中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案

中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案

一、锐角三角函数

1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；

（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.

【解析】

分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE ≌△ACD ，

∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，

∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ，

∴

3AC CD

BD AE ==． ∵BD=AF ，

∴

3AC CD

AF AE

==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ，

∴

3AC AD BF

AF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°．

在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3

EF BF =

∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，

∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE=DH ，EH=BD ． ∵AC=3BD ，CD=3AE ，

∴

3AC CD

BD AE

==． ∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD ∽△HEA ，

∴

3AD AC

AH EH

==，∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°．

在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=3AH

AD

=， ∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

2．如图13，矩形的对角线

，

相交于点

，

关于

的对称图形

为

．

（1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，

．

①求的值； ②若点

为线段上一动点（不与点

重合），连接，一动点从点出发，以

的速度沿线段

匀速运动到点

，再以

的速度沿线段匀速运动到点

，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．

【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为

【解析】

试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；

②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.

试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.

与交于点O,且关于对称

四边形是菱形.

（2）①连接,直线分别交于点,交于点

关于的对称图形为

在矩形中，为的中点，且O为AC的中点

为的中位线

同理可得：为的中点，

②过点P作交于点

由运动到所需的时间为3s

由①可得，

点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A

即：

由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.

如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.

在中，设

解得：

和走完全程所需时间为

考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置

3．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．

【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速

【解析】

分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.

详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，