-状态空间模型
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
Eviews13章状态空间模型
本章小结：
• 了解状态空间模型的基本理论 • 掌握状态空间模型的建立方法 • 了解卡尔滤波方法
• 掌握状态空间模型的估计方法
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四、状态空间模型的估计
当状态空间模型被定义好后，就可以对其进行模型的估计。 在 EViews 软 件 操 作 中 ， 选 择 状 态 空 间 对 象 工 具 栏 中 的 “Proc”|“Estimate…”选项，得到对话框。 在“Sample”中输入要估计的样本区间，系统默认下为整个 样本区间；在“Optimization algorithm”（最优化算法）中选 择 估 计 算 法 ， 包 括 “ Marquardt” （ 马 夸 特 测 定 法 ） 和 “BHHH”估计方法；在“Iteration Control”（循环控制）中 可以设定最大循环次数和收敛值；在“Derivatives”（导数方 法）中，有两种计算导数的方法，分别是“Accuracy”和 “Speed”。如果选择“Accuracy”计算的精度会更高，如果 选择“Speed”计算的速度会更快。
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三、状态空间模型的建立
（2）在下图所示的状态空间对象的文本编辑栏中也可以对 状态空间模型进行定义。在该编辑栏中通过关键词和文本可 以描述量测方程、状态方程、初始条件、误差结构和待估参 数的初始值。
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三、状态空间模型的建立
量测方程： 量测方程的关键词是“@signal”，如果该关键词缺失，系统 默认下会将该方程设定为量测方程。量测方程的因变量可以 包含表达式，例如 log(kg)=ss1 + c(1) + c(3)×x + ss2×y 其中，ss1和ss2是状态变量。 量测方程的右侧不能包含量测变量的当期值和未来值，即不 能包含因变量表达式中的变量。
状态空间模型及其在控制工程中的应用
状态空间模型及其在控制工程中的应用状态空间模型，也称为状态变量模型，是控制工程中一种常用的数学模型方法。
它以系统的状态变量为描述对象，通过状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
本文将介绍状态空间模型的基本概念，以及它在控制工程中的应用。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型是一种以状态变量为基础的数学模型，用于描述系统的动态行为。
状态变量是系统在某一时刻的内部状态，而状态方程则描述了状态变量随时间的演化规律。
更具体地说，状态空间模型可以表示为以下形式：˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维的状态向量，表示系统在时刻t的内部状态；u(t)为m维的输入向量，表示系统在时刻t的外部输入；y(t)为p维的输出向量，表示系统在时刻t的输出；A为n×n维的系统矩阵，描述了状态变量的演化规律；B为n×m维的输入矩阵，描述了输入对状态的影响；C为p×n维的输出矩阵，描述了状态对输出的影响；D为p×m维的直接传递矩阵，描述了输入对输出的直接影响。
二、状态空间模型在控制工程中的应用1. 控制器设计：状态空间模型可以方便地用于控制器的设计与分析。
通过对系统的状态变量建模，可以设计出满足特定性能指标的控制器。
例如，可以利用状态反馈控制的方法，通过选择合适的反馈增益矩阵K，使得系统的状态能够稳定地收敛到期望的状态。
此外，还可以利用最优控制理论，基于状态空间模型设计出最优控制器，使得系统的控制性能最优化。
2. 系统仿真与分析：状态空间模型可以用于系统的仿真和分析。
通过将系统的参数代入状态方程和输出方程，可以得到系统的时域响应和频域特性，从而可以对系统的稳定性、响应速度以及抗干扰能力等进行分析。
此外，通过对状态空间模型做变换，还可以将系统的连续时间模型转化为离散时间模型，从而方便地进行数字控制系统的设计与分析。
3. 状态估计：状态空间模型还可以用于系统状态的估计与观测。
状态空间模型表达式
状态空间模型表达式以状态空间模型为标题的文章状态空间模型是一种用于描述系统行为的数学模型。
它将系统的行为抽象为一系列状态和状态之间的转换关系。
在这个模型中，系统的行为可以被分解为一系列离散的状态，每个状态都代表着系统在某个时刻的特定情况。
通过定义状态之间的转换规则，我们可以描述系统在不同状态下的行为。
在状态空间模型中，系统的状态可以用变量来表示。
每个状态变量都有一组可能的取值，这些取值被称为状态空间。
系统的初始状态被称为初始状态，而系统的所有可能状态的集合被称为状态空间。
状态空间模型可以被用于描述各种不同的系统，包括物理系统、生物系统、信息系统等。
状态空间模型的核心是状态转换规则。
状态转换规则定义了系统在不同状态下的行为。
它描述了系统从一个状态转换到另一个状态的条件和方式。
状态转换规则可以用逻辑表达式、状态转移图等形式来表示。
通过定义状态转换规则，我们可以预测系统在不同状态下的行为，以及系统从一个状态转换到另一个状态的路径。
状态空间模型可以用于解决各种实际问题。
例如，在控制系统中，我们可以使用状态空间模型来描述系统的动态行为，设计控制器来实现系统的稳定性和性能要求。
在计算机科学中，我们可以使用状态空间模型来描述算法的执行过程，分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
在人工智能领域，我们可以使用状态空间模型来描述智能代理的知识和行为，实现自动决策和自主学习。
状态空间模型的优点是可以提供对系统行为的精确描述。
通过定义状态和状态转换规则，我们可以准确地描述系统在不同状态下的行为，从而可以预测系统的行为和优化系统的性能。
此外，状态空间模型还可以提供对系统的可达性和可控性的分析，以及对系统的稳定性和鲁棒性的评估。
然而，状态空间模型也存在一些限制和挑战。
首先，状态空间模型假设系统的行为是离散的，而实际系统的行为往往是连续的。
因此，在描述连续系统时，需要对状态空间模型进行离散化处理。
其次，状态空间模型的规模随着系统状态的增加而指数级增长，这会导致模型的复杂性和计算复杂性的增加。
第四章状态空间模型
t)
=
f(
X(t),u
(t),
t)
状态方程
Y(t) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
离散系统方程
离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 ห้องสมุดไป่ตู้统的阶数
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
(4)利用模型可研究以下问题： 1）死亡率变化的影响 2）人口扰动的影响 3）计划生育的影响
八、状态方程应用之三——预测产品销售量
第四章 状态空间模型（数学模型）
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型； 3 人口迁移模型
第一节 数学模型建模方法概述
1数学模型定义
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
m
图3-13 一般机
例3-4
例3-4
例3-5
例3-5
例3-5
连续系统方程
状态和状态空间模型
其中
x
x1
x2
u [ui ]
y [uC ]
A
- R/L
1/C
-1/L
0
B
1/L
0
C [0
1]
• 总结出状态空间模型的形式为x Ax Bu Nhomakorabeay
Cx
Du
其中x为n维的状态向量;
u为r维的输入向量;
y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵;
– 系统的状态和状态变量 – 系统的状态空间
1. 系统的状态和状态变量
• 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的 字面意思就是指系统过去、现在将来的运 动状况。
– 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空 间分析方法十分重要。
– “状态”的定义如下。
• 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描 述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记!
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
系统工程-状态空间模型
故得状态方程
X x x 1 20m k 1m Bx x1 2m 1 0F(t)
x 0x x 0F(t)
1
1
2
x k x B x 1 F(t)
2
m1 m2 m
谢谢观赏
12
一、系统的状态和状态变量
• （1）状态。状态是指为完全描述t≥tₒ时系统行为所需变量的最小集合，该集合构成状态空间 。
• 完全描述的条件包括：a.已知系统t ≥ tₒ时的系统输入；b已知tₒ时刻集合中所有变量的值（初 始条件）。
• （2）状态变量。上述最小变量集合中的每个变量。
例3-4 一般机械系统 甴三种基本元件组成， 即质量块、弹簧和阻尼 器，如右图所示。根据元件 的受力和力的平衡法则可以建立状态方程。根据力的平衡法则有：Biblioteka dt 2dt m m
所以 dx 和x是完全描述系统行为的 最小集合（状态） dt
令x dx , x x(x , x 即为状态变量 )
2 dt 1
1/
2
即x 2
dx 1 dt
, x 2
d2x dt 2
B m
x 2
k m
x 1
1 m
F(t)
经整理得
x x
1
2
x2
k x
m1
B x
m2
1F(t) m
系统工程-状态空间模型
1
输入-输出法
• 输入-输出法又称端部法，它只研究系统的端部特性，而不研究系统的内部结构。 • 系统的特性是用传递函数来表示。
状态变量法
• 用来处理系统的输入和输出关系。 • 状态变量法可用于线性的非线性的、时变的或时不变的以及多输入或多输出的系统，并且更
状态空间模型
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
x2
Y(t)
dt
1
1
Cm
J
+ x3
+
dt
x3
f J
F3
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x(t ) f x(t ) u(t )
y(t )
g
x(t
)
u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t
y(t )
g
x(t ),
u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
隐马尔可夫模型 状态空间模型
隐马尔可夫模型(State Space Model)介绍隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)是一种常用于建模序列数据的概率统计模型，在自然语言处理、语音识别、生物信息学等领域有广泛应用。
隐马尔可夫模型通过观察到的结果来推断隐藏的状态，并使用转移概率和观测概率描述状态和结果之间的关系。
状态空间模型状态空间模型(State Space Model, SSM)是一种描述时间序列数据的统计模型，通过建立状态方程和观测方程，可以对系统的状态进行推断和预测。
状态空间模型常用于时间序列分析、滤波和状态估计等问题。
状态方程状态空间模型的状态方程描述了系统的状态如何从一个时刻转变为下一个时刻。
状态方程可以用以下形式表示：X_t = A_t * X_{t-1} + B_t * U_t + W_t其中，X_t表示第t时刻的状态，A_t表示转移矩阵，描述状态从t-1时刻转移到t时刻的关系，U_t表示控制输入，B_t表示控制系数矩阵，描述控制输入对状态的影响，W_t表示状态转移的误差。
观测方程状态空间模型的观测方程描述了系统的观测结果如何由状态产生。
观测方程可以用以下形式表示：Y_t = C_t * X_t + D_t * V_t其中，Y_t表示第t时刻的观测结果，C_t表示观测矩阵，描述状态到观测结果的映射关系，D_t表示观测系数矩阵，描述观测结果的误差。
隐马尔可夫模型与状态空间模型的关系隐马尔可夫模型可以看作是状态空间模型的特殊情况，其中观测结果只与当前状态相关。
在隐马尔可夫模型中，状态转移概率和观测概率分别对应状态方程和观测方程中的转移矩阵和观测矩阵。
状态空间模型则更加灵活，可以描述更复杂的系统。
隐马尔可夫模型的三个假设隐马尔可夫模型基于以下三个假设： 1. 齐次马尔可夫性假设：模型中的隐藏状态是一个马尔可夫链，即当前状态只与前一个状态有关。
2. 观测独立性假设：给定隐藏状态，各个观测结果之间是相互独立的。
系统工程-状态空间模型概述
tf
L ( x ( t ), u ( t ), t )d t x (t 0 ) x 0
t0
s .t .
x f ( x ( t ), u ( t ), t )
k f 1
或者
max J ( u )
uU
k k0
L ( x ( k )), u ( k ), k )
x (k0 ) x0
在动态经济学中则是研究经济当事人在一 个较长时期内的行为最优化，从而导致动 态最优化问题。越来越受到人们重视的最 优经济增长问题就是一个动态最优化问题。 这使得动态最优化或最优控制理论在动态 经济学中得到了非常广泛的应用，并且常 被称为跨期最优化问题。
动态最优化问题的一般形式是
max J ( u )
x f ( x (t ), u (t ), t )
这里 x (t ) [ x (t ), , x (t )] 是维状态向量，是维控制 向量（或决策向量）。状态向量全面描述了系统 的状况，是决策者在时刻面临的状态。状态向量 的每一个分量称为状态变量，由维状态向量构成 的线性空间称为状态空间。
这里不再详细讨论。
有时经济模型中不出现控制向量，这时数 学模型为一阶微分方程组
x f ( x ( t ), t )
x (t0 ) x 0
x (k0 ) x0
或一阶差分方程组
x ( k 1) f ( x ( k ), k )
它们描述了状态变量自身随时间的演化。 据此可以求出状态变量随时间演化的情况， 可以分析它们的均衡状态，及均衡状态的 稳定性。
0
s .t .
x 0 .1 x u
状态空间模型
状态空间模型概述状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。
状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。
其中应用较为普遍的状态空间模型是由Akaike提出并由Mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。
由Aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。
状态空间模型起源于平稳时间序列分析。
当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。
含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。
当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。
非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，Granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。
Aoki和Cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。
协调积分概念的提出具有两方面的意义：①如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化；②如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。
Aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。
一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。
根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。
控制系统状态空间应用
控制系统状态空间应用引言：控制系统是现代工程中十分重要的一个领域，它涉及到工业自动化、电气工程、通信系统等多个方面。
其中，状态空间模型是一种广泛应用的数学工具，可用于描述和分析控制系统的动态行为。
本文将介绍控制系统的状态空间模型以及其在工程实际中的应用。
一、状态空间模型的基本原理状态空间模型是一种用于描述连续时间系统的数学模型，由状态方程和输出方程组成。
在状态空间模型中，系统的状态变量是描述系统动态行为的重要参数，而输入和输出变量则是表示系统输入和输出的信息。
1.1 状态方程状态方程描述了系统状态变量随时间变化的规律。
一般形式如下：dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt表示状态变量x随时间的变化率，A是状态矩阵，描述了状态变量之间的相互关系，B是控制矩阵，描述了输入变量对状态变量的影响。
1.2 输出方程输出方程描述了系统的输出变量与状态变量之间的关系。
一般形式如下：y = Cx + Du其中，y表示输出变量，C是输出矩阵，描述了状态变量与输出变量之间的关系，D是直接传递矩阵，表示输入变量对输出变量的直接影响。
二、控制系统状态空间模型的应用控制系统状态空间模型在工程实际中有着广泛的应用。
以下将分别介绍其在系统分析和控制设计中的具体应用。
2.1 系统分析状态空间模型可用于分析系统动态响应特性以及系统稳定性。
通过求解状态方程或者输出方程，可以获得系统的状态变量和输出变量的时间响应。
通过分析时间响应曲线，可以了解系统的超调量、响应速度等性能指标，从而对系统的动态特性有一个直观的认识。
2.2 控制设计状态空间模型在控制器的设计和参数调节中起到重要作用。
通过状态反馈控制策略，可以将系统状态变量作为反馈信号，根据系统状态的变化对控制器输出进行调节，以实现对系统的稳定控制。
此外，通过状态观测器的设计，可以根据系统输出变量推测出系统状态变量的估计值，从而实现对系统状态的可观测性。
三、控制系统状态空间模型的优势相比于传统的传输函数模型，控制系统的状态空间模型具有以下优势：3.1 描述能力强状态空间模型可以直观地描述系统的动态行为，包括状态变量和输出变量的时域特性。
状态空间模型例子
状态空间模型常用于描述一个动态系统的变化过程，其中包含了系统的状态转移和状态变量的测量。
以下是一个简单的状态空间模型的例子：
考虑一个汽车在道路上的行驶过程，其中有两个状态变量，分别是速度和位置。
状态转移方程描述了汽车在给定的速度和加速度下，下一时刻的速度和位置。
测量方程描述了通过传感器测量到的速度和位置。
假设状态转移方程为：
x(t+1) = x(t) + v(t)*dt + 0.5*a*dt^2
y(t+1) = y(t) + v(t)*dt + 0.5*g*dt^2
其中，x(t) 和y(t) 分别是t 时刻的水平和垂直位置，v(t) 是速度，a 是加速度，g 是重力加速度，dt 是时间步长。
测量方程为：
z1(t) = x(t) + noise1
z2(t) = y(t) + noise2
其中，z1(t) 和z2(t) 分别是t 时刻的测量位置，noise1 和noise2 是测量噪声。
这个状态空间模型可以用于描述汽车在道路上的行驶过程，并预测未来的位置和速度。
同时，通过比较预测值和实际测量值，可以估计系统的参数和状态。
状态空间模型
y (t ) = [b0 bn a0 , b1 bn a1, L, bn 1 bn an 1 ]X (t ) + bnu (t )
Example
分别求传递函数
和 2）
4 s 2 + 3s 3 G(s) = 2 s + 7s + 5
s 3 G(s) = 2 1） s + 3s + 2
Example
设一线性系统的状态表示为
dx1 dt = x1 + x2 + u dx 2 = x2 u dt y = x1 x2 + 2u
{A, B, C , D}
试求其输入-输出微分方程.
解:
1 2 1 , , [1 1],2, = 0 1 1
1
代入公式(3)得
的状态模型表示。 解：1） m=1,n=2且 a0 = 2, a1 = 3, b0 = 3, b1 = 1.
0 A= a0 1 0 1 0 B = , = , a1 2 3 1 C = [b0 b1 ] = [ 3 1], D = 0
状态模型为：
1 x1 (t ) 0 d x1 (t ) 0 = + u (t ) dt x2 (t ) 2 3 x2 (t ) 1 x1 (t ) y (t ) = [ 3 1] x2 (t )
其中 H i 为待定向量,维数与 X 相同. 显然,由初始条件X (0) = X 0 可得 H 0 = X 0 , 并将(3)式代入(2)式得:
H1 + 2 H 2t + L + nH nt n 1 + L = AH 0 + AH1t + L + AH nt n + L
状态空间模型
所以 D 4
a0 5,a1 1,b0 23,b1 3.
所以
0 A a0
1 a1
0 5
11,
B 10,
C b0 b1 23 3,
状态模型为：
d dt
x1(t ) x2 (t )
0 5
1 1
x1(t ) x2 (t )
10u(t
)
y(t) 23
3
x1(t ) x2 (t )
dt 3. e At1 e At2 e A(t1t2 );
4. eAt 1 eAt ;
5. AB BA e At eBt e( AB)t ;
6. M 1e At M eM 1AMt;
1
7.
A
e1t
e At
;
n
ent
状态方程的解
对方程
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
C
c21
c22
c2n
cq1
cq 2
cqn
（输出矩阵）
d11 d12 d1p
D
d21
d22
d
2
p
dq1
dq2
dqp
（输出-输入矩阵）
状态模型的矩阵表示为：
d dt
X
(t)
AX
(t)
BU
(t),
X
(0)
X
0
Y (t) CX (t) DU (t).
显然，该系统完全由矩阵 A, B,C, D 所确定。以后我们以{ A, B,C, D }形 式来简记该系统。
得状态方 程：
dx1 dt
y'
x2
dx2
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现代控制理论基础
主讲：王划一
山东大学控制学院
第一章 控制系统的状态空间模型
§1-1 系统的状态空间表达式 §1-2 由微分方程求状态空间表达式 §1-3 由传递函数求状态空间表达式 §1-4 由结构图建立状态空间表达式 §1-5 由状态空间表达式转换为传递函数 §1-6 状态方程的线性变换 §1-7 多变量系统的传递函数阵
则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们
称x和 x为相变量。
如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动 状态就完全被确定了。
若采用x和 x作为平面的直角坐标轴，则系统在
每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变 化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该 轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹。
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
例：RLC网络如下图所示，试选择系统的状态变量
R
L
i
u(t)
C y(t)
按以前的方法，令电路初始条件为零，用传递 函数求解系统的行为，即：Y(s)=G(s)U(s)，只能求 出输入—输出关系。这只是求出了零状态下的单个 输出解，是一种外部描述，对于二阶系统来说不是 完整描述。
移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态 随时间变化的规律。
例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是 x10, x20, x30 。在u(t)作用下 ，系统的状态开始变 化，运动规律如下：
x3
x30
t0
t1 t2
t3
x10
x1
x20
x2
可见，状态向量的状态空间表示，将向 量的代数结构和几何概念联系起来。
x1(t )
x(t
)
x2
(t
)
M
xn
(t
)
n1
又表示为：x(t) ∈Rn [x(t)属于n维状态空间 ]
引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了 系统在某时刻的状态。
换一种说法即状态空间是由所有状态矢量x组成 的，系统的一个状态，在状态空间中就是一个点。
3.状态轨线： 定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所
在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有 关，且与初始状态有关，此时，要确定系统的完全 行为，必须先知道这两方面的信息。
写出网络的回路方程:
di L dt Ri uc u(t)
这个方程有两个独立的未知变量i和uc,只要求 出这两个量，这个系统的运动状态就完全被确定了。
本例中，根据电路知识，只要知道了电感上 的初始电流 i(0) 和电容的初始电压uc(0)以及输入 u(t) ，就可确定电路的全部状态。
﹡状态变量具有非唯一性的：
如上例中，最小变量组是2个独立变量， 可在 uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。
2. 状态空间：
定义：由系统的n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t) 为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空 间。
引入状态空间后，即可把n个状态变量用矢量 形式表示出来，称为状态矢量。 记为：
二.状态空间表达式
是一组一阶微分方程组和代数方程组成，它 们分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描 述。
1. 建立方法：
例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.
u(t) k
m
y(t) f
弹簧-质量-阻尼器系统
解：由牛顿第二定律： F ma
d2y
dy
列基本方程： m dt 2 u t f dt ky
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
由 x x所组成的平面坐标系称为相平面
过去，用解析法求二
阶微分方程不很方便， 在工程上出现了作图求 解的方法。即先用几何 作图法画出x与 x&的相 轨迹图，再利用图形分 析系统或求近似解。
令 x1 x, x2 x&
x&
(x0, x&0 )
x
则由x1与x2张成的平面即为状态平面。
1.状态： 定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小 变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变 量组中的每个变量称为系统的状态变量。 注意：
即：
m
d2y dt 2
f
dy ky u t dt
故uc1(t), uc2(t), uc3(t)均可选作状态变量。
但因 uc1+uc2+uc3=0 显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立 的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数
对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t)
§1-1.状空间表达式
一.状态及状态空间
所谓“状态”是指描述系统动态行为的基本变量 的集合，这些必要且充分的变量，足以完全描述系 统的动态行为。
相平面法：用来求解二阶常微分方程的图解方法
设二阶系统的常微分方程为：
x f (x, x) 0 式中 f (x, x) 是x和 x的线性或非线性函数。
若表示为 x f (x, x)
故根据状态的定义，可选 i 和 uc为本系统的 状态变量。
﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。
例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量
R
C2
i1 u(t)
i2 i3 C1
y(t) C3
在t=t0时，若已知u(t)及uc1(t0), uc2(t0), uc3(t0) 。 则由克希霍夫定律,可求得电路的解。
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。
现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。
特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。