126可降阶的高阶微分方程学生版
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高等数学课件微分方程D126降阶微分方程精品
第六节
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
2019/9/1
高等数学课件
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
2019/9/1
高等数学课件
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例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2
k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
y
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y
1 a
x
0
2019/9/1
(其中a
H
g
)
1 y2 dx
高等数学课件
y 1 1 y2 a
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
2019/9/1
高等数学课件
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例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
2019/9/1
高等数学课件
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
2019/9/1
高等数学课件
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例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2
k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
y
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y
1 a
x
0
2019/9/1
(其中a
H
g
)
1 y2 dx
高等数学课件
y 1 1 y2 a
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
2019/9/1
高等数学课件
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例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶的高阶微分方程-高阶线性微分方程及其通解结构省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
解
设y
P( y), 则y
P
d d
p y
,
将y,
y代入原方程得：
2 yP
d d
p y
1
P 2，分离变量得
2p 1 p2
dp
1 y
dy,
两端积分,得 ln(1 p2 ) ln y ln C, 即1 p2 Cy,
y 1, y 1,
x0
x0
p 1, y1
则得 C 2.
于是有1 p2 2 y, p 2 y 1.
解法：作变量代换u y , 即 y xu, 则 d y u x d u .
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
2
4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 dy P( x) y 0 dx
（2）通解公式 y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
8
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p ln
y ln C1，
15
阐明: y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1. 若y1( x)、y2( x)是y P( x) y Q( x) y 0 的解
则由定理1知y y1( x) y2( x)、y 2 y1( x)、y 2iy1( x)是方程(1)的解.
可降阶的高阶微分方程
即 由
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
可降阶的高阶微分方程
§10.3 可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
机动
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结束
从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
机动
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结束
从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
可降阶的高阶微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
5.5
可降阶的高阶微分方程
y
( n)
= f ( x ) 型的方程
y′′ = f ( x , y′ ) 型的方程
y′′ = f ( y , y′ ) 型的方程
小结
思考题
作业
1
第5 章
微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
一、 y
(n) n
= f ( x ) 型的方程 = ( x)
L 对于不含有 y、y′、 、y ( k −1)的n阶方程 F ( x , y ( k ) ,L y ( n ) ) = 0
只须作变换, 只须作变换 令 p = y . 方程就可化为 n − k 阶方程
(k )
F ( x , p, L , p ( n − k ) ) = 0
求出通解后, 再积分k次 即可求得原方程的通解. 求出通解后 再积分 次, 即可求得原方程的通解
3 x 2 y′ y′′ = 1 + x3 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 4
因方程中不含未知函数y, 解 因方程中不含未知函数 属y′′ = f ( x, y′)型 代入原方程, 令 y′ = p, y′′ = p′, 代入原方程 得
3x p p′ = 1 + x3
2
p的可分离变量的一阶方程 的可分离变量的一阶方程
2
8
5.5 可降阶的高阶微分方程
三、y′′ = f ( y , y′) 型的方程
方程缺自变量x 特点 方程缺自变量
dy p = p( y) =p( y(x )) =p 解法 设 y′ = dx dp d 2 y dp dp dy 则 y′′ = 2 = = ⋅ = p , 方程变成 dy dy dx dy dx dx dx dp p = f ( y , p). 这是关于变量 p 的一阶方程 这是关于变量y, 一阶方程. dy
5.5
可降阶的高阶微分方程
y
( n)
= f ( x ) 型的方程
y′′ = f ( x , y′ ) 型的方程
y′′ = f ( y , y′ ) 型的方程
小结
思考题
作业
1
第5 章
微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
一、 y
(n) n
= f ( x ) 型的方程 = ( x)
L 对于不含有 y、y′、 、y ( k −1)的n阶方程 F ( x , y ( k ) ,L y ( n ) ) = 0
只须作变换, 只须作变换 令 p = y . 方程就可化为 n − k 阶方程
(k )
F ( x , p, L , p ( n − k ) ) = 0
求出通解后, 再积分k次 即可求得原方程的通解. 求出通解后 再积分 次, 即可求得原方程的通解
3 x 2 y′ y′′ = 1 + x3 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 4
因方程中不含未知函数y, 解 因方程中不含未知函数 属y′′ = f ( x, y′)型 代入原方程, 令 y′ = p, y′′ = p′, 代入原方程 得
3x p p′ = 1 + x3
2
p的可分离变量的一阶方程 的可分离变量的一阶方程
2
8
5.5 可降阶的高阶微分方程
三、y′′ = f ( y , y′) 型的方程
方程缺自变量x 特点 方程缺自变量
dy p = p( y) =p( y(x )) =p 解法 设 y′ = dx dp d 2 y dp dp dy 则 y′′ = 2 = = ⋅ = p , 方程变成 dy dy dx dy dx dx dx dp p = f ( y , p). 这是关于变量 p 的一阶方程 这是关于变量y, 一阶方程. dy
可降阶的高阶微分方程
pp f ( y, p)
p( y ) ( y, C1 )
代入 ( 3) 得 :
解此一阶方程, 得 :
即
dy dx ( y , C1 )
dy dx ( y , C1 )
dy ( y, C ) x C2 1
(隐式通解 )
例5
y 2 0 yy
x 例 1 试求 y x 的通过点(0, 1 ) 且在此点与直线 y 2 1
相切的积分曲线.
解
y x 1 y(0) 1, y (0) 2
(4)
(5)
解方程 (4) :
x2 c , y 1 2
y x 3 c1 x c2 (方程通解) . 6
''
代入原方程得:
p 1 pΒιβλιοθήκη 0 x' 1 p( x ) C e
' ' 1
1 dx x
C e
' ln x 1
C x
' 1
y C x
1 ' 2 y C1 x C 2 2
所以 y C1 x 2 C2是原方程的通解.
(1 x 2 ) y 2x y 例4 y x 0 1 , y x 0 3 解 设 y p( x )
解 设 y p( y) , 则 y pp ,
ypp p2 0 代入原方程得: yp p 0 或 p( y) 0
由 即
p 1 p 0 p C1e y
1 y dy
C1e ln y C1 y
C1 x
y C1 y y C 2e
p( y ) ( y, C1 )
代入 ( 3) 得 :
解此一阶方程, 得 :
即
dy dx ( y , C1 )
dy dx ( y , C1 )
dy ( y, C ) x C2 1
(隐式通解 )
例5
y 2 0 yy
x 例 1 试求 y x 的通过点(0, 1 ) 且在此点与直线 y 2 1
相切的积分曲线.
解
y x 1 y(0) 1, y (0) 2
(4)
(5)
解方程 (4) :
x2 c , y 1 2
y x 3 c1 x c2 (方程通解) . 6
''
代入原方程得:
p 1 pΒιβλιοθήκη 0 x' 1 p( x ) C e
' ' 1
1 dx x
C e
' ln x 1
C x
' 1
y C x
1 ' 2 y C1 x C 2 2
所以 y C1 x 2 C2是原方程的通解.
(1 x 2 ) y 2x y 例4 y x 0 1 , y x 0 3 解 设 y p( x )
解 设 y p( y) , 则 y pp ,
ypp p2 0 代入原方程得: yp p 0 或 p( y) 0
由 即
p 1 p 0 p C1e y
1 y dy
C1e ln y C1 y
C1 x
y C1 y y C 2e
可降阶的高阶微分方程
dy 4(1 x3 )dx y x4 4x C2
再由初始条件
y x0
1,
知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p dx
p p( y) p( y(x ))
则
y
d2 y dx 2
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
可降阶的高阶微分方程
例
解方程
y
3x 1
2 y x3
y x0 1, y x0 4
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
可降阶的高阶微分方程
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x
sin
x
C1
y
1 9
e3x
p
3x 1
2p x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
dx
ln p ln(1 x3 ) lnC1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程
5
可降阶的高阶微分方程
人大微积分课件12-6可降阶的高阶微分方程
14
练习题答案
一、1、 y
xe x
3e x
C1 2
x
C2 x
C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
4、 y 1 1 . C1 x C2 x
二、1、 y 2 x x2 ；
2、 y 1 ln(ax 1)； a
3、 y (1 x 1)4 . 2
( x,C1 )
原方程通解为： y ( x,C1 )dx C2 .
2021/4/21
3
例 2 求方程 (1 x2 ) y 2 xy 的通解.
解 令y P,则y dP dx
方程化成 (1 x2 ) dP 2xP dx
分离变量 1 dP 2x dx
P
1 x2
积分
P＝y＝C（1 1＋x2）
原方程通解为
y
C eC1x 2
.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 设 y e zdx , 代入原方程,得 zx z，
解其通解为 z C x,
原方程通解为
y e Cxdx
C eC1x2 2
.
2021/4/21
11
思考题
已知 y1 3， y2 3 x 2 ， y3 3 x2 e x 都是微分
y,C1 )
x
C2
2021/4/21
5
例 3 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设y P( y),则y P dP , dy
y P dP P 2 0, 即P( y dP P) 0,
dy
dy
由y
dP dy
P
0, 可得P
C1
126可降阶的高阶微分方程
例 解
解三阶方程： 积分
y sin x cos x
y ydx (sin x cos x)dx
再积分
cos x sin x C1
y ydx ( cos x sin x C1 )dx
sin x cos x C1 x C2
12.6 可降阶的高阶微分方程
Reduction of Order
四川大学数学学院 徐小湛
Revised March 2006 June 2005
二阶微分方程的一般形式：
F ( x, y, y, y) 0
或
y f ( x, y, y)
通解：
通解：
y ( x, C1 , C2 , )
Revised March 2006 June 2005
四川大学数学学院 徐小湛
一、 n 阶微分方程 y
(n)
f ( x)
四川大学数学学院 徐小湛
Revised March 2006 June 2005
p ( x, C1 )
一阶方程
通解：y学数学学院 徐小湛
Revised March 2006 June 2005
例
解二阶方程：
y y
2
解
方程缺 y，用降阶法 令
y p
则
dp y dx
dp F ( y , p, p ) 0 dy
已经降阶 以下的事情就好办了
四川大学数学学院 徐小湛
p 和 y 的一阶方程
Revised March 2006 June 2005
例
解
1 2 解二阶方程： y y 0 1 y
126可降阶的高阶微分方程学生版共39页
《高等数学学习手册》在以下书店购买： 四川大学 江安校区 商业街 红专书店
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
126可降阶的高阶微分方程学生版
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
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谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
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