高等数学2017年最新课件函数转换成幂级数
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
高等数学-函数展开成幂级数.ppt
因此
将
待解决的问题 :
若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
为f (x) 的
泰勒级数 .
麦克劳林级数 .
定理1
各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式余项满足:
证明
令
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
定理2
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
定义且连续,
域为
利用此题可得
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 ,
所以展开式对 x ＝1 也是成立的,
于是收敛
将函数
例6
展成
解
的幂级数.
将
例7
展成 x－1 的幂级数.
解
将
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
— 利用幂级数的性质及已知展开
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内
是否为
骤如下 :
展开方法
直接展开法
— 利用泰勒公式
间接展开法
— 利用已知其级数展开式
0.
的函数展开
例1
展开成 x 的幂级数.
解
其收敛半径为
对任何有限数 x , 其余项满足
故
( 在0与x 之间)
故得级数
将函数
例2
展开成 x 的幂级数.
解
得级数:
由此得
二项展开式 .
二项式定理.
就是代数学中的
对应
的二项展开式分别为
例3 附注
2. 间接展开法
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展开成幂级数PPT课件
1
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
-
10
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 F (x) ,1 x 1 则 F (x) 1 m x m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn n!
F (x) m 1 m 1 x (m 1) (m n 1) xn1
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
于是得级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
由于
R lim an n an1
lim n 1 n m n
1
(n 1)!
(1 x)F (x) mF (x), F (0) 1 推导
x
0
F (x) F ( x)
d
x
x
0
1
m x
d
x
ln F (x) ln F (0) m ln(1 x)
F (x) (1 x)m
-
11
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内
幂级数 an xn
n0
求和 展开
和函数 S (x)
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
-
1
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
高等数学第五节_函数展开成幂级数
2
n
1 1 x x 2 . .(. 1 )n x n , x(1,1). 1 x
例3 将函f数 (x)ex展开为麦克劳 . 林级数
解 已知
e x 1x1x2 1xn ,x(, ).
2 !
n !
将 x 换成 –x ,得：
e x 1 x 1 x 2 1 x 3 （ 1 ） n 1 x n ,
ex2
1 x 2 1 x 4 1 x 2 n , x (, )
2 !
n !
x3ex2 x 3 x 5 1 x 7 1 x 2 n 3 , x ( , ) 2 ! n !
思考题 将 f(x)x1在 x1处展开成泰勒级 4x
(展开 x1的 成幂 )并 ,级f求 (n 数 )(1).
(2n)!
x( , )
例5 将函 f(x 数 )arctxa展 n开为麦克 . 劳林 解 已知 1 1 x x 2 . .(. 1 )n x n ,x(1,1).
1 x 将x换成 x2,得1 1 x 2 1 x 2 x 4 . .( . 1 )n x 2 n ,
两边积分，得 0x11x2dx0xdx0xx2dx0xx4dx...
解
1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 [ 1 x 1 (x 1 )2 (x 1 )n ]
33 3
3
x13
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n
x13
于是f (n)(1) n!
(1)n0xx2ndx,
即arctxa nx 1 x 3 1 x 5 . .( . 1 )n x 2 n 1 ,
高等数学11-4函数展开成幂级数
1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )
1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数 证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性 设 f ( x )能展开为泰勒级数
i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
n0
f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n
n0
(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)
节11.5 函数展开成幂级数
§11.5 函数展开成幂级数⼀、泰勒级数如果在处具有任意阶的导数，我们把级数(1)称之为函数在处的泰勒级数。
它的前项部分和⽤记之，且这⾥：由上册中介绍的泰勒中值定理，有当然，这⾥是拉格朗⽇余项，且。
由有。
因此，当时，函数的泰勒级数就是它的另⼀种精确的表达式。
即这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。
特别地，当时，这时，我们称函数可展开成⻨克劳林级数。
将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数在 处的⻨克劳林展开。
因此，我们着重讨论函数的⻨克劳林展开。
【命题】函数的⻨克劳林展开式是唯⼀的。
证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有把代⼊上式，有从⽽于是，函数在处的幂级数展开式其形式为这就是函数的⻨克劳林展开式。
这表明，函数在处的幂级数展开形式只有⻨克劳林展开式这⼀种形式。
⼆、函数展开成幂级数1、直接展开法将函数展开成⻨克劳林级数可按如下⼏步进⾏Œ求出函数的各阶导数及函数值若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；写出⻨克劳林级数并求其收敛半径。
Ž考察当时，拉格朗⽇余项当时，是否趋向于零。
若，则第⼆步写出的级数就是函数的⻨克劳林展开式；若，则函数⽆法展开成⻨克劳林级数。
【例1】将函数展开成⻨克劳林级数。
解：于是得⻨克劳林级数⽽故对于任意，有这⾥是与⽆关的有限数，考虑辅助幂级数的敛散性。
由⽐值法有故辅助级数收敛，从⽽⼀般项趋向于零，即因此 ，故【例2】将函数在处展开成幂级数。
解：于是得幂级数容易求出，它的收敛半径为对任意的，有由例⼀可知，，故因此，我们得到展开式2、间接展开法利⽤⼀些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。
【例3】将函数展开成的幂级数。
解：对展开式两边关于逐项求导，得【例4】将函数展开成的幂级数。
解：⽽将上式从到逐项积分得当时，交错级数收敛。
故下⾯，我们介绍⼗分重要⽜顿⼆项展开式【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。
函数展开成幂级数PPT课件
3! 5!
(2n 1)!
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例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1, f (x)m(m1)(1x)m2, , f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn, , 所以 f(0)1, f (0)m, f (0)m(m1), , f (n)(0)m(m1)(m2) (mn1), , 于是得幂级数
❖求幂级数展开式的间接展开法
例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数. 解 已知
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (<x<).
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导得
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n (<x<).
2! 4!
(2n)!
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
并求出收敛半径R;
•第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n).
如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn (RxR).
但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x).
因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
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11-3(2) 函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
函数展开成幂级数(课堂PPT)
无穷级数
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
无穷级数
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
无穷级数
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
无穷级数
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函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。
它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。
为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。
这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。
泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。
麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。
通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。
这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。
需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。
一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。
因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。
总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。
它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。
D13_6函数展开成幂级数
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin
x
x
1 3!
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
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2. 间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
f (x) 2!a2 n(n 1)an xn2 ;
a2
1 2!
f
(0)
f (n) (x) n!an ;
an
1 n!
f
(n) (0)
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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（i） 求f(x)的各阶导数。 （ii） 求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。 （iii） 写出f(x)所对应的幂级数：
(n) f ( 0) 2 f ( 0) n f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n!
并求出其收敛半径R。
（iv）在（ R,R）内考察： 若为零，则在（ R,R）内有
lim Rn ( x )是否为零。
n
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2! n!
注: 直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很困难。
所以
1 1 n 1 f ( x) 2 （ 1）( n 2 n )( x 1) n x 4 x 3 n 0 2 2 1 x 3
则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：
f (n) ( x0 ) ( x x 0 ) n ( 3) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) n!
幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数。
问题： 1）此级数是否收敛？ 2）若收敛，和函数是否为f(x)?
1 例7 将f ( x ) 2 展开成x 1的幂级数 x 4x 3
1 1 解 因为f ( x ) 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
1 1 2(1 x ) 2( 3 x )
1 1 x 1 x 1 4(1 ) 8(1 ) 2 4
2 间接法： （理论依据：展开式的唯一性） （i）利用一些已知函数的幂级数展开式。 （ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。 （iii）变量代换。
应熟记下列函数的幂级数展开式：
1 1 x x 2 x n | x | 1 1 x
1 1 x x 2 x 3 ( 1) n x n 1 x (| x | 1)
3）若f(x)能展开幂级数是否还有其它形式? 2. 定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式 中的余项Rn(x), 当n时的极限为0，即:
lim Rn ( x ) 0
n
( x U ( x 0 ))
9.4 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 1. 问题的引入 （1） 上一节主要讨论幂级数的收敛域及和函数。 反问题：给定一个函数f(x),能否找到一个幂级数，它在某区间 上收敛，而其和函数恰是f(x).
若能找到这样的幂级数，则称函数f(x)在该区间上能展开成幂级数。
如果函数 f(x)在含有 x0的某开区间 (a ，b)内有直至 (n+1)阶的导数， 则对(a ，b)内任一点x，有
n 1 1 x 1 ( x 1) 2 ( x 1 ) n [1 ( 1 ) 2 n x 1 4 2 2 2 4(1 ) x 1 2 | | 1,即 1 x 3 2 2 n 1 1 x 1 ( x 1) ( x 1 ) n [1 ( 1 ) 2 n x 1 8 4 4 4 8(1 ) 4 3 x5
f ( x ) Pn ( x ) Rn ( x )
k 0
n
f (k ) ( x0 ) ( x x 0 ) n Rn ( x ) (1) k!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x 0 ) n1 ( n 1)!
ξ是位于 x0、x之间的某个值。 如果函数f（x）在含有x0的某开区间（a ，b）内各阶导数都存在，