篮球比赛中罚球命中率

数学建模题目： B
参赛队员：
队员1 姓名：
班级：
学号：
学院：
联系方式：
队员2 姓名：
班级：
学号：
学院：
联系方式：
队员3 姓名：
班级：
学号：
学院：
联系方式：
投篮命中率的数学模型设计与可行性分析
摘要
从篮球创造出来至今，从一开始的娱乐游戏发展为国际性甚至是世界性的比赛，篮球一直是为人们所喜闻乐见的。

篮球不仅可以锻炼人的身体，同时也可以考验团队的合作能力。

其中投篮命中率是一个队伍取胜的必要条件。

根据篮球比赛经验，影响投篮命中率的关键因素有以下两点：出手角度和出手速度。

本文依据优化思想，结合随机模拟、TOPSIS 评价法等相关知识，定量定性分析了以上两点因素以及相关影响因素，建立了一个可以多角度评价的提高投篮命中率的理想化模型。

对于问题一：为了提高罚球投篮命中率，我们分三步走，首先不考虑篮球篮框大小，讨论球心命中框心条件；再考虑篮球篮框大小，讨论球心命中框心且
球入框条件；然后讨论保证球入框条件下，出手角度允许的最大偏差和出手速度 允许的最大偏差。

在假设不考虑球出手后自身旋转、球碰篮板或篮框的情况及不考虑空气阻力的条件下，采用微积分和定积分的几何应用、函数单调性及函数极值、数型结合的方法将在罚球线上提高罚球命中率的抛物线抽象问题转化为了数学实际问题，建立对不同出手高度(速度)的最小出手速度（高度）及相应的出手角度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，根据变量之间的关系列出方程，并进行求解。

对于问题二：在问题一的基础上，考虑篮球擦板后进球情况，我们就应用了物理与数学结合的反射定理，考虑球与篮板碰撞后，经过不同的反射角进入篮筐，列出并计算出相应数据，经过SPSS 法分析筛选后，得出表格，又因为要在限制区边线上距篮筐中心30度、45度、90度（罚球线）位置上投球，根据角度不同，X 的取值也不同列出函数：
再代入问题（1）中所列方程，经过SPSS 法重复测量筛选分析检验后，并建立对不同出手角度、出手速度和出手高度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，并得出结论。

关键词:投篮命中率 抛物线 最适宜投球角度和高度 模型
()
sin sin E x λ
λθ=
+
一．问题重述
1.1背景
在激烈的篮球比赛中，提高队员的投篮命中率对于获胜起着决定性作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

投篮时出手角过低或过高都不好。

1.2问题
（1）在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。

假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮筐的情况，在此情
况下，站在罚球线上怎样罚球才能命中率高。

（2）考虑篮球擦板后进篮的情况，试就在限制区边线上距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上出手角度、出手速度与篮球的命中率之
间的关系进行讨论。

二．问题分析
2.1问题一的分析
在不考虑罚球投篮时球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮筐的情况下，我们将球进篮框的曲线痕迹优化为数学中的圆锥曲线抛物线。

我们将建立一个平面坐标轴，把抛物线放入其中讨论，设置不同的数据，通过数学运算与数据分析，进一步推导出提高罚球命中率的理想化模型。

2.2问题二的分析
问题二是考虑篮球擦板后进篮的情况下，在限制区边线上进行讨论。

由此我们将在问题一的基础上，考虑篮球擦板后进球情况，应用物理与数学结合的反射定理，列出并计算出相应数据，经过SPSS 法分析筛选后得出表格，根据角度不同，X 的取值也不同列出函数：
再代入问题（1）中所得出的方程，经过SPSS 法重复测量筛选分析检验，建立对不同出手角度、出手速度和出手高度的表格，分析出手速度和出手角度的最大偏差，并得出结论。

三、模型假设
3.1问题一的模型假设
不考虑篮球和篮框大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。

将坐标原点定在球心P ，列出x （水平）方向和y （竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手 速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。

3.2问题二的模型假设
()
sin sin E x λ
λθ=
+
与问题一大致相似，将球视为质点（球心）的斜抛运动。

将坐标原点定在球心P ，列出x （水平）方向和y （竖直）方向的运动方程，可得到球心的运动轨迹，于是将球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对站在限制区边线上距篮框中心30°、45°、90°（罚球线）位置上不同的出手角度、出手速度与投篮命中率之间的关系进行讨论。

四、符号说明
4.1问题一
d 篮球直径 D 篮框直径
L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度
h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 α 篮球运动员投篮球出手角度 β 篮球入框时的角度
按照尺寸标准，L=4.375m ，H=3.05m ，d=0.246m ，D=0.45m
4.2问题二
d 篮球直径 D 篮框直径
L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度
h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 α 篮球运动员投篮球出手角度 β 篮球入框时的角度
θ 限制区边线上距篮框中心的角度 λ 限制区边线与球场边界的夹角
E 篮框中心与限制区边线的水平距离
按照尺寸标准，L=4.375m ，H=3.05m ，d=0.246m ，D=0.45m E=2.93
五、模型建立与求解
13
tan 3
λ=
5.1问题一
5.1.1问题一的模型建立
由于不考虑篮球和篮筐的火小，不考虑空气阻力的影响，从未出手时的球心p 为坐标愿点，x 轴为水平方向，y 轴为竖直方向，篮球在t =0时以出手速度v 和出手角度投出，可视为质点（球心）的斜抛运动，其运动方程：
()cos x t v t
α=
2
1()s in 2
y t v t g t
α=-
（1）
其中g 是重力加速度，由此可得球心运动轨迹为如下抛物线
2
2
2
tan 2cos g y x x
v αα
=- （2）
以x=L ，y=H-h 代入（2）式，就得到球心命中框心地条件
2tan 1v gl α⎡⎢=
±⎢⎣
（3）
可以看出，给定出手速度v 和出手高度h ，有两个出手角度a 满足这个条件。

同时（3）式有解的前提是
2
222102g gL H h v v ⎛⎫--+≥ ⎪
⎝⎭
（4）
可对v 求解得
2
v g H h ⎡≥-+
⎢⎣ （5）
于是对一定高度h ，使（5）式等号成立的最小出手速度v min ，它是h 的减函数。

由（3）式计算出的两个出手角度记作α1、α2，且设α1>α2,可以看出，α1是h 和v 的增函数。

球入篮框时的入射角度β可从下式得到
tan x L
dy dx
β==-
（6）
这里的导数由（2）式计算代入后可得
()2tan tan H h L
βα-=-
（7）
于是对应于α1、α2，有β1、β2。

设β1>β2
考虑篮球和篮框的大小时，如图，篮球的直径d ，篮框的直径D 。

显然，即使球心命中球框，若入射角β太小，球会碰到框的近侧A ，不能入框。

由图不难得出β应满足的球心应命中框心且球入框的条件。

s i n
d
D
β>
（8）
将d=0.246m，D=0.450m 代入得β>33.1°。

在此前得出的结果不符合条件的舍去。

球入框时，球心可以偏离框心。

当球心偏前时，如下图，偏前的最大距离为图中x∆，x∆可以从入射角β算出。

根据x∆和球心轨迹中x与α的关系，能够得到出手角度α允许的最偏差α
∆。

出手速度v允许的最大偏差v∆可以类似的处理。

由图看出，球入筐时球心可以偏前（偏后与偏前一样）的最大距离为
2
2sin D d x β
∆=
-
（9）
为了得到出手角度允许的最大偏差，可以在(3)式中以L ±x ∆代替L 重新计算， 但是由于x ∆包含β，从而也包含α，所以这种方法不能求出α∆。

如果从（2）式出发并将y H h
=
-代入，可得
2
2
2
tan 0
2cos g
x
x H h v αα
-+-= （10）
对α求导并令x=L ，就有
()
22
tan sin cos x L
L v gL dy
d gL v α
α
αβ
=-=
- （11）
用
x α
∆∆近似代替左边的导数，即可得到出手角度的偏差α∆与x ∆的关系
()
2
2
sin cos tan gL v x
L v gL αααα
-∆=
∆- （12）
由α∆和已经得到的α也容易计算相对偏差 α
α∆。

类似的，（10）式对v 求导并令x=L ，可得到出手速度允许的最大偏差
2
2
sin cos gL v v v x
gL
αα
-∆=
∆ （13）
由（12）、（13）式v 的相对偏差为
2tan v
v v
gL αα∆⎛⎫=∆- ⎪
⎝⎭
（14）
5.1.2问题一的求解
一、对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(5)式等号成立的v 为最小出手速度v min ，在这个速度下由(3)式可得相应的出手角度α0为
2
t a n v
g L
α
=
（15）
取出手高度h=1.8～2.1（m ），计算结果见下表
二、对不同的出手速度和出手高度的出手角度的入射角度 对出手速度v=8.0～9.0（m/s ）和出手高度1.8～2.1（m ），由（3）式计算出手角度α1、α2，由（7）式计算入射角度β1、β2,，结果见下表
出手角度和出手速度的最大偏差。

利用（12）式和上面的α1，计算出手角度最大偏差α∆和α
α
∆，再利用（13）、
（14）式计算出手速度的最大偏差v ∆和
v v
∆，只将h=1.8,2.0(m)的结果列入下
表中。

5.2问题二
5.2.1问题二的模型建立
x
E
sin E λ
由问题一已得（1）方程：
（1）
（2）
区别于问题一，当投篮位置改变时，即 时，球心命中
框心的条件为
t
v t x αcos )(=2sin
)(2
gt t v t y -=α
α
α222
cos 2tan v g
x
x y -=()
sin sin E x λ
λθ=+
2
tan 1v gx α⎡⎢=±=⎢⎣
2
1sin sin()v
E g
λ
λθ⎡
⎢
⎢±
⎢⎢+⎢
⎣
（3）
可以看出,给定出手速度 v 和出手高度h ,有两个出手角度 a 满足这个条件。

而 （3）式有解的前提为 （4）
得：
（5）
于是对于一定的高度h ,使(5)式等号成立的为最小出手速度 ,
它是 h 的减函数.
由(3)式计算出的两个出手角度记作 、 ,
且设 > ,可以看出,是 h 和v 的增函数.
球入篮筐时的入射角度 β可从下式得到
(6)
这里的导数由(2)式计算代入后可得
(7)
()()222sin sin 2102E g g H h v v
λλθ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥+⎢⎥⎣⎦---≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦2v H h ⎡⎢≥-+⎢⎢⎣1α1α2α2α1αmin v ()sin sin tan |
E x dy
dx
λλθβ=
+=-
()
2tan tan sin sin H h E βαλλθ
-=-+
于是对应于 、 ,有 、 .设 > .
再由问题一对篮筐的分析，同样β>33.1度 结果如问题一分析的一样 而当以不同的角度θ投篮时，即
（8）
则将y=H-h 代入（2）式求导得到
（9）
用 近似代替左边的导数,即可得到出手角度的偏差Δα与Δx 的如下关系
（10）
由Δα和已经得到的α也容易计算相对偏差 的值。

类似的, (8)式对v 求导并令x=L,可得到出手速度允许的最大偏差
（11）
由(10),(11)式v 的相对偏差为
1α2α1β1
β2β2β
()
sin sin E x λλθ=
+()()()()2sin 2
sin sin sin tan sin sin |=sin sin cos sin E x E E v g
dx E d g v λλθλλ
αλθλθλαααλθ=+⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦-+0tan 2cos
2
22=-+-h H x g v x
ααα∆∆x
()()()2
2sin sin cos sin sin sin tan sin sin E g v x
E E v g λαα
λθαλλ
αλθλθ-+∆=∆⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦
α
α
∆()()22sin sin co s sin sin sin E g v v v x E g λααλθλλθ-+∆=∆⎡⎤⎢⎥
+⎣⎦
（12）
5.2.2问题二的求解
当θ=90度时：
一、对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(5)式等号成立的v 为最小出手速度v min ，在这个速度下由(3)式可得相应的出手角度α0为
（15）
取出手高度h=1.8～2.1（m ），计算结果见下表
二、对不同的出手速度和出手高度的出手角度的入射角度 对出手速度v=8.0～9.0（m/s ）和出手高度1.8～2.1（m ），由（3）式计算出手角度α1、α2，由（7）式计算入射角度β1、β2,，结果见下表 ()2tan sin sin v v E v g
ααλλθ⎛⎫ ⎪∆ ⎪=∆- ⎪ ⎪
+⎝⎭()
2
0tan sin sin v
E g αλλθ=⎡⎤⎢⎥
+⎣⎦
表五
出手角度和出手速度的最大偏差。

利用（10）式和上面的α1，计算出手角度最大偏差α∆和α
α
∆，再利用（11）、
（12）式计算出手速度的最大偏差v ∆和v v
∆，只将h=1.8,2.0(m)的结果列入下
表中。

注：当θ=30度、45度表格见附录。

六、模型评价
6.1问题一的模型评价
6.1.1表一
由此得出，对应与最小出手速度是最小出手角度他们均随着出手高度的增加而略有减小；出手速度一般不要小于8米/秒。

6.1.2表二
根据前面计算，β应大于33.1度才能保证球入框，这里的β2均小于33.1度,不满足(8)式的条件,所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下,出手角度只能是α1。

可以发现，速度一定时,出手高度越大,出手角度应越大,但是随着速度的增加,高度对出手角度的影响变小,这种影响在 1度左右;出手高度一定时,速度越大,出手角度也应越大,速度的影响在7~9度。

6.1.3表三
总的看来,允许偏差都相当小.进一步分析可知,速度越大,角度的允许偏差越小,而速度的允许偏差越大,且对角度的要求比对速度的 要求严格;出手速度一定时,高度越大,虽然也是角度的允许偏差越小,速度的允许偏差越大,但这时对角度和速度的要求都相对较低。

6.2问题二的模型评价
6.2.1表四
由此得出，对应于最小出手角度和出手速度，均随高度增大而减小，并且为提高命中率需要控制最小速度为6米/秒。

6.2.2表五
根据前面计算，β应大于40.3度才能保证球入框，这里的β2均小于40.3度,不满足(8)式的条件,所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下,出手角度只能是α1。

可以发现，速度一定时,出手高度越大,出手角度应越大,但是随着速度的增加,高度对出手角度的影响变小,这种影响在 1~2度左右;出手高度一定时,速度越大,出手角度也应越大,速度的影响在8~9度。

6.2.3表六
总的看来,允许偏差都相当小.进一步分析可知,速度越大,角度的允许偏差越小,而速度的允许偏差越大,且对角度的要求比对速度的要求严格;出手速度一定时,高度越大,虽然也是角度的允许偏差越小,速度的允许偏差越大,但这时对角度和速度的要求都相对较低。

七、参考文献
【1】张莲民、段海婷、江云，数学建模-投篮问题，
/view/213e7fe8551810a6f5248637.html，2011年11月26日
【2】陈根雷、黄继晨、龚佳丽，数学建模优秀论文，
/view/f97ed705cc17552707220884.html，2011年11月26日
八、附录当θ=30°时
当θ=45°时。