直线与方程、圆与方程专题

直线与方程、圆与方程专题

1.设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．若变换为求面积最小呢？

2. 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

两圆01112

2

1=++++F y E x D y x C ：与02222

2

2=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．

类型四：直线与圆的位置关系

过点()43--，

P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()4212

2

=++-y x C ：

有公共点，如图所示．

类型五：圆与圆的位置关系 若圆0422

2

2

=-+-+m mx y x 与

圆084422

2

2

=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .

类型六：圆中的对称问题

自点()33，

-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切

（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．

（2）光线自A 到切点所经过的路程．

类型七：圆中的最值问题

1. 已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(2

2=-+-y x 上运动，则2

2PB PA +的

最小值是 .

2. (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：

，),(y x P 为圆O 上的动点，求2

2y x d +=的最大、最小值．

(2)已知圆1)2(2

22=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求

1

2

--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值． 类型八：轨迹问题

1.如图所示，已知圆42

2=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．

2.已知圆的方程为2

2

2

r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使

PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．

G O

B

N

M

y

A

x

图3

C

A ’

例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

综合题

11．(12分)已知，如图，⊙O ：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O 外一点P(a ，b)向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ|＝|PA|. (1)求实数a 、b 间满足的等量关系； (2)求线段PQ 长的最小值；

(3)若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时⊙P 的方程．

12．(13分)(2011·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；

(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x2＝4y 是否相切？说明理由．

17．已知ABC ∆中，三内角C B A ,,为等差数列．⑴若13,7=+=c a b ，求此三角形的面

积；⑵求)6

sin(sin 3π

-+C A 的取值范围．

18．直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (＞)1，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线

m ，若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ，R 两点．（1）用k 表示直线m 的斜率；（2）当k 为

何值时，PQR ∆的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程．

19．已知圆C ：92

2=+y x ，点)0,5(-A ，直线l ：02=-y x ． ⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程； ⑵若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任意一点P ， 都有PA

PB

为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．

20．已知在直角坐标系中，))(,0(),0,(*

∈N n b B a A n n n n ，其中数列}{n a ，}{n b 都是递增

数列．

⑴若12+=n a n ，13+=n b n ，判断直线11B A 与22B A 是否平行；

⑵若数列}{n a ，}{n b 都是正项等差数列，设四边形11++n n n n A B B A 的面积为n S )(*

∈N n ,求证：}{n S 也是等差数列；

⑶若1),,(,2b Z b a b an b a n n

n ∈+==≥－12，记直线n n B A 的斜率为n k ，数列}{n k 的

前8项依次递减，求满足条件的数列{}n b 的个数．

y

P

A

B x

O