2005年中国大学生数学建模竞赛论文(仓库容量有限条件下的随机存贮管理)II.pdf

X 服从在 1 天到 3 天之间的均匀分布。其余数据同问题 2 中相应的商品中所列
出的数据。 试按问题 3 的模型求出这 3 种商品的最优订货点 L* 和自己的仓库用于 存贮这 3 种商品的各自体积容量 Q0i (i = 1, 2,3) 以及在订货到达时使这 3 种商品各 自存贮量补充到的固定体积 Qi (i = 1, 2,3) 。 问题 5 商品的销售经常是随机的、订货情况在一段时间后是会发生变化的， 相应地商家就应该调整订货和存贮策略。你们能否对此建立数学模型加以讨论。
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由图 5-1 和（式 5-1） 、 （式 5-2）可以写出一个交货周期的期望费用为 min C ( L) = c1 + Dw + ò r c2
0 L 2 ¥ éc Q Q 2 - ( L - rx )2 c ( L - rx)2 ù p ( x )dx + òL ê 2 + 4 ú p( x)dx 2r 2r r ë 2r û
（式 4-6）
4.3 允许租借仓库模型：商场的仓库容量有限,容纳不了商品的最大存贮 Q ,因此 需要租借仓库存贮其中的一部分 Q - Q0 .由于租借仓库的单位存贮费用和自己仓 库的单位存贮费用不同,总费增加用 Dw . 储存在租借仓库中的货物量为 Q - Q0 , 这部分货物的存储费用为 Dw租 = ò
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c 2 =0.03 元/盒.天； c3 =0.04 元/盒.天； c 4 =1.50 元/盒.天； Q0 =40 盒； Q =60 盒， 共有连续的 43 次订货后到达天数记录如下： 4233222222223212432322423433232322132532422 。 商品三：中汇香米 5KG 装 r =20 袋/天； c1 =10 元； c 2 =0.06 元/袋.天； c3 =0.08 元/袋.天； c 4 =1.25 元/袋.天； Q0 =20 袋； Q =40 袋， 共有连续的 61 次订货后到达天数记录如下： 3442332212111211111122511121111112212233122122 1 2 1 2 1 1 2 3 2 5 6 3 4 3 1。 按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点 L* 。 问题 3 问题 1 是只有一种商品需要定货的情形。 实际上常遇到在库存容量有 限的情况下，有多种商品需要同时订货的情形，这时需考虑充分利用存贮体积的 问题。设有 m 种商品需要订货，它们每次一同从一个供应站订货，每次进货的订 货费为常数 c1 与商品的数量和品种无关；订购的货物同时到达，到货天数 X 如 问 题 1 所 述 是 随 机 的 。 这 m 种 商 品 的 销 售 速 率 分 别 为 ri （ 袋 或 盒 / 天 ） (i = 1,2,..., m) ，每袋（或盒）的体积分别为 vi (i = 1,2,..., m) 。使用自己的仓库和租 借的仓库时单位体积商品每天的存贮费分别记成 c2 i 和 c3i (i = 1,2,..., m) ， 单位体积 商品每天的缺货损失记成 c 4 i (i = 1,2,..., m) ， 自己的仓库用于存贮这 m 种商品的总
2 2
（式 4-3）
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图 4-3 缺货时的库存与时间关系图 由图 4-3 易得，总费用由存贮费与缺货费两部分组成，其中存贮费 W =ò
' k T
0
c2Q 2 c2 (Q - rt )dt = 2r
（式 4-4）
缺货费 Wq = ò
且 c 2 £ c3 ； c4
X
因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失； 交货时间,. X 是随机的； 自己的仓库用于存贮该商品的最大容量； 每次到货后使这种商品的存贮量 q 补充到固定值，且 Q0 < Q ； 订货点； 最优订货点；
Q0 Q L
L*
4. 问题的分析
在问题中，假设 1 假定各种商品的销售速率是不变，即需求确定；仓库 的最大存贮量 Q 为固定值。 4.1 经典不允许缺货模型： 库存量为 Q ,单位商品每天存贮费用为 c 2 ,日销售速率 为
（式 5-1）
由假设 4：每次订货，设货物在 X 天后到达，交货时间 X (x1, x2 , x3 , x4 ,L) 是随机 的（图 5-1） 。
图 5-1 交货时间示意图 我们假设 x 的概率密度函数为 p ( x ) 。 现在，我们分两种情况讨论： 一、 订货点 L 在 Q0 以下，如图 5-1 所示。
2. 问题的基本假设
1. 市场上各种商品的销售速率是不变的; 2. 商品存贮时,首先存贮满自己仓库,再存贮租借商品仓库 3. 商场在使用货物时,先使用租借仓库中的货物,后使用自己仓库中的货物, 并认为两类仓库中货物的使用在时间上是连续的,即:当租借仓库中的货 物用完时立即使用自己仓库中的货物; 4. 每次订货，设货物在 X 天后到达，交货时间 X 是随机的； 5. 各项费用不会随时间的变化而变。
3. 符号说明
C ( L) Wk 当订货点为 L 时，一个订货周期中的总费用； 一个订货周期中的库存费用；
3
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r
c1 c2 c3
商品的销售速率； 每次进货的订货费,为常数； 使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用； 超出时 需要 使用 租借的 仓库 存贮商品， 单位 商品 每天的存贮费用，
（式 4-8）
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Dw = Dw阻 - Dw己 = (c3 - c2 )
(Q - Q0 ) 2 2
（式 4-9）
5. 模型的建立与求解 5.1问题一的分析与模型建立
总费用=订货费+库存费+缺货费 订货费为 c1 ；由（式 4-5）和（式 4-9）可得，订货点订货点 L 在 Q0 以下时 库存费用 ì Q 2 - ( L - rx)2 L c2 + Dw............x £ ï ï r 2r Wk = Wk' + Dw = í 2 ï c2Q + Dw...............................x > L ï î 2r r 再由（式 4-5） ，缺货时的缺货费 Wq = c4 ( L - rx )2 2r （式 5-2）
r
，当货物存贮量为零时订货立即到达，订货量恒为 Q 。库存量与时间
的关系图如下：
图 4-1 经典不允许缺货模型的库存量与时间关系图 此时存贮费用为
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Wk = ò c2 qdt = ò c2 (Q - rt )dt = c2 (QT 0 0
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体积容量为 Q0 ，每次到货后这 m 种商品的存贮量总体积补充到固定体积容量 Q 为止，且 Q0 < Q 。每当这 m 种商品的存贮量总体积 q 降到 L 时即开始订货。试通 过建立数学模型说明应如何确定最优订货点 L* 和自己的仓库用于存贮这 m 种商 品的各自体积容量 Q0 i (i = 1,2,..., m) 以及在订货到达时使这 m 种商品各自存贮量 补充到的固定体积 Qi (i = 1,2,..., m) ，才能使总损失费用达到最低？ 问题 4 如果把问题 2 中的三种商品按问题 3 的方法同时订货， 其中 v1 = 0.05 立方米， v 2 = 0.04 立方米， v3 = 0.10 立方米，自己的仓库用于存贮这 3 种商品的 总体积容量 Q0 = 6 立方米， 每次到货后这 3 种商品的存贮量总体积补充到固定体 积容量 Q = 10 立方米为止，且该供应站从接到订货通知到货物送达商场的天数
时，会缺货。 （1） 订货在缺货前交货(如图 4-2 所示)
图 4-2 不缺货时的库存与时间关系图 由图 4-2 易得，总费用为存贮费用 Wk' = ò c2 (Q - rt )dt - ò c2 (( L - rx) - rt )dt
0 0 T T
c Q c ( L - rx) Q 2 - ( L - rx)2 = 2 - 2 = c2 2r 2r 2r （2） 订货在缺货后交货， (如图 4-3 所示)
= c1 + (c3 - c2 )
L 2 ¥ éc Q (Q - Q0 )2 c ( L - rx) 2 ù Q 2 - ( L - rx )2 + ò r c2 p( x)dx + òL ê 2 + 4 ú p ( x)dx 0 2r 2r 2r r ë 2r û
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1. 问题的重述
工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是 原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存 得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径 和方法。 问题 1 某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的， 记为 r ；每次进货的订货费为常数 c1 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库 存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为 c 2 ，由于自己的仓库容量有限，超出 时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为 c3 ，且 c 2 £ c3 ； 允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为 c 4 ；每次 订货，设货物在 X 天后到达，交货时间 X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品 的最大容量为 Q0 ，每次到货后使这种商品的存贮量 q 补充到固定值 Q 为止，且 Q0 < Q ；在销售过程中每当存贮量 q 降到 L 时即开始订货。 请你给出求使总损 失费用达到最低的订货点 L* （最优订货点）的数学模型。 问题 2 以下是来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据： 商品一：康师傅精装巧碗香菇炖鸡面 r =12 盒/天； c1 =10 元； c 2 =0.01 元/盒.天； c3 =0.02 元/盒.天； c 4 =0.95 元/盒.天； Q0 =40 盒； Q =60 盒， 共有连续的 36 次订货后到达时间天数记录如下： 3 3 7 1 2 3 3 0 3 4 6 3 1 4 3 3 2 5 2 3 2 5 3 2 3 3 0 3 4 3 1 4 5 4 3 1。 商品二：心相印手帕纸 10 小包装 r =15 盒/天； c1 =10 元；
L ( x- ) r 4 0
c rtdt =
c4 ( L - rx)2 2r
（式 4-5）
综合（1） 、 （2）两种情况可得：库存费用 ì Q 2 - ( L - rx )2 ..........x £ c ï ï 2 2r Wk ' = í 2 ï c2Q ............................x > ï î 2r L r L r
Q - Q0 r 0
(Q - Q0 )2 c3 (Q - Q0 - rt )dt = c3 2r
（式 4-7）
如果存贮在自己的仓库,则这部分货物的存贮费用为 Dw己 = ò 所以有
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Q -Q0 r 0
c2 (Q - Q0 - rt )dt = c2
(Q - Q0 )2 2r
T
T
rT 2 QrT - (rT )2 ) = c2 2 2
（式 4-1）
Q
Q = rT W k = ò c2 qdt = ò c2 (Q - rt )dt = c2 (QT 0 0 T T
\
4.2
rT 2 Q2 ) = c2 2 2r
（式 4-2）
允许缺货模型：每次订货，设货物在 X 天后到达，交货时间 X 是随机的；自 己的仓库用于存贮该商品的最大容量为 Q0 ，每次到货后使这种商品的存贮量 q 补充到固定值 Q 为止；在销售过程中每当存贮量 q 降到 L( L £ Q0 ) 时即开始订货。 假设租借仓库不增加额外的费用。 显然，当 L - rx ³ 0 ，即 x £ 时，不会缺货。相反，当 L - rx < 0 ，即 x > L x L x