第4部分计算学科中的核心概念

（1）如果=0，那么将0赋值给Y，并输出Y，转步骤（11） 继续执行；
（2）将0赋给X，将1赋值给Y； （3）输出X、Y； （4）将1赋值给I； （5）如果I大于-1，则转到步骤（11），否则继续执行； （6）将X和Y的和赋值给Z； （7）将Y赋值给X； （8）将Z赋值给Y； （9）将Y输出； （10）将I加1，转步骤（5）继续执行； （11）算法结束。
例4.2 问：方程2x+4y=15有无整数解？
答：2和4的最大公因子是2，2不能整除15，故该 方程无整数解。
两个未知数的线性丢番图方程 的解：欧几里德算法
给定两个正整数m和n，求它们的最大公因子， 即能同时整除m和n的最大正整数。
步骤如下：
（1）以n除m，并令所得余数为r（r必小于n）； （2）若r=0，算法结束，输出结果n；否则，继续
当用来描述算法的语言并没有被准确定义或者 没有给予足够信息的时候，交流就会产生问题
原语
通过建立一个可以描述算法的意义明确的基本 块（原语）集合，计算机科学即就可以解决上 述的勾通问题
原语描述算法需要建立一个统一的细节描述级 别，原语连同一组表达了原语如何表达复杂的 想法的规定组成了一种程序设计语言
（1）求解例4.4的算法流程图
N
开始 X=1 Y=2 X=X+Y Y=Y+1
Y>100 Y
结束
（2）求解例4.5的算法流程图
开始 X=0
I= 1
X = X + 1 /I
I= I+ 1
N I> = N Y
结束
（3）求解例4.6的算法流程图 开 始
n=0
Y
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X =0， Y=1
P rin t X ， Y
算法的开发就成了计算机领域的一个主要目标
如何找到算法——一个十分接近于寻找通用问题 解决方案
描述这个算法——转变为一个清晰的指令的集合 （程序设计语言描述）
计算机技术别用于复杂问题（大型软件系统）
不仅仅包括实现任务的单个算法的开发
还要求对组件之间的交互进行设计 软件工程：借鉴了工程领域、项目管理领域、人
算法是如何机器中的？ 机器是如何被告知执行的是哪一个算法？
计算理论
对解决越来越复杂问题的算法的研究
导致了算法过程的最终限制问题
如果没有算法可以解决这个问题，那么算法是不 能被机器所解决的，机器仅仅可以解决在算法上 可解的问题
Godel的不完全定理阐述了
在任何传统算术领域的数学理论中，有些是既不 能证明有不能被推翻的
确定性：算法的每一个步骤必须要确切地定义。 即算法中所有有待执行的动作必须严格而不含 混地进行规定，不能有歧义性。
输入：算法有零个或多个的输入，即在算法开 始之前，对算法最初给出的量。
输出：算法有一个或多个的输出，即与输入有 某个特定关系的量，简单地说就是算法的最终 结果。
能行性：算法中有待执行的运算和操作必须是 相当基本的，
}
}
END
4．计算机程序设计语言
计算机程序设计语言描述的算法（程序）是清 晰的、简明的，最终也能由计算机处理的。
缺点：
算法的基本逻辑流程难于遵循。与自然语言一样， 程序设计语言也是基于串行的
用特定程序设计语言编写的算法限制了与他人的 交流，不利于问题的解决；
要花费大量的时间去熟悉和掌握某种特定的程序 设计语言；
(g(n))。
算法
算法的研究
算法
算法：定义一向工作如何完成的步骤的集合
在一台机器可以完成一个任务之前，必须找到完 成这个任务的算法并且用与机器兼容的方式来描 述
一个与机器兼容的算法的描述——程序
算法的研究开始是作为数学的一个学科
目标：找到描述特定类型问题是如何被解决的指 令的集合，如Euclidean算法
T(n)= (f(n))
常见的大表示形式有：
(1)称为常数级； (logn)称为对数级； (n)称为线性级； (nc)称为多项式级； (cn)称为指数级； (n!)称为阶乘级。
算法的空间复杂度
指算法在执行过程中所占存储空间的大小， 用S(n)表示，S为英文单词Space的第一个字母。
与算法的时间复杂度相同 算法的空间复杂度S(n)也可表示为：S(n)=
算法
算法的表示方法
原语
一个算法的表达需要使用一些语言形式
自然语言“Visiting grandchildren can be nerve-racking”,可能即意味着孙子孙女导致了 很多问题，也表示去看他们可能会有问题
图形语言：很少人能够根据折纸图给出的步骤成 功地叠出一只鸟来，但一个专门学习过折纸的学 生可以轻松完成
3．算法的形式化定义
算法是一个四元组，即（Q，I，Ω，F）。 其中：
（1）Q是一个包含子集I和Ω的集合，它表示计算 的状态；
（2）I表示计算的输入集合； （3）Ω表示计算的输出集合； （4）F表示计算的规则，它是一个由Q到它自身
的函数，且具有自反性，即对于任何一个元素 q∈Q，有F(q)=q。
算法
算法实例
例4.4 求1+2+3+……+100
设变量X表示加数，Y表示被加数，用自然语言将 算法描述如下：
（1）将1赋值给X； （2）将2赋值给Y； （3）将X与Y相加，结果存放在X中； （4）将Y加1，结果存放在Y中； （5）若Y小于或等于100，转到步骤（3）继续执
行；否则，算法结束，结果为X。
问：一对兔子一年内可繁殖成多少对兔子？
在序列（1）中，每个数都是它的前两个数之 和，Fn表示这个序列的第n个数，该序列可以 形式化的定义为：
F0=0，F1=1，Fn+2=Fn+1+Fn，n≥0
斐波那契数列还是一个关于加法算法的典型实 例。
设变量X表示前一个数的值，即定义中的Fn， 变量Y表示当前数的值，即定义中的Fn+1，变 量Z表示后一个数的值，即定义中的Fn+2。那 么求解问题的自然语言描述如下：
步骤（3）； （3）将n置换为m，r置换为n，并返回步骤（1）
继续进行。
例4.3 设m=56，n=32，求m、n的最大公因子
算法如下: （1）32除56余数为24； （2）24除32余数为8； （3）8除24余数为0，算法结束，输出结果8。 答：m、n的最大公因子为8。 欧几里德算法既表述了一个数的求解过程，
例4.5 求解调和级数
11 1
1
Hn
12 3
n
设变量X表示累加和，变量I表示循环的次数，自
然语言描述算法如下：
（1）将0赋值给X；
（2）将1赋值给I；
（3）将X与1/I相加，然后把结果存入X；
（4）将I加1；
（5）若I大于等于N，算法结束，结果为X；否 则转到步骤（3）继续执行。
例4.6 求解斐波那契数
一旦一个完成任务的算法被找到，任务的实现就 不再需要对算法原理的理解，任务的实现仅仅是 遵循算法的只是过程
现有的解决问题需要的智慧被编码进了算法
算法转化为智慧
通过使用算法来得到并转化智慧，我们才可以 构建起可以表现智慧行为的机器。
机器表现的智能等级受到通过算法转化的智慧所 限制
如果没有解决问题的算法，意味着问题的解决方 案超出了机器的能力范围
力资源管理以及程序语言设计领域的经验
执行算法的机器的设计和实现
数据的存储
数据的操作
体系结构中涵盖了对现今技术的讨论
我们的目标不是去熟知类似当今体系结构是如何 用电路来实现这样的细节问题，那将会导致过分 陷入电子工程学科
正如昨天的齿轮驱动的计算机让位于电子设备一 样，今天的电子技术也许很快也被其它的技术所 取代
2．流程图
它采用美国国家标准化协会ANSI（American National Standard Institute）规定的一组图形 符号来表示算法。
流程图可以很方便地表示顺序、选择和循环结构， 而任何程序的逻辑结构都可以用顺序、选择和循 环结构来表示，
流程图可以表示任何程序的逻辑结构。
用流程图表示的算法不依赖于任何具体的计算机 和计算机程序设计语言，
又表述了一个判定过程，该过程可以判定“m和n 是互质的”（即除1以外，m和n没有公因子）这个 命题的真假。
算法
算法的定义和特征
1．算法的非形式化定义
一个算法，就是一个有穷规则的集合，其中之 规则规定了一个解决某一特定类型问题的运算 序列。
2．算法的重要特性
有穷性：一个算法在执行有穷步之后必须结束。
main()
do
{
int n; float X,I; printf("Please input n:"); scanf("%d",&n); X=0;
X=X+1/I; I=I+1; }while(I<=n); printf("\n%f",X); }
I=1;
算法
算法分析
（1）算法的时间复杂度；
用T(n)表示，n表示问题规模的大小。
第4部分计算学科中的核心概念
算法的历史简介
公元825年，阿拉伯数学家阿科瓦里茨米 （AlKhowarizmi）写了著名的《波斯教科书》 （Persian Textbook），书中概括了进行四则算 术运算的法则。
“算法”（Algorithm）一词就来源于这位数学家 的名字。
后来，《韦氏新世界词典》将其定义为“解某 种问题的任何专门的方法”。
理想情况下
希望计算机的体系结构是我们的有关算法过程 知识的延续，并且不应该被技术能力酸限制
使我们的算法知识在当代机器体系结构的发展背 后起推动作用，而不仅仅是从技术的要求触发来 解顶机器的设计