高等数学定积分的换元法4

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定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法和分部积分法

10
1 1 ( x)2
d( x) 2
arcsin
x 2
1 0
π 2
2
例3
计算
02
sin6xcosxdx

02
sin6xcosxdx02
sin6xd(sinx)
π
sin
7x
2
7 0
1 7
例4
计算
1e
1 lnx x
dx

e 1
1 lnx dx x
e1(1lnx)d(1lnx)
(1
ln
1
1
解法1
2 0
arcsinxdx
02arcsixnd(x)
1 1 xdx
xarcsixn02
2 0
1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
解法2
1
02arcsixndx
换 元t: arcsxin
6td(sitn)
则xsin t 0
分 部 积 分
2. 第二类换元积分法
设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续 ,函数 xφ(t)
满足 (1) φ(α)a, φ(β)b
(2) φ(t)在 [α, β](或 [β, α])上具有连续
导数,且 φ(t)[a, b] ,于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: (1)换元前后,上限对上限、下限对下限;
2
t
3
2 t
3 1
8 3
例7
计算
04

定积分换元法

定积分换元法

03
示例
$int frac{sin x}{x} dx$ 可以转化为 $int frac{1}{tan x} d(tan x)$,进一步 简化为 $ln|tan x| + C$。
根式换元法
总结词
通过引入根式,将复杂的积分问题转化为简单的积分问题。
详细描述
根式换元法通常用于解决与根式有关的定积分问题。通过选择 适当的根式,可以将原函数转化为更易于积分的标准形式,从
练习题三
题目
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{1 + cos x}dx$。
解析
令$t = cos x$,则$dt = -sin xdx$,代入 原积分得$int_{- 1}^{1}frac{t}{1 + t}dt = ln|1 + t||_{- 1}^{1} = 0$。
定积分换元法
目录
• 引言 • 定积分换元法的原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的练习题和解析
01
引言什么是定积分换元法 Nhomakorabea定义
定积分换元法是一种通过引入中间变 量来简化定积分计算的方法。通过选 择适当的中间变量,将原定积分转化 为更容易计算的形式。
目的
通过换元,将复杂的积分问题转化为 简单的问题,简化计算过程,提高计 算效率。
感谢您的观看
THANKS
练习题二
题目
计算$int_{0}^{1}frac{x^{2}}{1 + x^{4}}dx$。
解析
令$t = x^{2}$,则$dt = 2xdx$,代入原积分得$int_{0}^{1}frac{t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}int_{0}^{1}frac{2t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}ln(1 + t^{2})|_{0}^{1} = frac{1}{2}ln2$。

高等数学上5.4反常积分

高等数学上5.4反常积分
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P260
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ;
提示: 提示 P260 题2 +∞ +∞ d(lnx) dx d(ln x ∫2 x (ln x)k = ∫2 (ln x)k +∞ dx 1 = 当k > 1时 I (k) = ∫2 , k x (ln x) (k −1)(ln 2)k −1
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1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x2 0 1 + x2 x2
dx
1 +∞ 1 1 = ∫ d (x − ) 2 2 0 ( x − 1) + 2 x
x
=
1 2 2
arctan
x−1 x 2
+∞ 0+
P260
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作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2;
y=
1 x2
A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
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定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 取b > a, 若 定义
b→ +∞
lim ∫ f ( x )d x
a
b
无穷限反常积分 反常积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作
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2. 试证 解:
∫0
+∞
dx x d x , 并求其值 . =∫ 4 4 0 1+ x 1+ x
令 t =1 x
+∞
+∞

定积分换元积分法的不同换元方法

定积分换元积分法的不同换元方法

一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法,其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。

这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值,因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。

二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中,常见的换元方法包括但不限于以下几种:1. 第一类换元法:直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。

通常适用于被积函数较简单的情况,能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。

2. 第二类换元法:三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换,将原积分转化为三角函数的积分形式。

这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形,通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。

3. 第三类换元法:指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换,将原积分转化为指数函数的积分形式。

这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形,能够将原积分化为更容易处理的形式。

4. 第四类换元法:倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换,将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。

这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形,能够简化原积分的形式。

三、不同换元方法的选用原则在实际应用中,选择合适的换元方法是十分重要的。

一般而言,可以根据以下原则进行选择:1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时,可以根据不同的形式选择对应的换元方法。

如当被积函数中出现三角函数时,可以考虑使用三角代换法;当被积函数中出现指数函数时,可以考虑使用指数代换法。

2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时,通常也要考虑逆变换的便捷性。

换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量,这将影响到最终的计算复杂程度。

3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时,可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式,从而简化计算过程。

定积分换元法

定积分换元法
t x x
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6.求下列定积分: 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( (2) 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n

n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1

1

1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0



1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.

第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法

第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法

sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0

sin
3
x sin
3
x dx

0

cos x sin x 2 dx
3
3



0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3

( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例3
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .

令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,

a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a

2
2


2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2

2
0

2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b


f [ ( t )] ( t )dt .
2

6-4[1] 定积分的换元法

6-4[1] 定积分的换元法

e)

π 6
.
能凑微分就不换元
12
例4 计算 0
a
a x dx ,
2 2
( a 0 ).
解 令 x a sin t ,
∴ 原式 = a
2

2
t

2
,
d x a cos t d t ,
x
0
0
a

2

2
0
co s t d t
2
t

2 0
a (
2
1 2
t
1 4
sin 2 t )
x
0
1

2
t
t
6 1
0

2
0
cos x sin x d x t d t
5 1
2
5
0
6

0
1 6
.

另解 0
cos
5
x sin x d x
2
cos
5
x d( cos x )

0
[
1 6
cos
6
x]
2 0
1 6
.
说明: 不换元时不换限,换元的同时应换限.
11
2 ( 2 )
[
2 5
sin
2
5 5 5 5 2 注意: 去绝对值或去根号时,应注意其正负,否则就会出错.
14
x] [
2 0
2
sin
x]

4
.
xe ,x 0 4 , 计 算 f ( x 2 )d x . 例6 设 函 数 f ( x ) 1 1 , 1 x 0 1 co s x

定积分的换元法与分部积分法

定积分的换元法与分部积分法

原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0

2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时, b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续,y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x

1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5

高等数学《换元法》课件

高等数学《换元法》课件
4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元法(凑微分法) 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求

原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7

e3
x
x
dx
.

原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.


x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x

定积分的换元法

定积分的换元法
2

2
1
1+ x


5. 7. 8. 9.

π
1
0
1 + cos 2 x dx ;
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ;
4cos 4 θ dθ

∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ;
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ; x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题: 填空题:
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________; ___________________; 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意( 应用换元公式时应注意(一):
(1)用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时,积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后,不必 (2 ) 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数, 的函数,而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
( λ 为参数 ).
1 , 当x ≥ 0时, 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时, 1 + e x

4定积分的换元法

4定积分的换元法



3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx


3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx

2

2
sin
5
x2
2

2
sin
5
x 2


4.
5
05
5
2
河海大学理学院《高等数学》
2
自己做 求 1coxd s x4 2 0
T
0
a
0
0
f (u)du a
f (u)du
所以(1)式成立.
河海大学理学院《高等数学》
2
例如 求 sinxcoxsdx 0
2 2 sinx()dx
令x t
4
0 2 4
2 4 sint dt
(1) 2

4
2 sintdt 4
2
河海大学理学院《高等数学》
4
例2
x 2 dx .
0 2x 1
令 t 2x1
3 1

t
2
1 2

2dt
1 3 t2 3 dt 21
11t3 3t 3
2 3
1
22 3
河海大学理学院《高等数学》
例3 si3n xsi5n xd.x 0 coxssin x2 3dx 0
河海大学理学院《高等数学》
ex ln1ex
0
ln1(x)1 0
1
1ln1 (e1)
河海大学理学院《高等数学》
• XT. 下列各式等于什么?

定积分的换元法

定积分的换元法

例12 设 f ( x ) 连续

二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义,这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 (1)设 (2)设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数,证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续,常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知,
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令


尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令

当 x 从0连续地增加到4时,t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见,定积分也可以象不定积分一 样进行换元,所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量,而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分,而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式

应用换元公式时应注意:
(1)
(2)
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2

解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令

定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t , t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量

微积分4-4

微积分4-4

由周期性
∴ ∫a
a +T
∫ 0 f ( t ) dt = ∫ 0 f ( x ) dx
0
f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx +
∫0
T
f ( x ) dx +
∫0 f ( x )dx
a
=
∫0 f ( x ) dx
周期函数在任何长度为一个周期的区间上的
T
定积分都相等.
比如:
∫ π sin xdx = ∫
3


0
sin xdx
π
再如:

20 π
10 π
sin 2 x dx = 20 ∫ 2 sin 2 xdx
0
π
⎛ 1 ⎞2 = 20 × ⎜ − cos 2 x ⎟ ⎝ 2 ⎠0
1⎞ ⎛ 1 = 20 × ⎜ + ⎟ = 20 2⎠ ⎝ 2
例6
π 2
4.4 定积分的计算
定理 假设
4.4.1定积分的换元法
(1) f ( x ) 在[a , b]上连续;
(2)函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ](或 [ β , α ] )上有连续 导数;
(3)当 t 在区间[α , β ](或 [ β , α ] )上变化时, x = ϕ (t ) 的值在[a, b]上变化,且ϕ (α ) = a、ϕ ( β ) = b,
= ∫ cos x (sin x ) dx − ∫π cos x (sin x ) dx =∫
π 2 0 π 2 0
(sin x )
5 2
3 2
π 2
d sin x − ∫π (sin x ) d sin x

定积分换元法

定积分换元法


s in 2
x
(1exex

1 1 ex
)

s in 2
x,




4 sin2 x

4
1

ex
dx

4 sin2 xdx
0
4 1 cos2x dx 02


[1 x 1 sin 2x] 4 2 .
24
08
4
(2)



(cos
x
(1

s
in
2x)dx.
1
c1os2 xd(cos
x)
arctan(cos x) ( ) 2 .
2
0 2 44 4
8.已知g(x) x tf (xt)dt ,求g(x) 。 0
g(x)
x
t
令xtu
f (xt)dt
0 (xu) f (u)du
0
0


e2x sin x
2 0

2 sin x d(e2x )
0


e 2 2 e2x sin x dx e 2 2 e2x d(cosx)
0
0


e 2 e2x cosx
2 0
2
2 cosxd(e2x )
0

e 2 4 2 e2x cosxdx 0 5I e 2,
2
2
2 cos6 xdx 2 5 3 1 5 .
0
6 4 2 2 16
(3)
cos8 x dx 2

第4节 定积分的换元法与分部积分法

第4节 定积分的换元法与分部积分法
4 1 0


1 0
1 x

1 0
ax dx


a 4
4

a

1 0
f ( x )d x

3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数, ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数,则( A )
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时, ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时, ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设

f (x)

x 1
2
sin t t
2 2
dt ,

2

2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x


x 1
3
f ( t ) d t ln x ,

x 1
3
f (e ) 。
3

ln x
3

1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f

u x ,

f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考 是否还有其它方法?

定积分第一类换元法和第二类换元法

定积分第一类换元法和第二类换元法

定积分是微积分中的重要概念,通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。

在求解定积分时,换元法是一种常用且有效的方法。

换元法分为第一类换元法和第二类换元法,它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。

下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。

一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法,又称代换法或变量代换法,是对定积分中被积函数中的变量进行替换,将原来的积分变为更容易求解的积分。

其基本思想是通过引入适当的新变量,将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式,从而便于积分计算。

1.2 换元法的步骤(1)寻找合适的变量替换:根据被积函数的形式和特点,选择适当的新变量代替原来的变量。

(2)计算新变量的微分:对新变量进行微分,求出新变量的微分表达式。

(3)将被积函数用新变量表示:将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来,得到新的积分形式。

(4)进行积分计算:对新的积分形式进行计算,得出最终结果。

1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分,如含有根式、三角函数等形式的积分。

通过合适的变量替换,可以将原积分化为简单的形式,从而便于求解。

二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法,又称参数代换法或极坐标代换法,是通过引入参数来替换被积函数中的自变量,从而实现对原积分的简化。

这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。

2.2 换元法的步骤(1)引入参数:选择适当的参数替换自变量,通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。

(2)表达被积函数:将原来的被积函数用参数表示出来,并求出新的被积函数。

(3)进行积分计算:对新的被积函数进行积分计算,得出最终结果。

2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分,如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

通过引入参数替换自变量,可以将原积分化为简单的形式,从而便于求解。

三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围(1)第一类换元法适用于一般的代换型积分,如含有根式、三角函数等形式的积分;(2)第二类换元法适用于参数型积分,如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

定积分的换元法

定积分的换元法
0
(1)若f ( x )奇函数 ( x )为偶函数 (2)若f ( x )偶函 ( x )为奇函数 数 证明 (1) ( x )
f 偶,(x ) 奇 f ( t )dt f 奇, (x )偶

x
0
f (t )dt

x 0
x
0
令t u

x
0
f ( u)d( u)
5

注意: 去绝对值或去根号时,应注意其正负,否则就会出错.
13
xe , x 0 4 , 计算 f ( x 2)dx . 例6 设函数f ( x ) 1 1 , 1 x 0 1 cos x x 1 4 解 设x 2 t , 则dx dt , t -1 2
sin x cos xdx sin x ( cos x )dx
2
3 2
3 2
2
3 2

3 2
2

3 2
2 sin xd sin x sin xd sin x
0


3 2
2
5 2 4 2 2 2 2 2 2 [ sin x ]0 [ sin x ] ) . ( 5 5 5 5 5 2
注意:计算定积分时,方法一定要灵活.
例5 计算 0

sin3 x sin5 xdx.
3 2
解 由于 sin3 x sin5 x sin3 x(1 sin2 x ) sin x cos x ,
ห้องสมุดไป่ตู้
原式=


2
0
0
(sin x cos x )dx (sin x cos x )dx

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法和分部积分法

1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2

0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
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a
2 0
a cos t dt 2 2 a sin t + a (1 − sin t )
π 2 0
=∫
π 2 0
cos t 1 cos t − sin t dt = ∫ 1 + dt sin t + cos t 2 sin t + cos t
π 2 0
1 π 1 = ⋅ + [ln sin t + cos t ] 2 2 2
π 2 π 2
= ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x )dx;
0 0
(2)设 x = π − t )
⇒ dx = − dt ,
x = π ⇒ t = 0,
0
x=0
π
⇒ t = π,
π
∫0 xf(sinx)dx = −∫ (π − t ) f [sin(π − t )]dt
= ∫ (π − t ) f (sint )dt,
dt 1 ( = > 0) dx 2x + 1
于是
∫ 0
4
x+2 1 2 22 dx = ∫ (t + 3)dt = 2x + 1 21 3
3
由此可见, 由此可见,定积分也可以象不定积分一 样进行换元, 样进行换元,所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量, 回代原积分变量,而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分,而不必回代原积分变量 积分, 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a)
= Φ( β ) − Φ(α ) = ∫α f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt.
β
b
α 注意 当 > β 时,换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
(1) 用 x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时,积分限也 ) 相应的改变. 相应的改变 2) (2) 求出 f [ϕ (t )]ϕ ′(t )的一个原函数Φ(t ) 后,不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t ) 变换成原 的函数, 的上、 变量 x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限 然后相减就行了. 分别代入Φ(t )然后相减就行了
) (1)∫ f (sin x)dx =∫ f (cos x)dx;
0 0
π 2 π 2
π π (2)∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx. ) 0 2 0 π x sin x dx. 由此计算∫ 2 0 1 + cos x
π
) 证 (1)设
π x = − t ⇒ dx = − dt , 2 π π ⇒ t = 0, x=0⇒t= , x= 2 2 π 0 2 π − t dt ∫0 f (sin x )dx = − ∫π2 f sin 2
b
ϕ 的一个原函数. ∴Φ(t )是 f [ϕ(t)] ′(t )的一个原函数
∫α f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt = Φ(β) − Φ(α),
β
ϕ (α ) = a 、 ϕ ( β ) = b ,
Φ( β ) − Φ(α ) = F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]= F(b) − F(a),
∫ 0
4
x+2 dx 2x + 1

∫ 0
x+2 22 dx = 2x + 1 3
尝试一下直接换元求定积分 2 t −1 为去掉根号 令 t = 2x + 1 则 x = 2
dx = tdt
连续地增加到4时 当 x 从0连续地增加到 时,t 相 连续地增加到 应地从1连续地增加到 连续地增加到3 应地从1连续地增加到3
计算
1 2
偶函数
x dx = 4 ∫0 2 1+ 1− x 2 2 1 x (1 − 1 − x ) dx = 4 ∫0 2 1 − (1 − x )
1
2
奇函数
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
1 2
1
1 − x 2 dx
四分之一单位圆的面积
= 4 − π.
[ 上连续, 例 9 若 f (x)在 0,1]上连续,证明
2
π

I=J=
π
4
上连续, [ 例 7 当 f (x)在 −a, a]上连续,则有
∫a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (−x)]dx 0 −
为偶函数, ① f (x)为偶函数,则
a
a
且有
∫−a f ( x)dx = 2∫0

a
a
a
f ( x)dx;
a
为奇函数, ② f (x)为奇函数,则∫−a f ( x)dx = 0.
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式,利用这 微积分基本公式, 之间的联系 微积分基本公式 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ,而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法, 两种基本方法,如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算, 应用到定积分的计算,相信定能使得定积 分的计算简化, 分的计算简化,下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。 的换元积分公式和分部积分公式。
则 有∫a f ( x)dx = ∫α f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt .
b
β

的一个原函数, 设F(x)是 f (x)的一个原函数,
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a),
QΦ(t) = F[ϕ(t)],
dF dx = f ( x)ϕ′(t) = f [ϕ(t )]ϕ′(t ), Φ′(t ) = ⋅ dx dt
为偶函数, ① f ( x ) 为偶函数,则
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0 ∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
a 0 a
f ( x )dx = 2 ∫ f ( t )dt ; 0
a
为奇函数, ② f ( x ) 为奇函数,则 f ( − t ) = − f ( t ),
π 2
cos5 x sin xdx.
解 令
t = cosx, dt = − sin xdx ,
x = 0 ⇒ t = 1,
π x = ⇒ t = 0, 2
∫0
π 2
cos 5 x sin xdx
0 5
t = − ∫1 t dt = 6
6 1
0
1 = . 6

定积分的换元积分公式也可以反过来使用 将换元公式的左、 为方便计 将换元公式的左、右两边对调 同时把 x 换成 t , t 换成 x
奇函数
π =− ∫ 2 0
π2 1 π π d (cos x ) = − [arctan(cos x )]0 = . 2 4 2 1 + cos x
是以L为周期的连续函数 为周期的连续函数, 例10 设 f(x) 是以 为周期的连续函数,证明
a+L
证明
a+ L
∫ f ( x)dx的值与a无关 a
0 L a+ L
例4 解
计算
∫0
π
sin x − sin xdx.
3 5
Q f ( x) = sin x − sin x = cos x (sin x)
3 5
π 0 π 2 0 π 2 0
3 2
∴∫ =
sin3 x − sin5 xdx = ∫0 cos x (sin x ) dx cos x (sin x ) dx − ∫ cos x (sin x ) dx
解3 令 x = a sin t
π
2 2
dx = acost
π
2
x = 0 ⇒t = 0 x = a ⇒ t =
⇒ ∫ a − x dx = ∫ a cos tdt
2 2
a
2
0
a = 2
2
π
0
2
∫ (1 + cos 2t )dt 0

=
πa 2
4
解4
x = a cost
仍可得到上述结果
例3
计算
∫0
0
π
∫0 xf (sin x)dx
π
= π∫ f (sint )dt − ∫ tf (sint )dt
0 0 π π
π
π
= π ∫ f (sin x ) dx − ∫ xf (sin x)dx,
0 0
π π ∴ ∫ xf (sinx)dx = ∫ f (sinx)dx. 0 20
π
另证 将上式改写为
π = . 4
解二 接解一
π
cos t 对 ∫ dt sin t + cos t 0
π
2
π
cos t 令 I=∫ dt sin t + cos t 0
π
2
cos t J=∫ dt sin t + cos t 0
2
π 则 I + J = ∫ dt = 2 0
2
π
π
cos t − sin t I−J =∫ dt = ln(sin t + cos t ) 2 = 0 sin t + cos t 0 0
2
π
3 2

3 2
π π
3 2
= ∫ (sin x ) d sin x − ∫π (sin x ) d sin x
3 2
π 2
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