高等数学(经管类)下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案

fx (x,
y,
z)
x
1 yz
,
fy
(x,
y,
z)
x
z yz
,
fz
(x,
y,
z)
x
y yz
.
故
fx (2, 0,1)
1, 2
fy (2, 0,1)
1, 2
fz (2, 0,1)
0.
3．设 r x 2 y 2 z 2 ，证明：
(1)
r x
2
r y
2
r z
2
1;
(2)
2r x 2
2r y 2
y
x
故所求的定义域为 D={(x,y)| x 1且y x }，表示 xOy 平面上直线 y=x 以下且横坐
标 x 1的部分。
（4）由
1 3 x2 y2 1
x y2 0
可得
2 x2 y2 4
y2 x
故所求的定义域为 D={(x,y)| 2 x2 y2 4且y2 x }。
解：(1) z 3x2 3y, z 3x 3y2.
x
y
(2) z sin y2 , z 1 cos y2 2y.
x
x2 y x
(3) z 1 , z 3 . x x 3y y x 3y
(4) z yxy1 y yxy1 1 , z xy ln x 1 .
x
xy
x y
欢迎下载
-3-
—
习题 7-3
1. 求下列函数偏导数： (1) z=x3+3xy+y3； (3) z ln(x 3y) ；
(2) z sin y 2 ; x
(4) z x y ln x y (x 0，y 0,x 1)
z
(5) u x y ；
(6) u cos(x 2 y 2 ez )
解：由两点距离公式可得 M1M2 2 14 ， M1M3 2 6, M2M3 2 6
所以以 M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
5. 设平面在坐标轴上的截距分别为 a=2,b=－3,c=5,求这个平面的方程.
解：所求平面方程为
x 2
y 3
3. 在 z 轴上求与两点 A(-4，1，7)和 B(3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为 M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即
(-40)2(10)2(7z)2(30)2(50)2(-2z)2
解之得 z=11，故所求的点为 M(0，0， 14 ). 9
4. 证明以 M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
xy ( x, y)(0,3)
（3） lim sin(x3 y3 ) lim sin(x3 y3) (x2 xy y2 ) 0
( x, y)(0,0)
x y
x y ( x, y)(0,0)
3
3
（4） lim
xy 4 2
( xy 4 2)( xy 4 2)
lim
lim
1
1。
(x, y)(0, 0)
xy
(x, y)(0, 0)
xy( xy 4 2)
( x, y)(0, 0) xy 4 2 4
5. 究下列函数的连续性：
(1)
f
(x
,
y
)
x 2
x
y y
2
,
(x , y ) (0,0)
0,
(x , y ) (0,0)
(2)
f
(x
,
y
)
x x
2 2
y y
2 2
y2
z2)
1 r2
.
4. 求下列函数的二阶偏导数 2z , 2z , 2z ： x 2 y 2 yx
(1) z 4x 3 3x 2y 3x y 2 x y ；
2r z 2
2 r
;
(3) 2(ln r ) 2(ln r) 2(ln r) 1 .
x 2
y 2
z 2
r2
证明： r
x
x ,
x
x 2 y2 z2 r
利用函数关于自变量的对称性，可推断得到： r y , r z . y r z r
(1)
r x
2
r y
2
r z
2
x2
y2 r2
z2
r2 r2
1
(2)
2r
r
x
r x
r x2 r
r2 x2
x2
r2
r2
r3
利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：
2r y2
r2
y2 r3
,
2r z 2
r2 z2 r3
2r 2r 2r 3r2 x2 y2 2r2 2 .
x2 y2 z2
r3
r3 r
(3) ln r 1 ln(x2 y2 z2 ), (ln r)
z 5
1
。
6. 求通过 x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程.
解：因所求平面经过 x 轴，故可设其方程为
Ay+Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A-B =0.即 B=-3 A 代入并化简可得 y-3z =0. 7. 求平行于 y 轴且过 M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于 y 轴，故可设其方程为
2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：
(1)
z
sin
x
2
1 y2
1
；
(2) z 1 x 2 y 2 1 ;
(3) f (x , y ) 1 x ln(x y ) ； (4) f (x , y ) arcsin(3 x 2 y 2) x y2
解：（1）由 x2 y2 1 0 可得 x2 y2 1
(2) 已知 f (x y , x y ) x 2 y 2, 求 f(x,y).
解：（1） f (x y, xy ) (x y)2 ( xy )2 x2 xy y2
（2） f (x y, xy ) x2 y2 (x y)2 2
2
xy
所以 f (x, y) x2 2y2
x
x
2
x x2 y2 z2 r2
2 (ln r) x2
r2
x 2r r4
r x
r2
2x2 r4
利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：
2 (ln r) y2
r2
2y2 r4
,
2 (ln z 2
r)
r2
2z2 r4
.
2 (ln x2
r)
2 (ln r) y2
2 (ln r) z 2
3r 2
2(x2 r4
k2 1
y kx3
显然，此时的极限值随 k 的变化而变化。 因此，函数 f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。
4. 计算下列极限：
(1) lim ex y ； x 0 x y
y 1
(2) lim sin(x y ) ;
(x ,y )(0,3)
x
(3) lim sin(x 3 y 3) ； (x ,y )(0,0) x y
3. 说明下列极限不存在：
(1) lim x y ； x 0 x y
y 0
(2)
lim
x 0
x 3y x 6 y2
.
y 0
解：（1）当点 P(x,y)沿直线 y=kx 趋于点(0,0)时，有
lim x y lim (k 1)x k 1 。 (x, y)(0,0) x y x0 (k 1)x k 1
又点 M1 和 M2 都在平面上，于是
Ax+Cz+D=0. A D 0 C D 0
可得关系式：A=C=－D,代入方程得：－Dx－Dz+D=0. 显然 D≠0,消去 D 并整理可得所求的平面方程为 x+z－1=0.
8. 方程 x2+y2+z2－2x+4y=0 表示怎样的曲面？
解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为 5 的球面方程。
解：(1) fx (x, y) 2x y, f y (x, y) x 2 y.
fx (1, 2) 2 2 0, f y (1, 2) 1 4 3.
(2)
f
(
x,
0)
arctan
x,
故f
x
(
x,
0)
1
1 x2
因此
fx (1, 0)
1 11
1 2
.
(3) f (x, 2) 1 ln(x2 4) sin(x2 1)earctan(x2 x2 4) 2
因此
fx
(x, 2)
1 2
2x x2
4
cos( x 2
1)
2x
earctan( x2
x2 4)
sin(x2 1)earctan( x2 x2 4 )
2x
1 2
1 (x2
2x x2 4 . x2 4)2
欢迎下载
-4-
—
所以
fx (1, 2)
1 2earctan(1 5
5) .
(4)
,
(x , y ) (0,0)
0,
(x , y ) (0,0)
解：(1) lim x2 y2 lim (x y) 0 f (0,0)
(x, y)(0,0) x y
( x, y)(0,0)
所以 f(x,y)在(0,0)处连续.
(2)
lim
(x, y)(0,0)
x2 x2
y2 y2
lim
9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？
(1) x－2y=1；
(2) x2+y2=1；
(3) 2x2+3y2=1；
(4) y=x2.
解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。
(4)表示抛物线、抛物柱面。
—
习题 7-2 1. 下列各函数表达式: (1) 已知 f(x,y)=x2+y2,求 f (x y , x y ) ；
(4) lim x y 4 2 .
(x ,y )(0, 0)
xy
解：（1）因初等函数 f (x, y) ex y 在(0,1)处连续，故有 x y
lim ex y e0 1 2 x0 x y 0 1
y1
（2） lim sin(xy) lim sin(xy) y 3
x ( x, y)(0,3)
y
(5)
u x
z y
x
z y
1
,
u
y
z
xy
ln x
(
z y2
).Biblioteka uzxyln
x
(1)
z
y
(6)
u sin(x2 y2 ez ) 2x, x
z sin(x2 y2 ez ) (2y) 2y sin(x2 y2 ez ). y
u sin(x2 y2 ez ) (ez ) z
ez sin(x2 y2 ez )
习题 7-1 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：
A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7). 解：A 在 V 卦限，B 在 y 轴上，C 在 xOz 平面上，D 在 VIII 卦限。 2. 已知点 M(-1，2，3)，求点 M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则 (1) 由 x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点 M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由 x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点 M 关于 x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点 M 关于 y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于 z 轴的对称点的坐标 为：(1，-2，3). (3)由 x=-1，y=2，z+3=0，得到点 M 关于 xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于 yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于 zOx 面的对称点的坐标为： (-1，-2，3).
2. 求下列函数在指定点处的偏导数：
(1) f(x,y)=x2－xy+y2，求 fx(1,2)，fy(1,2);
(2)
f
(x , y )
arctan
x2 x
y2 y
;求
fx
(1,0)
(3) f (x , y ) ln x 2 y 2 sin(x 2 1)earctan(x 2 ; x 2y2 ) 求 f x (1,2) ； (4) f (x , y,z ) ln(x yz ) , 求 f x (2,0,1), f y (2,0,1), f z (2,0,1) .
y kx
欢迎下载
-2-
—
显然，此时的极限值随 k 的变化而变化。 因此，函数 f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。
（2）当点 P(x,y)沿曲线 y kx3 趋于点(0,0)时，有
lim x3 y lim kx6 k 。
x y ( x, y)(0,0) 6
2
x0 (k 2 1)x6
故所求定义域为 D={(x,y)| x2 y2 1}表示 xOy 平面上不包含圆周的区域。
（2）由
1 x2 0
y
2
1
0
可得
1 x 1
y
1或 y
1
故所求的定义域为 D={(x,y)| 1 x 1且y 1或y 1}，表示两条带形闭域。
（3）由 可得
1 x 0 x y 0
x 1
x0
x2 kx2 x2 k2x2
1 1
k k
2 2
y kx
该极限随着 k 的取值不同而不同，因而 f(x,y)在(0,0)处不连续.
6. 下列函数在何处间断？
(1)
z
x
2
1
y2
；
(2) z ln 1 x 2 y 2 .
解：(1)z 在{(x,y)| x y }处间断.
(2)z 在{(x,y)| x2 y2 1}处间断.