3.4 函数的应用(一)2019版 新高一word讲义

3.4函数的应用(一)

课标要求素养要求

1.理解函数模型是描述客观世界中变量

关系和规律的重要性.

2.会利用已知函数模型解决实际问题.

通过本节课的学习，使学生体会常见函

数的变化异同，提升学生数学抽象、数

学建模、数据分析等素养.

新知探究

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

年份201520162017

销量/万辆81830

结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.

问题1在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？

问题2如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？

问题3依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？

提示 1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.

1.常见的函数模型

常见函

数模型

一次函数模型y

＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

幂函数模型y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0，α≠1)

2.

(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.

(2)这些步骤用框图表示如图：

拓展深化

[微判断]

1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)

2.在某种

金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：

(1)前5分钟温度增加越来越快.(×)

(2)前5分钟温度增加越来越慢.(√)

(3)5分钟后温度保持匀速增加.(×)

(4)5分钟后温度保持不变.(√)

[微训练]

1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.

解析由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0

答案y＝20－x(0

2.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增

加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1

20Q

2，则总利润

L(Q)的最大值是________万元.

解析L(Q)＝40Q－1

20Q

2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋

2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.

答案 2 500

[微思考]

一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？

提示一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.

二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝ax n＋b(x>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.

题型一一次函数模型

【例1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.

(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋30(k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，把点B (30，35)，C (30，15)分别代入y 1＝k 1x ＋30，y 2＝k 2x ，得k 1＝16，k 2＝1

2. ∴y 1＝16x ＋30(x ≥0)，y 2＝1

2x (x ≥0). (2)令y 1＝y 2，即16x ＋30＝1

2x ，则x ＝90.

当x ＝90时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当0≤x <90时，y 1>y 2，使用便民卡便宜；当x >90时，y 1

规律方法 在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.

【训练1】 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是行李质量x (kg)的一次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式； (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解 (1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 由图象可知，当x ＝60时，y ＝6； 当x ＝80时，y ＝10.

所以⎩⎪⎨⎪⎧60k ＋b ＝6，80k ＋b ＝10.

解得k ＝15，b ＝－6.

所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧1

5x －6，x >30，

0，0≤x ≤30.

(2)根据题意，当y ＝0时，0≤x ≤30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 题型二 幂函数与二次函数模型

【例2】 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.

解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y ＝x 3.所以当x ＝5时，y ＝125. 答案 125

(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：

①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解 ①设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，

则x ∈(100，300]，n ＝kx ＋b (k <0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300). ∴利润y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2－10 000k (x ∈(100，300])， ∵k <0，∴x ＝200时，y max ＝－10 000k ，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元. ②由题意得k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%， x 2－400x ＋37 500＝0，解得x ＝250或x ＝150，