2020黑龙江哈三中三模高三数学理试题答案解析
哈尔滨市第三中学2020届高三数学综合题三理含解析
即OE与FD1所成的角的余弦值为 。
10. 若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
因 ，故由题设 在区间 内有零点，即 ，所以 且 ，即 ，应选答案D．
11。 已知两正数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
【详解】解：∵ ，
复数 的虚部是 ．
故选:C
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题。
2. 已知 ，函数 ,若 满足关于 的方程 ，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B。
C. D。
【答案】C
【解析】
试题分析:因为, 满足关于 的方程 ，所以， ，使 取得最小值，因此， 是假命题，选C．
15。 中, ， ， ， 为 边上一动点，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三边长得出直角三角形,以 作为基底,表示出 ，即可求得模长，利用函数单调性求出最值。
【详解】 中， ， , ， ，
根据勾股定理
为 边上一动点，设 ,
，
，
则
，根据二次函数性质，当 时，取得最小值，
最小值为 。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.）
13。 展开式中 的系数是______。（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理得到 展开式通项,进而得到 展开式通项，令 幂指数等于 可求得 ，代入求得结果。
【详解】 展开式通项公式为 ,
展开式通项公式为 ,
考点:方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．
【理数】2020年哈三中普通高考模拟试卷(一)理科数学_20200331_153154
C． 2020
D． 4041 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
x y 1 0
13．
已知实数
x
，y
满足条件
x
y
0
，则 z x 2 y 的最大值为__________．
x 0
14．
已知双曲线
C
：x2 a2
y2 b2
1（a
0，b 0）
的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过
2020 年哈尔滨市第三中学普通高考模拟试题（一） 数 学（理）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 已知 i 为虚数单位，则 1+i （ ） i
A．0
B． 1
C．1 i
18． (12 分) 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA = CB，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E、F 分别是线段 AA1，A1B1 的中点，且 CE EF ． (1) 证明：平面 ABB1A1 平面 ABC； (2) 若 CE CB ，求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值．
举行。这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月
异。今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。他们是由军事科学院、
国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历
分别有学士、硕士、博士学位。现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院
的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为()1+iA. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)2.已知集合M={x|x2+x−6≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−3,2]C. (0,3]D. [−3,+∞)3.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 6πB. 8πC. 7πD. 11π4.下列说法正确的是()A. f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，则f(x)≥0的充分条件是b2−4ac≤0B. 若m，k，n∈R，则mk2>nk2的充要条件是m>nC. 对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，x02≥0D. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β5.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i6.某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A. 10B. 12C. 16D. 207.阅读下面的程序框图，若输入a,b,c的值分别是2，1，7，则输出的值是()A. 3B. 6C. 8D. 98. 若0<α<π2，cos(π3+α)=13，则cosα=( )A. 2√2+√36B. 2√6−16C. 2√6+16D. 2√2−√369. 已知数列{a n }是公差为12的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.若a 2,a 6,a 14成等比数列，则S 5=( )A. 252B. 35C. 352D. 2510. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (1,+∞)D. (12,+∞)11. 点S ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，S ，O 在平面ABC 的同侧，∠ABC =120°，AB =BC =2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S −ABC 的体积为√3，则该球的表面积为( )A. 18πB. 16πC. 20πD. 25π12. 设f(x)=e x +b x +c ，若方程f(x)=x 无实根，则( )A. b >1，c <1B. b >1，c >−1C. b ≤1，c <1D. b ≤1，c >−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=9，|b ⃗ |=4，夹角为120°，a ⃗ ⋅b⃗ = ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2，则2x −y 的最大值为______．15. 设A 是抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与双曲线C 2：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点．若点A 到抛物线C 1的准线距离等于32p ，则双曲线C 2的离心率等于______．16. 有三家分别位于△ABC 顶点处的工厂，已知AB =AC =5，BC =6，为了处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP ，BP ，CP ，则AP +BP +CP 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π．2(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．(1)求证：AB1⊥平面A1BC．(2)当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．19.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21. 求证：1+122+132…+1n 2<2−1n (n ∈N ∗,n ≥2)22. 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数).点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,π6)，(ρ2,23π)． (1)写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(Ⅰ)解不等式：f(x)+f(x −1)≤2；(Ⅱ)当a >0时，不等式2a −3≥f(ax)−af(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．2.答案：A解析：本题考查了一元二次不等式的解法和集合的交集运算.先解不等式，再求交集．解：因为M={x|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，N={x|x>0}，所以M∩N=(0,2]，故选A．3.答案：C解析：解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S=2π×1×2+12×2π×1×2+π×12=7π，故选：C．由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.答案：D解析：解：对于A，当a<0时，由b2−4ac≤0不能得到f(x)≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2>nk2的一定能推出m>n，但是，当k=0时，由m>n不能推出mk2>nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02<0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D由充分必要条件的判定方法判断A，B，直接写出全程命题的否定判断C，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可以判断D本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定、命题的逆否命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，空间直线与平面位置关系的判断，属于中档题．5.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．6.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．根据题意，用间接法分析：先计算从2名女教师和4名男教师中任选3人的选法数目，再分析其中没有女生，即全部为男生的选法数目，分析可得答案．解析：解：根据题意，从2名女教师和4名男教师中任选3人，有C63=20种选法，其中没有女生，即全部为男生的选法有C43=4种，则少有1名女教师要参加这项工作的选法有20−4=16种；故选C．7.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．根据模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a=2，b=1，c=7，不满足a<b，所以执行m=b+c=8;故选C．8.答案：C解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．由已知角的范围可求π3+α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，由于α=(π3+α)−π3，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵0<α<π2，∴π3<π3+α<5π6，∴sin(π3+α)=√1−cos2(π3+α)=2√23，∴cosα=cos[(π+α)−π]=cos(π+α)cosπ+sin(π+α)sinπ=13×12+2√23×√32=1+2√66．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了等差数列的求和与等比数列的性质，属于基础题．根据等比数列的性质求得等差数列的首项，然后求解其前n项和即可．解：∵a 2,a 6,a 14成等比数列，∴a 62=a 2a 14，即(a 1+5×12)2=(a 1+12)(a 1+13×12)， 解得a 1=32， ∴S 5=5a 1+5×42d =152+5=252，故选A ．10.答案：A解析：本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 解：x ∈(12,+∞)时，x 2+32x =(x +34)2−916>1，函数f (x )=log a (x 2+3x2)(a >0且a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0， 所以a >1，∴函数f(x)的定义域为x 2+32x >0， 解得x <−32或x >0，由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间(0,+∞)， 故选A ．11.答案：D解析：解：三棱锥O −ABC ，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且AB =BC =2，∠ABC =120°， ∴BC =2√3，∴∴△ABC 外接圆半径2r =2√3sin120°=4，即r =2∴S △ABC =12×2×2×sin120°=√3， ∵三棱锥S −ABC 的体积为√3，∴S到底面ABC的距离ℎ=3，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S−ABC补成一个同底等高的棱柱，则圆心O到平面ABC的距离d=32．球的半径为：R2=d2+r2=254球的表面积：4πR2=25π．故选：D求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.答案：D解析： f(x)>x恒成立是解题关键，本题考查函数零点与方程的根的关系，属基础题．解：由题意，若方程f(x)=x无实根，可得 f(x)>x恒成立，e x>(1−b)x−c对任意x恒成立．∴1−b>0, −c<1 或b=1,−c≤0，故选D．13.答案：−18)=−18．解析：解：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=9×4×cos120°=9×4×(−12故答案为：−18．利用数量积定义即可得出．本题考查了数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：先根据约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2画出可行域，由{x =2x +y =2得A(2,0)， 当直线z =2x −y 过点A(2,0)时， z 最大是4， 故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.答案：√3解析：解：不妨设A(x 0,y 0)，y 0>0，由题意可得x 0+p2=32p ，∴x 0=p ， 又A 在抛物线C 1：y 2=2px(p >0)上，所以y 0=√2p ，从而，ba =√2， 可得c 2−a 2a 2=2，所以e =ca =√3．故答案为：√3．设出A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为32p ，得到A 的横坐标，利用A 在抛物线上，求出a ，b 关系，然后求解离心率即可．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．16.答案：495解析：解：由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245， ∵4+6>5+245，∴AP +BP +CP 的最小值为495． 故答案为：495．由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245，即可求出AP +BP +CP 的最小值．本题考查AP +BP +CP 的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵a =1，b =√2，B =A +π2．∴A 为锐角，∴由正弦定理可得：sinA =asinB b=1×sin(A+π2)√2=√2，两边平方整理可得：sin 2A =1−sin 2A2，解得：sinA 2=13，有sinA =√33．(2)∵C =π−A −B =π2−2A ，∴由正弦定理可得：c =asinC sinA=1×sin(π2−2A)sinA =cos2A sinA=2cos 2A−1sinA=1−2sin 2A sinA=1−2×(√33)2√33=√33， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×√33×√33=√26．解析：(1)由已知可得A 为锐角，由正弦定理可得sinA =asinB b=cosA √2，两边平方整理可解得sin A 的值．(2)利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得c ，根据三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题． 18.答案：解：(1)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，BC ⊥AB ，且AA 1=AB =2 ∴A 1A ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC∴A 1A ⊥BC又∵BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A∴BC ⊥平面AA 1B 1 B ，平面AB 1⊂平面ABB 1A ∴BC ⊥AB 1∵四边形A 1ABB 1是正方形∴A 1B ⊥AB 1又∵BC ∩A 1B =B∴AB 1⊥平面A 1BC(2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ∵BC ⊥平面A 1ABB 1∴∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ∵BC =2∵AO =12AB 1=√2，sin∠ACO =sinθ=AOAC∴AC═2√2,AO =√2在Rt △AOC 中，sinθ=12∴θ=π6∴BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6 解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ， 则B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(2,0，0)A 1(0，2，2) 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC B 1(0,0，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) ∵直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ∴sinθ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12即BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6解析：(1)证明BC ⊥AB 1，A 1B ⊥AB 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB 1⊥平面A 1BC ． (2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ，说明∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ，在Rt △AOC 中，求解直线AC 与平面A 1BC 所成的角．解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，求出B ，A ，C ，A 1，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．19.答案：(1)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况． 其中a ≥b 的情况由(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P =39=13．(2)因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人，设抽到B 班同学的人数为X ， ∴X 的可能取值为1，2，3． P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 20C 53=110．∴X 的分布列为：数学期望为E(X)=1×310+2×35+3×110=95．解析：本题考查茎叶图和古典概型及离散型随机变量分布列和期望问题，属于一般题． (1)根据茎叶图解决概率问题；(2)离散型随机变量的分布列和数学期望问题．20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．21.答案：证明：∵1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n ．解析：利用1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，即可证明结论． 本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ，(φ为参数)，消去参数φ，化为普通方程是x 2+(y −3)2=9； 由{x =ρcosθy =ρsinθ,(θ为参数)． ∴曲线C 的普通方程可化为极坐标ρ=6sinθ，(θ为参数)． (2)方法1：由A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)是圆C 上的两点， 且知，∴ |AB|为直径，∴|AB |=6．方法2：由两点A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)化为直角坐标中点的坐标是A(3√32,32)，B(−3√32,92)， ∴ A 、B 两点间的距离为|AB |=6．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．(1)消去参数φ，把曲线C 的参数方程化为普通方程；由公式{x =ρcosθy =ρsinθ，把曲线C 的普通方程化为极坐标方程；2)方法1：由A 、B 两点的极坐标，得出，判定AB 为直径，求出|AB|；方法2：把A 、B 化为直角坐标的点的坐标，求出A 、B 两点间距离|AB|．23.答案：解：(Ⅰ)原不等式等价于：当x ≤1时，−2x +3≤2，即12≤x ≤1．当1<x ≤2时，1≤2，即1<x ≤2． 当x >2时，2x −3≤2，即2<x ≤52． 综上所述，原不等式的解集为{x|12≤x ≤52}.(Ⅱ)当a >0时，f(ax)−af(x)=|ax −1|−|ax −a|=|ax −1|−|a −ax|≤|ax −1+a −ax|=|a −1|，所以，2a −3≥|a −1|，解得a ≥2．解析：(Ⅰ)分当x ≤1时、当1<x ≤2时、当x >2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a >0时，利用绝对值三角不等式可得f(ax)−af(x)≤|a −1|，结合题意可得2a −3≥|a −1|，由此解得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 经过第 次运算后变为 ，可知 ， ， ， ， ，经过逆向运算，逐步推导可依次得出 、 、 、 ，并对 分奇数和偶数两种情况分类讨论，进而可求得 的值.
【详解】设 经过第 次运算后变为 ，可知 ， ， ， ，
，则 ， ，
若 为奇数，则 ，得 ，不合乎题意，所以， 为偶数，且 .
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的除法运算化简，求出点的坐标得答案.
【详解】解：∵ ，
∴ 对应的点的坐标为 ，位于第二象限.
故选：B.
【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
3. 下列函数中是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
绝密★启用前
黑龙江省哈尔滨市第三中学
2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试
数学(理)试题
(解析版)
本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，因为 ， ，函数 在区间 内恒有 ，所以 ，由复合函数的单调性可知 的单调递减区间 ，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为 ，故选C．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出 的底数 的值，由 ，可得到内层函数的值域，再由 恒成立，可得到底数 的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
【答案】D
【解析】A.根据众数和中位数的性质进行判断；
B.根据系统抽样的定义进行判断；
C.根据充分条件和必要条件的定义进行判断；
D.根据含有量词的命题的否定进行判断.
【详解】
对于A，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A错误；
对于B，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B错误；
故答案为：
【点睛】
本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ， 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC的方程；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将给出的条件： ， ， ， 成等比数列用基本量 表示，求解 ，进而得到前 项和 .
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学(理)试题解析
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：A由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 解：由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.点评：考查集合并集运算，属于简单题.2．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题． 解：设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D 点评：本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件答案：B根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：解：a Q ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++答案：C根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 解：由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-.故选：C 点评：本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.5．已知函数1()sin 2f x x x =，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 答案：A化简()1sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第三次调研数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11．已知点 是椭圆 椭上非顶点的动点， 分别是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，若 为 的平分线上一点，且 ，则 的取值范围（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】延长 交 于点 ,由题可得 ,又有 ,可得 为 的中点,即 ,根据 的范围求 范围即可
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出 有两个不同零点时 的范围,再求出 有两个不同零点时 的范围,再画出 与 的图象,可得一交点为 ,进而由图象得到 的范围,使之满足 再与之前所求得交集即可
【详解】
由题, ,当 时, 恒成立,即 在 上单调递增,无法满足题意,故舍去；当 时,令 ,可得 ,则 在 上单调递增, 上单调递减,且 时, ,故由题需满足 ,即 ；
【详解】
（1）由题, ( 为参数), ,
即曲线 的普通方程为 ；
又 , , ,
即曲线 的直角坐标方程
（2）由（1）可得曲线 为 ,则其极坐标方程为
射线 与曲线 分别相交于异于极点的点 ,
,
,
,
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标系下的弦长的最值问题,考查运算能力
,
由（1）,则 ,
,
,
【点睛】
本题考查等比数列的证明,考查累加法求通项公式,考查错位相减法求前 项和,考查运算能力
20．已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程;
（2）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的内切圆的半径的最大值.
高三数学20哈三中高考模拟卷(三)
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21.（本小题满分 12 分）
如图，已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
的离心率为
1 2
，长轴长为 4，
A 、 B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，过右焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线 l 与椭圆
有一项是符合题目要求的．)
1.
已知
i
为虚数单位，则复数
z
3 4i 2i
的虚部是
A. 11i 5
B. 11i 3
11
C.
5
11
D.
3
2. 已知 a 0 ，函数 f (x) ax 2 bx c . 若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列
选项的命题中为假命题的是
A. ∃x∈R，f (x) ≤ f (x0) C. ∀x∈R，f (x) ≤ f (x0)
3. 公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基
里斯前面 1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10
倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里
斯
跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟
哈三中 2020 届高三 综合题(三)（理工类） 第 8页 共 9 页
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2020届 黑龙江省哈尔滨市 第三中学高三综合题(七)数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（七）数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9,11U =，{}3,5,9M =，{}7,9N =，则集合{}1,11=（ ） A ．M N ⋃ B ．M N ⋂C ．()U M N U ðD ．()U M N I ð【答案】C【解析】由集合运算的定义判断． 【详解】由题意{3,5,7,9}M N =U ，∴(){1,11}U M N =U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为（ ）A ．12B ．36C ．16D ．48【答案】A【解析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积． 【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3， ∴其体积为1343123V =⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点将线段12F F 三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =±C ．22y x =±D ．y x =±【答案】A【解析】由已知得3c a =，结合222c a b =+可得ba，得渐近线方程． 【详解】∵左、右顶点将线段12F F 三等分，∴232c a =⨯，即3c a =， ∴22229a c a b ==+，22ba=2y x =±． 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,a b 的关系． 5．如图，若输入n 的值为4，则输出m 的值为（ ）A ．-3B ．13C ．2D ．12-【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：1,2i m ==，开始循环，3m =-，满足4i <，2i =； 12m =-，满足4i <，3i =；13m =，满足4i <，4i =；2m =，不满足4i <，输出2m =．故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、 6．函数()ln 25f x x x =+-的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数()f x 零点个数. 【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()13,240f f e e =-=->，()()10f f e ⋅<，故函数在()1,e 上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点.故选:B 【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题. 7．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 A ．5- B ．4-C ．4D ．1【答案】D 【解析】【详解】分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则(2,3)P ,(2,3),(2,1),(2)(2)(3)11PA PB PA PB =--=-∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r.8．若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式中常数项为10π，则直线0x =，x a =，x 轴与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为（ ） A．22-B．2C1D ．1【答案】A【解析】由二项式定理求出a ，再由微积分基本定理求出面积． 【详解】62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的通项为663166((r r r r r rr T C x C x --+==，由630r -=，得2r =．∴常数项为226(1510C a π==，23a π=， 由于cos y x =与x 轴有一个交点为(,0)2π，∴2322223cos cos sin sin (sin 0)sin sin 2223222S xdx xdx x x πππππππππ=+=+=-+-=-⎰⎰． 故选：A ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数()f x 的图象是在x 轴上方还是在x 轴下方． 9．函数()sin()f x A x ωϕ＝＋（其中0A >，2πϕ<的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω＝的图象，可以将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.【考点】正弦型函数解析式 函数图像平移变换 点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为左、右焦点，1A ，2A ，1B ，2B 分别是其左、右、上、下顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若12B PA ∠为直角，则此椭圆的离心率为（ ） A ．212B ．512C ．22D ．32【答案】B【解析】由12B PA ∠是直角，得斜率乘积为－1，由此可得,,a b c 关系，从而得离心率．【详解】由题意122(0,),(0,),(,0),(,0)B b B b F c A a -， ∵12B PA ∠为直角，∴1221FB A B k k =-，即1b bc a-⋅=-，即222b ac a c ==-，∴2()10c c aa +-=，210e e +-=，∴12e -=（12-舍去）． 故选：B ． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出,,a b c 的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11．已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4APC BPC π∠=∠=，若球O 的体积为323π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】由球体积求出球半径为2，从而可得APC ∆和BPC ∆都是等腰直角三角形，从而,AO PC BO PC ⊥⊥，PC ⊥平面AOB ，这样A PBC -的体积易求． 【详解】 由343233R ππ=，得2R =，如图，由PC 为球O 的直径，∴2OP OC OA OB AB =====，2PAC PBC π∠=∠=，4APC BPC ACP BCP π∠=∠=∠=∠=，,AO PC BO PC ⊥⊥，∴PC ⊥平面AOB ，AOB S ∆212sin 23π=⨯=，∴1()3A PBC P AOB C AOB AOB V V V S PO OC ---∆=+=+1433==． 故选：B ．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得PC ⊥平面AOB ，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12．已知函数()323sin f x x x x π=--，则12402440252013201320132013f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （ ） A ．4025 B ．-4025C ．8050D ．-8050【答案】D【解析】应用倒序相加法求和． 【详解】∵3232(2)()(2)3(2)sin (2)3sin f x f x x x x x x x ππ-+=-----+--232(8126)3(44)sin x x x x x x π=-+---++323sin x x x π+--4=-， 记1240244025()()()()2013201320132013S f f f f =+++L ， 则4025402421()()()()2013201320132013S f f f f =++++L ， ∴244025S =-⨯，8050S =-． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算(2)()f x f x -+，从而得解．二、填空题13．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 【答案】92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算. 14．已知(),x y 满足：()00,0x y m m x y ⎧+≤>⎨≥≥⎩，若2z x y =+的最大值为2，则m =______.【答案】1【解析】作出可行域（示意图），作直线:20l x y +=，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，l 向上平移时，z 增大，易知当直线l 过点(,0)A m 时，z x y =+取得最大值2m ，所以22m =，1m =． 故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．非统计专业统计专业男 15 10 女 520参考公式：0．0250．0100．0050．0015．024 6．635 7．879 10．828【答案】【解析】试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．【考点】独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16．ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在边AC 上，3DB =，且()0sin sin BA BC BD BA A BC C λλ⎛⎫ ⎪=+> ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则AC AB +的最大值为______. 【答案】27【解析】由sin sin BA A BC C =u u u r u u u r，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得D点就是AC 边中点，这样在ABD ∆中应用正弦定用角理表示出,AB AD ，利用三角函数性质可求得+AB AC 的最大值． 【详解】如图，作BE AC ⊥于E ，取AC 中点F 连接BF ，()()sin sin BA BC BA BC BD BE BE BA A BC Cλλ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 2()BA BC AF BE BE λλ=+=u u u r u u u r u u u r ，∴BD u u u r 与BF u u u r共线，从而D 与F 重合，即D 是AC 中点．ABD ∆中，603A π==，记ABD α∠=，则203πα<<，sin sin()3ADB πα∠=+， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠sin BD A =，即3sin sin()sin33ABADπαα==+， ∴2sin()3AB πα=+，2sin AD α=，22sin()4sin 3AB AC AB AD παα+=+=++2(sin coscos sin )4sin 5sin 333ππααααα=++=+， 7)αθ=+，其中θ为锐角，cos 27θ=，3sin 7θ=∴2παθ=-时，+AB AC 取得最大值27故答案为：27 【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：*22()n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）1(2)24n n T n +=-+【解析】（1）利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =，由22n n S a =-，可得1122n n S a ++=-，上述两式相减可得1122n n n a a a ++=-， 所以12n na a +=，120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =．（2）由（1）可知(1)22n nn n b n a n =-=⋅-，所以123123(1222322)(2222)n nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++L L ，令1231222322n M n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①， 则234121222322n M n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ②， ①－②得123112(12)222222(22)2212n n n n n M n n n ++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，所以(22)22n M n =-⋅+，所以12(12)(22)22(2)2412n nn n T n n +-=-⋅+-=-+-．【点睛】（1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.18．小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为12，23，34.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算. （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望. 【答案】（Ⅰ）2324；（Ⅱ）分布列见解析，2312EX =【解析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得；（Ⅱ）X的取值为0,1,2,3，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请A大，B大，C大都不成功的概率为1231 11123424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则小建至少申请成功一所大学的概率23 24.（Ⅱ）()124P X==，1111211131(1)2342342344P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12111312311(2)23423423424P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()123132344P X==⨯⨯=，X的分布列如下：2312EX=.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19．如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且1==PA AB，E为PB中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若2AD =，求二面角D EC B --的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）234【解析】（Ⅰ）由PA ⊥面ABCD ，得PA BC ⊥，再结合矩形可证得BC ⊥面PAB ，从而得BC AE ⊥，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，由空间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角． 【详解】（Ⅰ）∵1==PA AB ，E 为中点，∴AE PB ⊥， ∵ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥且BC AB ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴BC AE ⊥，BC PB B =I ，∴AE ⊥面PBC .（Ⅱ）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量(),,n x y z =r ，则1120220n DE x y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令2z =，得10,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，设平面BEC 的法向量()',','m x y z =u r ，则11''0222'0m BE x z m BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，得()1,0,1m =u r，则234cos ,17n m <>=r u r，∵二面角D EC B --的平面角为钝角， ∴二面角D EC B --的平面角的余弦值为23417-.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20．已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12p D x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠.（1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ．如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ．在Rt △APF 中，sin ∠PAF 1p =，同理可得sin ∠QBF 1p=．即可解出p ．（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|HA HB -u u u r u u u r|＜8，8BA u u u r ＜，可得8，m 2＜1．由OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r ，t ≠0．利用向量坐标运算可得22121214y y OH y y t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u u u r ，，把点H 的坐标代入抛物线方程即可得出． 【详解】解：（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ． 如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ． 在Rt △APF 中，sin ∠PAF 1p=， 同理可得sin ∠QBF 1p=． ∵11sin PAF sin QBF+=∠∠4，∴2p ＝4，解得p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，． 联立214x myy x-=⎧⎨=⎩，化为y 2﹣4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4．∵|HA HB -u u u r u u u r|＜8，∴8BA u u u r ＜，=8，化为1+m 2＜2，即m 2＜1．∵222121212()2y y y y y y +=+-=16m 2+8．OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r，t ≠0．∴222121214244y y m m OH y y t t t ⎛⎫⎛⎫++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，，．∵点H 也在曲线C 上，∴()22244216m m t t+=． 化为t 22221m m =+，t ≠0． ∵0≤m 2＜1． ∴t ∈203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴t 的取值范围是：203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题. 21．已知函数()()2xf x exax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为640x y ++=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()f x kx k R =∈有三个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()()224xf xx ex =--，增区间：(,6-∞-，)6,+∞；减区间：(6,6-；（Ⅱ）()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U 【解析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，然后由(0)6f '=-，(0)4f =-可求得,a b ，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对()224xe x x kx --=，由0x =不是方程的根，可变形为224xx x k e x--=⋅，令()42xe x g x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，利用导数研究()g x 的单调性，求出极值后可得结论． 【详解】 （Ⅰ）()()22'xexx ax a x b f =++++，由切线方程可得：()()'062044f a b a f b b ⎧=+=-=-⎧⎪⇒⎨⎨==-=-⎪⎩⎩， ∴()()224xf xx ex =--，()f x 增区间：(),6-∞-，()6,+∞；减区间：()6,6-.（Ⅱ）()224xe x x kx --=，∵0x =不是方程的根，∴224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()212'2xx x x x e x g -+-=，∴()g x 在(),2-∞-递减，()2,0-递增，()0,1递增，()2,+∞递增.且()0g x =的根为15x =±.()222g e-=-，()15g e =-，()222g e =-，()g x 的大致图象如图，∴k 的取值范围为()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论． 22．极坐标与参数方程已知曲线1C：6x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． （1）将1C 、2C 的方程化为普通方程；（2）若2C 与1C 交于M 、N ，与x 轴交于P ，求PM PN ⋅的最小值及相应α的值．【答案】（1）x 2+12y 2=1,02x sin ycos αα⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭（2）124，2k k Z παπ=+∈， 【解析】（1）利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可将曲线1C 化为普通方程；消去参数t ，即可得出2C 的普通方程.（2）C 2与x 轴交于P 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把C 2的参数方程代入曲线1C 化为普通方程，整理等关于t 的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM|•|PN|=﹣t 1t 2，进而求出最小值. 【详解】解：（1）由曲线C 1：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），利用sin 2θ+cos 2θ=22x +=1，化为x 2+12y 2=1．由C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数），消去参数t可得：0x sin ycos αα⎛-= ⎝⎭． （2）C 2与x 轴交于P 02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，把C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． 代入曲线C 1可得：（2+22sin 2α）t 2+22tcos α﹣1=0． ∴|PM|•|PN|=﹣t 1t 2=21222sin α+≥124，∴|PM|•|PN|的最小值124，此时2k k Z παπ=+∈，．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力.23．设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U 【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（Ⅰ）()3,(2){4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或． （Ⅱ）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，，由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->，解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．。
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(含解析)
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下命题：①任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立；②存在复数z，有z2=|z|2成立；③若y=sin(x+π3)是奇函数且最小正周期为2π；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是真命题．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 2或−2D. ±2或03.若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}.则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|x≥−2}C. {0,1，2}D. {1,2}4.设随机变量X服从B(6,12)，则P(X=3)的值是()A. 316B. 516C. 38D. 585.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 136.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是()A. m>1B. 1<m<8C. m>8D. 0<m<1或m>87.若函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()A. 12B. 1C. 2D. 38.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与b⃗ =−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是()A. √32B. −12C. 12D. −√329.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则b所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.某四面体的三视图均为直角三角形，如图，则该四面体的表面积为()A. 72+24√2B. 96+24√2C. 126D. 6412.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则2a2+a8=()A. 16B. 2C. 64D. 128二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对任何有限集S，记p(S)为S的子集个数．设M={1,2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对(A,B)，p(A)p(B)的和为______．14.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤0y≥0则z=2x−y的最小值为______15.在平面直角坐标系中，动点P满足到x轴的距离与到原点O的距离之和等于2.记动点P的轨迹为曲线C，下面对于曲线C的描述正确的是______.(把所有正确的命题的序号填在横线上)①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|y|≤1；④若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PO|≤2．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数 i x10152025303540件数 i y471215202327其中 i=1，2，3，4，5，6，7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(参考公式：)参考数据：18.设A，B，C为△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC．(1)求角A的大小；(2)求sinB+sinC的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)求证：BE//平面PAD(Ⅲ)假定PA=AD=CD，求二面角E−BD−C的正切值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F1(−√2,0)，F2(√2,0)的距离的和为定值4．(1)求点P运动所成轨迹C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx(x ∈R)．(Ⅰ)证明：函数f(x)是R 上单调递增函数； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0．22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)={2−3x ,x ≥012x 2+x +1,x <0．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点，求实数a 的取值范围；(3)若2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]，b ∈[−2,2]恒成立，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，则任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立，故①正确；②当复数z为实数时，则必存在复数z，有z2=|z|2成立，故②正确；③由于sin(−x+π3)=−sin(x−π3)≠−sin(x+π3)，故y=sin(x+π3)不是奇函数，故③不正确；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是假命题，故④不正确，故选：B．①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，即可判断①正确；②当复数z为实数时，有z2=|z|2成立，即可判断②正确；③由于f(−x)=f(x)知③不正确；④由复合命题的真假判断④不正确．本题通过命题的判定考查了平面向量，复数，三角函数的性质，复合命题的真假判断等知识，是综合题．2.答案：C解析：解：z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+(−1)2=5，整理a2=4，所以a=2或−2故选C根据复数模的计算公式|z|=√a2+b2，得出关于a的方程并解出即可．本题考查复数模的计算公式及应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：集合A中的x2≤4解得：−2≤x≤2，则{x|−2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A ∩B ={x|0≤x ≤2}， 故选：A ．先求出集合A 中的一元二次不等式的解集，然后求出公共解集即为两集合的交集． 本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4.答案：B解析：解：∵随机变量X 服从(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3(12)3=2026=516故选：B ．根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值． 本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5.答案：D解析：解：总的可能性为3×3=9种， 两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种， ∴所求概率P =39=13， 故选：D ．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a ，b ，a +b 成等差数列， ∴2b =2a +b ，即b =2a.① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴b 2=a 2b ，即b =a 2(a ≠0,b ≠0).② 由①②得a =2，b =4． ∵0<logm 8<1， ∴m >1．∵logm8<1，即logm8<logm m∴m>8故选C由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．7.答案：D解析：解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移π3个单位所得的函数，然后由已知y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得ω，进而求最小值三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a⃗⋅b⃗ 以及|a⃗|、|b⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果．解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．∴a⃗⋅b⃗ =(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )·(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−6e1⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗ 2+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a⃗|=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7，|b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12，∴sinθ=√1−cos 2θ=√32． 故选：A ．9.答案：D解析：解：画出函数f(x)=|lgx|的图象， ①设a+b 2≥1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =2lga+b 2，ab =1，可得a =1b ， 则b =(1b +b2)2，化为：f(b)=b 4−4b 3+2b 2+1=0，(b >1)． f′(b)=4b(b 2−3b +1)=4b(b −3+√52)(b −3−√52)，可知：当b ∈(1,3+√52)时，f′(b)<0，f(b)的单调递减；当b >3+√52时，f′(b)>0，f(b)的单调递增．由f(1)=0，可知：f(3+√52)<0，而f(3)=−8<0，f(4)=33>0，∴此时存在唯一零点b ∈(3,4)． ②设0<a+b 2<1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =−2lg a+b 2，∴ab =1，1b =(a+b 2)2， 化为：f(b)=b 4+2b 2−4b +1=0，(2>b >1)． f′(b)=2(2b 3+b −2)>0，可知：当b ∈(1,2)时，函数f(b)的单调递增． 由f(1)=0，f(b)>0，此时函数f(b)不存在零点． 综上可得：b 所在区间为(3,4)．画出函数f(x)=|lgx|的图象，①设a+b2≥1，由f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则−lga=lgb=2lg a+b2，可得b=(1b+b2)2，化为：f(b)=b4−4b3+2b2+1=0，(b>1).利用导数研究其单调性即可得出；②设0<a+b2<1，同理可得．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.答案：B解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax，右焦点F(c,0)，由题意可得直线PF的方程为y=−ab(x−c)，联立渐近线方程y=ba x，可得P(a2c,abc)，可得OP的垂直平分线方程为y−ab2c =−ab(x−a22c)，令x=0，可得y=ac2b ，即Q(0,ac2b)，又|PF|=√a2+b2=b，|OP|=√|OF|2−|PF|2=√c2−b2=a，由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，可得12c⋅abc=4⋅12⋅ac2b⋅a2c，即有b2=2a2，可得c2=a2+b2=3a2，e=ca=√3，故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为8，底面为直角三角形，直角边长分别为6、8，如图：SB=8√2，BC⊥SB，AC=10，SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC∴几何体的表面积S=12×8×8+12×8×6+12×10×8+12×8√2×6=96+24√2．故选：B．几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图判断各面的形状，根据三视图的数据求相关几何量的数据，把数据代入三角形面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12.答案：C解析：由本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．等差数列的求和公式和性质可得结论．解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27，解得a2+a8=6，∴2a2+a8=26=64故选：C13.答案：2401解析：解：当B为n(0≤n≤4)元集时，则p(B)=2n，且B集合的个数为C4n，又A⊆B则①A为n元集时，则p(A)=2n且A的个数为C n n②A为n−1元集时，则p(A)=2n−1且A的个数为C n n−1以此类推③A 为⌀时，p (A)=20且A 的个数为C n0 则p (A)P (B)=C 4n 2n (C n 020+C n 121+⋯+C n n 2n ) =C 4n 2n (1+2)n=C 4n 6n当n 依次取0，1，2，3，4时p (A)p (B)的和为C 4060+C 4161+⋯+C 4464=2041，故答案为：2401．先由B 为n(0≤n ≤4)元集时，则p (B)=2n ，且B 集合的个数为C 4n ，然后在这种情况下分别讨论集合A 的个数与集合A 的子集个数，推导出通项公式，再将n =0，1，2，3，4代入计算即可． 本题考查了集合间的关系，同时考查了二项式定理，知识间交汇较好．14.答案：−2解析：解：作出x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤0y ≥0对应的平面区域(阴影部分)由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 最小．由{y =0x −y +1=0， 解得A(−1,0)，此时z 的最小值为z =2x −y =−2，故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.答案：①③④解析：解：设P(x,y)，由动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2，可得|y|+√x 2+y 2=2，可得x 2+y 2=(2−|y|)2，化为x2+4|y|=4，将上式中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可得曲线C关于原点对称，故①正确；由于将x换为y，y换为x，方程变为y2+4|x|=4和原方程不同，故②错误；若点P(x,y)在曲线C上，可得|y|≤1，故③正确；若点P(x,y)在曲线C上，可得|PO|2=x2+y2=4−4|y|+y2=(|y|−2)2，由0≤|y|≤1可得−2≤|y|−2≤−1，则1≤|PO|≤2，故④正确．故答案为：①③④．设P(x,y)，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，列方程化简方程可得曲线C的方程，再将x换为−x，y换为−y，可判断①；将x换为y，y换为x，可判断②；由x2≥0，即可判断③；运用两点的距离公式和0≤|y|≤1，结合二次函数的值域求法，可判断④．本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查曲线的性质，注意运用对称结论和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．17.答案：，，．解析：(1)根据所给的这一组数据，得到7个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．(2)根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)利用上一问做出的线性回归方程，把x的值代入方程，预报出对应的y的值．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC，∴(sinB+sinC)2−sin2A=sinBsinC，∴sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3；(2)由(1)知，B+C=π3，∴sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，∵0<B<π3，∴π3<B+π3<2π3，∴√32<sin(B+π3)≤1，∴sinB+sinC的取值范围是(√32,1]．解析：(1)利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可(1)求角A的大小；(2)由(1)知，B+C=π3，故sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，即可求sinB+sinC的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)证明：取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF=//12DC，∴EF=//AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE//AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅲ)解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO=//12PA，∴EO⊥面ABC，得EO⊥BD，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．EO∩OG=O，∴BD⊥面EGO，∴BD⊥EG，∵BD为平面EBD与平面CBD的交线，EG⊂平面EBD，OG⊂平面CBD，∴∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴OG=12B′G′=12BB′⋅sin∠B′BG′=12BB′⋅sin∠ABD=12a⋅ADBD=12a√(2a)2+a2=√5在△EOG中：tan∠EGO=EOOG=a1√5a=√5，故二面角E−BD−C的平面角的正切值为√5．解析：(Ⅰ)证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD；(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE//AF，然后证明BE//平面PAD；(Ⅲ)连接AC，取AC中点O，连接EO.过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.则∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E−BD−C的平面角的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)∵动点P 到两点F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)为焦点，以4为长轴的椭圆， ∵c =√2，a =2，∴b =√2，∴C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0=t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程得t =±√2，故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d =000202． 又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上所述，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a 2与b 2的值，即可确定出椭圆C 的方程；(2)设出点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．21.答案：证明：(I)∵f(x)=x 3+2x −sinx ，∴f′(x)=3x 2+2−cosx =3x 2+(2−cosx)．∵3x 2≥0，2−cosx >0恒成立，故f′(x)>0，故函数f(x)是R 上单调递增函数；(Ⅱ)∵f(−x)=(−x)3+2(−x)−sin(−x)=−(x 3+2x −sinx)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．原不等式可化为f(x 2−a)<−f(x −ax)=f(ax −x)，由(1)可得x 2−a <ax −x ，即x 2+(1−a)x −a <0，即(x +1)(x −a)<0，当a <−1时，原不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，原不等式的解集为⌀；当a >−1时，原不等式的解集为(−1,a)．解析：(I)根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；(II)根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合(I)中函数的单调性和定义域，可将不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0化为(x +1)(x −a)<0，分别讨论对应方程两根a 与−1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性的证明及应用，熟练掌握导数法证明单调性及定义法证明奇偶性是解答的关键．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2． (Ⅱ)线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．所以圆心(0,0)到直线x −y +1=0的距离d =√2=√22，所以|AB|=2√(√2)2−(√22)2=√6．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)的单调递增区间(−1,0)，单调递减区间(−∞,−1)，[0,+∞)，(2)由ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点可得f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象可知，当12<12a <1即1<a <2时，满足题意，(3)由(1)的图象可知，当x ∈[−2,2]时，2f(x)∈[−14,2]，因为2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]恒成立，所以2≤2t 2−bt +2对任意b ∈[−2,2]恒成立，即2t 2−bt ≥0对任意b ∈[−2,2]恒成立，令F(b)=2t 2−bt ，b ∈[−2,2]，则{F(−2)=2t +2t 2≥0F(2)=2t 2−2t ≥0， 解可得，t ≥1或t ≤−1或t =0，故实数t 的取值范围{t|t ≥1或t ≤−1或t =0}．解析：(1)先作出函数的图象，然后结合函数的图象即可求解函数单调区间，(2)由题意可转化为f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象即可求解，(3)结合函数的图象可Ian 求出2f(x)的最大值，然后变换主元，结合一次函数的性质可求．本题主要考查了利用函数的图象求解函数的单调区间，及函数的零点个数的求解，及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了数形结合及转化思想的应用．。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（一）数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++- 对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限. 故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[)(]2,00,2-UD ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】集合{}|22M x x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆， 因此： 当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩； 综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．332π+C ．3π+D ．532π+【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯ 则该几何体的表面积为：332π+故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题.4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误； 对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误； 对于D ，正确. 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞(](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．3B ．3-C ．39D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ） A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题.10．若函数()()()2log 20,1af x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题.12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+， 从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+，所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点， 可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】7【解析】先计算a r 与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案.【详解】根据题意||||cos 603oa b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，|2|7a b ∴-=r r故答案为：27【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______. 【答案】12【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】 由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cxa b-=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+ 故答案为：12+ 【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若332ABC S ∆=，7c =a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=， 所以()22cos 10C -=， 所以1cos 2C =，3C π=. （2）133sin 22ABC S ab C ∆==6ab =.（1） 又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F⊥平面AEF；（2）求直线1B F与平面1AB E所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF⊥，再结合1AF B F⊥即得证；（2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解.【详解】（1）因为AF BC⊥，1AF BB⊥.所以AF⊥平面11BCC B，所以1AF B F⊥.11AB AC AA===，则2132B F=，234EF=，2194B E=，所以22211B EFF B E+=，所以1B F EF⊥，所以1B F⊥平面AEF；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()11,0,1B，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，111,,122B F⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r，平面1AB E的法向量为()2,1,2u=-r，设直线1B F与平面1AB E所成的角为α，则1116sin cos,6||||B F uB F uB F uα⋅===⋅u u u u r ru u u u r ru u u u r r.【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98Eξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解；（2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S=甲，231839.758S==乙，因为22S S<甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定；（3）3~3,8Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的分布列是：ξ0 1 2 3P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程； （2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，， 转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r ，利用韦达定理即得证. 【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：3333y x =-+，即23A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=；（2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证. 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题. 21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）构造函数()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证； （3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证； 【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立. 当1a >时，()m x 在()10,1a e--上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ， 又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+-⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+，111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解. 【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 1042+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题. 23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立 当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭（2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+ai(a∈R)，则|(1−i)z|=4，则a的值为()A. 2B. ±2C. 0D. ±12.已知命题p:∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为()A. ∀x∈R，x≤2B. ∃x0∈R，x0<2C. ∀x∈R，x≤−2D. ∃x0∈R，x0<−23.已知集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}，则A∩B=()A. {−1,3}B. {0,3}C. {−1,0，3}D.{−1,0，3，5}4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A. f(x)=2sin(x−π3)B. f(x)=2sin(π6x−1)C. f(x)=2sin(π3x−π3)D. f(x)=2sin(π6x−π6)5.已知抛物线y2=4x，过其焦点F作倾斜角为π4的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，则弦BC 的长为()A. 103B. 2C. 4D. 86.已知函数f(x)=22x−52⋅2x+1−6(x∈[0,3])的值域为()．A. (0,18]B. (2,9]C. [−494,18] D. [−17,−494]7.直线y=kx+1与圆(x−2)2+(y−1)2=4相交于P、Q两点.若|PQ|≥2√2，则k的取值范围是()A. [−34,0] B. [−√33,√33] C. [−1,1] D. [−√3,√3]8.已知某几何体的三视图如图所示(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是()A. 36π+288B. 36π+216C. 33π+288D. 33π+2169.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 32010.阅读下图的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果是()A. 50B. 1012C. 51D.11.设函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=π3对称B. f(x)的图象关于点(π6,0)对称C. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π12]上为增函数D. 把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象12.已知f(x)=x2−3，g(x)=me x，若方程f(x)=g(x)有三个不同的实根，则m的取值范围是()A. (0,6e3) B. (−3,6e3) C. (−2e,6e3) D. (0,2e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，向量b⃗ =(1,y)，若a⃗//b⃗ ，则实数y的值是______．14.在等比数列{a n}中，a1=3，2a1+a2=12，则a4=______．15.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．16.在平面直角坐标系xoy中，动点P到两个顶点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列命题中真命题的序号是______(1)曲线E经过坐标原点(2)曲线E关于x轴对称(3)曲线E关于y轴对称(4)若点(x,y)在曲线E上，则−3≤x≤3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，a2+a3=7，a4+a5+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求1S3+1S6+⋯+1S3n．18.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图．(1)采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取1辆，求恰好为电动汽车的概率；(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助100元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助300元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．19.如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2BC=2，AB⊥AD，AB⊥BC．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若棱锥P−ABCD的体积为√3，求该四棱锥的侧面积．220.已知函数f(x)=(x+a)lnx．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围．21.在平面直角坐标系中，已知两点A(−3,0)及B(3,0)，动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．(Ⅰ)求|PA|+|PB|的值；(Ⅱ)求点P的轨迹方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方)=2√2，两条曲线交于A，B两点．程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−3|(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥x+8的解集；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为5，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=2+ai，∴(1−i)z=(1−i)(2+ai)=(2+a)+(a−2)i，由|(1−i)z|=4，得√(2+a)2+(a−2)2=4，解得a=±2．故选：B．把z=2+ai代入(1−i)z，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模列式求得a的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于简单题．根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴命题的否定是∃x0∈R，x0<2．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}={−1,0，3，8，15，…，}，∴A∩B={−1,0，3}．故选：C．4.答案：C。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。