篮球比赛中罚球命中率

数学建模题目： B

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投篮命中率的数学模型设计与可行性分析

摘要

从篮球创造出来至今，从一开始的娱乐游戏发展为国际性甚至是世界性的比赛，篮球一直是为人们所喜闻乐见的。篮球不仅可以锻炼人的身体，同时也可以考验团队的合作能力。其中投篮命中率是一个队伍取胜的必要条件。根据篮球比赛经验，影响投篮命中率的关键因素有以下两点：出手角度和出手速度。本文依据优化思想，结合随机模拟、TOPSIS 评价法等相关知识，定量定性分析了以上两点因素以及相关影响因素，建立了一个可以多角度评价的提高投篮命中率的理想化模型。

对于问题一：为了提高罚球投篮命中率，我们分三步走，首先不考虑篮球篮框大小，讨论球心命中框心条件；再考虑篮球篮框大小，讨论球心命中框心且

球入框条件；然后讨论保证球入框条件下，出手角度允许的最大偏差和出手速度 允许的最大偏差。在假设不考虑球出手后自身旋转、球碰篮板或篮框的情况及不考虑空气阻力的条件下，采用微积分和定积分的几何应用、函数单调性及函数极值、数型结合的方法将在罚球线上提高罚球命中率的抛物线抽象问题转化为了数学实际问题，建立对不同出手高度(速度)的最小出手速度（高度）及相应的出手角度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，根据变量之间的关系列出方程，并进行求解。

对于问题二：在问题一的基础上，考虑篮球擦板后进球情况，我们就应用了物理与数学结合的反射定理，考虑球与篮板碰撞后，经过不同的反射角进入篮筐，列出并计算出相应数据，经过SPSS 法分析筛选后，得出表格，又因为要在限制区边线上距篮筐中心30度、45度、90度（罚球线）位置上投球，根据角度不同，X 的取值也不同列出函数：

再代入问题（1）中所列方程，经过SPSS 法重复测量筛选分析检验后，并建立对不同出手角度、出手速度和出手高度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，并得出结论。

关键词:投篮命中率 抛物线 最适宜投球角度和高度 模型

()

sin sin E x λ

λθ=

+

一．问题重述

1.1背景

在激烈的篮球比赛中，提高队员的投篮命中率对于获胜起着决定性作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。投篮时出手角过低或过高都不好。

1.2问题

（1）在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮筐的情况，在此情

况下，站在罚球线上怎样罚球才能命中率高。

（2）考虑篮球擦板后进篮的情况，试就在限制区边线上距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上出手角度、出手速度与篮球的命中率之

间的关系进行讨论。

二．问题分析

2.1问题一的分析

在不考虑罚球投篮时球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮筐的情况下，我们将球进篮框的曲线痕迹优化为数学中的圆锥曲线抛物线。我们将建立一个平面坐标轴，把抛物线放入其中讨论，设置不同的数据，通过数学运算与数据分析，进一步推导出提高罚球命中率的理想化模型。

2.2问题二的分析

问题二是考虑篮球擦板后进篮的情况下，在限制区边线上进行讨论。由此我们将在问题一的基础上，考虑篮球擦板后进球情况，应用物理与数学结合的反射定理，列出并计算出相应数据，经过SPSS 法分析筛选后得出表格，根据角度不同，X 的取值也不同列出函数：

再代入问题（1）中所得出的方程，经过SPSS 法重复测量筛选分析检验，建立对不同出手角度、出手速度和出手高度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，并得出结论。

三、模型假设

3.1问题一的模型假设

不考虑篮球和篮框大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P ，列出x （水平）方向和y （竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手 速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。

3.2问题二的模型假设

()

sin sin E x λ

λθ=

+

与问题一大致相似，将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P ，列出x （水平）方向和y （竖直）方向的运动方程，可得到球心的运动轨迹，于是将球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对站在限制区边线上距篮框中心30°、45°、90°（罚球线）位置上不同的出手角度、出手速度与投篮命中率之间的关系进行讨论。

四、符号说明

4.1问题一

d 篮球直径 D 篮框直径

L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度

h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 α 篮球运动员投篮球出手角度 β 篮球入框时的角度

按照尺寸标准，L=4.375m ，H=3.05m ，d=0.246m ，D=0.45m

4.2问题二

d 篮球直径 D 篮框直径

L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度

h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 α 篮球运动员投篮球出手角度 β 篮球入框时的角度

θ 限制区边线上距篮框中心的角度 λ 限制区边线与球场边界的夹角

E 篮框中心与限制区边线的水平距离

按照尺寸标准，L=4.375m ，H=3.05m ，d=0.246m ，D=0.45m E=2.93

五、模型建立与求解

13

tan 3

λ=