全微分
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
简述全微分的定义
简述全微分的定义全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化。
全微分的定义可以简述为：对于函数f(x, y)在点(x0, y0)处的全微分df，可以表示为df = ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy，其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f对x和y的偏导数，dx和dy分别表示x和y的微小变化量。
全微分的定义可以从几何和物理的角度进行解释。
从几何角度来看，全微分可以理解为函数在某一点附近的切线方程。
在点(x0, y0)处，函数f(x, y)的切线方程可以表示为z = f(x0, y0) + ∂f/∂x · (x - x0) + ∂f/∂y · (y - y0)。
这个切线方程可以用全微分的形式来表示，即dz = ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy。
从物理角度来看，全微分可以理解为函数的微小变化对应的物理量。
例如，对于一个物体的位移函数，全微分可以表示物体在某一时刻的微小位移。
全微分的应用非常广泛。
在物理学中，全微分可以用于描述物体在运动过程中的微小变化。
在经济学中，全微分可以用于描述经济变量之间的微小变动关系。
在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的微小变化。
在生物学中，全微分可以用于描述生物体的微小变化。
总之，无论是自然科学还是社会科学，全微分都具有广泛的应用。
全微分的定义是微积分中的基本概念，理解全微分的定义对于深入学习微积分非常重要。
通过全微分的定义，我们可以推导出一些重要的微积分定理，如链式法则和隐函数定理。
此外，全微分还可以用于近似计算，例如在数值计算和优化问题中，可以使用全微分来近似函数的变化。
在实际问题中，全微分的定义可以帮助我们理解函数的变化规律。
通过计算全微分，我们可以了解函数在某一点附近的变化趋势，并可以用全微分来近似函数的变化。
例如，在经济学中，我们可以使用全微分来描述经济变量之间的关系，从而研究经济系统的稳定性和变动性。
全微分的定义公式
全微分的定义公式全微分是描述多元函数在其中一点处的微小变化的概念。
它可以帮助我们理解多元函数的性质，并在一些应用中起到重要的作用。
首先，我们先回顾一元函数的微分的定义。
对于一个一元函数f(x)，如果在其中一点x=x0处，函数f(x)的微分存在，则微分df(x0)可以表示为：df(x0) = f'(x0)dx其中，f'(x0)是f(x)在x=x0处的导数，dx是自变量的一个微小增量。
对于多元函数来说，全微分的定义与一元函数类似，只是自变量有多个。
假设有一个二元函数f(x, y)，我们希望求解在点(x0, y0)处的全微分。
全微分df(x0, y0)可以表示为：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=x0,y=y0 * dx + (∂f/∂y)，x=x0,y=y0 *dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f(x, y)对x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小增量。
这个定义可以推广到任意多个自变量的情况。
这个定义稍微有点抽象，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x,y)=x^2+y^2，在点(1,2)处求解全微分。
首先，求解∂f/∂x和∂f/∂y。
对于f(x,y)=x^2+y^2，我们可以得到：∂f/∂x=2x∂f/∂y=2y然后，我们给定自变量的微小增量dx和dy的值，比如dx=0.1，dy=0.2、代入上式，就可以计算出df(x0, y0)的值：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=1,y=2 * dx + (∂f/∂y)，x=1,y=2 * dy=2*1*0.1+2*2*0.2=0.6所以，在点(1, 2)处，函数f(x, y)的全微分df(x0, y0)的值为0.6、这个值表示函数在这个点处的微小变化。
df(x10, x20, ..., xn0) = (∂f/∂x1)，x1=x10, x2=x20, ...,xn=xn0 * dx1 + (∂f/∂x2)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dx2 + ... + (∂f/∂xn)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dxn其中，∂f/∂xi表示f(x1, x2, ..., xn)对xi的偏导数，dxi表示自变量xi的微小增量。
全微分
z
（- f
x
(0,0)x
f
y
(0,0)y）
xy
x2 y2
xy x2 y2
(x,y)沿yx趋于(0,0) 12
0
结论： 可微
连续
小结：
1、全微分的定义
2、可微x,y)(0,0)
从而
lim f (x x, y y) lim [ f (x, y) z] f (x, y).
(x,y )(0,0)
(x,y )(0,0)
故，z f (x, y)在点P(x, y)处连续。
反之，连续的函数未必可微。
如，函数f (x, y) xy ,在（0,0）点连续， 偏导数都存在且等于零，但函数在此点 不可微，因为
Ax By为其微分。另外，是什么呢？
定义：
设函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点P( x , y )的某邻 域内有定义，如果该函数在点P( x , y )处的全增量
z f (x x, y y) f (x, y)
可表示成 Ax By o( )
（其中A, B只与x, y有关，而与x, y无关。 (x)2 (y)2） 则称函数z f (x, y)在点P(x, y)处可微分，称Ax By
公共数学教研室 戴明清
回顾：
如果函数y f (x)的增量y可表示为
y Ax o(x),
则称函数y f (x)可微， 称Ax为y f (x)的微分，记作dy。
这时，y dy Ax。
f (x x, y) f (x, y) fx (x, y)x
f (x, y)对x的偏增量
对x的偏微分
为函数z f (x, y)在点P(x, y)处的全微分，记作dz. 即，dz Ax By.
第八讲 全微分
但函数的偏导数存在，函数不一定可微。
上面两个个定理可以完全推广到三元和
三元以上的多元函数.如三元函数 u=f(x,y,z) 的
全微分存在，则有
du u x dx u y dy u z
dz.
例1 求z=xy在点(2,3)处，关于x 0.1, y 0.2 的全
增量与全微分. 解
B=fy(x0,y0).
这个可定理得到全微分的计算公式：
与一元函数微分类似，规定自变量x，y的增量等于自 变量的微分dx，dy，即 x dx，y dy .于是全微分 又可写成
dz f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
如果函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可 微，则称f(x,y)在域D内是可微的.这样，域D内 任一点处的全微分为
f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y
1 2
3 3
3x0
3
2
x
3
3 y0
3
2
y
3
2 x0 y 0
2 x0 y 0
3
1 2
(0.02) 2 (0.03) 2.95
定义8、6
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某
邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
可表示为
z Ax By o( ),
其中A，B与 x, y 无关， (x)2 (y )2 , o( ) 是比
全微分知识点笔记总结
全微分知识点笔记总结一、导数与全微分基本概念1. 导数的概念导数是微积分学中非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。
如果函数y=f(x)在某一点x0处可导，那么它的导数f'(x0)定义为f'(x0)=lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)导数可以理解为函数在某一点的斜率，也可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
2. 全微分的概念全微分也是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的微小变化。
如果函数y=f(x)在某一点x0处可导，那么它的全微分dy可以定义为dy = f'(x0)dx全微分可以理解为函数在某一点微小变化的量，它是函数的局部变化率与自变量的微小变化量的乘积。
二、全微分的计算1. 一元函数的全微分对于一元函数y=f(x)，如果它在某一点x0处可导，那么它的全微分可以通过导数来计算，全微分dy=f'(x0)dx。
这个公式可以准确地描述函数在x0处微小变化的量。
2. 多元函数的全微分对于多元函数z=f(x,y)，如果它在某一点(x0,y0)处可导，那么它的全微分可以通过偏导数来计算。
全微分dz在点(x0,y0)处的计算公式为dz = ∂f/∂x|_(x0,y0)dx + ∂f/∂y|_(x0,y0)dy这个公式可以描述多元函数在某一点微小变化的量，其中∂f/∂x和∂f/∂y分别是函数在各自自变量上的偏导数。
三、全微分的物理意义1. 全微分的物理意义全微分可以用来描述函数在某一点微小增量的变化。
在物理学中，全微分可以用来描述物体在某一点的微小位移、速度、加速度等物理量的变化。
这就是全微分的物理意义。
2. 全微分与微分量的关系在物理学中，微分量描述了一个物体在某一点的微小变化量，而全微分描述了函数在某一点的微小变化量。
它们之间存在着密切的关系，可以相互换算，因此在物理学中也可以用全微分来描述物体的微小变化。
四、全微分的应用1. 全微分在最优化问题中的应用在最优化问题中，全微分可以用来描述函数的微小变化量。
全微分的定义
V h
h
所以
dV
V r
r
h 2 rh r r h
2
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3 . 14 20 40 0 . 1 3 . 14 20 ( 0 . 5 )
因此，函数 z f ( x , y ) 在点（x，y）连续。 又因为 z A x B y ( ) 中的A，B与 Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。 不妨取Δy=0，则有
z A x (| x |)
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
V = r h
2
40cm
39.5cm
20cm
20.1cm
此时
dV = ∂V ∂r • r + ∂V ∂h • h = 2 rh • r + r
2
• h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
= — 125 . 6 ( cm
3
故有
2
V ≈ dV ≈ 2 × 3 . 14 × 20 × 40 × 0 . 1 + 3 . 14 × 20 × (
3
dy
2 6
u z
dz
例1 求函数 的全微分。 解：先求函数的两个偏导数：
z 4 xy 5x y
z x
4 y
3
10 xy
6
z y
6
12 xy
2
30 x
2
y
5
所以
dz ( 4 y 10 xy ) dx (12 xy 30 x y ) dy
全微分的概念与计算
全微分基本公式是dz=z'(x)dx+z'(y)dy。
如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。
全微分定义
全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。
但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。
多元函数微分学—全微分及其运用(高等数学课件)
典 型 例 题 讲 解
例2 求函数 z ( x y )e xy 在点（1，2）处的全微分.
z
解： e xy y ( x y )e xy (1 xy y 2 )e xy，
x
z
例2
e xy 求函数计算函数，在点（1，2）处的全微分。
x( x y )e xy (1 xy x 2 )e xy，
用公式(1):
z dz f x( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
二、典型例题讲解
例1 有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由20 cm 增大到
20.05 cm ，高由50 cm 增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.
解: 设圆柱体的半径、高和体积分别为 、ℎ 和, 它们的增量分别记为
多元函数的微分学
多元函数的全微分
知识点讲解
1.全微分的定义
2.可微、连续、可偏导之间的关系
3.全微分的求法
全微分的定义
1.全改变量
设函数 z f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,自变量、在0 、0
的改变量分别为 x, y ，全增量:
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
x
y
z
由公式知：求全微分的步骤如下：
1.求偏导数；
2.套公式得全微分.
f ( x, y )
典 型 例 题 讲 解
例1 求函数 z x 2 y xy 2 的全微分.
解:
z
z
2 xy y 2 , x 2 2 xy
x
y
dz (2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy.
全微分
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∂2z ∂2z 四、 2 = y x ln 2 y , 2 = x ( x − 1) y x − 2 , ∂x ∂y ∂ 2z = y x −1 ( x ln y + 1) . ∂ x∂ y 1 ∂3z ∂3z =− 2. 五、 2 = 0, 2 y ∂x ∂y ∂ x∂ y
π 三、 . 4
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 ,1 ) ∂y ( 2 ,1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
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π 例 2 求函数 z = y cos( x − 2 y ) ，当 x = ， y = π ， 4
时的全微分. 时的全微分
解
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π , π )
∂u = ye yz , ∂z
所求全微分
1 y du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
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全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两 连续， 个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续，且 ∆x , ∆y 都较小时， 都较小时，有近似等式
一、填空题: 填空题: 1 、设 z = e ,则
y x
练习题
∂z _____________； = _____________； ∂x
∂z ____________； = ____________；dz = ____________. ∂y 2 、若 u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) ,则 du = _____________________________. y 3 、若函数 z = ,当 x = 2, y = 1 , ∆x = 0.1, ∆y = −0.2 时, x _______;全微分 函数的全增量 ∆z = _______;全微分dz = ________. x 对 4 、若 函 数 z = xy + , 则 z对x 的 偏 增 量 y ∆xz = ______________. ∆ x z = ___________; lim ∆x → 0 ∆ x
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在其中一点附近的变化情况。
全微分的计算公式是一种广义的求导公式，适用于多元函数以及复合函数的求导。
下面将详细介绍全微分的计算公式。
1.一元函数的全微分对于一元函数f(x)，在其中一点x=a处的全微分df可以通过求导来计算，计算公式为：df = f'(a)dx其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x) = x^2，在点x=2处的全微分df可以通过求导得到：f'(x)=2xdf = f'(2)dx = 2(2)dx = 4dx2.多元函数的全微分对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在其中一点P(x1=a1,x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到，计算公式为：df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数，dxi表示第i个自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点P(2, 3)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到：∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2ydf = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)(dx) + (2y)(dy) = 4dx + 6dy3.复合函数的全微分对于复合函数f(g(x1, x2, ..., xn))，其中g(x1, x2, ..., xn)为自变量，f(t)为中间变量，t=g(x1, x2, ..., xn)。
在其中一点P(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过链式法则来计算，计算公式为：df = (∂f/∂t)(∂t/∂x1)dx1 + (∂f/∂t)(∂t/∂x2)dx2 + ... +(∂f/∂t)(∂t/∂xn)dxn其中， (∂f/∂t) 和 (∂t/∂xi) 分别表示对中间变量t和自变量xi求偏导数。
全微分
全增量 S 由 y0 x，x0 y，x y 三项组成.
x y
令
比其余两项小得多.
(x) (y ) ，
2 2
当 0时，
即 x y 是比高阶的无穷小， x y o( ).
又因为x0，y0为常数，
所以全增量S 只是x, y 的函数.
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
可表示为
z Ax By o( ),
其中A，B与 x, y 无关， (x)2 (y )2 , o( ) 是比
高阶的无穷小，则称 Ax By 为函数z=f(x,y)在点
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ).
例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板 受热膨胀，长自x0增加x，宽自y0增加 y，其面积相 应增加
S ( x0 x)( y0 y ) x0 y0 y0 x x0 y x y.
微分为
dz f x ( x, y )dx f y ( x, y )dy
或写成
dz z x dx z y dy. (1)
定理2 (全微分存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点 (x,y)存在连续的偏导数 f x ( x, y ), f y ( x, y ) ，则函数z=f(x,y) 在点(x,y)可微. 例如
函数可微
上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的 多元函数.如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz.
例2 求 z x3 y 3x 2 y 3 的全微分.
第8.4节 全微分
f f 所以 不存在.同理， 也不存在. x (0,0) y (0,0)
所以函数 f ( x, y ) 在点 (0,0) 处不可微.
定理2 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，则该函数在点 ( x, y )
处一定连续.
证
因为 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，于是有
定义 如果函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的全增量
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) 可 以 表 示 为 z Ax By o( ) ， 其 中 A, B 不 依 赖 于 x, y 而 仅 与 x, y 有 关 ， (x )2 (y )2 ， 则 称 函 数 z f ( x, y ) 在 点 ( x, y ) 可 微 分 ， Ax By 称 为 函 数 z f ( x , y )在点 ( x, y ) 的全微分，记为 d z ，即 d z = Ax By .
因此函数 z f ( x, y ) 的全微分可进一步表示为:
z z dz dx dy x y
计算函数 z e xy在点 (2,1) 处的全微分. 例1
z z xy ye , x e xy , 解 x y z z 2 2 e2 , e , y ( 2 ,1) x ( 2 , 1 )
因此取 x 1, y 2 ， x 0.02, y 0.01，则
f (1,2) 13 23 3,
3x2 1 f x (1,2) , 2 x 3 y 3 ( 1, 2 ) 2
3 y2 f y (1,2) 2. 3 3 2 x y ( 1, 2 )
利用上面的近似计算公式得
全微分判定公式
全微分判定公式
全微分判定公式是微积分中的一个重要定理，它可以帮助我们判断一个函数是否可微分，并进一步求出其微分。
下面我将以人类的视角，简单介绍一下全微分判定公式。
在微积分中，我们经常遇到需要求函数的微分的情况。
微分可以理解为函数在某一点上的线性近似，它描述了函数在这一点附近的变化情况。
而全微分判定公式可以帮助我们确定一个函数是否可微分，以及求出其微分。
我们需要明确一点，一个函数在某一点可微分的充分必要条件是它在这一点的偏导数存在且连续。
也就是说，如果一个函数在某一点的偏导数存在且连续，那么它在这一点可微分。
接下来，我们来看一下全微分的定义。
对于一个函数f(x,y)，在点(x0,y0)附近的全微分df可以表示为：
df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy
其中，∂f/∂x 表示f对x的偏导数，∂f/∂y 表示f对y的偏导数，dx 和dy分别表示x和y的增量。
根据全微分判定公式，如果一个函数在某一点可微分，那么它在这一点的全微分可以用偏导数来表示。
换句话说，如果一个函数在某一点的全微分可以用偏导数表示，那么它在这一点可微分。
通过全微分判定公式，我们可以方便地判断一个函数是否可微分，并求出其微分。
这在实际问题中非常有用，特别是在优化和近似计算中。
总结一下，全微分判定公式是微积分中的一个重要定理，它可以帮助我们判断一个函数是否可微分，并进一步求出其微分。
通过全微分判定公式，我们可以方便地判断一个函数是否可微分，并求出其微分。
希望这篇文章能帮助你更好地理解全微分判定公式。
全微分
du u x dx u ydy uz dz
2z z ( x 2 y) dx dy ln （x 2 y )dz . x 2y x 2y
z
练 习4 解:
计算函数
u 1 x
u 1 y cos ze yz y 2 2
解
y 求函数 z x
在点 (2 , 1) 处当
x 0.01,
y z 2 x x（2， 1）
z y
1 0.25 , 4 ( 2 ,1)
( 2 ,1)
1 x
( 2 ,1 )
1 0.5 . 2
z x y ( 2,1) y
( 2,1)
所以全微分为：
的全微分.
u ye yz z
du u x dx u ydy uz dz
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
等价于
z A x B y o( ) , lim z A x B y 0
0
可微分与连续
偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 证明：若 z f(x, y) 在点(x, y)可微, 则
例题2 求函数 z y x
2 2
全微分：
解
z x 2x
z y 2y
因为
dz z xdx z ydy
dz 2 xdx 2 ydy
2、定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
z z 在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. , x y
反例
第3节
全微分
直流电路中, 例5. 在直流电路中 测得电压 U = 24 伏, 相对误差为 0.3%; % 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 % , 安 求用欧姆定律计算电阻 求用欧姆定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 . U 24 欧 由欧姆定律可知: 解: 由欧姆定律可知 R = = = 4 (欧) I 6 的相对误差约为: 所以 R 的相对误差约为
≠ o(ρ ) 因此, 不可微. 因此 函数在点 (0, 0) 不可微
∂z ∂z 3. 定理 (充分条件 若函数 z=f(x, y)的偏导数 , 在点 y)连续 定理2 充分条件 充分条件):若函数 在点(x, 连续 连续, 的偏导数 ∂x ∂ y
则函数在该点可微分. 则函数在该点可微分 . 由于 x = ∆x, d y = ∆y, 所以函数 z = f (x, y) 的全微分可记作 由于d 的全微分可记作: dz = f x′( x, y)dx + f y′( x, y)dy . 可微与偏导数的关系 可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 (2) 偏导数连续 偏导数存在 函数可微
f y′(1, −1) = 5,
dz x=1 = f x′(1, −1)dx + f y′(1, −1)dy = 8dx + 5dy
x 2+y
的全微分d 例2: 求函数 z = sin (x y) + e 的全微分 z 。 2 2 解： Q ∂z = y cos( xy) + 2xex + y, ∂z = x cos( xy) + ex + y ∂x ∂y ∂z ∂z ∴ dz = dx + dy ∂x ∂y
2. 可微与偏导数的关系: 可微与偏导数的关系 (1) 函数可微 (2) 偏导数连续 偏导数存在 函数可微
简述全微分的定义
简述全微分的定义
全微分是微积分中一个重要的概念，是指对于一个多元函数，如果它
的偏导数存在且连续，那么该函数就具有全微分。
全微分的定义可以
从两个方面来解释。
一、从几何意义上来讲，全微分表示函数在某一点处沿着某个方向的
变化率。
具体而言，设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处有定义，则在P点附近取一点Q(x0+Δx, y0+Δy)，则f(x,y)在P点处沿着向量(Δx, Δy)的方向上的变化率可以表示为：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数在P点处关于x和y的偏导数。
dx
和dy则是向量(Δx, Δy)的坐标变化量。
这个式子就是全微分的定义式。
二、从代数意义上来讲，全微分可以理解为一个线性近似函数。
具体
而言，在P点附近取一小块区域U，对于区域内任意一点(x,y)，都可
以将函数f(x,y)表示为：
f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x (x-x0) + ∂f/∂y (y-y0)
这个式子表示了f(x,y)在P点处的线性近似函数。
将x-x0和y-y0看作自变量的增量，∂f/∂x和∂f/∂y看作函数的导数，则可以将式子写成：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
这个式子就是全微分的定义式。
综上所述，全微分是一个非常重要的概念，它可以从几何意义和代数意义两个方面来理解。
在实际应用中，全微分可以用来计算函数在某一点处沿着某个方向上的变化率，也可以用来进行线性近似计算。
对于工程、物理等领域中的问题求解都有很大帮助。
全微分求解方法
全微分求解方法一、全微分的概念。
1.1 啥是全微分呢？简单来说，全微分就是用来描述多元函数在各个自变量都有微小变化时，函数值的总体变化情况的一个好东西。
就好比你要考虑一个东西的变化，不是只看一个方面的小变动，而是好几个相关方面都有一点小改变时，对这个东西整体的影响。
这就像我们生活中做事情，不能只看一个因素变了会咋样，得综合考虑好多因素同时有点小波动的情况。
1.2 从数学式子上看，如果有个二元函数z = f(x,y)，那么全微分dz就和x、y 的微小变化dx和dy有关系。
这就像是一个小团队里，每个成员的小行动（dx和dy）都会对整个团队的成果（dz）有影响，牵一发而动全身啊。
二、全微分的求解步骤。
2.1 首先呢，得求出函数对各个自变量的偏导数。
这偏导数就像是在一个多因素的事情里，单独看一个因素对整体的影响程度。
比如说，对于函数z = f(x,y)，就要分别求出∂z/∂x和∂z/∂y。
这就好比在一个大家庭里，要看看爸爸挣钱的能力（∂z/∂x）和妈妈理财的能力（∂z/∂y）对家庭财富（z）的单独影响。
2.2 然后呢，全微分的公式就是dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy。
这就像是把爸爸和妈妈各自对家庭财富的影响（∂z/∂x和∂z/∂y），再结合他们各自的小行动（dx和dy），最后得到家庭财富总体的小变化（dz）。
这个公式看起来简单，但是可别小瞧它，就像老话说的“麻雀虽小，五脏俱全”，这里面包含了多元函数变化的很多奥秘呢。
2.3 要是多元函数的自变量更多，比如说三元函数u = f(x,y,z)，那全微分公式就是du = ∂u/∂x dx+ ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz。
这就好比一个更复杂的团队，有更多的成员，每个成员的小行动（dx、dy、dz）和他们对整体的单独影响（∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z）共同决定了整个团队成果（du）的小变化。
三、全微分求解的实际例子。
3.1 比如说有个函数z = x² + y²，那先求偏导数，∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y。
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所以函数
在点 可微.
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例2. 计算函数
解: z yexy , x
在点 (2,1) 处的全微分.
z xexy y
z x
(2,1) e2 ,
z y
(2,1) 2e2
例3. 计算函数
的全微分.
解: d u
(
1 2
cos
y 2
zeyz
)d y
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绝对误差 δ z f x (x, y) δ x f y (x, y) δ y
相对误差
δz z
fx (x, y) f (x, y)
δ
x
f y (x, y) f (x, y)
δ
y
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作业
P77 1 (3) , (4) ; 3 ; 5
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
z 的相对误差界约为
z
z
fx (x, y) f (x, y)
δ
x
f y (x, y) f (x, y)
δ
y
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特别注意
δz x zy
δ x
x y
δy
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
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V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
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例4.计算
的近似值.
解: 设 f (x, y) x y,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02
*二、全微分在数值计算中的应用 (不讲)
1. 近似计算 由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
可知当 及
dz
较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
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由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
(可用于近似计算)
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例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100,
r 0.05, h 1
同样可证 z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
x y
不证：z f (x x, y y) f (x, y)
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
fx (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
[ fx (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
δ
b
b 0.1201a, bδcCosC18δ0C0
又
1 12.5 8.3 sin 30 25.94
2
所以 S 的相对误差约为
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例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax B y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
例5. 利用公式
计算三角形面积.现测得
a 12.5 0.01, b 8.3 0.01, C 30 0.1
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
1 b sin C 2
a 12.5, b 8.3, C
故绝对误差约为
δ
a
1 2
30,
a sin C δ a δ
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
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2. 误差估计
利用 令
z fx (x, y)x f y (x, y)y
分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 则
z 的绝对误差界约为
δ z f x (x, y) δ x f y (x, y) δ y
第三节 全微分
第九章
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o(x)
dy f (x)x 应用
本节内容:
一、全微分的定义
近似计算 估计误差
*二、全微分在数值计算中的应用
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一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
(x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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3. 微分应用 • 近似计算
fx (x, y)x f y (x, y)y
• 估计误差
fx (x, y)x f y (x, y)y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
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z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
x y
, 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
解: 由欧姆定律可知 R U 24 4( 欧) I6
所以 R 的相对误差约为
δ R δ U δ I 0.3 + 0.5 = 0.8 RU I
R 的绝对误差约为
δ R R 0.8 = 0.032 ( 欧 )
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内容小结
1. 微分定义:
z
o()