数学物理方法 第8章 分离变数法

T (t ) X ( x) 2 X ( x) a T (t )
X (0)T (t ) X (l )T (t ) 0
(t ) a 2 T (t ) 0 T
X ( x) X ( x) 0
X (0) X (l ) 0
当 0 时 X ( x) c1e

0 xl
1 l A0 ( x)dx l 0
1 l B0 ( x)dx l 0
2 l nx An ( x) cos dx l 0 l
nx Bn 0 ( x) cos l dx na 2
l
，
，
【讨论】本征解与泛定方程、边界条件类型的关系
两端固定的弦的横振动 两端自由的杆的纵振动
X ( x) X ( x) 0 X (0) X (l ) 0
n 2 2 nx X ( x) sin l2 l n 1, 2, nat nat T (t ) An cos Bn sin l l
T (t ) a 2 T (t ) 0
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征ຫໍສະໝຸດ Baidu （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
2 n 2 n
2 2 An Bn n n n n sin[ ( x at) ] sin[ ( x at) ] 2 l 2 l 2
Bn 其中 n tan An
1
驻波的相位传播速率
a
2l 驻波的波长只能取某些特定值 n
n na 驻波的角频率 2 a 2l l
f ( x at)
t1 时刻
P2
t 2 时刻
P1
x1
x2
x
表示以速率 a 沿 x 正向传播的行波
3 .本征解是驻波解
nat nat nx u n ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l


nat nx A B cos( n ) sin l l
•基波 n 1 •高次谐波 n 1
4 .驻波形成条件
2l 驻波的波长只能取特定值 n 。
三、分离变数法的适用范围
分离变数法仅适用于求解具有齐次泛定 方程和齐次边界条件的定解问题。 若定解问题的泛定方程非齐次，或边界条 件非齐次，必须用其它办法将边界条件和 泛定方程转换成齐次的，然后应用分离变 数法求解。
n 0, 1, 2,
( n 1 ) 2 2 a 2t 2 l2
(n )x X ( x) c2 sin l
1 2
T (t ) Ae

u ( x, t ) An e
n 0


( n 1 ) 2 2 a 2t 2 l
2
(n 1 )x 2 sin l

u t 0
长为 l 、两端固定的均匀弦的自由微小横 振动的定解问题
utt a u xx 0
2
0 xl , t 0
t0
t 0
u
x 0
u
x l
0
u t 0 ( x) , ut
( x)
0 xl
思路： 把偏微分方程转化为易以求解的常微分方程， 从而找出满足边界条件与初始条件的解。 即令：

n0 n0
nat nat nx u ( x, t ) A0 B0 t [ An cos Bn sin ] cos l l l n 1
由初始条件
u
t 0
nx A0 An cos ( x) l n 1

0 xl
ut
t 0
na nx B0 Bn cos ( x) l l n 1
n 2 2 a 2 nx (t ) Tn (t )]cos 0 [Tn 2 l l n 0
2 2 2
0 xl
n a Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n0
A0 B0 t Tn (t ) nat nat An cos l Bn sin l
第八章
分离变数法
引言
分离变数法在数学物理方程中的地位:
分离变数法是求解数学物理定解问题的基 本方法，是贯穿数学物理方程内容的主要 线索，本章以分离变数法为主线，结合傅 里叶级数法研究求解一维自由波动方程、 一维无源输运方程、直角坐标系中二维无 源稳定场方程的方法。
§8.1分离变数法详析
一、分离变数法介绍
X ( x) X ( x) 0
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入定解问题中试解
(t ) X ( x) a 2T (t ) X ( x) 0 T
2 两边同除于 a X ( x)T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )
X ( x) T (t ) 2 X ( x) a T (t )

0 xl
代入方程 utt a u xx 0
2
nx n nx 2 Tn(t ) sin l a Tn (t )( l 2 ) sin l 0 n 1 n 1
2 2
n a nx [Tn(t ) l 2 Tn (t )]sin l 0 n 1
n 1, 2, 3,
nx X ( x) c1 sin l
nat nat T (t ) A cos B sin l l
满足给定边界条件的可分离变数形式的特解为：
nat nat nx u n ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l
u t 0
ut
t 0
nx An sin ( x) l n 1

na nx Bn sin ( x) l n 1 l

0 xl
2 l nx An ( x) sin dx l 0 l
2 Bn an nx 0 ( x) sin l dx
解: 不妨设 x 0 端为温度保持零度的端，即 u x0 0 端与外界绝热，即 u x xl 0 本导热问题可表示为:
ut a u xx 0
2
0 xl t0
t0
u
x 0
ux
x l
0
u t 0
u0 x l
0 xl
【解法一】分离变数法
令 u( x, t ) X ( x)T (t )
泛定方程
utt a u xx 0
2
utt a u xx 0
2
边界条件
分离变数
u
x 0
u
2
x l
0
ux
x0
ux
xl
0
u( x, t ) X ( x)T (t )
T (t ) 的 微分方程
本征值问 题 本征值问 题的解
T (t ) 的解
T (t ) a T (t ) 0
为常数
X(x)： X ( x) X ( x) 0
(t ) a2T (t ) 0 T(t)： T
又由边界条件： X (0)T (t ) X (l )T (t ) 0
X (0) X (l ) 0
X ( x) X ( x) 0 X(x)： X (0) X (l ) 0
x0
ux
xl
0 ，把 u ( x, t )
展开为傅里叶余弦级数可满足此条件，
nx nx u ( x, t ) T0 (t ) Tn (t ) cos Tn (t ) cos l l n 1 n 0

代入 得
utt a u xx 0
2

0 xl
t0
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
u0 x l
u
t 0
(n 1 )x u 0 2 An sin x l l n 0
(n 1 ) x 2u0 (1)n 2 l u0 2 An x sin dx 1 2 2 0 l l l (n 2 )
u ( x, t )
2u 0

2
(1) n (n 1 ) 2 e n 0 2

0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
c1 0
X ( x) 0
当 0 时 X ( x) c1 cos x c2 sin x
X (0) X (l ) 0
齐次方程组 有非零解
c1 0
c2 cos l 0
(n 1 ) 2 2 2 l2
c2 0
cos l 0
T(t)： 讨论： （1） 0
T (t ) a2T (t ) 0
X ( x) c1e
X ( x) 0
x
c2 e
x
考虑边界条件得：c1 c2 0
不存满足边界条件的、非零的可分离变数形 式的特解
(2) 0
X ( x) c1 x c2
考虑边界条件得：c1 c2 0
l
二、两端固定的弦振动解的物理意义
1. 本征解、本征振动
nat nat nx u n ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1, 2, 3, 本征解
本征振动：本征解描述两端固定的弦固 有的振动方式。
2 .行波的一般表示 f ( x at)
X ( x) 0
不存满足边界条件的、非零的可分离变数形 式的特解
(3)
0
X ( x) c1 sin x c2 cos x
由 X (0) X (l ) 0 要有非零解，必须： c1 0
c2 0
c1 sin l 0
sin l 0
n 2 2 2 l
x
c2 e
x
X (0) X (l ) 0
c1 c2 0
c1e
l
c2 e
l
0
无意义。 齐次方程组只有零解
X ( x) 0
(c1 c2 0)
当 0时
X ( x) c1 x c2
c2 0
X (0) X (l ) 0
无意义
l
综上，长为 l 、两端固定、均匀弦的自 由微小横振动问题的解：
nat nat nx u ( x, t ) (An cos Bn sin ) sin l l l n 1

2 l nx An ( x) sin dx l 0 l
2 Bn an nx 0 ( x) sin l dx
n 1, 2, 3,
由于泛定方程是线性齐次方程，因此这些 特解的线性叠加，仍然是泛定方程满足给 定的边界条件的解。 一般解
nat nat nx u ( x, t ) (An cos Bn sin ) sin l l l n 1

An Bn 取决于初始状态
An Bn 的确定：