2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷

2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“ ”是“”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若实数a 、b 满足条件 ，则下列不等式一定成立的是 A ．B ．C ．D ．3．设集合 ， 对任意 恒成立，则P 与Q 的关系是 A ．B ．C ．D ．4．已知集合 2，3， ，集合 是集合A 的子集，若 且 2， ， ，满足集合B 的个数记为 ，则 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12二、填空题6.集合{},a b 的真子集的个数为_________5.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 7.“2x <”是“24x <”的__________8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”）9.函数()f x =__________. 10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________.13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________.14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值三、解答题17．已知x ，y 是实数，求证： ．18．已知全集 ，集合， ，求 ， ．19．已知命题p ：关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；命题q ：关于x 的一元二次方程 对于任意实数a 都没有实数根．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 20．已知集合 ，集合当 时，求集合 和集合B ；若集合 为单元素集，求实数m 的取值集合；若集合 的元素个数为 个，求实数m 的取值集合 21．已知集合P 的元素个数为 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即 ， ， ， ，其中 ， ， 若集合A 、B 、C 中的元素满足 ， ， ，2， ，则称集合P 为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得“”，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分不必要条件的判定．2．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3．设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．【详解】集合，对任意恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意，当时，结合二次函数的性质得到．与Q的关系是．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗列出来，可得答案．【详解】由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．【点睛】本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题5.集合{},a b 的真子集的个数为_________ 【答案】3 【解析】 【分析】由真子集的定义，将集合{},a b 的真子集列举出来即可. 【详解】集合{},A a b =的真子集有{}{},,a b f ， 共3个，故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.6.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 【答案】{}2 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合A ，由交集的定义可得结果. 【详解】21x -<，即121x -<-<， 解得13x <<，即()1,3A =， 集合B Z =，则{}2A B?，故答案为{}2.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题. 7.“2x <”是“24x <”的__________ 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式24x <，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由24x <得22x -<<,则“2x <”是“24x <”的的必要不充分条件， 故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 的逆否命题为“已知,x y R Î，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.9.函数()f x =__________. 【答案】11,2纟ç-úçú棼 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于x 的不等式组，解之即得函数()f x 的定义域.【详解】要使函数()f x = 则121xx -+0³，等价于()()211011210x x x x ì-+?ï?<?í+?ïî， 函数()f x =11,2纟ç-úçú棼，故答案为11,2纟ç-úçú棼. 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ＃求出.10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________. 【答案】()223f x x x =-- 【解析】 【分析】令1x t +=，则1x t =-，求出()f t 223t t =--,从而可得结果. 【详解】因为()214f x x +=-，\令1x t +=，则1x t =-，()()()2114f x f t t \+==-- 223t t =--，\函数()f x 的解析式为()223f x x x =--.，故答案为()223f x x x =--.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.【答案】10,2禳镲-睚镲铪【解析】 【分析】由A B Ç中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出a 的范围.【详解】联立2123y ax y x ì=+ïí=+ïî 即2220ax x --=，A B Ç是单元素集，\分两种情况考虑:0a ¹，方程有两个相等的实数根，即0D=， 可得()2280a -+=,解得12a =- 0a =，方程220x --=只有一个根，符合题意，综上,a 的范围为10,2禳镲-睚镲铪故答案为10,2禳镲-睚镲铪. 【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________. 【答案】[)2,-+?【解析】 【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以2x a =-为对称轴的抛物线，利用[)4,+?为[)2,a -+?的子集可构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数()()2225f x x a x =+-+的图象是开口方向朝上， 以2x a =-为对称轴的抛物线，若函数()()2225f x x a x =+-+在区间[)4,+?上是增函数，所以[)4,+?为[)2,a -+?的子集，则24a -?，解得2a ?，故答案为[)2,-+?.【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x £或()'0f x ³恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由()f x 为R 上的奇函数即可得出()()22f f =--，并且0x £时，()2f x xx =--，从而将2x =-代入()2f x x x =--的解析式即可求出()2f -，从而求出()2f . 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，并且0x £时，()2f x x x =--，()()()()222222f f 轾\=--=-----=犏臌，故答案为2 . 【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.【答案】14【解析】 【分析】 由()()2g a g b ?可得1a b +=，由基本不等式可得2124a bab 骣+琪?琪桫,注意等号成立的条件即可.【详解】函数()2x g x =，且有()()2g a g b =，2222,1a ba b a b +\=?\+=，0a >且210,24a bb ab 骣+琪>\?琪桫， 当且即当12a b ==时，ab 取最大值14,故答案为14.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.【答案】10,9轹÷ê÷ê滕 【解析】 【分析】构造解集和20ax bx c ++>是同解()2,3-的不等式，然后可得出,,a b c ，再代入求0cx a +<求解即可. 【详解】()()230x x +-<的解集为()2,3-，则260x x -++>与20ax bx c ++>是同解不等式，1,1,6a b c \=-==，则关于x 的不等式0cx a +<的解集即为610x <的解集，2610\<，即()()110<，解得109x?，故关于x 的不等式0cx a +<的解集为10,9轹÷ê÷ê滕，故答案为10,9轹÷ê÷ê滕.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值【答案】32- 【解析】 【分析】需要分类讨论，当03a <<和当0a <,分别化简13aa b+，利用基本不等式即可得到结论.【详解】3,0a b b +=>,30b a \=->，即3a <， 当03a <<时，11112739999939a ab a b a a b a b a b ++=+=++?+=， 当且仅当34a =取等号 故当34a =时，13a a b+取得最小值79， 当0a <时,11112539999939a ab a b a a b a b a b ++=--=---?+-+=， 当且仅当32a =-取等号， 故当32a =-时，13a a b+取得最小值59， 综上所述a 的值为32-时， 13a a b+取得最小值，故答案为32-. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于难题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17．已知x，y是实数，求证：．【答案】见解析【解析】利用综合法，证明不等式即可．【详解】因为，可得，，可得，所以．【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查.18．已知全集，集合，，求，．【答案】，【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【详解】；；；；，；．【点睛】考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19．已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．【详解】命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或或或，即有或．【点睛】本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20．已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】（1）m＝2时，化简集合A，B，即可得集合∁R A和集合B；（2）集合B∩Z为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而0∈B，所以抛物线y＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1的开口向上，且与x轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m＝0；（3）因为A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A ∩B）∩Z中由n个元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|﹣1＜x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N）个，A∩B中至少有3或﹣2中的一个，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有或，解得﹣1＜m＜﹣或＜m＜1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21．已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，若集合A、B、C中的元素满足，，，2，，则称集合P为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据ak +bk=ck,可依次判断集合P与Q是否为完美集合；（2）讨论集合AB,根据完美集合的定义，建立等式求x的值.【详解】（1）集合P＝2，为“完美集合”，令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k＝c k，集合Q＝2，3，4，5，不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1＝1+2＝3，a+b2＝4+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为4，则a1+b1＝1+3＝4，a+b2＝2+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为5，则a1+b1＝1+4＝5，a+b2＝2+3＝c2＝6不可能成立，2综上可得集合Q＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”（2）由（1）可得x≠2，若A＝{1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x＝3+6＝9∈C满足“完美集合”的定义；若A＝{1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x＝3+5＝8∈C满足“完美集合”的定义；【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，按照题目所给的定义求解.。