曲双石：人口老龄化对现收现付养老保险制度的冲击基于三时期OLG模型 的三种解决方案的分析

三.增加养老保险税与个人福利 增加养老保险税与个人福利 水平、初始资本、储蓄 水平、初始资本、
θ =1 ↓
rt = α kt α −1
α (1 + n )( ρ 2 + 3 ρ + 3) r = 1−α
*
最优均衡实际利率：
假定一个封闭的经济，不存在技术进步和折旧 ↓
yt = f (kt ) = ct + st = ct + ∆k + nkt
经济处于稳态时，资本存量不发生变化
↓ ∆k = 0 ct = f (kt ) − nkt ↓
1
工作期的储蓄可以全部转化为退休期的资本→
K t + 2 = Tt +1 Lt +1
→
K t + 2 K t + 2 Lt + 2 Tt +1 = = ⋅ = kt + 2 (1 + n) Lt +1 Lt + 2 Lt +1
1 1 + rt + 2 θ 1 [ ] ⋅ (1 + ρ ) 2 1 + rt + 2 (1 − α )kt +1α kt + 2 (1 + n) = 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
→ r = f ′(k ) = α k α −1 t t t ↓
1 + rt + 2 θ 1 [ ] ⋅ 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 Tt +1 = (1 − α )kt +1α 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
→
↓在稳态均衡时
k 1 = k 2 = ... = k t + 1 = k *
1 1 + rt + 2 θ 1 [ ] ⋅ 1 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 1 − α 1−α ) k* = ( 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ n 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
1 wt +1 1+ n θ c3t + 2 = [ ] 1 1 2 1 θ 1 + n θ 1 (1 + ρ ) 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1+ n wt +1 = 1 1 (1 + ρ ) 2 θ 1 + ρ θ 1 [ ] +( ) + 1+ n 1+ n 1+ n
wt +1 wt +1 c1t = = 1 1 1−θ 1 θ 1+ n θ 1 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 1 θ (1 + n) θ ) + 1+ ρ (1 + ρ ) 2 1 + n 1 + ( 2 1+ ρ (1 + ρ )θ
1 wt +1 wt +1 1 θ c2t +1 = ( ) = 1 1 1−θ 1 θ 1+ n θ 1 1+ ρ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 1 −θ (1 + n) θ 1+ ( ) + 1+ ρ (1 + ρ ) 2 1 + n 1 1+ ρ (1 + ρ )θ
↓ 个人效用最大化同样要求实际利率等于人 口增长率
由
α (1 + n)( ρ 2 + 3ρ + 3) r* = 1−α
ρ 可知当 α 、或 n 足够小 ，即资本在产出中的 比重足够小，或者个人非常在乎退休期的 α ( ρ + 3ρ + 3) n< 消费,或者人口增长率足够小 （ 1 − α ( ρ + 3ρ + 4) ） 时，可能存在
c1t = K t
c2t +1 = wt +1 − Tt +1 − St +1 − K t
c3t + 2 = Tt + 2 + (1 + rt + 2 ) St +1
↓
Tt + 2 + wt +1 − Tt +1 1 + rt + 2 K t = c1t = 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
Tt +1 ：个人缴纳的完全基金型养老金
rt + 2 ：退休期的利率
↓
c3t + 2 c1t + c2t +1 + = wt +1 1 + rt + 2
↓
max
U ( c1t , c 2 t +1 , c3 t + 2 ) = u ( c1t ) +
1 1 u ( c 2 t +1 ) + u ( c3 t + 2 ) 2 1+ ρ (1 + ρ )
与P7
↓公式比较
工作期： 0 < θ < 1 ，即相对来说家庭较不愿意改变消 费量在一生各个时期的分配时，个人的消 费和效用水平下降 θ > 1，即相对来说家庭较偏好于波动的消费 流，个人的消费和效用水平提高
退休期： 个人的消费和效用水平得到了提高
二.降低养老金发放水平与个人 福利水平、 福利水平、初始资本
1
c3t + 2
wt +1 1 + rt + 2 θ = [ ] 1 1 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
1
1 + rt + 2 θ wt +1 [ ] ⋅ 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 Tt +1 = wt +1 − c1t − c2t +1 = 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
其中 T = k − kG
*
↓
n − rt + 2 T + wt +1 1 + rt + 2 c1t = 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
n − rt + 2 T + wt +1 1 1 + rt + 2 1 θ c2t +1 = ( ) 1 1 1+ ρ 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
Tt + 2 + wt +1 − Tt +1 1 1 + rt + 2 1 θ ( ) c2t +1 = 1 1 1+ ρ 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
Tt + 2 + wt +1 − Tt +1 1 1 + rt + 2 1 + rt + 2 θ [ ] = 1 1 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
2 2
r * = f ′( k * ) t; kG
*
即经济中出现过度储蓄，居民没有最大化 其两阶段的消费水平和效用水平。
↓ 在完全基金制养老保险的情况下，可能会 存在动态无效率的情况，即个人的消费和 效用水平没有实现最大化，资源的跨时配 置也没有达到最优
如何改善经济的动态效率, 使资源配 置达到帕累托最优呢
↓ 现收现付 ：虽然养老保险的初衷是为了调 节收入分配，以保证个人退休后的最低收 入水平，但其同时可以通过调节个人收入 来影响储蓄，进而影响资本积累。
c1t = K t
c2t +1 = wt +1 − T − Kt − St +1
c3t + 2 = (1 + n)T + (1 + rt + 2 ) St +1
c3t + 2 n − rt + 2 T + wt +1 1 1 + rt + 2 1 + rt + 2 θ [ ] = 1 1 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
由于政府通过现收现付的社会保障机制使 人均投资保持在黄金规则水平，因此实际 利率都等于人口增长率 ↓
实证分析
Ct = α 0 + α1 Pt + ε t
Ct
：个人消费，用城镇居民人均消费的对 数来代替 Pt ：养老金发放水平，用人均基本养老保 险基金支出（基本养老保险基金支出/离退 休人员）来代替 ↓
ˆ ˆ Ct = 7.149598 + 0.000196 Pt
↓ 养老金发放水平确实与个人消费水平成正 相关关系。因此，降低养老金发放水平会 降低个人的福利水平。
∂c3t + 2 ∂Tt + 2
1 1 1 + rt + 2 1 + rt + 2 θ = [ ] >0 1 1 2 (1 + ρ ) 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
↓ 个人在退休期得到的养老金水平与个人的 初始资本和工作期、退休期的消费决策成 正相关关系。 ↓ 如果降低养老金发放水平，则个人的消费 水平将下降，即个人的福利水平将下降， 且只能付出更少的资本使处于学习期的后 代积累人力资本。
c3t + 2
↓
1 ∂K t 1 + rt + 2 = >0 1 1 ∂Tt + 2 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
∂c2t +1 ∂Tt + 2 1 1 1 + rt + 2 1 θ = ( ) >0 1 1 1+ ρ 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
人口老龄化对现收现付养老保险制度 的冲击： 的冲击：基于三时 期OLG模型的三种解决方案的分析 模型的三种解决方案的分析
曲双石 山东大学经济研究院 2007级硕士
三种解决方案
1.现收现付制向基金制转轨 2.降低养老金发放水平 3.增加养老保险税
基本模型
三时期OLG模型 学习期：个人没有工作，因此也没有收入和储蓄， 但是会从处于工作期的父母那里获得初始资本， 以进行学习，积累人力资本。 工作期：个人会从事工作，因此有收入，其中一 部分会作为基金制养老保险上缴，同时会付出一 部分收入给处于学习期的子女供其完成学业。但 是不考虑对处于退休期的老年人的赡养义务。 退休期：个人不从事工作，消费主要来自自己在 工作期的自愿储蓄。而且个人不会给后代留有遗 赠。
s.t.
c1t + c 2 t +1
c3 t + 2 + = wt +1 1 + rt + 2
↓Lagrangian
u ′ ( c 2 t + 1 ) 1 + rt + 2 = 1+ ρ u ′( c 3 t + 2 )
u ′(c1t ) 1 = u ′(c2t +1 ) 1 + ρ
u ′(c1t ) 1 + rt + 2 = u ′(c3t + 2 ) (1 + ρ ) 2
dct = f ′(kt ) − n = rt − n = 0 dkt
个人最大化消费水平要求实际利率等于人口增长 率。该实际利率所对应的资本存量为黄金规则资 本存量 ,即
f ′(kG ) = n
最大化个人效用的必要条件为
du du dct dkt 1 = ⋅ ⋅ = u ′ ⋅ ( rt − n) ⋅ =0 drt dct dkt drt f ′′
1
柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）型生产函数：
Yt = K t Lt
α
1−α
Yt Kt α yt = = ( ) = ktα = f (kt ) → Lt Lt
w t = f ( k t ) − k t f ′ ( k t ) = k t α − k t ⋅ α k t α − 1 = (1 − α ) k t α
一.现收现付制向基金制转轨与 现收现付制向基金制转轨与 动态无效率、 动态无效率、均衡收益
1.模型
c1t = K t
c2t +1 = wt +1 − Tt +1 − K t
c3t + 2 = (1 + rt + 2 )Tt +1
c1t ， 2 t + 1，c3t + 2 ：消费 c K t ：个人在学习期的初始资本
↓
c1−θ u (c ) = 1−θ
wt +1 K t = c1t = 1 1 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2
wt +1 1 θ c2t +1 = ( ) 1 1 1+ ρ 1 + rt + 2 θ 1 θ 1 1+ ( ) +[ ] ⋅ 2 1+ ρ (1 + ρ ) 1 + rt + 2