高等数学定积分的换元法4

a
2 0
a cos t dt 2 2 a sin t + a (1 − sin t )
π 2 0
=∫
π 2 0
cos t 1 cos t − sin t dt = ∫ 1 + dt sin t + cos t 2 sin t + cos t
π 2 0
1 π 1 = ⋅ + [ln sin t + cos t ] 2 2 2
π 2 π 2
= ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x )dx;
0 0
（2）设 x = π − t ）
⇒ dx = − dt ,
x = π ⇒ t = 0,
0
x=0
π
⇒ t = π,
π
∫0 xf(sinx)dx = −∫ (π − t ) f [sin(π − t )]dt
= ∫ (π − t ) f (sint )dt,
dt 1 ( = > 0) dx 2x + 1
于是
∫ 0
4
x+2 1 2 22 dx = ∫ (t + 3)dt = 2x + 1 21 3
3
由此可见， 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元， 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量， 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 积分， 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a)
= Φ( β ) − Φ(α ) = ∫α f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt.
β
b
α 注意 当 > β 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
（1） 用 x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变 2） （2） 求出 f [ϕ (t )]ϕ ′(t )的一个原函数Φ(t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t ) 变换成原 的函数， 的上、 变量 x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 然后相减就行了. 分别代入Φ(t )然后相减就行了
） （1）∫ f (sin x)dx =∫ f (cos x)dx;
0 0
π 2 π 2
π π （2）∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx. ） 0 2 0 π x sin x dx. 由此计算∫ 2 0 1 + cos x
π
） 证 （1）设
π x = − t ⇒ dx = − dt , 2 π π ⇒ t = 0, x=0⇒t= , x= 2 2 π 0 2 π − t dt ∫0 f (sin x )dx = − ∫π2 f sin 2
b
ϕ 的一个原函数. ∴Φ(t )是 f [ϕ(t)] ′(t )的一个原函数
∫α f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt = Φ(β) − Φ(α),
β
ϕ (α ) = a 、 ϕ ( β ) = b ,
Φ( β ) − Φ(α ) = F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]= F(b) − F(a),
∫ 0
4
x+2 dx 2x + 1
故
∫ 0
x+2 22 dx = 2x + 1 3
尝试一下直接换元求定积分 2 t −1 为去掉根号 令 t = 2x + 1 则 x = 2
dx = tdt
连续地增加到4时 当 x 从0连续地增加到 时，t 相 连续地增加到 应地从1连续地增加到 连续地增加到3 应地从1连续地增加到3
计算
1 2
偶函数
x dx = 4 ∫0 2 1+ 1− x 2 2 1 x (1 − 1 − x ) dx = 4 ∫0 2 1 − (1 − x )
1
2
奇函数
= 4∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
1 2
1
1 − x 2 dx
四分之一单位圆的面积
= 4 − π.
[ 上连续， 例 9 若 f (x)在 0,1]上连续，证明
2
π
⇒
I=J=
π
4
上连续， [ 例 7 当 f (x)在 −a, a]上连续，则有
∫a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (−x)]dx 0 −
为偶函数， ① f (x)为偶函数，则
a
a
且有
∫−a f ( x)dx = 2∫0
证
a
a
a
f ( x)dx；
a
为奇函数， ② f (x)为奇函数，则∫−a f ( x)dx = 0.
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 微积分基本公式， 之间的联系 微积分基本公式 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法， 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算， 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化， 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。 的换元积分公式和分部积分公式。
则 有∫a f ( x)dx = ∫α f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt .
b
β
证
的一个原函数， 设F(x)是 f (x)的一个原函数，
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a),
QΦ(t) = F[ϕ(t)],
dF dx = f ( x)ϕ′(t) = f [ϕ(t )]ϕ′(t ), Φ′(t ) = ⋅ dx dt
为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0 ∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
a 0 a
f ( x )dx = 2 ∫ f ( t )dt ; 0
a
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 f ( − t ) = − f ( t ),
π 2
cos5 x sin xdx.
解 令
t = cosx, dt = − sin xdx ,
x = 0 ⇒ t = 1,
π x = ⇒ t = 0, 2
∫0
π 2
cos 5 x sin xdx
0 5
t = − ∫1 t dt = 6
6 1
0
1 = . 6
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用 将换元公式的左、 为方便计 将换元公式的左、右两边对调 同时把 x 换成 t ， t 换成 x
奇函数
π =− ∫ 2 0
π2 1 π π d (cos x ) = − [arctan(cos x )]0 = . 2 4 2 1 + cos x
是以L为周期的连续函数 为周期的连续函数， 例10 设 f(x) 是以 为周期的连续函数，证明
a+L
证明
a+ L
∫ f ( x)dx的值与a无关 a
0 L a+ L
例4 解
计算
∫0
π
sin x − sin xdx.
3 5
Q f ( x) = sin x − sin x = cos x (sin x)
3 5
π 0 π 2 0 π 2 0
3 2
∴∫ =
sin3 x − sin5 xdx = ∫0 cos x (sin x ) dx cos x (sin x ) dx − ∫ cos x (sin x ) dx
解3 令 x = a sin t
π
2 2
dx = acost
π
2
x = 0 ⇒t = 0 x = a ⇒ t =
⇒ ∫ a − x dx = ∫ a cos tdt
2 2
a
2
0
a = 2
2
π
0
2
∫ (1 + cos 2t )dt 0
令
=
πa 2
4
解4
x = a cost
仍可得到上述结果
例3
计算
∫0
0
π
∫0 xf (sin x)dx
π
= π∫ f (sint )dt − ∫ tf (sint )dt
0 0 π π
π
π
= π ∫ f (sin x ) dx − ∫ xf (sin x)dx,
0 0
π π ∴ ∫ xf (sinx)dx = ∫ f (sinx)dx. 0 20
π
另证 将上式改写为
π = . 4
解二 接解一
π
cos t 对 ∫ dt sin t + cos t 0
π
2
π
cos t 令 I=∫ dt sin t + cos t 0
π
2
cos t J=∫ dt sin t + cos t 0
2
π 则 I + J = ∫ dt = 2 0
2
π
π
cos t − sin t I−J =∫ dt = ln(sin t + cos t ) 2 = 0 sin t + cos t 0 0
2
π
3 2
∫
3 2
π π
3 2
= ∫ (sin x ) d sin x − ∫π (sin x ) d sin x
3 2
π 2
π
3 2
2
2 = (sin x ) 5
5 2
0
2 − (sin x ) 5
5 π 2
π 2
4 = . 5
例5
计算
∫e
=∫
3 e4
dx . x ln x(1 − ln x)
3 e4
∫ a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx +
a a 0
∫ f ( x )dx L
a+ L
∫ f ( x )dx(令x = t + L)∫ f (t + L)dt L 0
f ( x )dx = 0.
奇函数在对称区间上的积分等于0 即： 奇函数在对称区间上的积分等于 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义， 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 解
2x + xcos x ∫−1 1+ 1− x2 dx. 2 1 x cos x 1 2x dx dx + ∫−1 原式 = ∫−1 2 2 1+ 1− x 1+ 1− x
π
令t = x −
π
π
2
π
2
∫ ( x − 2 ) f (sin x )dx = 0 0
π
−
π
则∫(x −
0
) f (sin x ) dx =
∫π tf (cos
2
2
t ) dt = 0
∫0
π
x sin x π sin x dx = π 2 ∫0 1 + cos2 x dx 1 + cos x 2
π
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
∫ 0
a
a − x dx
2 2
y= a −x
2
2
x =a
等于圆周的第一象限部分的面积 = 解2 故
∫ 0
a − x dx
2 2
o
πa 2
∫a
∫ 0
4 2 x 2 a x 2 2 2 a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a 2 2 2 πa a − x dx = 4
β
这说明可用
∫ α
f [ϕ ( x ) ] ′ ( x ) dx = ϕ
t = ϕ ( x)
∫ a
b
f ( t ) dt
引入新变量
但须注意如明确引入新变量， 但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量， 如没有明确引入新变量，而只是把 t = ϕ(x) 整体视为新变量， 整体视为新变量，则不必换限
一、换元公式
假设 上连续； （1） f (x)在[a, b]上连续； （2）函数x = ϕ(t )在[α, β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （ 3 ） 当 t 在区间 [α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化， 且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
解 原式
e
d (ln x ) ln x (1 − ln x )
3 e4
=∫
3 e4
e
d (ln x ) = 2∫ ln x (1 − ln x )
e
d ln x 1 − ( ln x )2
= 2 [arcsin(
ln x ) ]
3 e4
e
π = . 6
例6 计算 解一 令
x=a
原式 = ∫
1 ∫0 x + a2 − x2 dx. (a > 0) x = a sin t , dx = a cos tdt , π ⇒ t = , x = 0 ⇒ t = 0, 2 π
先来看一个例子 例1
1 2 换元求不定积分 令 t = 2x + 1 则 x = (t − 1) 2 1 2 1 t − t+2 1 3 3 x+2 2 2 dx = ∫ dt = t + t + C ∫ 2x + 1 6 2 t
3 1 1 3 = (2x +1) 2 + (2x +1) 2 + C 6 2 4
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
在∫ f ( x)dx中令 x = −t ,
−a 0
0
a
f ( x )dx ,
∫− a
a0f ( x源自) dx = − ∫a f ( − t )dt =
f ( − t ) = f ( t ),
a 0
0
∫0
a
f ( − t )dt ,