立体几何中最值问题

立体几何中最值问题求解策略

立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。

策略一 转化为求函数最值

例1 已知正方形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，

,M 为线段AC 上一动点，当M 在什么位置时，M 到直线BF 的距离最短

分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC 、BF 间距离。可用代数中求最值的方法来解决。

解：作MH ⊥AB 于H,作HN ⊥BF 于N ,易知MH ⊥平面ABEF. 由三垂线定理可知，MN ⊥BF.

设AM=x,则

MH=AH=2

2x

,HN=2HB=112

x - 则

MN 2=MH 2+HN 2=

2211(1)22x x +-=2322

()433

x -+ 所以当AM=2

3

时，MN

有最小值3。

策略二 借助 均值不等式求最值

例2 求半径为R 的球内接正三棱锥体积的最大值。

解：如右图所示，设正三棱锥高1O A =h, 底面边长为a

由正三棱锥性质可知1O B

=3

a ，又知OA=OB=R 则在Rt ABC ∆

中，2

22)()3

a R h R =-- ∴

23(2)a h R h =-

∴

V=221(2)3h R h =-=(2)22h h

R h -

g 3

2223h h R h ⎛⎫++- ⎪≤ ⎪ ⎪

⎝⎭

3R (当且仅当22h R h =-，即4

3h R =时，取等号 ) ∴ 正三棱锥体积最大值为

3

27

R

策略三 借助最小角定理建立不等关系

例3 l β∂--是直二面角，,,A B A β∈∂∈，B 不在l 上，设AB 与,β∂成的角分别是12,θθ，求 12θθ+的最大值。

解析：如图所示，过A 作L 垂线，垂足为C,易知AC β⊥

过B 作L 垂线，垂足为D,易知BD ⊥∂.所以2,ABC θ∠= 1BAD θ∠=，在Rt ABD ∆中，12

2

ABD DAB π

π

θ∠=-∠=

-

由最小角定理可知212

2

BAD π

π

θθ<

-∠=

-，所以122

π

θθ+<

。

当D 、C 重合时，122

π

θθ+=

。所以最大值为

2

π。 策略四 借助侧面展开图求最短路径

例4 长方体1111ABCD A B C D -中，AB=6,BC=5,14,CC =一只蚂蚁从1A

长方体表面到达C 处，求蚂蚁爬过的最短距离。

解：如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果

比较而求得最值。

1.

1

AC =、

= (1

2 1

AC =

= 3 1

AC ==

显然第3种距离最短 。 策略五 利用极限思想

例5 1 三棱锥P-ABC 中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x 是否有最

值；

2若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值。 解析：如图第1题：当P-ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是 P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，PA 变大， 最大极限是P,A,B,C 共面时，PA 为菱形ABPC

第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O重合

，PO无穷大时，侧棱也无穷大。

时，侧棱取最小极限值

3

可知两题所问均无最值。