高斯求积公式-数值分析课程设计2

一、 引言

介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰

=

1

sin I xdx 。

要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。

我们知道,求积公式

⎰

∑=≈

b

a

n

i i i

x f A

dx x f 0

)

()( （1.1）

含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程

m

k dx x x A b

a

k

n

i k

i i ,,2,1,0,

==

⎰

∑

= (1.2)

精确成立。作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令

)

())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)

()(2

1x x f n +=ω而言，

(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(2

1x n +ω不准确成立。但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出

22+n 个独立条件,所以m

最大取12+n 。因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确

度最小是n ,最大是12+n ．

由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。

为解决上述问题，首先要先给出三个定理：

定理一：

以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式

)

())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω

与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即

⎰=+b

a

n dx x x P 0

)()(1ω (1.3)

定理二：

高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且

n

k dx x l dx x l A b

a

k b

a

k k ,1,0,

)()(2

==

=

⎰

⎰

(1.4)

定理三：

对于高斯公式(1.1),其余项为

dx

x f

n f R b

a

n n ⎰+++=

)()()!

22(1)(2

1)

22(ωη (1.5)

其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη

证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H

),

()(i i x f x H = n

i x f x H i i ,1,0),

()(='='

因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是

)

()()!

22(1)()(2

1)

22(x f

n x H x f n n +++=

-ωξ

所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即

∑∑⎰

====

n

i i i

n i i

i

b

a

x f A

x H A dx x H 0

)

()()(

从而

dx

x f

n dx

x H dx x f x f A dx x f f R n b

a

n b

a

b

a

n

i i i b

a

)()()!

22(1)()()()()(2

1)

22(0

++=⎰

⎰

⎰

∑

⎰

+=

-

=

-

=

ωξ

若

)()

22(x f

n +在区间],[b a 上连续,由于)(2

1x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值

定理可得

]

,[,

)()()!

22(1)(2

1)

22(b a dx x f

n f R b

a

n n ∈+=

⎰++ηωη

上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。

注：由于篇幅有限以及定理三的重要性,故略去定理一、二的证明。

二、 方法描述：

2.1、高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式

对于任意求积区间],[b a ,通过变换

t

a b b a x 2

2

-++=

可化为区间]1,1[-,这时

⎰

⎰

--+

+-=

1

1

)2

2

(

2

)(dt

t a b b a f a b dx x f b

a

因此,不失一般性,可取,1,1=-=b a 考查区间]1,1[-上的高斯公式

∑⎰

=-≈

n

i i i

x f A

dx x f 0

1

1

)

()( (2.1)

我们知道,勒让德(Legendre)多项式

]

)1[()!1(2

1)(1

21

1

1

1+++++-+=

n n n n n x dx

d

n x L (2.2)

是区间]1,1[-上的正交多项式,因此, )(1x L n +的1+n 个零点就是高斯公式(2.1)的

1+n 个节点。特别地,称)(1x L n +的零点为高斯点,形如(2.1)的高斯公式称为高斯

-勒让德公式。

利用勒让德多项式的一个性质

)]()()[1()()1(112

x xL x L n x L x n n n

++-+='-

可得,高斯-勒让德求积系数i A 为

n

i x L n x A i n i i ,2,1,0,)]

()1[()1(22

2

=+-=

(2.3)

按(1.5)式,可推得其余项为

)

(]

)!22)[(32()]

1[(2

)()

22(3

4

3

2η+++++=

n n f

n n n f R (2.4)

若取x x L =)(1的零点00=x 为节点,则