全等三角形的专题
(完整)全等三角形的判定专题
全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。
二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。
②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。
④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。
三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。
第三边；2。
夹角；3。
直角2、一角及邻边对应相等—1。
角的另一边;2.边的另一角；3。
边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。
夹边；2。
一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。
例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。
求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。
自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。
求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
初三复习专题--全等三角形
•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一 是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件 不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C， 三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能 直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法， 会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两 个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形 中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力 和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的 基础，因此它自然是中考必考知识点，同 窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根 据条件不能较顺利的得到结论，这时添加 必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的 延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线 上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。
微专题 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
-20-
全等三角形的常见模型
F B
DA
-21-
C Em
全等三角形的常见模型
A E
B
D
-22-
C
全等三角形的常见模型
-23-
全等三角形的常见模型
-9-
模型四 半角模型
等边三角 形含半角 (∠BDC=120°)
等腰直角三 角形含半角
正方形 含半角
全等三角形的常见模型
-10-
典例5 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB 上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.
全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
-14-
模型六 手拉手模型（二）
两个等腰直角三角形：
全等三角形的常见模型
-15-
模型六 手拉手模型（三）
两个等边三角形：
全等三角形的常见模型
模 型 归 纳
-16-
动画
全等三角形的常见模型
-17-
例题 7
全等三角形的常见模型
-18-
例题8
全等三角形的常见模型
-19-
例题 9
典例3 如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE, AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.
全等三角形的常见模型
-7-
类型2 共顶点的旋转模型 典例4 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5, ∠DAB=∠DCB=-8-
无论哪种类型,图中两个全等三角形满足其中一个可以通过 另一个旋转得到.其常见图形有:
全等三角形的常见模型
-4-
模型二 对称模型
典例2 (2020·湖南怀化)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,
《全等三角形》讲义(完整版)
全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。
（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简称ASA ） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（简称AAS ） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称HL ） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．AGF C BDE图1AEB DCFAB CDE D C EFBA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一： 全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。
专题01 全等三角形的性质与判定、应用(解析版)
专题01 全等三角形的性质与判定、应用全等三角形的性质1．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO ＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴，整理得，α＝2β．故选：B．2．（2022秋•嘉兴期末）如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（ ）A．100°B．53°C．47°D．33°【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E 的度数【解答】解：∵△ABC≅△DEF，∠A＝100°，∴∠D＝∠A＝100°，在△DEF中，∠F＝47°，∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠E＝33°，故选：D．3．（2022秋•拱墅区期末）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（ ）A．FC＝BD B．EF平行且等于ABC．∠B＝∠ACB D．AC平行且等于DE【分析】根据全等三角形的性质可得FD＝BC，∠F＝∠B，∠EDF＝∠ACB，EF＝AB，AC＝DE，再依次判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∴FD＝BC，∠F＝∠B，∠EDF＝∠ACB，EF＝AB，AC＝DE，∴FD﹣CD＝BC﹣CD，即FC＝BD，故A选项不符合题意；∵∠F＝∠B，∴EF∥AB，∴EF平行且等于AB，故B选项不符合题意；没有足够的条件证明∠B＝∠ACB，故C选项符合题意；∵∠EDF＝∠ACB，∴AC∥DE，∴AC平行且等于DE，故D选项不符合题意，故选：C．4．（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（ ）cm．A．5B．4C．3D．2【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝EF，求出BE＝CF＝2cm，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，∴BE＝CF，∵BE＝2cm，∴CF＝BE＝2cm，∵BF＝8cm，∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），故选：B．5．（2022秋•仙居县期末）如图，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠B＝75°，则∠F＝ 50 °．【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【解答】解：∵∠A＝55°，∠B＝75°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝50°，∵△ABC≌△DEF，∴∠C＝∠F＝50°，故答案为：50．6．（2022秋•宁波期末）如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝ 50 °．【分析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∠ADB＝95°，∴∠AEC＝∠ADB＝95°，∵∠AEC＝∠1+∠B，∠1＝45°，∴∠B＝50°，故答案为：50．7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，∴∠BAD＝∠DCF，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CDF＝90°，∴CE⊥AB；（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．全等三角形的判定8．（2022秋•丽水期末）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC ≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC ≌△DCB，故本选项不符合题意；DCB，故本选不项符合题意；D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．9．（2021秋•湖州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：在△AEG和△AFG中，，∴△AEG≌△AFG（SSS），故选：D．10．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，不能证明△AOB≌△DOC的是（ ）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．AB＝DC，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AOB≌△DOC，故本选项符合题意；B．OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AOB≌△DOC，故本选项不符合题意；DOC，故本选项不符合题意；D．∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AOB≌△DOC，故本选项不符合题意；故选：A．11．（2022秋•鄞州区校级期末）下列所给条件中，能画出唯一的△ABC的是（ ）A．AC＝3，AB＝4，BC＝8B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝10C．∠C＝90°，AB＝90D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．【解答】解：A、3+4＝7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；B、根据∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2根据ASA能画出唯一△ABC，故此选项正确；C、根据∠C＝90°，AB＝90，AS不能画出唯一三角形，故本选项错误；D、根据AC＝4，AB＝5，∠B＝60°，ASS不能画出唯一三角形，故本选项错误；故选：B．12．（2022秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：△AOB≌△DOC．【分析】根据∠1＝∠2可得BO＝CO，然后利用“角角边”证明即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）．13．（2022秋•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝70°，连接ED并延长ED交AB于点F．（1）求∠CAD的度数；（2）证明：△CDE≌△BDF；【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠BCE＝70°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠B＝70°，根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠CAD的度数；（2）根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据平行线的性质得到∠E＝∠DFB，∠ECD＝∠B，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；【解答】（1）解：∵CE∥AB，∠BCE＝70°，∴∠B＝∠BCE＝70°，∵AC＝AB，∴∠ACD＝∠B＝70°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣70°＝20°；（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵CE∥AB，∴∠E＝∠DFB，∠ECD＝∠B，在△CDE与△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS）．全等三角形的性质与判定14．（2022秋•江北区期末）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于P，D；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE＝∠ABC，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】根据题意得出BP＝BD＝FQ＝FH，DP＝QH，利用SSS证明△PBD≌△QFH，根据全等三角形的性质即可得出∠QFE＝∠ABC．【解答】解：如图，连接DP，QH，根据题意得，BP＝BD＝FQ＝FH，DP＝QH，在△PBD和△QFH中，，∴△PBD≌△QFH（SSS），∴∠ABC＝∠QFE，故选：A．15．（2023春•宁波期末）如图，△ABC的两条高AD和BF相交于点E，AD＝BD＝8，AC＝10，AE＝2，则BF的长为（ ）A．11.2B．11.5C．12.5D．13【分析】由高可得∠ADB＝∠AFB＝ADC＝90°，从而可求得∠DBE＝∠DAC，利用ASA可得△BDE≌△ADC，则有DE＝DC，再利用等积即可求BF．【解答】解：∵△ABC的两条高AD和BF相交于点E，∴∠ADB＝∠AFB＝ADC＝90°，∴∠DBE+∠BED＝90°，∠AEF+∠EAF＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠DBE＝∠EAF，在△BDE与△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（ASA），∴DE＝DC＝AD﹣AE＝6，∵，∴×14×8＝×10BF，解得：BF＝11.2．故选：A．16．（2021秋•海曙区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE 交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠EBC＝∠C；④FG∥AC；⑤EF＝FG．其中正确的结论有（ ）个．A．2B．3C．4D．5【分析】连接EG，根据等角的余角相等可判断①选项；根据BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，∠BAD＝∠C，可得到∠AFE＝∠AEF，进一步即可判断②选项；假设∠EBC＝∠C，根据三角形内角和定理可得∠C＝30°，但∠C≠30°，可判断③选项；④证明△ABN≌△GBN （ASA），可得AN＝GN，从而证出四边形AFGE是平行四边形，可判断④选项；⑤由AE＝AF，AE＝FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，可判断⑤选项．【解答】解：连接EG，如图所示：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°．∴∠BAD＝∠C，故①选项符合题意；∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，∴∠ABF＝∠EBD．∵∠AFE＝∠BAD+∠ABF，∠AEB＝∠C+∠EBD，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，故②选项符合题意；③假设∠EBC＝∠C，则有∠C＝∠ABC，∵∠BAC＝90°∴∠C＝30°，但∠C≠30°，故③选项不符合题意；④∵AG是∠DAC的平分线，AE＝AF，∴AN⊥BE，FN＝EN，∴∠ANB＝∠BNG＝90°，在△ABN与△GBN中，，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN＝GN，∵FN＝EN，∴四边形AFGE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④选项符合题意；⑤∵AE＝AF，AE＝FG，而△AEF不是等边三角形，∴EF≠AE，∴EF≠FG，故⑤选项不符合题意，故正确的选项有：①②④，故选：B．17．（2022秋•杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DF⊥AB于F点，DE⊥AC于点E，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDF＝∠CDE；④AE＝AF．其中正确的有（ ）A．②③B．①③C．①②④D．①②③④【分析】由题意知，△ABC是等腰三角形，由三线合一的性质知，点D是BC的中点，AD⊥BC，故AD中BC的中垂线，也是∠BAC的平分线，进而证得△AED≌△AFD，△BFD≌△CED，故可得到5个说法均正确．【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB于F点，DE⊥AC于点E，∴AD⊥BC，BD＝CD，DE＝DF，故①②正确；∵DF⊥AB于F点，DE⊥AC于点E，∴∠DFB＝∠DEC＝90°，在△BFD和△CED中，，∴△BFD≌△CED（AAS），∴∠BDF＝∠CDE，即③正确；在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，故④正确．故选：D．18．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，已知△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠EBD＝50°，则∠AEB的度数为（ ）A．130°B．135°C．140°D．145°【分析】由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得∠CBD＝∠CAE，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CBD＝∠CAE，∵∠EBD＝50°，∴∠CBE+∠CBD＝50°＝∠CBE+∠CAE，∵∠CAE+∠CBE+∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝40°，∴∠AEB＝140°，故选：C．19．（2022秋•温州期末）如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F，若∠BAC＝45°，AF＝6，则BD的长为 3 ．【分析】证明△AEF≌△CEB（ASA），根据全等三角形的性质得出AE＝BC，即可求出答案．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，∴AB＝AC，AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，∠B＝∠BCA，∴∠CFD+∠ECB＝90°，∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，∴∠BAD+∠AFE＝90°，AE＝CE，∵∠B＝∠BCA，∴∠BAD＝∠BCE，在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF＝BC，∵BD＝CD，AF＝6，∴BD＝3．故答案为：3．20．（2022秋•拱墅区期末）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A ＝∠E，（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数．【分析】（1）根据SAS即可证明：△ABC≌△EDF；（2）由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD＝BE，∴AB＝ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS）；（2）解：∵∠C＝90°，∠CBA＝60°，∴∠A＝90°﹣∠CBA＝90°﹣60°＝30°，∵△ABC≌△EDF，∴∠E＝∠A＝30°．21．（2022秋•鄞州区期末）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．（1）求证：BC＝DE；（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．①求∠E的度数；②求证：CP＝CE．【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论；（2）①由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案；②证明△ACP≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出结论．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（ASA），∴BC＝DE；（2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°，∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，∴∠CAE＝40°，∵△BAC≌△DAE，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠E＝＝＝70°；②证明：∵△BAC≌△DAE，∴∠ACB＝∠E＝70°，∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E，在△ACP和△ACE中，，∴△ACP≌△ACE（AAS），∴CP＝CE．22．（2021秋•鄞州区期末）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．【分析】（1）根据CE∥AB可得∠B＝∠DCE，由SAS定理可得结论；（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，由平行线的性质定理易得∠ACE＝∠A＝22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．【解答】（1）证明：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A＝22°，∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．全等三角形的应用23．（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（ ）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故选：A．24．（2022秋•温州期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）A．BE B．AE C．DE D．DP【分析】根据平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵AP平分∠BAC．∴∠EAD＝∠FAD，在△ADE与△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴DF＝DE，即所换长度应与DF的长度相等，故选：C．25．（2022秋•金东区期末）如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带到玻璃店（ ）A．①B．②C．③D．①、②、③其中任一块【分析】由图可知，第③块中，有两角及其夹边可得出这块三角形与购买的三角形全等．【解答】解：根据全等三角形的判定：两角及其夹边的两个三角形全等，即可确定这块三角形与购买的三角形全等，故选：C．26．（2022秋•武义县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．27．（2021秋•金华期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD 来测量A，B间的距离，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．【分析】正确；利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△DBC，由该全等三角形的对应边相等得到AB＝DB．【解答】解：正确；理由如下：在△ABC与△DBC中，．∴△ABC≌△DBC（SAS）．∴AB＝DB．1．（2022秋•临海市期末）下列说法正确的是（ ）A．面积相等的两个三角形全等B．形状相同的两个三角形全等C．三个角分别相等的两个三角形全等D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，如同底等高的2个三角形，不一定相似，不符合题意；B、形状相同的两个三角形不一定全等，相似三角形的形状相同，不符合题意；C、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，三个角相等的三角形可能是相似三角形，不符合题意；D、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合题意．故选：D．2．（2021秋•诸暨市期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB ＝25°，则∠ADC的度数是（ ）A．45°B．60°C．75°D．70°【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△EDC，BC⊥CD，∴∠DCE＝∠ACB＝25°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠ACD＝90°﹣25°＝65°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，∴∠ADC＝∠E+25°，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°，在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，即45°+65°+∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝70°，故选：D．3．（2023春•镇海区校级期末）如图，已知△OAB≌△OA1B1，AB与A1O交于点C，AB与A1B1交于点D，则下列说法中错误的是（ ）A．∠A＝∠A1B．AC＝COC．OB＝OB1D．∠A1DC＝∠AOC【分析】由△OAB≌△OA1B1可得选项A、C是正确的，再利用外角的性质可得D是正确的，选项B是错误的．【解答】解：∵△OAB≌△OA1B1，∴∠A＝∠A1，OB＝OB1，故A、C正确；∵∠A1+∠A1DC＝∠A+∠AOC．∴∠A1DC＝∠AOC，故D正确；∵A1B1与AO不平行，∴∠A1≠∠AOC，∴AC≠CO，故B错误．故选：B．4．（2022秋•江北区校级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．5．（2022秋•义乌市校级期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ASA ．【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．故答案为：ASA．6．（2021秋•西湖区期末）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B ＝60°，则∠F＝ 70 °．【分析】根据三角形内角和定理可得∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，再根据全等三角形的性质可得∠F＝∠ACB＝70°．【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝70°，故答案为：70．7．（2021秋•海曙区期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 ∠A＝∠D（答案不唯一） ．（只需写出一种情况）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是∠A＝∠D，理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，即∠DBE＝∠ABC，在△ABC和△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（ASA），故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．8．（2022秋•平湖市期末）如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，则∠POQ的度数为 120° ．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABP≌△CAQ，则对应角∠ABP＝∠CAQ，所以由三角形外角的性质求得∠BOQ＝∠BAO+∠OAP＝∠BAP＝60°．【解答】解：如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°．在△ABP与△CAQ中，，∴△ABP≌△CAQ（SAS），∴∠ABP＝∠CAQ．∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°，∴∠POQ＝180°﹣∠BOQ＝120°．故答案为：120°．9．（2021秋•莲都区期末）如图，∠D＝∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC．求证：△ADC≌△CEB．【分析】已知∠ACB＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠B＝∠ACD，再利用“角角边”证明△ADC和△CEB全等即可．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∵∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．10．（2021秋•临海市期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．11．（2022秋•余姚市校级期末）在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，∠E＝∠C，求证：BC＝DE．【分析】根据AAS证明三角形全等即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ADE≌△ABC（AAS）∴BC＝DE．12．（2020•婺城区校级期末）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．（2）若固定二根木条AB、BC不动，AB＝2cm，BC＝5cm，量得木条CD＝5cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）（3）若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【分析】（1）相等．连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．（2）由勾股定理求出AC，再根据三角形三边的关系求出AD的取值范围．（3）分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意．【解答】解：（1）相等．理由：连接AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B＝∠D．（2）∵AB＝2cm，BC＝5cm，且∠B＝90°，∴AC＝＝＝根据三角形三边关系可知﹣5≤AD≤+5所以AD可以为5cm．（3）设AD＝x，BC＝y，当点C在点D右侧时，，解得，当点C在点D左侧时，点C在D左侧时，三边之和等于第四边是构不成四边形的，不合题意，综上所述，AD＝13cm，BC＝10cm．。
初二数学全等三角形经典题型
专题训练：全等三角形专题一全等三角形的性质及应用1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明,若不相等说出为什么?解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°，∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.专题二全等三角形的探究题3.全等三角形又叫合同三角形， 平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．C 1B 1A 1C B AC 1B 1A 1CB A (1)(2)BA E 21FC D O两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）．DC B A 4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．（1）试说明BD =DE +CE ；（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°.（1）△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;（2）直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？AB C DE【知识要点】1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.【温馨提示】1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.【方法技巧】1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.参考答案：1.解：∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E(全等三角形对应角相等),又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°(三角形内角和定理),∠AOF=∠BOE(对顶角相等),∴∠1=∠2(等式的性质).2.解:因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.3.B提示:A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B 中的三角形是镜面合同三角形．4.解:（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD ∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.5.解:（1）由题知可得：△ABC≌△DBE,AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角;（2）延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD ＝90°.∴AC与DE是垂直的位置关系.。
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题全等三角形是初中数学中的重要内容，它不仅是几何学习的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面我们来进行一次全面的复习。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
“完全重合”意味着它们的形状和大小都完全相同，对应边相等，对应角也相等。
例如，两个三角形的三条边分别为 3cm、4cm、5cm，且三个角分别为 30°、60°、90°，如果将它们叠放在一起能够完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度是一样的。
比如△ABC≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等。
同样，若两个三角形全等，它们的对应角的度数也是相同的。
例如在上面的例子中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等，面积相等。
因为全等三角形的边和角都对应相等，所以它们的周长和面积自然也相等。
三、全等三角形的判定1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么△ABC≌△DEF。
2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么△ABC≌△DEF。
3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么△ABC≌△DEF。
4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
专题01 全等三角形(解析版)
专题01 全等三角形【考点1全等图形的相关概念】【考点2全等三角形的性质】【考点3全等三角形的判定】【考点4直角三角形全等的判定】【考点5全等三角形的判定与性质】【考点6全等三角形的实际应用】知识点1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
知识点2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.知识点3：全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．知识点4：全等三角形的判定方法(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．知识点5：全等三角形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．考点剖析【考点1全等图形的相关概念】1．（2023秋•太和县期中）下列各组图形，是全等图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、不是全等图形，不符合题意；B、不是全等图形，不符合题意；C、不是全等图形，不符合题意；D、是全等图形，符合题意；故选：D．2．（2023秋•平原县期中）下列说法错误的是（ ）A．全等三角形的三条边相等，三个角也相等B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边C．面积相等的两个图形是全等形D．全等三角形的面积和周长都相等【答案】C【解答】解：全等三角形的三条边相等，三个角也相等，A正确；判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边，B正确；面积相等的两个图形不一定是全等形，C错误；全等三角形的面积和周长都相等，D正确，故选：C．3．（2023•东丽区一模）两个全等图形中可以不同的是（ ）A．位置B．长度C．角度D．面积【答案】A【解答】解：两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．故选：A．4．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（ ）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形【答案】B【解答】解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．故选：B．5．（2023秋•淮阳区期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（ ）A．135°B．125°C．120°D．90°【答案】A【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：A．6．（2022秋•西乡塘区校级期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A．①和②B．②和③C．①和③D．全部【答案】D【解答】解：根据全等形的定义可知，①，②，③，④都全等．故选：D．7．（2023秋•永泰县期中）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形，若∠A'＝95°，∠B＝75°，∠D'＝130°，则∠C＝ 60° ．【答案】60°．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是全等四边形，∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，∵∠A'＝95°，∠D'＝130°，∴∠A＝95°，∠D＝130°，∵∠B＝75°，∴∠C＝360°﹣（95°+130°+75°）＝60°．故答案为：60°．【考点2全等三角形的性质】8．（2023秋•虞城县期中）如图，△ABC≌△CDA，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则AD的长是（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△CDA，BC＝8，∴AD＝BC＝8．故选：D．9.（2023秋•阜平县期中）如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，下列结论不正确的是（ ）A．AD＝AB B．DE＝BD+DC C．∠B＝∠E D．∠BAD＝∠CAE【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，DE＝BD+DC，即∠BAD＝∠CAE，∴选项A、选项B、选项D正确，选项C不一定正确，故选：C．10．（2023秋•丹江口市期中）如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上．若∠EAD＝85°，∠B＝30°，则∠ADC的度数是（ ）A．50°B．55°C．65°D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∠EAD＝85°，∴∠BAC＝∠EAD＝85°，AC＝AD，∵∠B＝30°，∴∠ADC＝∠C＝180°﹣85°﹣30°＝65°，故选：C．11．（2023秋•鹤庆县期中）如图，△ABC≌△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠D的度数为（ ）A．110°B．105°C．100°D．90°【答案】A【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣45°＝110°，∵△ABC≌△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），∴∠D＝∠BAC＝110°，故选：A．12．（2022秋•长春期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）A．30B．27C．35D．40【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．12．（2023秋•文成县期中）如图，△ABC≌△DEF，BC＝12，EC＝7，则CF的长为（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝12，∴EF＝12，∴EC＝7，∴CF＝EF﹣EC＝12﹣7＝5，故选：A．13．（2023秋•天长市期中）如图，△ABD≌△ACE，BE＝16，DE＝10，则BC的长是（ ）A．24B．20C．21D．22【答案】D【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝BE﹣DE＝6，∴BC＝BE+EC＝16+6＝22，故选：D．14．（2022秋•市中区期末）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB ＝（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝80°，∴∠ADC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△CAD≌△CBE，∴∠CEB＝∠CDA＝70°；故选：C．15．（2022秋•汶上县校级期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故选：A．16．（2023秋•琼中县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE 交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为（ ）A．24B．18C．12D．8【答案】C【解答】解：∵△ADC≌△BDF，∴AD＝BD，∵BD＝4，∴AD＝4，∵DC＝2，∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，∴S＝＝＝12，△ABC故选：C．【考点3全等三角形的判定】17．（2023秋•社旗县期中）如图所示的四个三角形中，全等的三角形是（ ）A．①③B．①②C．②④D．①③④【答案】B【解答】解：根据SAS可知①和②中的两个三角形全等．故选：B．18．（2023秋•太和县期中）如图，AB∥DE，BC＝EF．补充下列一个条件，不能使△ABC≌△DEF的是（ ）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AB＝DE D．AC∥DF【答案】A【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，且BC＝EF，A、若AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；B、若∠A＝∠D，可根据“角角边”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；C、若AB＝DE，可根据“边角边”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；D、若AC∥DF，则∠ACB＝∠F，可根据“角边角”判定△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：A．19．（2023秋•新和县期中）已知：如图，AB＝DC，AE＝BF，∠A＝∠FBD，求证：△AEC ≌△BFD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，∴AC＝BD，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）．20．（2023•咸阳一模）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠E＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．21．（2023秋•曹县期中）如图，点F，C在BE上，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．22．（2022秋•祁阳县期末）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（ASA）．23．（2023秋•建湖县期中）已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）△BOD≌△COE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）．24．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（ASA）．【考点4直角三角形全等的判定】25．（2023春•渭滨区期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选：C．26．（2023秋•疏勒县期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△BFD和Rt△ACD中，∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．27．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．28．（2023春•垦利区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．29．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△CBE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴AF＝CE．【考点5全等三角形的判定与性质】30．（2023秋•礼县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，则BD＝CE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ADE，即∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，∠BDA＝180°﹣∠BAD﹣∠B，∴∠DEC＝∠BDA，故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①可知∠DEC＝∠BDA，∵AD＝DE，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE，故②正确；③∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°﹣40°＝50°，∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，故④不正确，综上所述正确的有①②③，故选：C．31．（2023秋•临颍县期中）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在一条直线上，若∠1＝26°，∠3＝56°，则∠2的度数为（ ）A．30°B．56°C．26°D．82°【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠1＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠2，∵∠3＝∠1+∠ABD，∴∠3＝∠1+∠2，∵∠1＝26°，∠3＝56°，∴∠2＝56°﹣26°＝30°，故选：A．32．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠EDF，若BE＝CD＝1，BC＝3，则CF的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，∠B＝∠EDF，∴∠BED＝∠CDF，∵BE＝CD，∴△BED≌△CDF（ASA），∴CF＝BD，∵BC＝3，CD＝1，∴BD＝2，∴CF＝2，故选：B．33．（2023秋•鹤庆县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（ ）A．2＜AD＜12B．5＜AD＜7C．1＜AD＜6D．2＜AD＜10【答案】C【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝7，∴CE＝5，设AD＝x，则AE＝2x，∴7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6，故选：C．34．（2023秋•辉县市期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，BD＝6，CD＝4，则线段AF的长度为（ ）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴BD＝AD＝6，∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠C，∵∠AFE＝∠BFD∴∠C＝∠BFD在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝DF＝4，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣4＝2．故选：B．35．（2023秋•应城市期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B ＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝1，BE＝4，则DE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠B＝∠E＝∠ACD，∴∠ACD+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠ACD+∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝DE，AB＝CE，∵AB＝1，BE＝4，∴DE＝BC＝BE﹣CE＝BE﹣AB＝4﹣1＝3，故选：C．36．（2022秋•阿荣旗期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，AE＝AC，连接AD，若BC＝8，则BD+DE等于（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC，∵BC＝8，∴BD+DE＝BC＝8．故选：C．37．（2022秋•和平区校级期末）如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD ＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵BC、AE是锐角△ABF的高，∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠CAD，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．故选：B38．（2023秋•京口区期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长．【答案】（1）见解析；（2）FC＝4cm．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10cm，BF＝3cm，∴FC＝10﹣3﹣3＝4cm．39．（2023秋•连山区期中）如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数．【答案】（1）见解析；（2）67.5°．【解答】（1）证明：∵∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，∠1＝∠2∴∠C＝∠BDE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS），（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠C，∵∠1＝45°∴∴∠BDE＝67.5°40．（2023秋•科尔沁区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．41．（2023秋•合江县期中）如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB+CD．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过点M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，∴ME＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MB＝ME，又∴MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．（2）∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD＝DE，同理AE＝AB，∵AE+DE＝AD，∴CD+AB＝AD．【考点6全等三角形的实际应用】42．（2023秋•镇平县期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】B【解答】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形．故选：B．43．（2023秋•昭阳区期中）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，然后在BC的同侧找到点M使∠MBC＝60°，∠MCB＝40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA【答案】D【解答】解：在△MBC，△ABC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA）．故选：D．44.（2023春•龙岗区校级期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）A．ASA B．AAS C．SSS D．HL【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE，在△ADM和△AEM中，．∴△ADM≌△AEM（SSS），故选：C．45．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）15m．【解答】（1）证明：∵∠ABP＝∠FEP＝90°，∠APF＝90°，∴∠APB＝∠PFE（同角的余角相等）．在△ABP与△PEF中，，∴△ABP≌△PEF（AAS）；（2）由题意知，AB＝1.5×3＝4.5（m），EF＝7×1.5＝10.5（m）．由（1）知，△ABP≌△PEF，∴BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，∴BE＝BP+PE＝15m．46．（2023秋•云梦县期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时（容器壁厚度均匀），小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；（2）若a＝58.6mm，b＝61.2mm，求出圆形容器的壁厚．【答案】（1）见解析；（2）圆形容器的壁厚为1.3mm．【解答】解：（1）在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB＝CD；（2）∵EF＝b＝61.2mm，AB＝CD＝a＝58.6mm，∴圆形容器的壁厚为．47．（2023春•渠县校级期末）生活中的数学：（1）启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是 三角形具有稳定性 ．（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD 的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，请说明AD＝CB的理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解答．【解答】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性；（2）证明：∵O是AB和CD的中点，∴AO＝BO，CO＝DO，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2023秋•巴东县期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：组成第1个图形的各部分不全等，不符合题意；组成第2个图形的两个图形全等，符合题意；组成第3个图形的三个图形全等，符合题意；组成第4个图形是四个圆形全等，符合题意．故选：C．2．（2023秋•沂南县期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）A．30°B．31°C．32°D．33°【答案】D【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣117°﹣30°＝33°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝33°，3．（2022秋•海淀区校级期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（ ）A．34°B．56°C．62°D．68°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴∠BAE＝∠1＝56°，∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，∴∠AED＝∠B＝62°，故选：C．4．（2023秋•广陵区校级月考）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90°D．∠BCA＝∠DCA【答案】D【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；5．（2023秋•张北县期中）如图，要测量池塘A，B两端的距离，作线段AC与BD相交于点O．若AC＝BD＝8m，AO＝DO，△COD的周长为14m，则A，B两点间的距离为（ ）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】A【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO，∴AC﹣AO＝BD﹣DO，即OC＝OB，∵OC＝OB，∠COD＝∠BOA，OD＝OA，∴△COD≌△BOA（SAS），∴AB＝CD，∵△COD的周长为14m，∴OC+OD+CD＝14m，即AC+CD＝14m，∴CD＝6m，∴AB＝6m，故选：A．6．（2023秋•崆峒区校级期中）装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解答】解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：A．7．（2023秋•青秀区校级期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C．三边分别相等的两个三角形全等D．两点之间线段最短【答案】B【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：B．8．（2022秋•正定县期末）如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（ ）A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，A、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；B、加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；C、加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；D、加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：B．9．（2023秋•丹阳市期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．故选：B．10．（2022秋•灵宝市校级期末）现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（ ）A．B．C．2m/s或D．2m/s或【答案】D【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点，∴BE＝5m，∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，当BP＝CQ，BE＝CP时，∵BE＝5m，BC＝8m，设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得，∴，此时妞妞的运动速度为：m/s，当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2，此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：，故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2023秋•武都区期中）如图，点A，D，C，E在一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为 4 ．【答案】4．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC＝ED＝7，又∵AE＝10，∴AC+DE﹣CD＝10，∴CD＝14﹣10＝4；故答案为：4．12．（2023秋•招远市期中）如图，已知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，若AC＝9，AE＝2，则线段DC的长为 7 ．【答案】7．【解答】解：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AD＝AE＝2，∵AC＝9，∴DC＝AC﹣AD＝7，故答案为：7．13．（2023秋•湖北期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB 的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是 SSS ．【答案】SSS．【解答】证明：由题意知；CM＝CN，在△OMC和ONC中，，∴△OMC≌ONC（SSS），∴△OMC≌△ONC的理由是SSS．故答案为：SSS．14．（2023秋•宁江区期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点B作BE⊥CD于点D，交AC于点E．已知∠ABE＝∠A，AC＝10，BC＝6．则BD的长为 2 .【答案】2．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCE，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，在△CDB≌△CDE中，，∴△CDB≌△CDE（ASA），∴BD＝DE，CE＝BC＝6，即△BCE为等腰三角形，∴AE＝AC﹣CE＝4，又∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE，∴BD＝DE＝BE＝2，故答案为：2．15．（2023春•文登区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝ 5cm或10cm 时，△ABC和△QPA全等．【答案】5cm或10cm．【解答】解：∵PQ＝AB，∴根据三角形全等的判定方法HL可知，①当P运动到AP＝BC时，△ABC≌△QPA，即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP＝AC＝10cm．故答案为：5cm或10cm．三．解答题（共3小题）16．（2023•工业园区校级模拟）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证CF＝DE．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴DE＝CF，即CF＝DE．17．（2023秋•南川区期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BD＝8，DC＝5，∴ED＝BD﹣BE＝BD﹣CD＝8﹣5＝3．18．（2023春•周村区期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．。
专题 全等三角形的应用---动点运动问题(30题)(原卷版)
八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB＝8，BC＝10，CD为射线，∠B＝∠C，点P从点B出发沿BC向点C运动，速度为1个单位/秒，点Q从点C出发沿射线CD运动，速度为x个单位/秒；若在某时刻，△ABP能与△CPQ全等，则x＝ ．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（ ）A．3B．4C．2或4D．2或35．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或236．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）A．2B．2.8C．3D．67．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（ ）A．2B．4C．6D．2或68．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C 运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC＝ cm．（用t的代数式表示）（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B ﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝ 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．24．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等．请说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？相遇点在何处？25．如图，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t （s）．（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．26.（2022秋•沭阳县校级月考）如图①，线段BC＝6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB＝4，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t （s）．（1）当t＝1，CP＝ ，用含a的代数式表示CQ的长为 ；（2）当a＝2，t＝1时，①求证：△ABP≌△PCQ；②求证：AP⊥PQ；（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC＝∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a的值．27．（2022秋•日照期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．求证：△ACD≌△CBE；②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF．（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值．29．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系为 ；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•原平市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．。
专题01 全等三角形性质与判定
专题01全等三角形性质与判定考点一全等图形识别考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的概念考点四全等三角形的性质考点五用SSS证明三角形全等考点六用SAS证明三角形全等考点七用ASA证明三角形全等考点八用AAS证明三角形全等考点九用HL证明三角形全等考点一全等图形识别例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形【变式训练】1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（）A．B．C．D．2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（）A．B．C．D．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°【变式训练】+=______ 1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44´的正方形网格中，求a b度．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC 和△A ′B ′C ′重合，即△ABC ≌△A ′B ′C ′．考点四 全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，ABC V 和DEF V 全等，且A D Ð=Ð，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，ABC DEF △≌△，若80,30A F Ð=°Ð=°，则B Ð的度数是（ ）A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D ，A ，E 在同一条直线上，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，且△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，求(1)DE 的长；(2)∠BAC 的度数．考点五 用SSS 证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB V V ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF ；(1)B Ð与C Ð相等吗？请说明理由．(2)若40B Ð=°，20Ð=DFC °，AF 平分BAE Ð时，求BAF Ð的度数．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点六 用SAS 证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O 是线段AB 的中点，∥OD BC 且OD BC =．求证：AOD OBC V V ≌．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，ABC V 和EFD V 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC DE =，//AB EF ，.AB EF =求证：BC FD =．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：△ABE ≌△DCF ．考点七 用ASA 证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE ．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ；(2)△ABC ≌△DCB ．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D Ð=Ð，AC DE =．(1)求证：ABC EAD @V V ．(2)若60BCE Ð=°，求BAD Ð的度数．考点八 用AAS 证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE 与CD 相交于点O ，且BO ＝CO ，∠ADC ＝∠AEB ，那么△BDO 与△CEO 全等吗？为什么？【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．考点九用HL证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．一、选择题1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）A．3组B．4组C．5组D．6组2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝33．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF∥，点M是AD的中点，且MB＝4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD BCMC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（）A．24B．26C．27D．28=，5．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA CQ过点P 作PM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN AC ⊥交AC 的延长线于点N ，且PM QN =，连接PQ 交AC 边于点D ，则以下结论：①PD DQ =； ②AB BC =；③ABC V 为等边三角形；④12DM AC =．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，添加一个条件______，使ABE ACD △≌△（填一个即可）．7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC ≌ΔA ′B ′C ′，AB +AC ＝12，若ΔA ′B ′C ′的周长为22，则B ′C ′的长为 _____．8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC ≌△DEB ，点D 在线段AB 上，若DE ＝7，AC ＝5，则AD ＝____．9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE ＝90°，∠CAD ＝90°，BE ⊥AD 于B ，且DC ＝DE ，若BE ＝7，AB ＝4，则BD 的长为 _____．AD=，延长BC到点E，使10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，4AB=，6CE=，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的2V全等时，t的值为________．运动时间为t（秒），当ABP△和DCE三、解答题11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2(1)求角F的度数与DH的长；(2)求证：AB DE∥．12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)若∠BED ＝50°，求∠CED 的度数．13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A =90°，∠ADE =120°，BD 平分∠ADE ，AD =DE ．(1)V BAD 与V BED 全等吗？请说明理由；(2)若DE =2，试求AC 的长．14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在ABC V 和DEF V 中，A ，F ，C ，D 在同一直线上，且AF CD =，A D Ð=Ð．(1)请你添加一个条件：_________，使ABC DEF △≌△；（只添一个即可）(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明ABC DEF △≌△的理由．15．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，已知点E 、C 在线段BF 上，BE =CF ，AB ∥DE ，∠ACB =∠DFC，(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)设AC与DE交于点G，当∠B=50°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．16．（2021·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．(1)求证：∠AEB＝∠DEB；(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．17．（2022·贵州铜仁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)试说明：DC与BE的位置关系．18．（2022·湖南湘西·八年级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．。
微专题 全等三角形的六种基本模型-2024年中考数学复习
21
全等三角形的六种基本模型
模型应用
8.如图17， △ 是边长为1的等边三角形， = ，
∠ = 120∘ ，点 ， 分别在 ， 上，且
∠ = 60∘ .求 △ 的周长.
提示：如图16，延长 至点 ，使 = ，连接 .
图6
= ,
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠, ∴ △≌△ SAS .
= ,
∠ = ∠ = 50∘ ．
7
全等三角形的六种基本模型
模型三 旋转型
模型剖析
如图7，将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度后，两个三角形能
够完全重合，这两个三角形称为旋
图3
在 △ 和△ 中， ∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌ △ AAS .
∴ = .
4
全等三角形的六种基本模型
模型二 对称型
模型剖析
如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就
= ， ∴ △ ≌ △ SAS . ∴ = ，
图17
图16
22
全等三角形的六种基本模型
∠ = ∠. ∵ ∠ = 120∘ ， ∠ = 60∘ ， ∴ ∠ +
∠ = 60∘ . ∴ ∠ + ∠ = 60∘ . ∴ ∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 110∘ .
∴ ∠ = ∠ ．
= ,
图9
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠ ， ∴ △ ≌ △ ．
= ,
∴ = ．
11
全等三角形的六种基本模型
专题全等三角形的基本模型ppt课件
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
解：∵AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE，∴∠DAC＝∠CBE＝∠DCE＝90 °，又∵∠DCB＝∠D＋∠DAC＝∠DCE＋∠ECB，∴∠D＝∠ECB.在△ACD
解：∵AB⊥CD，∴∠EBC＝∠DBA＝90°.在 Rt△CEB 与 Rt△ADB 中 CBEE＝ ＝ABDD，，∴Rt△CEB≌Rt△ADB(HL)，∴∠C＝∠A，又∵∠C＋∠CEB＝ 90°，∠CEB＝∠AEF，∴∠A＋∠AEF＝90°，∴CF⊥AD
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
与△BEC 中，∠∠AD＝＝∠∠BEC，B，∴△ACD≌△BEC(AAS)，∴AC＝BE，CB＝ DC＝CE，
AD，∴AB＝AC＋CB＝AD＋BE
∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
模型二 翻折型 模型解读：将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重 合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条 件，即公共边或公共角相等．
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
模型一 平移型 模型解读：把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为 平移型全等三角形．图①，图②是常见的平移型全等三角形．
全等三角形判定-专题复习50题(含答案)
A.一个锐角对应相等C.一条边对应相等B.两个锐角对应相等全等三角形判定、选择题:1-如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.SSSB.SASC.AASD.ASA2•方格纸中，每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。
如图，在4X4的方格纸中，有两个格点三角形△ABC、ADEF,下列说法中成立的是（）A.ZBCA=ZEDF CoZBAC=ZEFDB.ZBCA=ZEFDD.这两个三角形中，没有相等的角3•如图所示，△ABD9ACDB,下面四个结论中，不正确的是（）A.△ABD和厶CDB的面积相等B.AABD和厶CDB的周长相等C.ZA+ZABD=ZC+ZCBDD.AD〃BC，且AD=BC4.下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5-使两个直角三角形全等的条件是（）6•如图，在AABC和厶BDE中，点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则Z AACB等于（B.ZBEDC.寺ZAFBD.2ZABFA.ZEDBBA B C DB.ZA=ZDC.AC=DD.ZACB=ZF7.在AABC 和厶A /B /C /中，已知ZA=ZA /,AB=A /B /,在下面判断中错误的是（）A. 若添加条件AC=A /C /,则厶ABC^^^A /B /C /B. 若添加条件BC=B /C /,则厶ABC^^^A /B /C /C 。
若添加条件ZB=ZB /，则△ABC^^^A /B /C /D 。
若添加条件ZC=ZC /，则△ABC^^^A /B /C /8•如图，AABC 和厶DEF 中，AB=DE 、ZB=ZDEF,添加下列哪一个条件无法证明厶ABC^^DEF （）9•如图，在△ABC 中，ZABC=45°,AC=8cm,F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm1°.在如图所示的5X5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，AABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）11.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的边长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ A.AC 〃DF12-在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（C、填空题:I3•如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块.为了方便起见,需带上—块，其理由是.14.如图示，点B在AE上,ZCBE=ZDBE，要使AABC^AABD,还需添加一个条件是,（填上你认为适当的一个条件即可）15•如图，已知Z1=Z2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC9AAED，你添加的条件是16-如图，Z1=Z2,要使△ABD9AACD,需添加的一个条件是（只添一个条件即可）.17•如图，在△ABC中,AB=AC,AD丄BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对.18•如图，△ABD9ABAC,若AD=BC,则ZBAD的对应角是.19-如图，已知AB丄BD，垂足为B,ED丄BD,垂足为D,AB=CD,BC=DE，则ZACE=_度.2°・如图,如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是.三、解答题：21•如图,ZDCE=90°,CD=CE,AD丄AC,BE丄AC，垂足分别为A.B.试说明AD+AB=BE.22.如图，E、A.C三点共线，AB〃CD,ZB=ZE,,AC=CD。
专题12.2 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题12.2 全等三角形的判定【八大题型】【人教版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (2)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (3)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (4)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (5)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (8)【题型8 全等三角形的应用】 (9)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB ＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠F AE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB ＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠F AG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC ＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD 交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，请把小明所说的条件补上．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．。
全等三角形专题复习(含练习讲评)
一、全等三角形注: ① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等. 2. 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1: 如图, 在△ABE 中, AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证: （1） △ABC ≌△AED ； （2） OB ＝OE .例2: 如图所示, 已知正方形ABCD 的边BC.CD 上分别有点E 、点F, 且BE ＋DF ＝EF, 试求∠EAF 的度数.AD F例3.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, AE是BC的中线, 过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB 交CF的延长线于点D。
(1)求证：AE=CD, （2)若BD=5㎝,求AC的长。
例4:如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB.AC边翻折180°形成的, 若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3, 则∠a的度数为例5: 如图: 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D是AB上一点, AE⊥CD于E, BF⊥CD交CD的延长线于F.求证: AE=EF+BF。
练习:1.已知: 如图5—129, △ABC 的∠B.∠C 的平分线相交于点D, 过D 作MN ∥BC 交AB.AC 分别于点M 、N, 求证:BM ＋CN ＝MN2.如图（13):已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD , BC=DE ,请你判断AC 垂直于CE 吗？ 并说明理由。
3.如图(14）,已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D , 试说明（1)DE ∥BF (2)AE=CFFDCABE(14)4.如图: 在△ABC中, ∠BAC=90°,∠ABD= ∠ABC, DF⊥BC, 垂足为F, AF交BD于E。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。
1、添加辅助线的方法和语言表述
（1）作线段：连接……；
（2）作平行线：过点……作……∥……；
（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；
（4）作中线：取……中点……，连接……；
（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；
（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；
（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；
（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用
（1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．
（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段
（3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维
模式是三角形全等变换中的“对折”。
①可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
②可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
③可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
（4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
(5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为60°或120°的，把该角添线后构成等边三角形。
一、倍长中线
1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，比较BE+CF与EF的大小.
二、截长补短
3、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。
4：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB＝AC＋CD．
5、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0
180=∠+∠C A
三、角平分线造全等
6、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0
180=∠+∠C A
四、“K ”字图、弦图、三垂图 由△ABE ≌△BCD 导出
BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD 五、旋转
（一）、含半角绕顶点旋转 如图，四边形ABCD 是正方形，
方法：延长其中一个补角的线段（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ） 结论：①MN=BM+DN ② AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM ②翻折：
思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =180°且AB=AD ）
（二）、等腰三角形绕顶点旋转
①△ABE和△ACF均为等边三角形
结论：（1）△ABF≌△AEC；
（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；
（3）OA平分∠EOF
拓展：
条件：△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB
（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE
（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）
②条件：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD
③条件：ABEF和ACHD均为正方形
结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF
变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，
求证：①T为FD的中点. ②
.
ADF ABC
S
S
∆
∆
=
方法一：方法二：方法三：变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC
练习巩固
1、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
3、已知：如图，ABC ∆是等边三角形，120BDC ο
∠=， 求证：AD BD CD =+.
4、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
5、已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．
（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证BM+DN=MN ．
（2）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（3）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．。