不同的算法可以解决它。

最著名且常用的最短路径算法是Dijkstra算法和A*算法。

Dijkstra算法是一种用于在带权有向图中找到从一个节点到其
他节点的最短路径的算法。

它基于贪婪算法的思想,通过不断选择当前路径中权重最小的节点来逐步构建最短路径。

Dijkstra算法适用于边权重非负的情况。

A*算法是一种更高效的最短路径算法,它结合了Dijkstra算法的贪婪策略和启发式(heuristic)函数的估计来减少搜索空间。

A*算法通过估计每个节点到目标节点的剩余距离来确定下一
步选择的节点,从而更快地找到最短路径。

A*算法适用于边
权重非负且有启发式函数可以使用的情况。

除了Dijkstra算法和A*算法之外,还有其他一些用于解决最
短路径问题的算法,如Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算
法等。

在选择最优算法时,需要考虑图的规模、边权重的分布、需求的时间和空间复杂度等因素。

不同算法在不同场景下的表现也会有所不同。

因此,选择最合适的最短路径算法需要综合考虑这些因素。

《最短路问题》课件

《最短路问题》课件

3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么?
在无向连通图或有向连通图 中,从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度?
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图?
无环图指不存在环的图,可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中,我们将介绍四种最短路算法及其 应用,并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题? 2 为什么需要解决最
短路问题?
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算,比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题,可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索,在启发 函数的帮助下,可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大,A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居,更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3,直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结

整数的图论和最短路算法

整数的图论和最短路算法

整数的图论和最短路算法图论和最短路算法是计算机科学中非常重要的两个领域。

图论研究图形结构,而最短路算法旨在寻找图形中两个点之间的最短路径。

然而,当我们的图中仅包含整数时,这些问题就变得更加具有挑战性。

本文将探讨整数的图论和最短路算法,并介绍一些相关的数学工具和算法。

整数的图论在计算机中,图形通常由节点和边组成。

在整数的图论中,这些节点和边都可以用整数来表示。

整数图可能比一般图更具特殊性质,其中一些常见的类型如下:1. 栅格图:栅格图是最简单的整数图形之一。

这些图形由整数坐标系中的点和在这些点之间的边组成。

栅格图类似于黑白方格纸,其中节点位于每个交叉点上。

2. 网状图:网状图是另一种常见的整数图形。

它们可以由两个栅格图组成,并通过将它们的节点相连而形成。

网状图通常用于模拟电路板和硬件设计。

3. 抽象整数图:抽象整数图是没有物理意义的图形,边和节点由整数对表示。

这些图形通常用于研究算法的性能。

整数的图论依然具有基本的图算法,如遍历、连通性、强连通性和完全匹配。

但它们有时需要用到新的技术,如精确的计算整数几何和计算折线的交汇点。

最短路算法最短路算法旨在找到两个节点之间的最短路径。

这些算法在交通和网络设计中非常有用。

对于拥有整数节点的图形,最短路算法依然适用,只需将算法适当地修改为计算整数距离即可。

下面是一些常用的最短路算法:1. Dijkstra算法:Dijkstra算法是最短路算法的经典解法之一,适用于无向图和有向图。

该算法从一个源节点开始,后继地标记所有连接该节点的边,直到到达目标节点。

2. Floyd-Warshall算法:Floyd-Warshall算法是一种非常强大的算法,可以在任意有向加权处理中寻找所有可能路径的最短路径。

该算法在O(n ^ 3)时间内计算结果,在这里“n”是节点数。

3. Bellman-Ford算法: Bellman-Ford算法是一种单源最短路径算法,它可以检测出负权边,并在有负权环的情况下通知用户。

《图论》第4章 最优路径问题(1)

《图论》第4章 最优路径问题(1)

4.2 求最短距离的Dijkstra算法
[证明续 证明续2] 证明续 (2) 向 S0中添加 v 后,对 z∉S=S0∪{v} 且 <v, z>∈A,从 u 经 S 直接到达 z 的路径包括了从 u 经 S0 直接到达 z 的和从 u 经 v 直接到达 z 的两部分。由归纳假设的(2),前者的最短距 离由迭代前的 t(z) 描述;而后者的最短距离由 t(v)+w(v,z) 描述。故 t(z)= min{t(z), t(v)+ w(v,z)} 描述了u 经 S 直接到达 z 的最短距离。 综上,由归纳原理,证毕。 [计算复杂度 O(n2) 计算复杂度] 计算复杂度 8
55 60 40 25 ∞ 5 20 ∞ 20 25 10 20 80 20 65 50 25 30 45 35
11
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[续2] 续
∞ ∞ 40 25 10
55 60 40 25 ∞ 5 20 ∞ 20 25 10 20 80 20 65 50 i =3 25 30 45 35
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 i =4 25 30 40 35
65 40 35 25 10
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 25 30 40 35
di j =
, v j >∈ A 其它
[带权路径长度 设路径 v1, v2 , … ,vk 为上述网络的路径,其带 带权路径长度] 带权路径长度 权路径长度定义为
π (v1 , vk ) = ∑ w(vi , vi +1 )

第4篇 图论之图论的应用

第4篇 图论之图论的应用
第4篇 图论
主讲人:任长安
计算机与信息科学系
2009.07
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
引言
• 图论是在民间游戏当中孕育和诞生的,作为数学的一个分支 已有两百多年的历史。图论的起源可以追溯到1736年由瑞士
数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)撰写的一篇解决
引言
• 现代电子计算机的出现与广泛应用极大地促进了图论的发展 和应用。在计算机科学中计算机科学的核心之一就是算法的
设计与理论分析,而算法是以图论与组合数学为基础;图论
与组合数学关系也非常密切,已正式成为计算机诸多分支中 一种有力的基础工具。因而,作为计算机专业人员,了解和
掌握图论的基本原理和方法是必要的。现在,它已成为系统
的路程最短?
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
9.1 欧拉图
• • 下面用图论的语言来描述:用图论的语言来描述,即在一个带权图G 中,能否找到一条回路C,使C包含G的每条边最少一次且C的长度最短? 该问题求解思路大体包括三个方面:


1) 若G没有奇数度结点,则G是欧拉图,于是欧拉回路C是唯一的
第9章 图的应用
• 本章讨论几类具有理论研究与实际应用意义的特殊图,包 括欧拉图、汉密尔顿图、平面图、二分图、最短路径和关 键路径问题等。这些图在计算机科学中具有广泛的应用, 如数据库的实现、优化算法、工作分配、计算机网络等方 面。本章主要介绍这些图的基本性质及其相关应用。
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
通路的图称为半哈密尔顿图,具有哈密尔顿回路的图称为

图论中的连通性与最短路径问题的解法

图论中的连通性与最短路径问题的解法

最短路径问题的变种问题
无向图中最小生成树问题
定义:在无向图中,最小生成树问题是指寻找一棵包含所有顶点的树,使得这棵树的边的权值和最小。 算法:常见的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。Kruskal算法基于并查集,通过不断添加边来形 成最小生成树;Prim算法基于优先队列,每次选择权值最小的边,直到所有顶点都被包含在树中。 应用:最小生成树问题在计算机网络中有着广泛的应用,如路由协议、网络设计、通信网络等。
交通规划:在道路 网络中,连通性分 析可以帮助优化路 径选择和交通流分 配。
计算机网络:在网 络拓扑结构中,连 通性分析可以用于 路由优化和容错设 计。
最短路径问题的解法
Dijkstra算法
定义:Dijkstra算法 是一种用于求解最短 路径问题的贪心算法
原理:通过不断选择 当前距离最短的边, 逐步扩展最短路径的 搜索范围,直到找到 最短路径
汇报人:XX
适用场景:适用 于稀疏图或稠密 图,但更适用于 稠密图。
Johnson算法
定义:Johnson 算法是一种用于求 解加权图中所有顶 点对间最短路径的 算法
适用场景:适用 于稀疏图,即边 的数量相对较少 的情况
算法思想:通过 预处理阶段和主 算法阶段实现最 短路径的求解
时间复杂度: O(V+E^2),其 中V是顶点数,E 是边数
时间复杂度:O(VE),其中V是顶点数,E是边数
Floyd-Warshall算法
简介:FloydWarshall算法是 一种用于求解所 有顶点对之间最 短路径的动态规 划算法。
算法思想:通过 构建一个距离矩 阵,逐步更新最 短路径,最终得 到所有顶点对之 间的最短路径。
时间复杂度: O(V^3),其中V 是顶点数。

图论模型及其解答

图论模型及其解答

各种图论模型及其解答摘要:本文用另一种思路重新组织《图论及其应用》相关知识。

首先,用通俗化语言阐述了如何对事物间联系的问题进行图论建模;接着从现实例子出发,给出各种典型图论模型,每种图论模型对应于图论一个重要内容;再者,介绍相关知识对上述提到的图论模型涉及的问题进行解答;最后,补充一些图论其他知识,包括图论分支、易混概念。

符号约定:Q(Question)表示对问题描述,M(Modeling)表示数学建模过程,A(Answer)表示原问题转化为何种图论问题。

一、引言图论是研究点、线间关系的一门学科,属于应用数学的一部分。

现实生活中,凡是涉及到事物间的关系,都可以抽象为图论模型。

点表示事物,连线表示事物间的联系。

整个求解过程如下:原问题——>图论建模——>运用图论相关理论求解——>转化为原问题的解整个过程关键在于图论建模,所谓图论建模,就是明确点表示什么,连线表示什么,原问题转化为图论中的什么问题。

存在以下两种情况:①若事物间联系是可逆的(比如双行道,朋友),则抽象成无向图②若事物间联系是不可逆的(比如单行道,状态转化不可逆),则抽象成有向图如果需要进一步刻画事物间的联系(比如城市间的距离),就给连线赋一个权值,从而抽象成赋值图。

综上,根据实际问题,可建模成下列图论模型的一种:无向赋权图、有向赋权图、无向非赋权图、有向非赋权图。

例1.宴会定理:任何一宴会中,一定存在两个人有相同的数量朋友M:点表示人,连线表示当且仅当该两个人是朋友A:问题转化为任何一个图一定存在两个顶点的度相等二、图论模型接下来介绍若干典型的图论模型,每种模型几乎对应于图论的一个重要内容,这些内容将在第三章进行讨论,也就给出了这些模型的解答思路。

2.1 偶图模型凡涉及两类事物间的联系(即只考虑两类事物间的联系,而不考虑同类事物间的联系),均可抽象成偶图模型。

作图时,将两类事物分成两行或者两列。

这类模型通常被包含在后续的模型中,但因许多现实问题可抽象成该模型,所以单列出来讨论。

图论模型(最优连线问题、最短路问题)

图论模型(最优连线问题、最短路问题)

v3
8.1 最优连线问题(最小生成树)
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇,自 来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下,问 如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析: ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点; ②铺设的管道中如果有回路,则去掉一条边,仍可 行。 故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的 图形,称为图G的生成树。 我们的目标是寻找一颗图G的生成树,其各条 边的权之和最小,称为最小生成树。 1956年,Kruskal给出了一种求最小生成树的 算法,称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为: l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注:l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的 最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径,程序执行后输出为:1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化,点击屏幕输入终点以及 在图形上输出显示最短路径。

【经典】建模-组合优化模型-图论模型

【经典】建模-组合优化模型-图论模型

的路线,经过的总长度是不同的。例如,按照第一个线路,
总 长 度 是 3+6+3=12 单 位 , 按 照 第 二 个 路 线 , 总 长 度 是
3+1+1+6=11单位。 19
定义1 设P(vs, vt) 是赋权有向图D = (V, A) 中从点vs 到vt的路, 用E(a) 表示路径P(vs, vt)中全部弧的集合, w (a)
为弧a的权重,记: w(P) w(e) eE (a)
则称w (P)为路径P(vs, vt)的权。
定义2 若P0 是D 中连接vs到vt的路径, 它的权是D 中 连接vs到vt的所有路径P中最小的,即:
w(P0 ) min w(P)
P
则称P0 是D 中从vs到vt的最短路,其权称为8
例 如下图所示的单行线交通网,每个弧旁边的数字
表示这条单行线的长度。现在有一个人要从V1出发,经
过这个交通网到达V6,
v2
6
v4
要寻求总路程最短的
线路。
v1
3 14
5
3
2
v6
6
1
从v1到v6的路线是很多的。v3比如从V1出发,v5经过V2 ,V4
到达V6或者从V1出发,经过V2,V3,V5到达V6等等。但不同
已知设备在每年年初的购买费分别为11,11, 12,12,13。使用不同时间设备所需的维修费分别 为5,6,8,11,18(万元)。
年份 1
2
3
45
年初 价格
11
11
12
12 13
使用年

0-1 1-2 2-3 3-4 4-5
每年维
修费
5
6

浅谈图论(一)——最短路问题

浅谈图论(一)——最短路问题

浅谈图论(⼀)——最短路问题图论〔Graph Theory〕是数学的⼀个分⽀。

它以图为研究对象。

图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形,这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系,⽤点代表事物,⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。

(摘⾃百度百科)1.Floyd 弗洛伊德算法这种算法解决的是多源最短路问题(求任意两点之间的最短路径)若我们⽤⼆维数组e[i][j]表⽰点i到点j当前的最短距离(程序运⾏完后数组中存的就是真正的最短距离)那么我们可以⽤e[i][j]=max(e[i][j],e[i][k],e[j][k]);来更新e数组。

也就是⽐较从i到j 和从i到k+从k到j 的距离重点来啦核⼼思想:能否找到第三点使得任意两点的距离变短,即能否找到 i->k->j ⽐ i->j 短,如果能找到,就更新。

下⾯呈上代码://多元最短路 Floyd O(n^3)#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=99999999;int n,m,e[1005][1005];int main(){int i,j,k,a,b,c;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(i==j) e[i][j];else e[i][j]=maxn;}}for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);e[a][b]=c;}//Floyd核⼼部分for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)for(k=1;k<=n;k++)if(e[j][k]>e[j][i]+e[i][k])e[j][k]=e[j][i]+e[i][k];for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d ",e[i][j]);printf("\n");}return0;}Floyd很容易发现Floyd算法的时间复杂度是O(N^3)。

图论模型:最短路24页PPT

图论模型:最短路24页PPT

T ( v 1 , n 0 ) f 0 { } 1 m , 0 i2 } n 2 {
T ( v 2 ) m T ( v 2 ) i P ( v , 0 n ) f 0 { } 2 m , 0 i 8 } n 8{
T ( v 3 ) m T ( v 3 ) P i ( v , 0 n ) f 0 } { 3 m , 0 i 1 } n 1{
称其为图解。凡是有向图,在图解上用箭头标明其方 向。
例 设 V = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } , E 如 { v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 4 , v 2 v 3 , v 2 v 4 , v 3 v 4 }
则G=(V,E)是一个有4个顶点、6条边的图,其
v的路径,用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合,
记为,
,则称F(P)为路径P(u,v) 的权或长
度。
F(P) F(e)
eE(P)
▪ 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径,且对任意
在G中连接u,v的路径P(u,v),都有F(P0)≤F(P),则
称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
▪ 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。
▪ 定义5 连通而无圈的图称为树,常用T表示树。
§7.2 最短路模型及其算法
▪ 最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一, 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。
▪ 定义1 设P(u,v)是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点
定若 理 v0v1v2 vk是 G 中v0 从 到 vm 的最短 路 i,j, ,
1ijm , vivi1 vj必G 为 中vi从 到 vj的最 . 短

图论 模型

图论 模型

图论模型图论是运筹学的一个经典和重要分支,专门研究图与网络模型的特点、性质以及求解方法。

许多优化问题,可以利用图与网络的固有特性而形成的特定方法来解决,比用数学规划等其他模型来求解往往要简单且有效得多。

图论起源于1736年欧拉对柯尼斯堡七桥问题的抽象和论证。

1936年,匈牙利数学家柯尼希(D. Kӧnig )出版的第一部图论专著《有限图与无限图理论》,树立了图论发展的第一座里程碑。

近几十年来,计算机科学和技术的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,其理论和方法已经渗透到物理、化学、计算机科学、通信科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学各个学科中。

9.1 图的基础理论9.1.1 图的基本概念所谓图,概括地讲就是由一些点和这些点之间的连线组成的。

定义为(,)G V E =,V 是顶点的非空有限集合,称为顶点集。

E 是边的集合,称为边集。

边一般用(,)i j v v 表示,其中,i j v v 属于顶点集V 。

以下用V 表示图(,)G V E =中顶点的个数,E 表示边的条数。

如图9.1是几个图的示例,其中图9.1 (a)共有3个顶点、2条边,将其表示为(,)G V E =,123{,,}V v v v =,1213{(,),(,)}E v v v v =.23v 45v 34(a)(c)图9.1 图的示意图1.无向图和有向图如果图的边是没有方向的,则称此图为无向图(简称为图),无向图的边称为无向边(简称边)。

如图9.1 (a)和(b)都是无向图。

连接两顶点i v 和j v 的无向边记为(,)i j v v 或(,)j i v v 。

如果图的边是有方向(带箭头)的,则称此图为有向图,有向图的边称为弧(或有向边),如图9.1 (c)是一个有向图。

连接两顶点i v 和j v 的弧记为,i j v v 〈〉,其中i v 称为起点,j v 称为终点。

显然此时弧,i j v v 〈〉与弧,j i v v 〈〉是不同的两条有向边。

数学建模图论

数学建模图论

图论一.最短路问题问题描述:寻找最短路径就就是在指定网络中两结点间找一条距离最小得路。

最短路不仅仅指一般地理意义上得距离最短,还可以引申到其它得度量,如时间、费用、线路容量等。

将问题抽象为赋权有向图或无向图G ,边上得权均非负 对每个顶点定义两个标记(()l v ,()z v ),其中:()l v :表示从顶点到v 得一条路得权 ()z v :v 得父亲点,用以确定最短路得路线S :具有永久标号得顶点集1、1Dijkstra 算法:即在每一步改进这两个标记,使最终()l v 为最短路得权 输入:G 得带权邻接矩阵(,)w u v 步骤: (1)赋初值:令0()0l u =,对0v u ≠,令()l v =∞,0={u }S ,0i = 。

(2)对每个(\)i i i v S S V S ∈= (即不属于上面S 集合得点),用min{(),()()}iu S l v l u w uv ∈+ 代替()l v ,这里()w uv 表示顶点u 与v 之间边得权值。

计算min{()}iu S l v ∈,把达到这个最小值得一个顶点记为1i u +,令11{}i i i S S u ++=⋃。

(3) 若1i V =-,则停止;若1i V <-,则用1i +代替i ,转(2)算法结束时,从0u 到各顶点v 得距离由v 得最后一次编号()l v 给出。

在v 进入i S 之前得编号()l v 叫T 标号,v 进入i S 之后得编号()l v 叫P 标号。

算法就就是不断修改各顶点得T 标号,直至获得P 标号。

若在算法运行过程中,将每一顶点获得P 标号所由来得边在图上标明,则算法结束时,0u 至各顶点得最短路也在图上标示出来了。

理解:贪心算法。

选定初始点放在一个集合里,此时权值为0初始点搜索下一个相连接点,将所有相连接得点中离初始点最近得点纳入初始点所在得集合,并更新权值。

然后以新纳入得点为起点继续搜索,直到所有得点遍历。

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1, vi 是e j的起点 mij 1, vi 是e j的终点 0, vi与e j 不关联
例1
v1 e1 v2
e2 e5
v4
1 e4 1 M 0 0
v3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0
e3
② 邻接矩阵
rij ( n ) p1 ,则点p1是点i到点j最短路的中间点, 若 R ( k ) (rij ( k ) ) nn , (k 1, 2,..., n) rij ( k ) 的意思是从ui到uj的最短路要经过点号为 rij ( k ) 的
然后用同样的方法再分头查找:
rip1 ( n ) p2 , rip2 ( n ) p3 ,..., ripk ( n ) pk ①向点i追溯得: rp1 j ( n ) q1 , rq1 j ( n ) q2 ,,..., rqm j ( n ) j ②向点j追溯得:
以u1作为可行中间点的路径中最短路的长度。得距离矩 阵 ; D (1) (dij (1) ) nn
dij (2) min{dij (1) , di 2 (1) d 2 j (1)} , D (2) (dij (2) ) nn , 第2步: d ij ( 2) 是从ui到uj的只允许以u1、u2作为可行中间点
Floyd算法程序:
%floyd.m(Floyd程序 for k=1:n 需要调用子函数) for i=1:n function [D,R]=floyd(a) for j=1:n n=size(a,1); if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D=a; D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); for i=1:n R(i,j)=R(i,k); for j=1:n end R(i,j)=j; end end end end k R D R end
%road2.m (floyd算法程序) a=[0 9 inf 3 inf; 9 0 2 inf 7; inf 2 0 2 4; 3 inf 2 0 inf; inf 7 4 inf 0]; [D,R]=floyd(a)
最后输出的矩阵D中元素aij即为ui和uj之间的最 短距离。
查找最短路径的方法: Floyd算法程序在上述各步中还输出一个路径矩 阵 点。
0
8
u8
1
u4
1
10
u7
第三步:在其余点中找从u1直接到达或从u1经u4 到达或从u1经u2到达的的距离最近的点u5, min{8,11,11,3,9}。
u2
2 7 5 3 9 1
u5
2
3
u1
u3
u6
1
5 10 2 5 6
0
8
u8
1
u4
1
10
u7
第四步:min{8,11,11,9,8,6,12},u6。
2
1
u5
2
7 5
3
3 9
u1
u3
u6
0
8
8
10
1
2
6
5 5 6
u8
1
u4
1
10
10
u7
第七步:min{12,11,15},u8。
u2
2
1
u5
2
7 5
3
3 9
u1
u3
u6
0
8
8
10
1
2
6
5 5 6
11 u8
1
u4
1
10
10
u7
%road1.m (dijkstra算法程序)
w=[0 2 1 8 inf inf inf inf; 2 0 inf 6 1 inf inf inf; 1 inf 0 7 inf inf 9 inf; 8 6 7 0 5 1 2 inf; inf 1 inf 5 0 3 inf 9; inf inf inf 1 3 0 4 6; inf inf 9 2 inf 4 0 3; inf inf inf inf 9 6 3 0]; n=size(w,1); w1=w(1,:); for i=1:n l(i)=w1(i); z(i)=1; end s=[];
无向图G,邻接矩阵A=(aij) 1, vi与v j 相邻(即vi与v j 之间有边) aij 0, vi与v j 不相邻 有向图G,邻接矩阵A=(aij)
1, 从vi到v j 有有向边 aij 0, 从vi到v j 无有向边 有向赋权图G,邻接矩阵A=(aij) wij , 从vi到v j 有有向边,且wij 为其权 aij 0, 若i j , 从v 到v 无有向边 i j
ch8 图论模型
图论是离散数学的重要分支,在物理学、化学、 系统工程、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科 学管理、电子计算机等各个领域又具有极其广泛的 应用。 图论的历史可以追朔到1736年,这一年29岁的 瑞士大数学家Euler发表了图论的第一篇论文,解决 了著名的哥尼斯堡七桥问题。
现实生活中的公路交通网、铁路交通网、灌溉 网、自来水(石油、天然气)管道网、电话线网计 算机通讯网、输电线网等,都可以用上述图的方式 来描述和分析解决问题。
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为: l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注:l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的 最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径,程序执行后输出为:1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化,点击屏幕输入终点以及 在图形上输出显示最短路径。
对于有向图的顶点的度数,还可分为出度 d (v) 和 入度 d (v) 。 定理:

d (v ) 2 m
i 1 i
n
4 图的矩阵表示 ① 关联矩阵 无向图G,关联矩阵M=(mij)
1, vi与e j 关联 mij 0, vi与e j 不关联
有向图G,关联矩阵M=(mij)
2 Floyd算法
Dijkstra算法的缺点是只能求起点到其它个顶点的 最短路径,不能求出任意两点之间的路径, Floyd算法可 解决该问题。 Floyd算法简介:
D (0) (dij (0) ) nn W 将加权矩阵W作为距离矩阵的初值 d ij (0) 和ui经过u1到 第1步:比较ui和uj之间直达的距离 di1(0) d1 j (0) ,最小值作为第一步的 达uj的路径距离 (1) (0) (0) (0) d ij (1) 值dij min{dij , di1 d1 j } , 是从ui到uj的只允许
七桥问题
著名数学家欧拉
无向图 1 定义:由顶点和边组成的图形称为图。 有向图 赋权图 2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e u v
图的基本概念
边e1与e2相邻。 u=v时,边e称为环。
e1
e2
3度
定义:与顶点v关联的边的数目称为顶点v的度数, 记为d(v)。(注:环算2度。)
的路径中最短路的长度;
…… dij ( n ) min{dij ( n 1) , di 2 ( n 1) d 2 j (n 1) } , D (n ) (dij (n ) )nn , 第n步: d ij ( n )是从ui到uj的只允许以u1、u2、……、un作为 可行中间点的路径中最短路的长度; 则最后输出的矩阵D中元素aij即为ui和uj之间的最短 距离。
u6
5 5
u8
6
2
u4
10
u7
解:算法原理为蚂蚁算法(探索算法),每次新连 接一个点。所有新到一个点最短路程中最短的那个 店,作为新增点。 第一步:找从u1出发到达的距离最近的点u4, min{2,8,1},将这个距离写进u4的圈中。将从u1到 u4的边描成红色,u4成为永久标记的点;
u2
2 7 5 3 9 1
注:inf指 无穷大。
s(1)=1; u=s(1); k=1; l; z; while k<n for i=1:n for j=1:k if i~=s(j) if l(i)>l(u)+w(u,i) l(i)=l(u)+w(u,i); z(i)=u; end end end end l; z;
ll=l; for i=1:n for j=1:k if i~=s(j) ll(i)=ll(i); else ll(i)=inf; end end end lv=inf; for i=1:n if ll(i)<lv lv=ll(i); v=i; end end
(其思想是:在剩余点集中找连接到U中顶点的最小权重的边,添加到生成树中。
(显然不会产生回路)。仍然是以局部的最优谋求全局的最优。)
上例中,采用Prim算法最小生成树的生 长过程:
A 8 5 B
7 E
6 水厂
1
3
10
D
9
C
例:如何设计海底管道网。( Prim 算法)
1 2 6 8 7 1 9 1 3 7 6 4 4 2 9 2
算法如下:
(1)选择边 e1 ,使得 w(e1 ) 最小; (2)若已经选定边 e1 , e2 ,..., ei ,则从剩余边集
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